Astrophysique : enquête sur la source Grs 1915+105, étoile ordinaire ou objet compact, jets superluminiques
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Le sujet part de l'observation de la source astronomique Grs 1915+105 pour déterminer sa nature. Il compare l'hypothèse d'une étoile ordinaire à celle d'un objet compact accrétant de la matière, avant d'exploiter la vitesse radiale d'une étoile compagnon puis le mouvement apparent de deux jets de matière éjectés pour estimer la masse de l'objet central.
1I. La nature de Grs 1915+105deuxième annéeComparaison entre l'hypothèse d'une étoile normale (limite d'Eddington) et celle d'un objet compact (rayon de Schwarzschild) à partir de la variabilité temporelle de la source.
2II. La nature de l'astre centralpremière annéeÉtude du mouvement à deux corps et de l'effet Doppler pour estimer la masse de l'objet compact à partir de la vitesse radiale de son compagnon.
3III. Éjection par l'astre centralpremière annéeInterprétation cinématique du mouvement apparent des deux jets de matière éjectés par la source pour en déduire la masse de l'objet compact.
Difficulté moyenne. Le jury indique que le sujet reposait essentiellement sur des notions de première année et qu'une longueur raisonnable a permis d'aborder un nombre important de questions, mais note que les dernières questions du problème ont été très peu abordées.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : document officiel du concours, épreuve du 29 avril 2021. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
4 erreurs relevées
Confusion année-lumière et unité astronomique · Masse attribuée à tort à un photon · Manque de recul sur les résultats numériques
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Le jury a globalement apprécié le sujet, jugé de longueur raisonnable et permettant de traiter un nombre important de questions. Il souligne qu'une bonne maîtrise des forces newtoniennes était la clé de la réussite, tout en regrettant que de nombreuses questions proches du cours n'aient pas été abordées ou aient été traitées de manière erronée.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Confusion année-lumière et unité astronomiqueQ1
De nombreux candidats confondent l'année-lumière et l'unité astronomique lors du calcul de la distance de la source.
« De nombreux candidats ont confondu année-lumière et unité astronomique. »
2
Masse attribuée à tort à un photonQ3, Q9
Pour définir la quantité de mouvement d'un photon, certains candidats lui associent une masse, ce qui n'est pas acceptable.
« il n’est pas acceptable de lui associer une masse »
3
Manque de recul sur les résultats numériquesQ16
Une masse d'étoile obtenue plusieurs ordres de grandeur en dessous de celle du Soleil aurait dû alerter les candidats sur une erreur.
« une masse de l’étoile inférieure de plusieurs ordres de grandeur à celle du Soleil doit faire réagir »
4
Dernières questions du problème délaisséesQ21, Q22
Les questions finales portant sur la vitesse d'éjection des jets de matière ont été très peu abordées, faute de temps.
« Questions très peu abordées. »
Ce qui a été bien réussi
La majorité des candidats a su localiser la constellation contenant Grs 1915+105 à l'aide du document fourni.
Le jury a apprécié qu'une majorité de copies soit correctement rédigée et bien présentée, avec des résultats mis en valeur et des schémas tracés à la règle.
Conseils du jury
Rester critique face aux résultats numériques obtenus, afin de repérer toute incohérence.
Mener chaque application numérique jusqu'à une valeur numérique complète, sans laisser de fraction, de racine non estimée ou de puissance de dix non entière.
Gérer son temps pour pouvoir aborder les dernières questions du problème.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Corrigé détaillé
22 questions
Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.
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22 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.
Le sujet part de l'observation de la source astronomique Grs 1915+105 pour déterminer sa nature. Il compare l'hypothèse d'une étoile ordinaire à celle d'un objet compact accrétant de la matière, avant d'exploiter la vitesse radiale d'une étoile compagnon puis le mouvement apparent de deux jets de matière éjectés pour estimer la masse de l'objet central.
CONCOURS 2021
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Enquête autour de la source Grs 1915+105
La source de lumière astronomique Grs 1915+105 a été découverte en 1992 par le satellite franco-russe GRANAT. Elle est située dans notre galaxie. Dans le système de coordonnées équatoriales célestes, son ascension droite est de 19h 15min 11,6s et sa déclinaison est de +10° 56' 44''. Ses coordonnées astronomiques sont à l'origine de son nom. Sa distance à la Terre a été évaluée à environ 12 kpc.
Grs 1915+105 fut ensuite observée en 1994 avec le radio-télescope Very Large Array pendant une durée de quelques semaines qui permit d'établir avec certitude que Grs 1915+105 était le premier objet galactique exhibant le phénomène de jets dits « superluminiques ».
Ces différentes observations ont permis de déterminer la nature et les caractéristiques de cet objet qui est devenu le représentant emblématique de la famille des micro-quasars. Ce sujet reprend le fil de cette enquête autour de Grs 1915+105 et propose une explication du phénomène de jet superluminique.
Pour les applications numériques on prendra :
Masse du Soleil : M_⊙ ≃ 2, 0 × 10^(30) kg
Rayon du Soleil : R_⊙ ≃ 7, 0 × 10^5 km
Luminosité du Soleil : L_⊙ ≃ 4, 0 × 10^(26) W
Constante de la gravitation : G ≃ 7, 0 × 10^(− 11)SI
Vitesse de la lumière c ≃ 3, 0 × 10^5 km ⋅ s^(− 1)
1/(√2) ≈ 0, 70 1, 4^3 ≃ (11)/4 3π ≃ 10
L'unité astronomique (ua) est la distance moyenne entre la Terre et le Soleil : 1 ua ≃ 2, 0 × 10^(11) m. Le parsec (pc) est la distance à laquelle il faut se mettre du couple Terre-Soleil pour les voir séparés d'une seconde d'arc (1'') : 1 pc ≃ 3, 0 × 10^(16) m
L'objectif de cette enquête est de déterminer les caractéristiques physiques de l'objet Grs 1915+105. Une attention particulière sera donc portée aux résultats numériques qui seront, sauf indication particulière, donnés avec deux chiffres significatifs. Les vecteurs seront repérés par une flèche (v⃗) sauf dans le cas unitaire où ils seront surmontés d'un chapeau (‖eˆ_x‖ = 1). Cinq documents complémentaires sont fournis à la fin du sujet et seront discutés au fil des questions. L'indice ⊙ fait référence au Soleil.
I La nature de Grs 1915+105
□- 1. A l'aide du document 1, indiquer dans quelle constellation se trouve Grs 1915+105. Avec un seul chiffre significatif, quelle est sa distance à la Terre en années-lumière ?
I.A Une étoile normale?
Hypothèse 1
La source Grs 1915+105 est une étoile « ordinaire », c'est-à-dire une étoile comme le Soleil, qui puise son énergie dans la fusion nucléaire.
On considère une onde plane monochromatique, de fréquence ν, se propageant dans le vide selon eˆ_x. Son champ électrique est noté E⃗ = E_0 cos(ωt − kx)eˆ_y. On appelle éclairement E la puissance moyenne transportée par l'onde par unité de surface perpendiculaire à sa direction de propagation.
□ - 2. Exprimer E en fonction de ε_0, c et E_0.
On considère à présent cette onde comme un faisceau de photons se propageant selon eˆ_r. Ce faisceau de photons arrive perpendiculairement sur une paroi plane d'aire S.
□- 3. Rappeler l'expression de l'énergie transportée par un photon puis exprimer le nombre de photons qui arrivent sur la paroi entre t et t + dt, en fonction de E, ν, S, dt et de la constante de Planck h.
On suppose que la paroi absorbe totalement le rayonnement. Quelle est l'expression de la quantité de mouvement d'un photon d'après la relation de de Broglie?
Exprimer la quantité de mouvement reçue par la paroi au cours d'un choc photon-paroi puis en déduire la force subie par la paroi de la part de l'ensemble des photons incidents.
On modélise une étoile par une sphère de rayon R, dont le noyau de masse M, supposé ponctuel, émet des photons qui se propagent vers la surface. On note L la luminosité ou puissance totale rayonnée par l'étoile.
On considère un élément de matière de masse m≪M, situé à la surface de l'étoile, d'épaisseur négligeable et présentant une surface S perpendiculaire à la direction radiale (cf. figure 1).
□- 4. Exprimer la force de radiation exercée par les photons sur l'élément de matière en fonction de S, L, R et c.
La limite d'Eddington, notée L_(Edd), est une valeur de luminosité qu'une étoile ne peut pas dépasser. Au delà, la force de radiation prend le pas sur celle de gravitation et des constituants de l'étoile peuvent être éjectés.
Figure 1 - Modélisation
□- 5. Exprimer, notamment en fonction du rapport m/S, la luminosité maximale L_(Edd) permettant un équilibre entre force radiative et force gravitationnelle.
□- 6. Le rapport m/S est une constante indépendante des paramètres de l'étoile. En prenant m/S = 25 kg ⋅ m^(− 2), exprimer la limite d'Eddington sous la forme L_(Edd) = K_1 M/(M_⊙)L_⊙ où K_1 est un facteur que l'on déterminera et dont on précisera la valeur numérique. La luminosité de Grs 1915+105 étant L = 2 × 10^6 L_⊙, en déduire la valeur de la masse minimale de Grs 1915+105, exprimée en masses solaires.
Des étoiles avec de telles masses existent, ce sont des géantes bleues. Elles sont en moyenne 15 fois plus grosses que le Soleil.
□- 7. En utilisant le document 2, déterminer la plus petite échelle de variabilité temporelle de Grs 1915+105. En déduire le rayon maximum de cet objet, en supposant qu'il respecte la limite de causalité. Comparer avec le rayon moyen d'une géante bleue et conclure.
I.B Un objet compact?
Hypothèse 2
La source Grs 1915+105 est un objet très compact (trou noir ou étoile à neutrons) en orbite avec une étoile ordinaire dont il arrache de la masse par accrétion.
□ - 8. Exprimer la variation d'énergie potentielle causée par l'accrétion d'un élément de masse m, initialement situé à très grande distance de l'objet compact, vers la surface de cet objet compact de rayon R. Donner ΔE_p sous la forme ΔE_p = K_2 mc^2, K_2 étant une constante à déterminer en fonction notamment des caractéristiques de l'objet compact.
Déterminer la valeur numérique de cette constante dans le cas du Soleil et dans celui d'un objet compact de masse 2M_⊙ et de rayon 20 km. Commenter, sachant que le processus de fusion nucléaire, responsable de la production d'énergie dans les étoiles « normales », représente environ 0, 07mc^2 (voir document 3).
Figure 2 - Accrétion de masse
Pour un trou noir, le rayon de Schwarzschild, noté R_s, correspond à la distance en deçà de laquelle aucun objet (y compris un photon) ne peut échapper à l'attraction gravitationnelle de l'astre.
□- 9. Exprimer l'énergie mécanique d'un objet ponctuel de masse m, de vitesse v, subissant une force d'attraction gravitationnelle de la part d'un astre de masse M supposé ponctuel et situé à la distance r.
A quelle condition cet objet est-il dans un état de diffusion?
En déduire l'expression de la vitesse de libération de l'objet en fonction de sa distance à l'astre attracteur.
En considérant que l'on peut généraliser ce calcul classique aux photons, exprimer le rayon de Schwarzschild de l'astre attracteur en fonction de M, G et c.
□- 10. Un calcul relativiste rigoureux conduit à estimer le rayon de la dernière orbite stable d'une particule gravitant autour du trou noir à R_o = 3R_s. Quelle est alors la plus petite échelle de temps de variabilité attendue pour un trou noir de 100 masses solaires? Conclure.
II La nature de l'astre central
On admet dans cette partie que le système Grs 1915+105 est constitué d'un objet compact, noté S_0 de masse M, autour duquel gravite une étoile ordinaire que nous appellerons « compagnon » et qui sera notée S_1 de masse m. Ces deux objets seront supposés ponctuels. On cherche ici à estimer la masse de l'objet compact, ce qui permettra de trancher sur sa nature : trou noir ou étoile à neutrons. Le référentiel d'étude ℛ_O centré sur un point O est galiléen. On suppose que les seules interactions entre l'objet compact et son compagnon sont gravitationnelles.
□- 11. Ecrire les équations différentielles vérifiées par les vecteurs OS_0^(→−) et OS_1^(→−). En déduire que le référentiel ℛ_K centré sur le point K tel que (M + m)OK^(→−) = MOS_0^(→−) + mOS_1^(→−) est galiléen. Sous quelle hypothèse le référentiel ℛ, centré sur S_0, peut-il être supposé galiléen? On fera cette hypothèse. Montrer alors que le mouvement de S_1 dans ℛ s'effectue dans un plan 𝒫.
On considère une source ponctuelle S se déplaçant à la vitesse v⃗ = veˆ_x le long d'un axe 𝒜 = (A, eˆ_x). Un détecteur D supposé immobile est placé hors de l'axe 𝒜. La source S émet des ondes de période T se propageant à la vitesse c. On note d_1 la distance entre S et D à l'instant t_0 et d_2 cette distance à l'instant t_0 + T. On note θ l'angle entre le vecteur SD^(→−) à t_0 et la direction du vecteur v⃗.
□- 12. Faire un schéma de la situation. Exprimer la période T^′ perçue par le détecteur en fonction de T, d_1, d_2 et c. En supposant que vT≪d_1 et v≪c, en déduire l'expression de la fréquence f^′ perçue par le détecteur en fonction de la fréquence d'émission f, de v, θ et c. Comment se nomme ce phénomène?
Dans le spectre de l'étoile compagnon, les fréquences des raies varient à cause du mouvement du compagnon autour de l'astre central. On peut alors en déduire une mesure de la vitesse du compagnon, projetée sur l'axe de visée. Pour simplifier, on suppose que la trajectoire du compagnon est circulaire, parcourue avec une vitesse uniforme v.
On considère un premier cas représenté par la figure 3 ci-contre dans lequel l'observateur fixe se trouve « à l'infini » dans le plan orbital 𝒫 du compagnon autour de l'objet compact. On note v⃗_p la vitesse du compagnon projetée sur la ligne de visée et v_p son intensité.
□- 13. Reproduire et compléter le schéma en indiquant par des flèches la vitesse v⃗ et sa projection v⃗_p pour une position quelconque du compagnon.
Quelles sont les extrema de v_p ?
Indiquer les positions du compagnon correspondant aux extrema de v_p.
A quel moment peut-on mesurer v ?
Figure 3 - Schématisation
En fait la ligne de visée n'est pas forcément contenue dans 𝒫. On définit alors le plan du ciel, noté 𝒞, orthogonal à l'axe de visée qui est matérialisé par la droite passant par l'observateur et l'objet compact. On note i l'angle d'inclinaison supposé constant entre 𝒞 et 𝒫. Ces divers objets géométriques sont représentés sur la figure 4.
Figure 4 - Plan du ciel et plan orbital
Déterminer les deux valeurs de l'angle i correspondant à la plus petite et la plus grande valeur de la vitesse projetée v_p mesurée.
Pour un angle i quelconque, on définit les positions extrêmes du compagnon, où v_p est maximale. Quelle est alors la relation entre v_(p, max), v et i ?
Interpréter la courbe tracée dans le document 4 et proposer une valeur pour v_(p, max) accompagnée d'une incertitude.
□- 15. On cherche à présent à relier la vitesse du compagnon aux caractéristiques de son orbite. Retrouver la troisième loi de Kepler en appliquant le principe fondamental de la dynamique au compagnon, dont l'orbite circulaire de rayon r a une période P autour de l'objet compact de masse M.
En se basant sur le document 4, on peut définir une fonction g dite « fonction de masse » ne dépendant que de M et i et telle que g(M, i) = (Pv_(p, max)^3)/(2πG).
□- 16. Exprimer g(M, i) en fonction de M et i.
Calculer numériquement la valeur de g (en masses solaires) et en déduire une masse minimale pour l'objet compact central de Grs 1915+105.
En déduire la nature de l'objet compact accrétant de Grs 1915+105.
III Ejection par l'astre central
Lors d'une campagne d'observation réalisée au printemps 1994, les astronomes Félix Mirabel et Luis Rodríguez ont pu constater que l'objet central de Grs 1915+105 a éjecté de la matière dans deux directions opposées. Ces éjectas ont été détectés grâce à la « lumière » qu'ils ont émise dans le domaine des ondes radio. Le document 5 montre des « clichés » de ces éjectas à quelques jours d'intervalle et permet de repérer leur position par rapport à la source centrale.
□- 17. Donner un ordre de grandeur des fréquences correspondant aux ondes radio.
□- 18. Sur la figure du document 5, pourquoi peut-on affirmer sans calcul que la vitesse angulaire apparente des deux éjectas est uniforme? On fera cette hypothèse dans toute la suite. A partir des deux données extrêmes, exprimer (sous forme d'une fraction que l'on ne simplifiera pas) sa valeur en seconde d'arc par jour pour chaque ejecta.
Par des mesures indépendantes, on a pu déterminer que Grs 1915+105 est situé à 12 kpc de la Terre. En utilisant la définition du parsec, déduire la vitesse des deux éjectas en km ⋅ s^(− 1). Commenter.
Pour interpréter ce résultat, on fait les hypothèses suivantes (éjectas polaires symétriques) :
-On suppose que l'axe d'éjection est perpendiculaire au plan orbital ;
-On suppose que les deux éjectas sont émis par la source centrale au même instant t = 0 et se déplacent avec des vitesses opposées de norme v_e constante.
Figure 5 - Géométrie d'une éjection polaire symétrique
□- 19. Exprimer la distance R(t) entre la source centrale et chaque éjecta à la date t, en déduire le déplacement apparent sur le plan du ciel de chaque éjecta.
Si chaque éjecta émet de la lumière à l'instant t, à quelles dates t_1 et t_2 les photons correspondants seront-ils reçus par un observateur situé sur la Terre à la distance D ?
En déduire l'expression des normes des vitesses apparentes v_1 et v_2 des deux éjectas (voir figure 5).
□- 20. On étudie en particulier la fonction v_1(i). Quelle relation doit vérifier l'angle i pour que v_1(i) soit maximale? Que vaut alors la vitesse maximale v_(1, max) de v_1(i) ? On introduira le facteur de Lorentz γ = [1 − ((v_e)/c)^2]^(− 1/2).
A quelle condition sur v_e le mouvement apparent des éjectas est-il plus rapide que celui de la lumière?
□- 21. Exprimer tani en fonction de c, v_1 et v_2 puis v_e en fonction de c, v_1, v_2 et cosi.
A l'aide des valeurs trouvées à la question 18, déterminer les valeurs numériques de i et v_e. Commenter la valeur de v_e.
□- 22. A partir de tous les résultats obtenus estimer la valeur numérique de la masse de l'objet compact situé au cœur de Grs 1915+105.
Document 1 Carte du ciel dans l'hémisphère nord.
Document 2 Courbes de lumière de Grs 1915+105 dans le domaine des rayons X lors de diverses campagnes d'observations (tirées de MNRAS 330, 487, 2002 et 324, 267, 2001)
On note clairement le caractère variable et périodique de la source à différentes échelles de temps. Chaque période est constituée d'un pic caractéristique d'une durée de l'ordre de P0. Chaque pic montre des évènements d'une durée maximale de l'ordre de P1 ou P2, eux-mêmes décomposés en sursauts d'une durée de l'ordre de P3. Ces pics sont périodiques et une analyse en fréquence sur de longues périodes a permis de montrer que la fréquence associée aux sursauts est de l'ordre de f_3 ≃ 10 Hz. La variabilité temporelle Δt d'une source lumineuse astronomique correspond à la plus petite durée sur laquelle elle varie de façon périodique. Elle donne une limite sur sa taille caractéristique R. La vitesse de propagation d'un processus physique étant limitée par la vitesse de la lumière, on a toujours R < cΔt : on parle de limite de causalité.
Document 3 : Evolution stellaire et caractéristiques des objets compacts.
En astrophysique, un objet compact est généralement le cadavre d'une étoile. Pendant leur phase active les étoiles sont dites « normales », elles équilibrent leur pression gravitationnelle en réalisant la fusion thermonucléaire d'éléments de plus en plus lourds. Les étoiles les plus légères ne peuvent aller plus loin que la fusion de l'hélium en carbone. Leur cadavre est alors une naine blanche dont la masse ne peut excéder 1, 5M_⊙. Certaines étoiles plus massives peuvent aller jusqu'à la synthèse du fer et terminent généralement en étoile à neutrons dont la masse ne peut excéder 3M_⊙. En fin de cycle, les étoiles très massives ne peuvent plus contrebalancer la gravitation et s'effondrent en un trou noir.
Naine blanche
Etoile à neutrons
Trou noir
R ∼ 7000 kmρ ∼ 1 tonne ⋅ cm^(− 3)M < 1, 5M_⊙
R ∼ 10 kmρ ∼ 10^9 tonne ⋅ cm^(− 3)M < 3M_⊙
R ∼ 3 km pour M ∼ M_⊙ Pas de limite en masse
Document 4
Phasogramme du compagnon de Grs 1915+105. La vitesse projetée est tracée en fonction de la phase orbitale, qui varie de 0 à 1 lors d'une période de révolution. La période mesurée vaut 33,5 jours soit 2, 8 × 10^6 secondes.
Document 5
Position au cours du temps de deux jets de matière émis par l'astre central de Grs 1915+105. La distance verticale entre les images est proportionnelle à la durée séparant les observations. La source centrale est repérée par une croix et est considérée comme fixe. Les deux éjectas sont initialement confondus avec la source centrale, dont ils s'éloignent peu à peu. Le tableau sur la droite donne les distances angulaires entre chaque éjecta et la source centrale.
Date
Dist. éjecta 1
Dist. éjecta 2
18 mars
0"
0"
27 mars
0,15"
0,08"
3 avril
0,28"
0,15"
9 avril
0,36"
0,19"
16 avril
0,50"
0,26"
FIN DE L'ÉPREUVE
Questions fréquentes
4 questions
Sur quoi porte le sujet Mines Physique 2 PC 2021 ?
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Sur quoi porte le sujet Mines Physique 2 PC 2021 ?
+
Il porte sur l'astrophysique : déterminer la nature de la source Grs 1915+105 (étoile normale ou objet compact), puis estimer la masse de cet objet à partir d'une mesure de vitesse radiale et des jets de matière observés.
Le sujet Mines Physique 2 PC 2021 est-il difficile ?
+
Le jury le juge de longueur raisonnable et essentiellement basé sur des notions de mécanique de première année, mais regrette que de nombreuses questions proches du cours restent mal traitées ou délaissées en fin d'épreuve.
Quelles erreurs reviennent le plus dans les copies sur ce sujet Mines Physique 2 PC 2021 ?
+
Des confusions entre année-lumière et unité astronomique, l'attribution d'une masse au photon, et un manque de recul critique sur les résultats numériques obtenus.
Faut-il maîtriser les lois de Kepler pour cette épreuve ?
+
Oui, une bonne maîtrise des forces newtoniennes et du mouvement à deux corps est présentée par le jury comme la clé de la réussite à cette épreuve.
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