Physique quantique : 415 questions de concours corrigées

Nommer l'effet quantique qui permet à l'électron de s'échapper, selon une certaine probabilité, même si E₀ < E_sat.

Rappeler l'expression de l'énergie E_q d'un photon dans l'harmonique de rang q.

Un photon est une particule associée à une onde électromagnétique dans le vide et dont la vitesse est donc égale à c. Que peut-on en déduire, pour sa masse, de la relation E = f(E₀, v, c) établie à…

Un photon est une particule associée à une onde électromagnétique dans le vide et dont la vitesse est donc égale à c. Que peut-on en déduire, pour sa masse, de la relation E = f(E₀, v, c) établie à…

Rappeler l'expression de l'énergie et l'expression de la norme de la quantité de mouvement d'un photon associé à cette onde lumineuse en fonction de λ et de constantes fondamentales.

Les rayons X utilisés dans l'ostéodensitométrie ont une énergie de 40 et 70 keV. Déterminer l'énergie en J des rayons de 40 keV, puis leur fréquence et leur longueur d'onde.

Rappeler l'expression de la quantité de mouvement d'un photon. Déterminer la variation de la quantité de mouvement d'un photon frappant la surface parfaitement réfléchissante en incidence normale.

Pour une particule quantique, comment la quantité de mouvement et le vecteur d'onde sont-ils reliés ? En déduire la plage Δ pₓ de quantité de mouvement occupée par les photons du faisceau après la…

Montrer que chaque état quantique possède un demi-grand axe aₙ s'écrivant aₙ = n² a₁, où l'on exprimera a₁ en fonction de constantes fondamentales.

Donner les valeurs numériques de E_I et a₁ (en eV et en Angstrom respectivement).

Exprimer la probabilité Pₙ(ν) qu'un mode électromagnétique de fréquence ν contienne n photons. On notera Z(β, ν) la fonction de normalisation de la probabilité Pₙ(ν) qui assure que Σₙ₌₀⁺∞ Pₙ(ν) = 1…

L'énergie nécessaire pour arracher un électron de conduction dans le lithium vaut W₀ = 2,4 eV. Montrer en quoi l'hypothèse corpusculaire d'Einstein permet d'expliquer qu'aucun photo-courant n'est…

En considérant que l'énergie du rayonnement incident est intégralement transmise aux électrons libres de la cathode, exprimer le potentiel d'arrêt U₀ en fonction de e, h, ν et du travail…

Exprimer le flux Φ en fonction de la puissance incidente P. Évaluer numériquement Φ pour une source laser de puissance P = 1 mW et de longueur d'onde λ = 400 nm. En déduire une valeur numérique de…

On suppose que le neutron se déplace suivant l'axe x. Modéliser une paroi comme une marche de potentiel uniforme ne se justifie que si la longueur d'onde de de Broglie du neutron est beaucoup plus…

Écrire l'équation de Schrödinger à une dimension pour la fonction d'onde ψ(x,t) du neutron dans le potentiel V(x).

On considère un état stationnaire d'énergie E. Écrire l'équation différentielle satisfaite par la partie spatiale de la fonction d'onde ψ(x) pour x < 0 et x > 0, et rappeler les conditions de…

On suppose dans un premier temps le mouvement purement vertical. Écrire l'équation de Schrödinger à une dimension pour un état stationnaire d'énergie E du neutron dans le champ de pesanteur…

La particule étudiée étant confinée à l'intervalle x [0, a], exprimer la fonction d'onde spatiale ψ₁(x) et l'énergie e₁ de l'état fondamental en fonction de h, m et a. Justifier que cette relation…

Rappeler l'expression (relation de Planck-Einstein) du quantum d'énergie ε porté par un photon de fréquence associée ν.

Rappeler l'interprétation physique de la fonction d'onde ψ(r) et en déduire que la valeur de la constante A (à une phase près) vaut A = √(3/(4π r₀³)).

En vous appuyant sur les inégalités spatiales d'Heisenberg, justifier que si l'électron est dans son état fondamental (c'est-à-dire de plus basse énergie) on doit avoir la relation 3/5 p₀ r₀ ∼ ħ où…

Définir puis calculer la longueur d'onde de de Broglie λ_B des molécules de phtalocyanine.

a) On considère un faisceau parallèle de photons associés à une onde électromagnétique, de longueur d'onde λ, se propageant dans l'air assimilé au vide dans la direction Oz de vecteur unitaire e_z…

Citer une expérience qui met en évidence l'aspect corpusculaire de la lumière.

Un électron est expulsé d'un métal sous l'effet d'une radiation s'il absorbe une énergie au moins égale à Wₑ, énergie appelée travail "d'extraction". Le tableau ci-dessous indique les valeurs du…

a) Après avoir rappelé la formule de De Broglie, établir la longueur d'onde associée à un faisceau d'électrons accélérés par une différence de potentiel égale à U = 100 V. b) Pourquoi un microscope…

La température à atteindre est en fait de l'ordre de 150 millions de degrés. Quel phénomène quantique est à l'origine de l'écart avec la température obtenue à la question précédente ?

Citer la relation numérique entre le joule et l'électronvolt.

Citer la relation entre l'énergie d'un photon E_γ et sa longueur d'onde λ. Calculer, en joule et en eV, l'énergie d'un photon de longueur d'onde λ = 600 nm.

Que vaut l'énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène, c'est-à-dire l'énergie minimale à fournir pour que l'électron échappe à l'attraction coulombienne du proton ?

Exprimer la quantité de mouvement p_γ d'un photon en fonction de son énergie E_γ.

En déduire la force exercée par les photons sur l'aire S pendant une durée dt et retrouver l'expression de la pression de radiation.

Usuellement, on néglige la variation de quantité de mouvement et la variation d'énergie cinétique lors de la transition (aussi appelée "énergie de recul"). Quelle est alors l'énergie du photon…

On prend en compte l'« effet de recul ». Donner les relations de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement lors du processus d'absorption du photon, en notant v_r la variation de…

Initialement on a a(t = 0) = (1, 0), autrement dit l'atome est dans l'état stationnaire d'énergie E₁. Justifier que l'atome demeure dans cet état d'énergie E₁ à tous les instants ultérieurs.

La fusion nucléaire est un processus dans lequel deux noyaux légers se rapprochent suffisamment pour fusionner l'un avec l'autre. La répulsion électrostatique rendrait ce rapprochement impossible en…

Qu'appelle-t-on état stationnaire d'un système isolé ? Dans votre réponse à cette question, vous veillerez à aborder les points suivants : (i) Si l'atome est dans l'état stationnaire φₐ, comment…

Quelles sont l'interprétation physique et la dimension de la fonction d'onde Ψ(r, t) ?

On cherche des solutions de l'équation de Schrödinger de la forme Ψ(r, t) = Φ(x, y, z) W(t). Quelle est la forme de W(t) ? Comment s'appelle ce type de solution ?

Citer deux applications dans lesquelles intervient l'effet tunnel.

À quelle grandeur la profondeur de pénétration δ doit-elle être comparée pour quantifier l'effet tunnel ? Écrire l'inéquation traduisant un effet tunnel peu important.

Quelle est la longueur d'onde de De Broglie, λ_DB, d'un électron de vitesse v ? h ≈ 6,63 × 10⁻³⁴ J désigne la constante de Planck, parmi les expressions ci-dessous. A) λ_DB = h/(√(2 e mₑ Vₐ)) B)…

Pour cette question et la suivante, on suppose que λ(t) = cste. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par les cₙ(t), puis la résoudre. En déduire l'expression de la fonction d'onde ψ(x, t) à…

Que peut-on dire dans le cas cₙ(0) = δ_np ? Que peut-on dire de la densité de probabilité de présence de la particule ? On suppose maintenant que les paramètres λ(t) évoluent lentement dans le temps.

Afin de fixer les idées, on prend m = 3 par la suite, donc λ est un vecteur de R³. On suppose que l'ensemble des paramètres décrit une boucle γ fermée entre t = 0 et t = T : λ(T) = λ(0). Exprimer…

Pour quel type de potentiel V(x) une onde plane sinusoïdale ψ(x,t) = ψ₀ e⁻i⁽ω t ⁻ kx⁾ est-elle solution de cette équation ? Quelle est alors la relation de dispersion de cette onde ?

Rappeler la relation de Planck-Einstein liant la fréquence ν et l'énergie du photon.

Le laser utilisé comme source est un laser Nd:YAG dont le diagramme des niveaux énergétiques est décrit sur la figure 1. Déduire de ce diagramme l'énergie des photons émis par ce laser, puis la…

Les raies de LYMAN du spectre de la figure 2 sont dues au retour de l'électron dans son niveau fondamental. Vérifier numériquement la vraisemblance de cette affirmation.

D'après le schéma de la figure 4 comparer la longueur d'onde du signal de fluorescence résultant de la désexcitation radiative à celle du laser excitateur (λ = 532 nm).

Donner l'expression de l'énergie de chacun de ces photons en précisant la signification et les unités des termes utilisés.

Sous quel nom est connu le phénomène selon lequel un photon peut " arracher " un électron à un métal ? Citer le nom du physicien qui en proposa une interprétation en 1905.

On place un écran derrière la fente, parallèlement à son plan (voir Figure 5), à une distance d=5 m. Pour cette valeur, on admet qu'on se trouve, avec une excellente approximation, dans une…

Rappeler comment l'énergie d'une transition atomique est reliée à sa pulsation (lignes 91–94).

Lorsque l'état final est n_f = 1, montrer qu'il existe une λₘₐₓ telle que λ λₘₐₓ et donner une estimation de λₘₐₓ . Quel est le domaine spectral correspondant à ces raies d'émission ? Lorsque l'état…

L'état associé à cette fonction d'onde est-il stationnaire ? Dans quel sens le mouvement de la particule décrite par cette onde a-t-il lieu ? Exprimer les vitesses de phase v_φ et de groupe v_g en…

Exprimer p(E) et v_g(E) dans le cas d'une particule vérifiant l'équation de Schrödinger dans un domaine où V est constant. En déduire le caractère relativiste ou non du modèle associé à l'équation…

Quelle est la nature de l'onde dans le domaine x [0, a] ? Quelles relations permettent de calculer R et T ? On ne demande pas de les exprimer ici ! Quel phénomène physique peut-on mettre ainsi en…

Lorsque l'état final est n_f = 1, montrer qu'il existe une λₘₐₓ telle que λ λₘₐₓ et donner une estimation de λₘₐₓ . Quel est le domaine spectral correspondant à ces raies d'émission ? Lorsque l'état…

Quelle est la nature de l'onde dans le domaine x [0, a] ? Quelles relations permettent de calculer R et T ? On ne demande pas de les exprimer ici ! Quel phénomène physique peut-on mettre ainsi en…

Montrer que les fonctions φ et ζ vérifient deux équations différentielles indépendantes.\ En déduire que ψ peut finalement s'écrire sous la forme ψ(z,t) = φ(z) e⁻i E/ħ t, et justifier que E est une…

Montrer que s = s₀ f(φ), où s₀ est la valeur maximale du signal s et φ f(φ) une fonction que l'on précisera.

Montrer que la force exercée par les photons sur la voile s'identifie à une force de pression, associée à une pression de radiation p_r d'expression : p_r = (2 I_s cos ² β)/c .

Déterminer le nombre de photons frappant la surface S pendant la durée Δ t. À l'aide de la question Q8 et de la deuxième loi de Newton, retrouver la force totale exercée par l'ensemble des photons…

Dans le cas d'une lumière cohérente comme celle d'un laser, on admet que la dispersion Δ pₓ estimée à la question précédente correspond à la dispersion quantique de la fonction d'onde des photons du…

Déterminer l'expression complète de ψ(x) pour un neutron incident sur la marche de potentiel, arrivant de la direction x < 0. On distinguera les cas E > V₀ et E < V₀.

À partir de ħ, m et g, construire par analyse dimensionnelle une longueur, un temps et une vitesse.

Rappeler, sans démonstration, la forme des fonctions d'onde des états stationnaires pour un puits de potentiel infini de taille L. Comparer au cas ci-dessus.

La particule étudiée étant confinée à l'intervalle x [0, a], exprimer la fonction d'onde spatiale ψ₁(x) et l'énergie e₁ de l'état fondamental en fonction de h, m et a. Justifier que cette relation…

Montrer que l'énergie E₁₂ du rayonnement électromagnétique prisonnier de la cavité et de fréquences comprises entre ν₁ et ν₂, s'exprime comme suit, moyennant un changement de variable : E₁₂ = V (8π…

En déduire que la « taille » de la l'atome d'hydrogène a pour expression a₀ ∼ ħ²/(m e²).

Ce faisceau parallèle cylindrique de rayon R arrive face à un écran, perpendiculaire à l'axe du faisceau, percé d'un trou circulaire T₁ de centre O et de rayon r (inférieur à R) (figure 1). a)…

En déduire que le rayon de la trajectoire s'écrit R = n² a₀, où a₀ est le rayon de Bohr que l'on exprimera en fonction de e, mₑ, ε₀ et de h. Calculer numériquement a₀.

Montrer que l'énergie mécanique de l'électron s'écrit Eₘ = -E₀/n² et donner l'expression de E₀ en fonction de e, mₑ, ε₀ et de h. Calculer la valeur numérique de E₀ exprimée en joule et en eV.

Déterminer l'expression de Z.

Exprimer les vitesses vₙ associées à chaque orbite. Sur quelle orbite la vitesse maximale est-elle atteinte ? Exprimer sa valeur en fonction de c et de α. Est-il alors légitime de considérer que…

Calculer l'énergie mécanique Eₙ de l'électron en fonction de n. Retrouver la formule de Rydberg (Éq. (4)) et en déduire l'expression de R_∞ en fonction de mₑ, e, h, c et ε₀.

Nous étudions d'abord le cas simple, à une dimension, de l'état stationnaire d'énergie E d'une particule quantique de masse m, qui rencontre une marche de potentiel. L'énergie potentielle vaut 0…

Étudier la variation de φ(E). Montrer que Γ(E) possède un maximum pour une valeur de E qu'on notera E₀ et qu'on exprimera en fonction de E_G et k_B T.

Pour donner consistance à la notion d'état stationnaire, supposons que l'électron actif est confiné au voisinage du noyau (situé en x = 0) par le puits de potentiel infini défini par : V(x) = 0 & si…

On suppose encore Φ(x, y, z) = F₁(x) F₂(y) F₃(z). Déterminer les fonctions F_i (i = 1, 2, 3) en fonction de a_i et de trois nombres entiers n_i N*, à une constante multiplicative arbitraire près.

Montrer que l'énergie E_f de l'état fondamental de la particule s'écrit : E_f = U₀ + h²/8m [ 1/a₁² + 1/a₂² + 1/a₃² ]

Établir l'équation différentielle vérifiée par la fonction φ(x), puis exprimer la solution φ_II(x) de cette équation dans la région II, en introduisant deux constantes A_II et B_II, qu'on ne…

En cherchant une solution de la forme c_ℓ(t) = eiF_ℓ⁽t⁾, résoudre l'équation différentielle précédente. On fera apparaître les deux termes suivants : Φ_dyn(t) = -1/ħ ∫₀t E_ℓ(λ(t')) dt' et Φ_geom(t)…

Calculer F₂ dans le cas d'une onde plane de fréquence ω₀/2π. Montrer que la force est proportionnelle au vecteur d'onde k du champ. A quoi correspond cette force ? Montrer que l'on peut retrouver…

Les propriétés surprenantes de l'hélium superfluide sont une manifestation directe d'effets quantiques. À partir des données fournies dans l'énoncé, donner la distance interatomique typique a de…

a) Donner les relations de dispersion pour la lumière et le son dans l'hélium liquide (c'est-à-dire la relation entre |k_i| et ω_i (i = 1, 2) d'une part, et |q_B| et Ω_B d'autre part). b) Écrire les…

Pour une solution stationnaire ψ(x, t) = φ(x)χ(t), établir l'équation vérifiée par la fonction d'amplitude φ(x) en faisant apparaitre l'énergie E de la particule.

Justifier que les valeurs prises par la grandeur k = √(2mE/ħ²) sont de la forme kₙ = n k₁, où n est un entier strictement positif. Exprimer complètement, à un facteur de phase près, les fonctions…

Établir l'expression de E₀ en fonction de e, mₑ, ε₀ et ħ.

Rappeler l'expression de l'énergie transportée par un photon puis exprimer le nombre de photons qui arrivent sur la paroi entre t et t+dt, en fonction de E, ν, S, dt et de la constante de Planck h…

a) Rappeler l'écriture de la fonction d'onde d'un état stationnaire d'énergie E. On notera φ(x) la partie spatiale de la fonction d'onde. b) En déduire l'équation différentielle vérifiée par φ(x)…

Montrer que les rayons rₙ des orbites envisageables pour l'électron vérifient rₙ = n² a₀ et exprimer a₀ (rayon de Bohr) en fonction des données. La valeur numérique de a₀ est indiquée en fin d'énoncé.

Montrer que les énergies mécaniques Eₙ correspondantes s'expriment sous la forme Eₙ = -E_I/n², où E_I sera exprimé en fonction des données. Calculer E_I en eV.

Calculer numériquement la période T de l'onde émise par le laser, et le rang minimum des harmoniques de période inférieure à Tₑ.

Lorsque l'électron revient au point de départ, il peut se recombiner avec le noyau. Ce modèle est connu sous le nom de « modèle en trois étapes » : l'électron est arraché de l'atome, puis fait une…

Quel est, à votre avis, la nature du « triangle relativiste » évoqué par la relation (1) ? Représenter celui-ci. Quelle est l'unité usuelle, dans le système international, de l'impulsion p ? du…

On appelle énergie de repos d'une particule la valeur E₀ de l'énergie de celle-ci lorsque son impulsion est nulle. Exprimer E₀ pour un proton et calculer sa valeur numérique.

Dans le cas de l'atome d'hydrogène, Δ E est de l'ordre de quelques électrons-volts. En déduire qu'on peut négliger l'énergie de recul de l'atome et conclure quant à la relation entre Δ E = E_i - E_f…

Quel est, à votre avis, la nature du « triangle relativiste » évoqué par la relation (1) ? Représenter celui-ci. Quelle est l'unité usuelle, dans le système international, de l'impulsion p ? du…

On appelle énergie de repos d'une particule la valeur E₀ de l'énergie de celle-ci lorsque son impulsion est nulle. Exprimer E₀ pour un proton et calculer sa valeur numérique.

Dans le cas de l'atome d'hydrogène, Δ E est de l'ordre de quelques électrons–volts. En déduire qu'on peut négliger l'énergie de recul de l'atome et conclure quant à la relation entre Δ E = E_i - E_f…

Comparer le résultat obtenu à la question précédente avec le résultat de cette expérience. Commenter.

Expliquer pourquoi ρ_f = 1 lorsque β = -90° et β = 90°.

Le calcul précédent permet de comprendre qualitativement l'anisotropie du rayonnement lorsque les particules émises sont des photons, mais ne peut être exact. Expliquer pourquoi.

Les rayons X utilisés dans l'ostéodensitométrie ont une énergie de 40 et 70 keV. Déterminer l'énergie en J des rayons de 40 keV, puis leur fréquence et leur longueur d'onde.

La formule précédente fait-elle intervenir ħ ? Expliquer pourquoi.

Quelle inégalité ℓ et n doivent-ils vérifier ?

On considère le cas de deux atomes piégés dans deux pinces optiques voisines et éclairés par le même laser. On note P₁₂(t) la probabilité que les deux atomes soient dans l'état excité à l'instant t…

Expliquer qu'en l'absence de tension u appliquée, on observe tout de même un photo-courant non-nul. Comment évolue la situation lorsqu'on applique une tension u < 0 ? Justifier alors l'appellation «…

En supposant que les photons sont émis indépendamment les uns des autres, et en négligeant les émissions multiples dans un intervalle de temps élémentaire δτ = τ/N (avec N le nombre de subdivisions…

On définit Γ le taux de comptage en sortie du photomultiplicateur comme le nombre moyen de photons détectés par unité de temps, exprimé en Hz. Donner Γ en fonction de la puissance incidente P, du…

Déterminer la vitesse v_c au-dessous de laquelle un neutron est totalement réfléchi par la marche de potentiel, qu'on exprimera en fonction de m et V₀.

Exprimer en fonction de v_c, a et R la vitesse v* en deçà de laquelle le tube laisse passer tous les neutrons.

La figure ci-dessous représente, par ordre croissant d'énergie, les carrés des fonctions d'onde des quatre premiers états stationnaires, obtenus en résolvant l'équation de Schrödinger. L'extension…

Exprimer a en fonction de M, R et m_p seulement.

Calculer numériquement R_wd dans le cas d'une masse égale à celle du Soleil et conclure.

Exprimer a en fonction de M, R et m_p seulement.

Préciser l'unité dans le système international de la densité spectrale d'énergie u(ν) qui intervient dans l'équation II.1.

Calculer les valeurs des fréquences ν₁ et ν₂.

Effectuer l'application numérique en prenant pour rayon initial a₀ = 1,0 · 10⁻¹⁰ m. Commentaires ?

Par analogie avec la fonction d'onde spatiale ψ(r), on introduit la fonction d'onde en quantité de mouvement, χ(p) pour décrire la densité de probabilité dans l'espace des quantités de mouvement. On…

Effectuer l'application numérique. Commenter.

Comparer avec la valeur obtenue expérimentalement. Conclure.

Donner, en fonction de E₀, h, c, n et de p, l'expression des longueurs d'onde λ_n,p des photons susceptibles d'être absorbés.

Déterminer l'expression vectorielle de la variation _γ de la quantité de mouvement d'un photon lors d'un rebond sur la surface métallique en fonction de E_γ et de c. On fait l'hypothèse d'un rebond…

Déterminer les énergies maximale et minimale (en eV ) des photons dans le domaine du visible. Que se passe-t-il lorsque le matériau est éclairé par de la lumière visible?

À quelle gamme de longueurs d'onde correspond le phénomène de fluorescence ? Comparer au domaine spectral de la question précédente. Les énergies des photons émis sont-elles plus grandes ou plus…

Sur la figure 7, quelle courbe (trait continu ou trait pointillé) représente le spectre d'absorption de la molécule fluorescence ATTO565TM ? On justifiera la réponse donnée.

À partir de la figure 7, définir, parmi les filtres disponibles sur le microscope, le filtre d'excitation qui est le plus approprié pour exciter la molécule fluorescente ATTO565TM.

Déterminer la limite de U pour T → 0 et commenter le résultat obtenu.

Comparer les deux valeurs de 1/α données par les Éq. (2) et Éq. (3) en calculant leur écart normalisé (que l'on comparera à 2). La théorie du Modèle Standard semble-t-elle valide au regard de ces…

Pourquoi un tel modèle est-il qualifié de semi-classique ?

Montrer α = √(2R_∞/c × m/mₑ × h/m) avec m la masse d'un atome de Rubidium.

Résoudre ces équations, et mettre les solutions sous la forme : a(t) = A(t)a(0) avec a(t) = (a₁(t), a₂(t)) et A(t) une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux (que l'on explicitera)…

Quel est l'élément optique analogue à une "impulsion π" ?

La fréquence ω/2π = kc/2π est mesurée avec une incertitude de 1 kHz. Justifier que la mesure de δ_laser* permet de mesurer m, et que l'incertitude relative sur m est environ égale à l'incertitude…

On effectue une mesure en accélérant les atomes vers le haut (+ = Δ ve_z), puis une autre en les accélérant vers le bas ( = -Δ ve_z). Expliquer comment ces deux mesures permettent de compenser le…

Déduire l'expression p_z en fonction de φ(r).

Les protons sont initialement à grande distance l'un de l'autre. E est l'énergie cinétique de leur mouvement relatif, dont nous déterminerons l'expression plus loin. La fusion nucléaire a lieu…

Représenter la variation de Θ(E) en fonction de E.

Justifier le fait que ces électrons cosmiques sont nécessairement relativistes.

À partir de l'unité de h, expliquer pourquoi fixer définitivement la valeur de la constante de Planck permet de redéfinir le kilogramme.

Un laser émet une lumière quasi-monochromatique. Définir le terme quasi-monochromatique.

Justifier pourquoi deux atomes (ou ions) différents ne donnent pas le même spectre d'émission. On expliquera notamment la notion de niveaux d'énergie quantifiés grâce au diagramme représentant les…

D'après le document 4, préciser si le plasma issu de la roche témoin contient des ions Ca⁺. Justifier.

On pose dₙ(t) = cₙ(t) ei/ħ ∫₀^t Eₙ⁽λ⁽t'⁾⁾ dt'. Dans le cas où λ(t) = cste, montrer que dₙ(t) est indépendant du temps.

Dans le cas où ni α_pℓ, ni ω_pℓ ne dépendent du temps, exprimer d_p(t), toujours pour p ≠ ℓ.

Reprendre les équations couplées de la question 46. Donner les conditions initiales α(0) et β(0) correspondant à un atome initialement désexcité et un mode contenant N photons dans ce modèle.

Interpréter les résultats de la question précédente en relation avec l'expression de l'énergie en mécanique classique et les relations de de Broglie et de Planck-Einstein.

Avec ce choix d'origine de l'énergie potentielle, l'énergie E de la particule peut-elle être négative ?

Représenter graphiquement la relation E = f(k) en faisant figurer avec une échelle adaptée les trois états stationnaires de plus faible énergie.

Que représentent, dans ce modèle, les cuvettes de potentiel et la période 2a ?

On sait que pour le silicium, la largeur de bande interdite est de l'ordre de 1 eV. Commenter.

Comment la dangerosité du rayonnement évolue-t-elle en fonction de la longueur d'onde ? Commenter le résultat de la question 11 en mettant en relation la longueur d'onde trouvée, la dangerosité des…

En traduisant la conservation de l'énergie lors de l'absorption du phonon par le photon du laser, montrer que la fréquence f_L' du laser après réflexion est égale à f_L + f_S.

Lorsque la lumière du laser pénètre dans les tissus biologiques, elle peut être absorbée par ceux-ci en fonction de leur coefficient d'absorption à la longueur d'onde utilisée. Sous quelle forme…

Ainsi décrite, l'onde se propageant le long du réseau cristallin peut être assimilée à une quasi-particule, appelée phonon, matérialisant la propagation d'un mode de vibration au sein du cristal…

Établir la relation liant ω, ω' et Ω.

En utilisant les résultats obtenus dans la partie III.A, donner l'expression de ω₁ et ω₂ en fonction de ω et Ω.

La raie la plus marquée du spectre est la raie LYMAN β notée Ly β sur le spectre de la figure 2. On constate que la raie LYMAN δ est plus proche de la raie LYMAN γ que cette dernière est proche de…

Ce phénomène ne peut avoir lieu que si le photon possède une énergie minimale, liée au matériau du support. Pour le silicium, cette énergie minimale est de 1,12 eV. Montrer que cette valeur est…

Quelle(s) unité(s), dans le Système International, peut-on attribuer à h ? A) Joule par seconde (J.s⁻¹) B) Joule seconde (J.s) C) Joule (J) D) Kilogramme mètre carré par seconde (kg.m².s⁻¹)

Donner la valeur de la longueur d'onde de De Broglie λ_DB d'un neutron? A) λ_DB≈ 2 nm B) λ_DB≈ 200 nm C) λ_DB≈ 2 D) λ_DB≈ 20 nm

Sur une durée infinitésimale dt, déterminer l'énergie dE de la lumière diffusée par la bille. En déduire le nombre de photons dN qui ont été diffusés par la bille pendant cette durée.

Expliquer l'intérêt d'utiliser l'effet Hall quantique pour définir un étalon de résistance.

Pourquoi parle-t-on dans ce cas de microscopie à deux photons ?

Bohr a posé la condition de quantification du moment cinétique de l'électron qui s'écrit L = nħ où ħ = h/2π est la constante réduite de Planck et n est un entier strictement positif, appelé nombre…

Expliquer pourquoi E_I représente l'énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène.

Calculer la valeur numérique du rayon de la trajectoire de l'electron d'un atome d'hydrogène dans un état de Rydberg n = 100.

Quelle interprétation corpusculaire qualitative peut-on donner à cette force ?

Quelle est, en eV, la différence d'énergie entre ces deux niveaux hyperfins dont il est question dans la définition précédente ? Justifier alors le qualificatif d'hyperfin en comparant par exemple…

L'onde de puissance moyenne P_y est détectée pendant une durée T. Sachant qu'elle peut être assimilée à un flux de photons d'énergie hc/λ, où h est ici la constante de Planck, exprimer le nombre…

Sachant que le nombre de photons réellement détectés peut fluctuer de Δ N = √( N ) autour de sa valeur moyenne, exprimer la fluctuation Δ P_y de puissance correspondante.

Dans le cadre du modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène, déterminer l'expression de la période de révolution de l'électron dans son niveau fondamental, qu'on notera Tₑ, en fonction de q², de la…

D'après la figure 3, le faisceau d'harmoniques ne comprend que les harmoniques impaires, et deux pics successifs q et q + 2 ont des amplitudes approximativement égales. En un point donné…

Exprimer la probabilité correspondante, et tracer sa variation en fonction de τ. Pourquoi parle-t-on d'interférence de transitions à deux photons ? Exprimer l'intervalle entre deux maximums de…

On s'intéresse d'abord aux particules vérifiant la relation (1) dans le cas de la limite classique, lorsque E_c ≪ E₀. En vous limitant au premier ordre non nul, donner dans ce cas une expression de…

En déduire l'expression générale de l'énergie totale E = f(E₀, v, c) d'une particule de masse m.

Quel est le rôle du circuit à circulation d'eau qui entoure le tube central ? Sur le spectre proposé en figure 4, quelle est l'unité de la graduation donnée en abscisse ? Quelle est, à votre avis…

Quelle propriété du spectre d'émission de la molécule hydroxyle HO est ici mise à profit ?

Répondre aux mêmes questions dans le cas d'une particule vérifiant l'équation de Klein–Gordon (5).

On s'intéresse d'abord aux particules vérifiant la relation (1) dans le cas de la limite classique, lorsque E_c ≪ E₀. En vous limitant au premier ordre non nul, donner dans ce cas une expression de…

En déduire l'expression générale de l'énergie totale E = f(E₀, v, c) d'une particule de masse m.

L'état associé à cette fonction d'onde est-il stationnaire ? Dans quel sens le mouvement de la particule décrite par cette onde a-t-il lieu ? Exprimer les vitesses de phase v_φ et de groupe v_g en…

Exprimer p(E) et v_g(E) dans le cas d'une particule vérifiant l'équation de SCHRÖDINGER dans un domaine où V est constant. En déduire le caractère relativiste ou non du modèle associé à l'équation…

Répondre aux mêmes questions dans le cas d'une particule vérifiant l'équation de KLEIN–GORDON (5).

Quelle est la nature de l'onde dans le domaine x [0, a] ? On notera qu'en introduisant ε = E - V₀, on a q² = ((ε - mc²)(ε + mc²))/c² > 0.

Déterminer les expressions de p_γ et p₀ en fonction notamment de λ₀ et T₀, ainsi que leurs valeurs numériques. Commenter.

Déterminer l'expression de la longueur d'onde de de Broglie λ_dB associée à une particule de quantité de mouvement p.\ Exprimer, en fonction de dλ_dB/dz, la condition légitimant l'approximation…

Évaluer le rapport m² g d_1,a / p₀².\ Conclure quant à la légitimité de l'approximation A₀.

Exprimer le nombre δ N de photons qui se réfléchissent sur la voile pendant une durée δ t en fonction de I_s, λ, c, h, β, S et δ t.

Expliquer pourquoi la constante de Planck h est susceptible d'intervenir dans l'expression de A, en plus de m, e et de la constante de Boltzmann k_B.

Établir, à l'aide d'une analyse dimensionnelle, une expression de A en fonction de m, e, k_B et h, à un facteur numérique sans dimension près (dont on admettra la valeur de 4π ici). Faire…

Calculer l'intensité électrique I_th-F émise par la cathode côté filament et l'intensité électrique I_th-A émise par la cathode côté anode. Comparer I_th-A à l'intensité optimale de fonctionnement…

L'absorption d'un photon par un atome de Krypton permet d'augmenter l'énergie d'un électron externe. Au-delà d'une certaine énergie, l'électron n'est plus lié au noyau. Estimer à l'aide de la figure…

Retrouver alors le lien entre la pression de radiation et la densité d'énergie des photons présents dans le vide (photons incidents et photons réfléchis) décrit par Maxwell.

Rappeler les principales consignes de prévention nécessaires à l'utilisation d'un laser en activité expérimentale de physique. Exprimer la pression de radiation en fonction de la puissance du laser…

En s'aidant de la question Q12 et de la figure 2, déterminer un ordre de grandeur de la force exercée par le faisceau laser sur un cheveu de diamètre 70 dans le cas de l'expérience étudiée. Conclure.

On note Eₙ l'énergie du n-ième état permis par la mécanique quantique, que l'on classe par ordre croissant de n. Montrer que dans la limite des n grands, la conservation de l'énergie s'écrit dE/dn =…

Résoudre cette équation différentielle et en déduire que les énergies se mettent sous la forme Eₙ = -E_I/(2(n + n*)²), où n* est une constante d'intégration appelée défaut quantique et où l'on…

La condition de quantification de l'énergie ne suffit pas à spécifier complètement les orbites permises. Pour cela on rajoute une condition de quantification du moment cinétique, qui ne peut prendre…

On approche à présent les deux atomes. Comparer qualitativement l'énergie nécessaire pour faire passer un atome depuis l'état fondamental au niveau excité, puis celle nécessaire à faire transiter le…

La figure 4 (c) représente les mesures U₀ = f(ν) obtenues par Millikan lui-même, en relevant le potentiel d'arrêt en fonction des longueurs d'onde associées aux différentes raies du mercure. À…

Justifier que le courant i augmente progressivement à mesure qu'on applique une tension u > 0 croissante et expliquer la limitation du courant à une valeur de saturation, notée I_sat.

On appelle rendement quantique η la probabilité qu'un photo-électron soit émis lorsqu'un photon frappe la cathode. Exprimer I_sat en fonction de η et justifier l'observation iii). Reproduire…

On suppose que lorsqu'un électron frappe une dynode, deux nouveaux électrons sont éjectés. Estimer numériquement la hauteur uₘₐₓ d'un pic de tension occasionné par l'arrivée d'un photon, pour un…

En exploitant la courbe de réponse spectrale Γ/P = f(λ) représentée sur la figure 6, estimer numériquement η pour un rayonnement incident de longueur d'onde 400 nm, et pour le modèle de…

Calculer numériquement le compte moyen n et l'écart-type Δ n auxquels on s'attend pour une fenêtre de détection de durée τ = 0,1 s sachant que le rendement quantique du photomultiplicateur vaut 25%.

Proposer un protocole permettant de déterminer si le laser à argon présente bien une statistique d'émission poissonnienne.

On envoie un faisceau parallèle de neutrons monocinétiques de vitesse v₀ = 500 m⁻¹ sous incidence oblique sur une paroi de nickel. On admet que les composantes de la vitesse parallèles à la paroi…

Le phénomène de réflexion totale peut se décrire par une analogie optique, en assimilant le faisceau de neutrons de vitesse v₀ à un rayon lumineux, et la paroi à un milieu transparent d'indice n <…

Montrer que le neutron est réfléchi si v est inférieur à une vitesse limite qu'on exprimera en fonction de v_c, z et R.

Estimer les ordres de grandeur de ces trois quantités.

On modélise l'interaction avec le miroir par une barrière de potentiel infinie. Expliquer pourquoi cette approximation est justifiée, si la vitesse verticale du neutron est de l'ordre de grandeur de…

La figure ci-dessous représente le débit de neutrons reçus par le détecteur en fonction de la distance δ séparant le miroir et l'absorbeur. La courbe pleine correspond au résultat du calcul…

Pour que le mouvement vertical puisse être considéré comme stationnaire, il faut que le neutron ait le temps de rebondir plusieurs fois avant de ressortir. Cette condition est-elle vérifiée si le…

En déduire l'expression de la durée caractéristique τ₀ de variation de l'énergie mécanique. Expliquer pourquoi τ₀ est appelé « temps de vie de l'état excité » d'un atome et donner un ordre de…

Que deviennent ces expressions de la fonction d'onde et de l'énergie de l'état fondamental dans un modèle confiné à trois dimensions, x [0, a], y [0, a] et z [0, a] ?

En déduire que l'énergie cinétique totale due au confinement de l'étoile se met sous la forme E_c = γ M⁵/³ / R² dans laquelle on exprimera γ en fonction de h, m_p et mₑ.

Pour une étoile de ce type, déterminer le rayon R_eq qui assure un minimum de l'énergie totale.

Que deviennent ces expressions de la fonction d'onde et de l'énergie de l'état fondamental dans un modèle confiné à trois dimensions, x [0, a], y [0, a] et z [0, a] ?

En déduire que l'énergie cinétique totale due au confinement de l'étoile se met sous la forme E_c = γ M⁵/³/R² dans laquelle on exprimera γ en fonction de h, m_p et mₑ.

Pour une étoile de ce type, déterminer le rayon R_eq qui assure un minimum de l'énergie totale.

Calculer numériquement R_wd dans le cas d'une masse égale à celle du Soleil et conclure.

Établir que le nombre N₁₂ de photons contenus dans la cavité, et dont la fréquence associée est comprise entre ν₁ et ν₂, s'exprime comme suit : N₁₂ = V (8π k_B³ T³)/(h³ c³) J_[ξ_1, ξ_2], où J_[ξ_1…

Déduire des équations II.2 et II.3 une expression de l'énergie moyenne individuelle des photons contenus dans la cavité et dont les fréquences associées sont comprises entre ν₁ et ν₂. Préciser…

Calculer la valeur moyenne de la position r et du carré de la distance |r|² . Montrer alors que la « dispersion en position » définie par la relation Δ r = √( |r|² - | r |²) vaut Δ r = √(3/5) r₀.

Comme précédemment, calculer la constante B et la « dispersion en quantité de mouvement » Δ p.

Montrer que l'énergie potentielle moyenne E_p de l'électron décrit par la fonction d'onde ψ(r) s'écrit E_p = -3/2e²/r₀ où e² = qₑ²/4πε₀ avec qₑ est la charge élémentaire.

Montrer de même que l'énergie cinétique moyenne E_c de l'électron décrit par la fonction d'onde χ(p) s'écrit E_c = 3/10p₀²/m.

En éliminant p₀ grâce à la relation obtenue à la question Q 29 (on remplacera le signe ∼ par une égalité pour effectuer ce calcul), établir l'expression de Eₘ en fonction uniquement de r₀.

a) On utilise une source optique de puissance 1 mW : évaluer l'ordre de grandeur du nombre de photons qui sortent de la source par unité de temps en supposant le faisceau rigoureusement…

Dans l'expérience de 1991 (figure 6), la source est un dispositif d'émission thermique d'atomes d'hélium He suivie d'une fente diaphragme F. Le montage est celui d'une division du front d'onde de…

L'expérience de 1992 est aussi un dispositif interférentiel de fentes d'Young, mais on utilise le champ de pesanteur pour accélérer les atomes de Néon (figure 7). Les atomes de Néon, supposés…

On admet que les transitions associées à des longueurs d'onde dans le visible sont obtenues pour n = 2. Donner les valeurs de p et λ_2,p correspondant effectivement à une longueur d'onde dans le…

On note n_γ* la densité volumique de photons dans le faisceau (on se place dans le cadre d'un modèle simple où cette densité est uniforme). Exprimer n_γ* en fonction de E_γ, c et de I puis calculer…

Exprimer la variation de quantité de mouvement Δp_dt de l'ensemble des photons qui rebondissent sur la surface métallique d'aire S pendant une durée infinitésimale dt en fonction de I, S, dt et de c.

Commenter l'allure des spectres d'émission de l'atome d'hydrogène et de ATTO565TM et expliquer l'origine de la différence de forme de ces spectres.

En exploitant les deux graphiques de la figure 8, proposer un modèle mathématique pour l'évolution temporelle de l'intensité de fluorescence et évaluer numériquement la durée de vie τ de…

Préciser comment on doit choisir la durée de l'impulsion pour que cette méthode fonctionne.

Représenter la dépendance en longueur d'onde du coefficient de réflexion du miroir dichroïque à associer à ce filtre pour observer la fluorescence de l'ATTO565TM. On précisera sur ce graphique les…

Montrer que U = ħω/2 coth(X/2) 10 où coth(x) = (ch(x))/(sh(x)).

Déterminer le comportement asymptotique de U pour T → ∞. On notera que la constante de Planck n'apparaît pas dans l'expression obtenue : pouvait-on s'y attendre ?

La figure 3 représente graphiquement les énergies des états stationnaires en fonction de V₀. Au vu de cette figure, conjecturer l'expression de Eₙ⁽b⁾ en fonction de n pour tout n N.

Pour quelles valeurs de m peut-on montrer sans calculs que Eₘ appartient à l'ensemble Eₙ⁽b⁾ ; n N ? Vérifier la cohérence avec la réponse à la question précédente.

Montrer que les Eₙ⁽b⁾ sont les énergies des états stationnaires d'une particule dans un potentiel harmonique de pulsation 2ω, décalées d'une constante à déterminer.

Déterminer U_b.

Montrer sans calculs que pour tout m N, l'énergie (2m + 3/2)ħω fait partie de l'ensemble des énergies Eₙ⁽d⁾ ; n N.

Que vaut U_d ?

En admettant que le travail W_det reçu par la particule pendant l'opération de détection est nul, déterminer le travail W reçu par la particule au cours d'un cycle complet. Comparer au résultat…

On note u(α) l'incertitude-type sur α. Donner la formule reliant l'incertitude relative u(α)/α sur la mesure de α à celle des autres grandeurs R_∞, m/mₑ et m qui interviennent dans son expression…

À l'aide des deux relations précédentes, se ramener à une équation sur k = |k| et montrer que k ≃ (E_i - Eₐ)/(ħ c). En déduire la variation de vitesse v_r = |v_r| subie par l'atome lors de la…

Comme nous le verrons plus loin, on tire profit de l'effet de recul en interférométrie atomique pour séparer la fonction d'onde : plus cet effet est important, mieux on sépare la fonction d'onde et…

On fait l'approximation k ≃ |k₁| ≃ |k₂| et on note alors k₁ = k et k₂ = -k avec k = ke_z. Justifier que la variation de vitesse de l'atome est alors 2v_r, où l'on précisera à quelle transition est…

Donner les équations différentielles vérifiées par les coefficients a_i(t) (i = 1, 2).

Exprimer R(Ωτ) pour une "impulsion π/2", c'est-à-dire à une impulsion laser de durée τ avec Ωτ = π/2. Donner également l'expression de cette matrice pour une "impulsion π" (qui correspond à Ωτ = π).

Initialement on a a(t = 0) = (1, 0). À t = 0 on soumet l'atome à une "impulsion π/2" de durée τ. Exprimer la fonction d'onde Ψ(r, t) à l'instant t = τ, et donner l'évolution de la fonction d'onde…

Toujours dans le cas d'une "impulsion π/2", exprimer les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude dans le cas où on a initialement a(t = 0) = (0, 1).

À partir de l'interférogramme expérimental présenté en Fig. 5, donner la valeur de T choisie dans l'expérience.

Justifier que la phase cumulée due aux énergies potentielle E_p et électronique E_i (i = a, b) est la même sur chacun des trajets ABCD et AB'C'D.

En déduire que : ΔΦ = m/ħ∫₀³T(v_II(t) - v_I(t))((v_I(t) + v_II(t))/2)dt où v_I(t) et v_II(t) sont les vitesses instantanées respectives des atomes sur les trajets ABCD et AB'C'D.

En exprimant dans un premier temps v_II(t) - v_I(t) et [v_I(t) + v_II(t)]/2 sur les intervalles [0, T], [T, 2T], [2T, 3T], montrer que : ΔΦ = 2Tk · On se souviendra à cet effet de la relation entre…

En déduire δ_laser*, la valeur de δ_laser associée la frange centrale. L'exprimer en fonction de k, m et N, et d'autres constantes fondamentales éventuelles.

Déduire, à partir de la valeur de δ_laser* associée à l'interférogramme de la Fig. 5, la valeur de N choisie lors de la mesure.

Un interférogramme expérimental comme celui de la Fig. 5 est typiquement obtenu en une minute. Il est possible de faire des mesures les unes à la suite des autres. Pendant combien de temps doit-on…

L'énergie potentielle d'un atome n'est pas constante au cours de la trajectoire. Montrer néanmoins que l'Éq. (14) reste valable lorsque le champ de pesanteur est uniforme.

En déduire p_z l'impulsion du photon projeté sur l'axe (Oz). Montrer que, en z = 0 (foyer optique du laser, où l'intensité est maximale), on a la correction : δ k_rel(z = 0) (p_z(z = 0) - ħ k)/(ħ k)…

On considère un nuage d'atomes d'extension spatiale typique r ≃ 0,5 mm placé en z = 0 dans le champ du laser, et on s'intéresse à l'impulsion effective transférée aux atomes. On a w(z) ≃ w₀ ≃ 5 mm…

On considère maintenant une barrière de potentiel de hauteur V et de longueur L : l'énergie potentielle est nulle pour x < 0 et x > L, et vaut V pour 0 ≤ x ≤ L, toujours avec V > E. On admet que si…

On note Γ(E) dE le nombre de réactions nucléaires de fusion par unité de temps, pour une énergie relative valant E à dE près. On postule que Γ(E) est proportionnel à v p(E) Θ(E). Comment…

En utilisant les résultats obtenus précédemment, exprimer Γ(E) en fonction de E. On écrira le résultat sous la forme Γ(E) = K exp (-φ(E)), où K ne dépend pas de E, et on exprimera φ(E) en fonction…

Situer l'énergie E₀ par rapport à E_G et k_B T dans la limite où E_G ≫ k_B T. Dans le cas de la fusion entre deux protons au cœur du Soleil, les valeurs numériques sont E_G ≃ 500 keV et k_B T ≃ 1,5…

Déterminer l'expression littérale de φ(E₀) en fonction de E_G et k_B T, puis calculer son ordre de grandeur avec les valeurs numériques données plus haut.

Tracer l'allure de Γ(E). Quelle est la particularité de la variation de Γ(E) avec E dans la limite où E_G ≫ k_B T ?

Généraliser les résultats obtenus au cas de la fusion de deux noyaux de numéros atomiques Z₁ et Z₂, de masses m₁ et m₂ quelconques. Déterminer en particulier comment la valeur de µ et l'énergie de…

L'atome étant toujours isolé, on envisage maintenant la situation où il est dans une superposition d'états stationnaires φₐ et φ_b ; sa fonction d'onde ψ(x, t) est donc une combinaison linéaire des…

Évaluer ces intégrales pourrait être délicat, car nous ne connaissons pas les fonctions φₐ et φ_b. Néanmoins nous savons qu'elles peuvent être choisies réelles. Et nous avons pu déterminer les états…

L'atome est dans une superposition d'états stationnaires ψ(x, t) = a(t)φₐ(x) + b(t)φ_b(x). 16-a) Exprimer la densité de probabilité de présence en x de l'électron en fonction de ψ(x, t). En déduire…

Par analyse dimensionnelle, déterminer les entiers α, β et γ.

Exprimer la variation Δ E₁ de l'énergie de l'état fondamental qui accompagne cette transformation.

On suppose δ a ≪ a. Montrer qu'au premier ordre non nul en δ a / a la variation d'énergie se met sous la forme Δ E₁ = 1/2 K δ a², on exprimera K en fonction de h, m et a. On rappelle que (1 - ε)⁻² =…

En déduire l'augmentation d'énergie Δ Eₜ de la tige ; en déduire l'expression de F en fonction de K, s, a et δ L.

En déduire l'expression du module d'élasticité E, défini par la relation (1), en fonction de h, a et mₑ. Comparer au résultat de la partie II.A.

Établir la relation simple entre la constante de Planck et la masse m dans l'expérience de la balance de Kibble en faisant intervenir v, g et d'autres grandeurs mesurables.

Tracer sur un même graphique l'allure de V(r) dans la goutte (0 ≤ r ≤ a), d'indice n, puis dans l'air (r > a), dont l'indice sera pris égal à 1. On supposera Eb²/a² > (n² - 1)E. Commenter cette…

À quelle transition énergétique du document 3 correspond, pour l'ion Ca⁺, la raie de longueur d'onde 423 nm. On justifiera précisément la réponse.

En supposant les électrons non relativistes, déterminer leur énergie E_X exprimée en électron-volt.

Exprimer le membre de gauche de l'équation de Schrödinger (5). En déduire qu'un coefficient c_p(t) pour 1 ≤ p ≤ N vérifie l'équation différentielle iħ dc_p/dt = c_p E_p - ħ Σ_1 ≤ n ≤ N α_pn(t) cₙ…

Déterminer l'équation d'évolution temporelle vérifiée par d_p en fonction des dₙ. On introduira les quantités ω_ij = (E_i - E_j)/ħ.

Montrer que pour p ≠ ℓ : dd_p/dt = iα_pℓ(t) ei ∫₀^t ω_pℓ⁽t'⁾ dt'. (8) On pourra par exemple partir de l'équation (6) en ne conservant que le premier ordre non-nul.

On suppose dans la suite que les Eₙ(λ(t)) sont deux à deux distincts à tout instant t. Déduire du résultat précédent les paramètres sans dimension qui permettent de contrôler l'approximation (7)…

Quel est l'effet de la phase géométrique sur la densité de probabilité de présence de la particule ? Même question dans le cas où l'état initial est de la forme ψ(x, 0) = 1/√(2) ( φ_ℓ(x; λ(0)) +…

Quelles similitudes voyez-vous entre la situation étudiée dans cette partie et l'évolution du pendule de Foucault ? On pourra répondre sous forme d'un tableau.

Proposer un choix de vecteur Ψ_S qui conviendrait pour le pôle sud.

Montrer que rotA_N = rotA_S. On notera B ce vecteur commun.

Cette situation est analogue à celle du monopole magnétique. Dresser un tableau explicitant les quantités correspondantes dans les deux problèmes.

La motivation du modèle de Thomson était d'expliquer que les atomes rayonnent des fréquences discrètes. Sachant que la première raie spectrale de l'hydrogène a une longueur d'onde de 122 nm, en…

Calculer l'énergie électromagnétique W_p pour le mode p en intégrant sur l'espace V₀ compris entre les plans z = -D/2 et z = D/2. On négligera la courbure des miroirs. Montrer que W_p = (ε₀ |E₊|²)/2…

La figure 2 présente les résultats d'une expérience dans laquelle on laisse un atome initialement dans l'état excité au centre d'une cavité similaire à celle décrite figure 1 pendant un temps…

Quelle doit être la valeur de r₀ pour que l'atome ait juste assez d'énergie pour émettre un photon ?

On récrit r(t) = α(t) r₀. Montrer que les équations différentielle couplées pour α et β s'écrivent α = -iΩ₀/2β (37) β = -iΩ₀/2α (38) Donner l'expression de Ω₀.

On identifie les modes du champ par un indice ℓ qui définit le vecteur d'onde k_ℓ et un indice ε qui définit la polarisation (choisie linéaire) e_ℓ,ε de l'onde plane. Le champ électrique du mode ℓ,ε…

On introduit la densité d'états ρ(ω, Θ), définie de sorte que ρ(ω, Θ)dΘ soit le nombre de vecteurs d'onde k_ℓ correspondants à une onde plane de fréquence comprise entre ω et ω+dω qui fassent un…

Est-ce cohérent avec le résultat de la question 7 ? Conclure quant à la pertinence de ce modèle pour décrire l'émission spontanée.

Montrer qu'aux temps courts α²(t) ≃ N (Ω₀² t²)/4 (64) L'énergie de l'oscillateur est proportionnelle à N. Était-ce attendu ?

Etudier l'évolution de α(t) et β(t) aux temps longs. Montrer que dans ce modèle l'atome absorbe l'énergie des N photons.

Montrer que dans le cas N = 1, on retrouve les équations de la question 46 en identifiant α = α et β = β. Justifier physiquement ce choix. En déduire la valeur de Ω₁.

Justifier en utilisant les résultats précédents que Ω_N = √(N)Ω₁.

On considère maintenant que l'atome est initialement dans l'état excité, et que le mode du champ contient N_i photons. Entre quels deux états le système va-t-il évoluer ? Calculer la probabilité…

Montrer que l'évolution que l'on observe ne correspond pas à ce que l'on attend de notre modèle pour un atome interagissant avec un champ contenant un nombre de photons initial N_i donné.

En effet, l'atome interagit ici avec un mode du champ contenant un état cohérent, qui est un état pour lequel le nombre de photons n'est pas défini. Le nombre N_i de photons dans la cavité est une…

Expliciter l'écart Δ E d'énergie entre ces deux niveaux puis λ₀ en fonction de h, c (célérité de la lumière dans le vide), e, mₑ et ε₀.

On appelle constante de structure fine la grandeur α = e²/(4πε₀ħ c) = e²/(2ε₀ h c). Préciser sa dimension puis estimer son ordre de grandeur.

Quelles sont les longueurs d'onde susceptibles de créer une paire électron-trou ? Cette jonction PN convient-elle à la conversion photovoltaïque du rayonnement solaire ?

Calculer la valeur numérique de E₁, pour L = 1 . Comparer cette valeur à l'ordre de grandeur de l'énergie d'agitation thermique à T = 300 K. Pourquoi parle-t-on de quasi-continuum d'énergie au sein…

À T = 0 K, les électrons peuplent les états obtenus par énergie croissante, avec au plus deux électrons dans le même état d'énergie d'après le principe d'exclusion de Wolfgang Pauli. En déduire le…

Nous nous intéresserons par la suite aux états stationnaires d'énergie E > V₀. Justifier, en précisant les expressions des grandeurs positives k et K, la forme des solutions φ(x), où n est un entier…

En rappelant les conditions aux limites vérifiées par la fonction d'onde pour une particule évoluant dans un potentiel fini, justifier le système homogène suivant : Aₙ + Bₙ - Cₙ - Dₙ &= 0 Aₙ₊₁e⁻ika…

Compléter avec soin la figure A du document réponse et expliquer en quoi ce modèle permet de rendre compte de l'existence de bandes d'énergie, soit permises, soit interdites.

Que deviennent ces résultats lorsque α = 1 ? Justifier votre réponse.

Déduire de la question 9 la longueur d'onde recherchée. Indiquer le domaine du spectre électromagnétique qui lui est associé.