Corrigé détaillé X ENS Physique B PC 2023 (page 3/3 : Partie II)

Pour une onde plane de vecteur d'onde \vec{k} faisant un angle \theta avec l'axe (Oz), la quantité de mouvement associée à un photon s'écrit :

La projection de cette impulsion sur l'axe de visée (Oz) vaut donc :

Par définition du terme correctif \delta k_{\mathrm{rel}} donné dans le préambule :

On en déduit l'expression exacte de \delta k_{\mathrm{rel}} :

Pour un léger désalignement (\theta \ll 1), un développement limité à l'ordre 2 fournit :

On cherche la condition sur l'angle pour que l'erreur relative reste inférieure à 10^{-12} :

En prenant \sqrt{2} \simeq 1{,}4, on obtient la limite supérieure :

Une onde électromagnétique plane monochromatique se propageant dans le vide présente un champ électrique de la forme :

où \vec{k} est le vecteur d'onde, \omega = kc la pulsation temporelle et \varphi_0 une phase à l'origine.

La phase totale de l'onde au point repéré par \vec{r} et à la date t est donc :

À un instant t fixé, une surface équiphase (ou front d'onde) est définie comme le lieu des points de l'espace présentant la même phase, soit :

En notant \vec{r} = x\vec{e}_x + y\vec{e}_y + z\vec{e}_z et \vec{k} = k_x\vec{e}_x + k_y\vec{e}_y + k_z\vec{e}_z, cette condition s'écrit sous la forme cartésienne :

Il s'agit de l'équation d'une famille de plans de vecteur normal \vec{k}.

À un instant t fixé, une surface d'onde (ou surface équiphase) correspond à l'ensemble des points de l'espace \vec{r} ayant la même phase totale :

Les surfaces d'onde sont donc les surfaces de niveau du champ scalaire de phase spatiale \phi(\vec{r}).

Considérons un déplacement élémentaire \mathrm{d}\vec{r} tangent en un point \vec{r} à la surface d'onde \Sigma. Puisque la phase spatiale y est constante, sa différentielle est nulle :

Cette relation étant vérifiée pour tout déplacement \mathrm{d}\vec{r} appartenant au plan tangent à la surface d'onde au point \vec{r}, on en déduit que :

D'après le préambule de la sous-partie II.2, l'impulsion locale du photon est reliée au gradient spatial de la phase par :

Par définition, la composante p_z est la projection orthogonale de \vec{p} sur le vecteur unitaire \vec{e}_z de l'axe (Oz) :

En coordonnées cartésiennes, la composante suivant \vec{e}_z du gradient est la dérivée partielle de \phi par rapport à z :

Chaque composante de la superposition représentant le faisceau est une onde plane monochromatique se propageant dans le vide à la pulsation \omega = kc. Son vecteur d'onde \vec{k} = (k_x, k_y, k_z) vérifie donc la relation de dispersion :

Le faisceau se propageant dans le sens des z croissants, on a k_z > 0, d'où :

D'après l'énoncé, la distribution spectrale en amplitude est proportionnelle à \exp\left(-\frac{k_x^2+k_y^2}{4}w_0^2\right). Les valeurs de k_x et k_y contribuant de façon significative à l'intégrale sont donc confinées dans un domaine d'extension transverse typique :

Comme k = \frac{2\pi}{\lambda} et w_0 \gg \lambda, le rapport sans dimension vérifie :

On peut donc effectuer un développement limité au premier ordre en \frac{k_x^2 + k_y^2}{k^2} de la fonction \sqrt{1 - \varepsilon} \simeq 1 - \frac{\varepsilon}{2} :

ce qui donne directement :

D'après l'expression (16) du sujet, la composante scalaire du champ électrique s'écrit :

Dans le repère cartésien, le produit scalaire vaut :

En utilisant l'approximation paraxiale établie à la question 17.a, k_z \simeq k - \dfrac{k_x^2 + k_y^2}{2k}, il vient :

Le terme indépendant de (k_x, k_y), à savoir \exp(j kz), peut être factorisé hors de l'intégrale :

On identifie cette intégrale avec le résultat général (Éq. (17)) :

par identification des termes :

Le paramètre complexe a vérifie bien la condition de convergence : \mathrm{Re}(a) = \dfrac{w_0^2}{2} > 0. De plus, on a :

En appliquant l'Éq. (17), l'intégrale vaut :

En réinjectant dans l'expression de E(\vec{r}), on obtient :

Comme 2\pi E_0 est une constante indépendante des coordonnées spatiales, on en déduit bien :

D'après le résultat de la question 17.b (Éq. (18)), le champ électrique s'écrit, à une constante multiplicative réelle positive près :

avec r^2 = x^2 + y^2. Déterminons la phase \phi(\vec{r}) = \arg(E(\vec{r})) associée à chacun de ces facteurs :

1. Phase de propagation d'onde plane :

   \arg(\exp(jkz)) = kz

2. Terme en facteur : en introduisant la longueur de Rayleigh z_R = \dfrac{w_0^2 k}{2}, on a \dfrac{w_0^2}{2} = \dfrac{z_R}{k}, d'où :

   \frac{w_0^2}{2} + \frac{jz}{k} = \frac{z_R + jz}{k} = \frac{z_R}{k}\left(1 + j\frac{z}{z_R}\right)

   Comme k > 0 et z_R > 0, l'argument du préfacteur vaut :

   \arg\left(\frac{1}{\frac{w_0^2}{2} + \frac{jz}{k}}\right) = -\arg\left(1 + j\frac{z}{z_R}\right) = -\arctan\left(\frac{z}{z_R}\right)

3. Terme exponentiel transverse : Réécrivons le dénominateur de l'exposant en faisant intervenir z_R :

   w_0^2 + \frac{2jz}{k} = \frac{2}{k}(z_R + jz)

   L'argument dans l'exponentielle devient :

   \begin{aligned} -\frac{r^2}{w_0^2 + \frac{2jz}{k}} &= -\frac{k r^2}{2(z_R + jz)} = -\frac{k r^2 (z_R - jz)}{2(z_R^2 + z^2)} \\ &= -\frac{k r^2 z_R}{2 z_R^2 \left(1 + (z/z_R)^2\right)} + j \frac{k r^2 z}{2 z_R^2 \left(1 + (z/z_R)^2\right)} \end{aligned}

   En utilisant la définition du rayon du faisceau w(z) = w_0\sqrt{1 + (z/z_R)^2} et la relation \dfrac{k}{2z_R} = \dfrac{1}{w_0^2}, on obtient :

   • pour la partie réelle : -\dfrac{r^2}{w_0^2\left(1 + (z/z_R)^2\right)} = -\dfrac{r^2}{w(z)^2}, qui correspond au profil d'intensité transverse gaussien ;
   • pour la partie imaginaire : \dfrac{r^2}{w_0^2\left(1 + (z/z_R)^2\right)}\dfrac{z}{z_R} = \dfrac{r^2}{w(z)^2}\dfrac{z}{z_R}.

   Ce terme apporte donc la contribution de phase :

   \arg\left(\exp\left(-\frac{r^2}{w_0^2 + \frac{2jz}{k}}\right)\right) = \frac{r^2}{w(z)^2}\frac{z}{z_R}

En sommant les différentes contributions, la phase spatiale totale s'écrit bien :

D'après la question 16.c, l'impulsion du photon projetée selon l'axe (Oz) s'écrit :

avec, d'après l'Éq. (19) de la question 18.a :

où r^2 = x^2 + y^2. En posant la variable sans dimension u = \frac{z}{z_R}, la dérivation par rapport à z s'effectue selon \frac{\partial}{\partial z} = \frac{1}{z_R}\frac{\partial}{\partial u} :

On en déduit l'expression générale de l'impulsion longitudinale :

En z = 0 (foyer optique où u = 0) :

En remplaçant z_R = \frac{w_0^2 k}{2} :

ce qui donne :

On en déduit immédiatement la correction relative au foyer :

D'après l'Éq. (20), la correction de Gouy au plan focal z = 0 s'écrit :

Terme dominant et signe Le nuage atomique a une extension transverse typique r \simeq 0{,}5\text{ mm} devant la taille du col w_0 \simeq 5\text{ mm}, soit :

Par conséquent, le terme en -\frac{1}{w_0^2} est environ 100 fois plus grand en valeur absolue que le terme en \frac{r^2}{w_0^4} :

Au voisinage de l'axe optique (r \ll w_0), et en particulier au maximum d'intensité situé en r = 0, la parenthèse est strictement négative :

Application numérique En utilisant la relation k = \frac{2\pi}{\lambda}, la correction s'approxime par son terme dominant :

Avec \lambda \simeq 800\text{ nm} = 8 \times 10^{-7}\text{ m} et w_0 = 5 \times 10^{-3}\text{ m} :

(En tenant compte du facteur correctif (1 - r^2/w_0^2) \simeq 0{,}99, la valeur reste inchangée à deux chiffres significatifs) :

Importance relative de l'erreur systématique D'après l'Éq. (6), l'incertitude relative requise sur la masse du rubidium est :

On constate que :

L'erreur relative introduite par la phase de Gouy est presque d'un ordre de grandeur supérieure à l'incertitude cible :

Elle constitue un biais systématique majeur qui doit être précisément calculé et retranché de la mesure.

D'après la question 16.c et l'expression de la phase \phi(\vec{r}) = kz + \phi'(\vec{r}), la composante longitudinale de l'impulsion du photon s'écrit :

En identifiant avec la définition générale introduite au début de la partie II, p_z = \hbar k (1 + \delta k_{\mathrm{rel}}), on obtient :

Le signe de la correction \delta k_{\mathrm{rel}} est donc identique à celui de la dérivée axiale \dfrac{\partial \phi'}{\partial z}.

D'après la figure 6, le faisceau se propage selon l'axe (Oz) dans le sens des z croissants (flèche orientée vers le bas sur le graphique) :

• Dans les régions associées aux maxima d'intensité (contours en trait plein) : Lorsque z augmente (de haut en bas), la phase \phi' passe des teintes chaudes jaune/rouge (\phi' > 0, de l'ordre de +0{,}03\text{ rad}) aux teintes froides bleu clair/bleu foncé (\phi' < 0, de l'ordre de -0{,}03\text{ rad}). La phase \phi' est donc décroissante selon (Oz) :

  \frac{\partial \phi'}{\partial z} < 0 \implies \boxed{\delta k_{\mathrm{rel}} < 0}

• Dans les régions associées aux minima d'intensité (contours en traits pointillés) : Lorsque z augmente, la phase \phi' passe au contraire des teintes bleues (\phi' < 0) aux teintes jaune/rouge (\phi' > 0). La phase \phi' est donc croissante selon (Oz) :

  \frac{\partial \phi'}{\partial z} > 0 \implies \boxed{\delta k_{\mathrm{rel}} > 0}

D'après la figure 6 (à gauche), à la cote z = 52\text{ cm}, l'intensité relative I(x, z=52\text{ cm})/I_0 oscille autour de la valeur moyenne 1 avec une période spatiale de l'ordre de 100 à 200\text{ }\mu\text{m}. En parcourant l'axe (Ox) de x = -300\text{ }\mu\text{m} à x = +300\text{ }\mu\text{m} :

• vers x \simeq -220\text{ }\mu\text{m} : un premier minimum local (I/I_0 \simeq 0{,}8) ;
• vers x \simeq -140\text{ }\mu\text{m} : un maximum marqué (I/I_0 \simeq 1{,}20) ;
• vers x \simeq -20\text{ }\mu\text{m} : un creux d'intensité (I/I_0 \simeq 0{,}85) ;
• vers x \simeq +80\text{ }\mu\text{m} : un second maximum local (I/I_0 \simeq 1{,}15) ;
• vers x \simeq +200\text{ }\mu\text{m} : un nouveau minimum (I/I_0 \simeq 0{,}85).

Le signe de la dérivée seconde \frac{\partial^2 I}{\partial x^2} traduit la courbure du profil d'intensité :

• Régions de maxima d'intensité (sommets, courbure vers le bas, fonction localement concave) :

  \boxed{\frac{\partial^2 I}{\partial x^2} < 0}

• Régions de minima d'intensité (creux, courbure vers le haut, fonction localement convexe) :

  \boxed{\frac{\partial^2 I}{\partial x^2} > 0}
• Les points d'inflexion, où le profil traverse la valeur moyenne, vérifient \frac{\partial^2 I}{\partial x^2} = 0 et délimitent ces deux types de régions.

Le faisceau étant supposé uniforme selon la direction (Oy), le laplacien transverse se réduit à :

D'après l'équation (21), la correction relative s'écrit :

Comme k^2 > 0 et I_0 > 0, le signe de \delta k_{\mathrm{rel}} est strictement identique à celui de \frac{\partial^2 I}{\partial x^2} :

• Dans les régions associées aux maxima d'intensité, la dérivée seconde est négative (\frac{\partial^2 I}{\partial x^2} < 0), d'où :

  \boxed{ \delta k_{\mathrm{rel}} < 0 }

• Dans les régions associées aux minima d'intensité, la dérivée seconde est positive (\frac{\partial^2 I}{\partial x^2} > 0), d'où :

  \boxed{ \delta k_{\mathrm{rel}} > 0 }

Ces résultats sont en parfait accord avec les déductions de la question 19, où l'on avait obtenu \delta k_{\mathrm{rel}} < 0 dans les maxima et \delta k_{\mathrm{rel}} > 0 dans les minima par l'étude du gradient longitudinal \frac{\partial \phi'}{\partial z}.

Commentaire vis-à-vis de la correction de Gouy (question 18.c) : Au foyer z = 0 d'un faisceau gaussien, l'intensité est maximale sur l'axe (r = 0). Le profil radial I(r) \propto \exp(-2r^2/w_0^2) présente ainsi une courbure négative au voisinage de l'axe :

Injectée dans l'équation (21), cette courbure conduit précisément à :

On retrouve exactement la correction de Gouy dominante calculée à la question 18.c. L'effet de Gouy n'est donc rien d'autre que la manifestation, pour un profil gaussien lisse, de cette réduction locale de l'impulsion axiale au voisinage d'un extremum d'intensité maximale.

L'impulsion transférée par le laser aux atomes résulte des processus d'absorption de photons. D'après l'énoncé, la probabilité d'absorption d'un photon en un point de l'espace est une fonction croissante de l'intensité lumineuse locale I(x,y,z).

La correction moyenne \langle\delta k_{\mathrm{rel}}\rangle mesurée expérimentalement correspond donc à une moyenne de la correction locale \delta k_{\mathrm{rel}}(x,y,z) pondérée par l'intensité lumineuse :

Or, d'après les questions 19 et 20.b :

• dans les régions de maxima d'intensité, où l'intensité I est la plus forte, la correction est négative : \delta k_{\mathrm{rel}} < 0 ;
• dans les régions de minima d'intensité, la correction est positive (\delta k_{\mathrm{rel}} > 0), mais l'intensité I y étant faible, le nombre de photons absorbés est beaucoup plus restreint.

Les zones de maxima d'intensité ont un poids statistique prépondérant dans l'interaction globale, ce qui impose le signe de la moyenne :

L'impulsion transférée selon l'axe (Oz) lors de l'absorption d'un photon s'écrit de manière générale :

Dans le cas d'une onde plane se propageant selon (Oz), on a rigoureusement p_{z,\text{ideal}} = \hbar k.

D'après les questions 19 et 20.b, dans les zones de minima d'intensité, la courbure transverse vérifie \Delta_\perp I > 0, de sorte que la correction relative locale est strictement positive :

Si l'on chasse tous les atomes situés dans les maxima d'intensité pour ne sonder que ceux situés dans les minima d'intensité, la valeur moyenne de cette correction sur les atomes interagissant avec le faisceau vérifie \langle \delta k_{\text{rel}} \rangle > 0. On en déduit :

Ce résultat est particulièrement surprenant au premier abord :

• D'un point de vue corpusculaire ou dans un modèle géométrique, la norme de l'impulsion d'un photon dans le vide est fixée à \|\vec{p}\| = \hbar k = \hbar\omega/c. Toute inclinaison des composantes d'ondes planes élémentaires devrait a priori conduire à une projection selon (Oz) inférieure à la norme totale (k_z = k\cos\theta \leqslant k). Il semble donc paradoxal qu'un photon puisse transférer localement une impulsion longitudinale supérieure à \hbar k.
• D'un point de vue ondulatoire, ce phénomène s'explique par les super-oscillations locales de la phase. Au voisinage des minima d'intensité (zones d'interférences destructives), le gradient de phase \vec{\nabla}\phi peut localement dépasser k, ce qui correspond à une vitesse de phase locale inférieure à c (v_\varphi = \omega / \|\vec{\nabla}\phi\| < c). Il n'y a aucune violation globale des lois de conservation, car l'intégrale du flux d'impulsion sur l'ensemble du profil transverse du faisceau reste bornée par l'impulsion totale du mode.