Corrigé détaillé X ENS Physique B PC 2023

Notons x_1 et x_2 les deux valeurs mesurées de 1/\alpha, accompagnées de leurs incertitudes-types respectives u_1 et u_2 :

• D'après l'Éq. (2) : x_1 = 137{,}035\,999\,206 et u_1 = 11 \times 10^{-9} ;
• D'après l'Éq. (3) : x_2 = 137{,}035\,999\,15 et u_2 = 3 \times 10^{-8} = 30 \times 10^{-9}.

L'écart normalisé E_n entre deux grandeurs indépendantes est défini par :

Calculons la différence des valeurs centrales :

Calculons l'incertitude composée :

Comme 32^2 = 1024 \simeq 1021, on a :

On en déduit :

Puisque E_n < 2, la différence entre les deux déterminations est inférieure à deux écarts-types combinés. Les deux résultats sont donc statistiquement compatibles au niveau de confiance de 95 % : la théorie du Modèle Standard semble pleinement valide au regard de ces deux valeurs.

Le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène est qualifié de semi-classique car il juxtapose des notions de physique classique et des postulats quantiques :

• Aspect classique : l'électron est décrit comme une particule ponctuelle possédant une trajectoire bien déterminée (une orbite circulaire) et obéissant aux lois de la mécanique newtonienne (principe fondamental de la dynamique) sous l'effet de l'interaction électrostatique coulombienne classique.

• Aspect quantique :

  • une règle de discrétisation non classique est postulée de manière ad hoc, à savoir la quantification du moment cinétique orbital :

    L = n\hbar \quad (n \in \mathbb{N}^*)
  • les orbites correspondantes sont postulées stables et non rayonnantes, ce qui contredit directement l'électromagnétisme classique selon lequel toute charge accélérée perd continûment son énergie par rayonnement (formule de Larmor).

Dans le référentiel lié au proton, supposé galiléen, l'électron décrit un mouvement circulaire uniforme de rayon r_n à la vitesse v_n. Il est soumis à la force électrostatique coulombienne exercée par le proton :

L'accélération dans la base de Frenet s'écrit \vec{a} = -\frac{v_n^2}{r_n}\,\vec{u}_r. Le principe fondamental de la dynamique donne :

Par ailleurs, la quantification du moment cinétique orbital de l'électron s'écrit :

En effectuant le quotient membre à membre de ces deux relations, on élimine r_n :

D'après l'équation (1), \alpha = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c}, d'où l'expression de la vitesse sur l'orbite n :

Comme n \in \mathbb{N}^*, la suite (v_n) est strictement décroissante avec n. La vitesse maximale est donc atteinte sur la première orbite (n = 1), appelée orbite fondamentale de Bohr :

Avec \alpha \simeq \frac{1}{137}, le rapport de la vitesse maximale à la vitesse de la lumière vaut :

Le facteur de Lorentz associé vérifie \gamma - 1 \simeq \frac{1}{2}\left(\frac{v_{\max}}{c}\right)^2 \simeq \frac{\alpha^2}{2} \simeq 2{,}7 \times 10^{-5} \ll 1. La vitesse de l'électron restant toujours très inférieure à c, il est tout à fait légitime de traiter l'électron de manière non relativiste dans le modèle de Bohr.

L'énergie mécanique de l'électron sur l'orbite de rang n est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle électrostatique (en choisissant la référence E_p(\infty) = 0) :

D'après l'équation du mouvement circulaire issue du principe fondamental de la dynamique :

L'énergie mécanique s'écrit donc simplement (théorème du viriel) :

En utilisant l'expression de v_n obtenue à la question 2.b, v_n = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 n \hbar} = \frac{e^2}{2\epsilon_0 n h} (car \hbar = \frac{h}{2\pi}), on obtient :

où E_I = \frac{m_e e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2} \simeq 13{,}6\text{ eV} est l'énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène.

Lors d'une transition entre un état initial de niveau n_2 et un état final de niveau inférieur n_1 (n_2 > n_1), l'atome émet un photon de longueur d'onde \lambda. La conservation de l'énergie s'écrit :

En remplaçant par l'expression de E_n :

d'où :

On retrouve ainsi la formule empirique de Rydberg (Éq. (4)) en identifiant :

D'après l'équation (1) de l'énoncé, la constante de structure fine s'écrit :

En utilisant la relation \hbar = \frac{h}{2\pi}, cette expression devient :

En élevant au carré, on obtient :

Par ailleurs, d'après la question 2.c, la constante de Rydberg s'exprime sous la forme :

Calculons le terme sous le radical de l'équation (5), où la masse m de l'atome de rubidium se simplifie :

\alpha étant une grandeur réelle strictement positive, on en déduit en prenant la racine carrée :

D'après l'équation (5), la constante de structure fine s'écrit :

En prenant le logarithme népérien :

Les grandeurs c et h étant supposées sans incertitude, la différentielle s'écrit :

En supposant les déterminations expérimentales de R_\infty, de m/m_e et de m indépendantes et non corrélées, la loi de composition des incertitudes-types donne :

Incertitudes sur c et h : Dans le Système International d'unités (SI révisé en 2019, et dès 1983 pour c), la célérité de la lumière dans le vide (c = 299\,792\,458\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) et la constante de Planck (h = 6{,}626\,070\,15 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}) sont des constantes de référence fixées de manière exacte par définition. Leurs incertitudes-types sont donc strictement nulles :

Vérification numérique de u(m)/m : En inversant la formule de propagation des incertitudes :

Les données fournies dans le texte sont :

• \dfrac{u(\alpha)}{\alpha} \simeq 8{,}0 \times 10^{-11} (obtenu à partir de l'Éq. (2) : \frac{11 \times 10^{-9}}{137{,}04} \simeq 8{,}03 \times 10^{-11}) ;
• \dfrac{u(m/m_e)}{m/m_e} = 7 \times 10^{-11} ;
• \dfrac{u(R_\infty)}{R_\infty} = 2 \times 10^{-12} (négligeable devant les autres termes).

On effectue le calcul numérique :

D'où :

Considérons le système isolé constitué de l'atome de rubidium et du photon absorbé, dans le référentiel d'étude :

• État initial : l'atome est au repos (E_c = 0) dans son état électronique fondamental d'énergie E_a, et l'énergie potentielle E_p est constante. L'énergie du photon incident est notée E_{\text{ph}} = \hbar \omega. L'énergie totale du système est :

  E_{\text{tot, initial}} = E_a + E_p + \hbar\omega

• État final : le photon a été absorbé. L'atome est dans l'état électronique d'énergie E_i (i = b ou i = c) et possède une énergie cinétique de recul E_{c,\text{fin}}. L'énergie totale du système est :

  E_{\text{tot, final}} = E_i + E_p + E_{c,\text{fin}}

La conservation de l'énergie totale s'écrit alors :

En négligeant la variation d'énergie cinétique de recul (\Delta E_c = E_{c,\text{fin}} \simeq 0), on en déduit l'énergie du photon nécessaire pour effectuer la transition :

avec i = b ou i = c.

Le système \{\text{atome} + \text{photon}\} est isolé.

1. Conservation de la quantité de mouvement : Initialement, l'atome est au repos (\vec{p}_{\text{atome}} = \vec{0}) et le photon incident possède la quantité de mouvement \hbar\vec{k}. Après absorption, l'atome possède la vitesse \vec{v}_r (la variation de vitesse est donc \vec{v}_r) et une quantité de mouvement m\vec{v}_r. La conservation de la quantité de mouvement s'écrit :

2. Conservation de l'énergie : L'énergie totale du système avant absorption est la somme de l'énergie du photon \hbar\omega et de l'énergie initiale de l'atome au repos (E_a + E_p). Après absorption, l'énergie du photon est entièrement cédée à l'atome, qui se trouve dans l'état électronique E_i avec une vitesse de recul \vec{v}_r (soit une énergie cinétique de recul \frac{1}{2}mv_r^2, le mouvement étant non relativiste) et une énergie potentielle E_p constante :

La conservation de l'énergie (E_{\text{initial}} = E_{\text{final}}) donne donc :

D'après la question 4.b, la conservation de la quantité de mouvement donne :

En injectant cette relation ainsi que \omega = kc dans le bilan énergétique de la question 4.b, il vient :

soit l'équation du second degré en k :

Pour estimer l'ordre de grandeur du terme de recul par rapport au terme linéaire, formons le rapport :

Comme la vitesse de recul v_r d'un atome massif est infime devant la célérité de la lumière (v_r \ll c), ce terme quadratique est totalement négligeable. On obtient ainsi au premier ordre :

On en déduit la vitesse de recul v_r subie par l'atome :

Applications numériques : Les données numériques de l'énoncé sont c \simeq 3 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, e \simeq 1{,}5 \times 10^{-19}\text{ C} et m \simeq 1{,}5 \times 10^{-25}\text{ kg}, d'où :

• Pour la transition a \rightarrow b : d'après la figure 1(a), E_b - E_a = 2 \times 10^{-5}\text{ eV} = 2 \times 10^{-5} \times 1{,}5 \times 10^{-19}\text{ J} = 3{,}0 \times 10^{-24}\text{ J} :

  \boxed{v_r(a \rightarrow b) \simeq \frac{3{,}0 \times 10^{-24}}{4{,}5 \times 10^{-17}} \simeq 6{,}7 \times 10^{-8}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \simeq 7 \times 10^{-8}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

• Pour la transition a \rightarrow c : d'après la figure 1(a), E_c - E_a = 2\text{ eV} = 2 \times 1{,}5 \times 10^{-19}\text{ J} = 3{,}0 \times 10^{-19}\text{ J} :

  \boxed{v_r(a \rightarrow c) \simeq \frac{3{,}0 \times 10^{-19}}{4{,}5 \times 10^{-17}} \simeq 6{,}7 \times 10^{-3}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \simeq 7\text{ mm}\cdot\text{s}^{-1}}

1. Transition a \rightarrow c :

   • Avantage : L'écart énergétique élevé (E_c - E_a \simeq 2\text{ eV}) confère une vitesse de recul importante (v_r \simeq 6{,}7\text{ mm}\cdot\text{s}^{-1}). Cela permet une séparation spatiale rapide et marquée des fonctions d'onde, assurant une grande sensibilité interférométrique.
   • Inconvénient : L'état c a une durée de vie courte. Il se désexcite rapidement par émission spontanée, ce qui détruit la cohérence de phase de la fonction d'onde (décohérence) et altère le motif d'interférence.

2. Transition a \rightarrow b :

   • Avantage : L'état b possède une durée de vie considérée comme infinie (état hyperfin métastable). L'atome ne subit pas d'émission spontanée gênante, préservant ainsi parfaitement la cohérence quantique au cours de l'expérience.
   • Inconvénient : La vitesse de recul est extrêmement faible (v_r \simeq 6{,}7 \times 10^{-8}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), ce qui ne permet pas d'obtenir une séparation spatiale appréciable des paquets d'onde et limite drastiquement la sensibilité du dispositif.

Lors du processus de transition Raman à deux photons :

• l'atome absorbe un photon issu du premier laser de vecteur d'onde \vec{k}_1 = \vec{k}, ce qui lui confère une variation d'impulsion +\hbar\vec{k}_1 = +\hbar\vec{k} ;
• l'atome émet ensuite, par émission stimulée, un photon dans le mode du second laser se propageant en sens opposé, de vecteur d'onde \vec{k}_2 = -\vec{k}. Par conservation de la quantité de mouvement, l'atome reçoit une impulsion de recul opposée à celle du photon émis, soit -\hbar\vec{k}_2 = -(-\hbar\vec{k}) = +\hbar\vec{k}.

La variation totale de quantité de mouvement de l'atome est donc :

Comme \Delta\vec{p} = m\Delta\vec{v}, la variation de vitesse de l'atome s'écrit :

L'énergie des photons absorbé et émis est :

puisque E_b - E_a \simeq 2 \times 10^{-5}\text{ eV} \ll E_c - E_a. La vitesse de recul \vec{v}_r est donc celle associée à la transition optique a \to c déterminée à la question 4.c.

D'après le résultat de la question 4.c :

Avec E_c - E_a = 2\text{ eV} = 2 \times (1{,}5 \times 10^{-19}\text{ J}) = 3{,}0 \times 10^{-19}\text{ J}, \hbar \simeq 1 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} et c \simeq 3 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

L'évolution temporelle de la fonction d'onde \Psi(\vec{r}, t) de l'atome est régie par l'équation de Schrödinger indépendante du temps de perturbation (hors impulsions laser) :

où \hat{H} est le hamiltonien de l'atome.

Chaque fonction d'onde spatiale \varphi_i(\vec{r}) (i = 1, 2) est associée à un état stationnaire d'énergie totale E_i, c'est-à-dire un état propre du hamiltonien :

En injectant la décomposition \Psi(\vec{r}, t) = a_1(t)\varphi_1(\vec{r}) + a_2(t)\varphi_2(\vec{r}) dans l'équation de Schrödinger, il vient :

Les états spatiaux \varphi_1(\vec{r}) et \varphi_2(\vec{r}) étant orthogonalement distincts (ils correspondent à deux impulsions différentes m\vec{v}_0 et m(\vec{v}_0 + 2\vec{v}_r)), on identifie terme à terme, ce qui conduit aux deux équations différentielles non couplées :

Comme j^2 = -1 \iff 1/j = -j, on obtient :

D'après la question précédente, chaque coefficient a_i(t) (i \in \{1, 2\}) vérifie une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants :

L'intégration immédiate donne :

En adoptant la représentation vectorielle sous forme de vecteur colonne \vec{a}(t) = \begin{pmatrix} a_1(t) \\ a_2(t) \end{pmatrix}, le système s'écrit sous la forme matricielle :

soit :

avec la matrice diagonale d'évolution libre :

Les coefficients diagonaux de A(t) sont donc :

D'après le résultat de la question 6.b, l'évolution temporelle du vecteur \vec{a}(t) est régie par la relation matricielle :

On en déduit les composantes à tout instant t :

La fonction d'onde de l'atome s'écrit donc pour tout instant t :

La probabilité de trouver l'atome dans l'état 2 est nulle à tout instant (|a_2(t)|^2 = 0), tandis que celle de le trouver dans l'état 1 vaut |a_1(t)|^2 = 1.

La fonction d'onde ne diffère de son état initial \varphi_1(\vec{r}) que par un facteur de phase globale \mathrm{e}^{-j E_1 t/\hbar}, sans conséquence physique : la densité volumique de probabilité de présence |\Psi(\vec{r}, t)|^2 = |\varphi_1(\vec{r})|^2 est stationnaire. L'atome reste donc dans l'état propre d'énergie E_1 pour tout t \ge 0.

La matrice R(\Omega\tau) modélisant l'interaction avec le champ laser est donnée par l'équation (10) de l'énoncé :

1. Pour une « impulsion \pi/2 », l'aire de l'impulsion vérifie \Omega\tau = \frac{\pi}{2}, soit un demi-angle \frac{\Omega\tau}{2} = \frac{\pi}{4}.
   Sachant que \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}, on obtient :

   \boxed{R(\pi/2) = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & -j\,\mathrm{e}^{j\phi_{\text{laser}}} \\[6pt] -j\,\mathrm{e}^{-j\phi_{\text{laser}}} & 1 \end{pmatrix}}

2. Pour une « impulsion \pi », l'aire de l'impulsion vérifie \Omega\tau = \pi, soit \frac{\Omega\tau}{2} = \frac{\pi}{2}.
   Sachant que \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 et \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1, la matrice devient :

   \boxed{R(\pi) = \begin{pmatrix} 0 & -j\,\mathrm{e}^{j\phi_{\text{laser}}} \\[6pt] -j\,\mathrm{e}^{-j\phi_{\text{laser}}} & 0 \end{pmatrix} = -j\begin{pmatrix} 0 & \mathrm{e}^{j\phi_{\text{laser}}} \\[6pt] \mathrm{e}^{-j\phi_{\text{laser}}} & 0 \end{pmatrix}}

1. Fonction d'onde à l'instant t = \tau :

D'après la question Q6.b, la matrice d'évolution libre est :

En t = 0, A(0) = I_2, d'où A^{-1}(0) = I_2. Avec l'état initial \vec{a}(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} et la matrice d'impulsion \pi/2 déterminée à la question Q7 :

la relation (9) donne pour le vecteur \vec{a}(\tau) :

En utilisant la décomposition (7), la fonction d'onde à l'instant t = \tau s'écrit :

2. Évolution de la fonction d'onde pour t > \tau :

Pour t > \tau, l'impulsion laser est éteinte et l'atome est à nouveau soumis à l'évolution libre. D'après l'équation (8), l'évolution temporelle depuis l'instant \tau est régie par :

Comme A(t-\tau) A(\tau) = A(t), on obtient directement pour tout t > \tau :

La fonction d'onde pour t > \tau s'écrit donc :

3. Analogie avec une lame séparatrice optique :

Avant l'impulsion, l'atome est dans l'état stationnaire pur 1 d'impulsion m\vec{v}_0 avec une amplitude unité. Pour t > \tau, la fonction d'onde est la superposition cohérente de deux paquets d'ondes :

• une composante dans l'état électronique a qui conserve sa vitesse \vec{v}_0 (non déviée), de coefficient d'amplitude :

  \boxed{t_a = \frac{1}{\sqrt{2}}}

• une composante ayant effectué la transition vers l'état b et ayant acquis une vitesse \vec{v}_0 + 2\vec{v}_r (déviée), de coefficient d'amplitude :

  \boxed{r_a = -\frac{j}{\sqrt{2}}\mathrm{e}^{-j\phi_{\text{laser}}}}

Cette impulsion scinde donc l'onde atomique incidente en deux ondes de trajectoires spatiales distinctes, avec des amplitudes relatives t_a et r_a, de la même façon qu'une lame séparatrice semi-réfléchissante en optique sépare un faisceau incident en un faisceau transmis et un faisceau réfléchi.

À l'instant initial, l'atome est dans l'état 2 (état électronique b) :

Sachant que A(0) = \mathcal{I}_2 (matrice identité), l'état à l'issue de l'impulsion de durée \tau s'écrit d'après l'équation (9) :

En utilisant la matrice R(\pi/2) obtenue à la question 7 :

En appliquant la matrice d'évolution libre A(\tau) :

Pour t > \tau, l'atome évolue librement selon \vec{a}(t) = A(t-\tau)\vec{a}(\tau), ce qui donne :

Par analogie avec une lame séparatrice :

• La voie transmise correspond à la conservation de l'état électronique et de l'impulsion (l'atome reste dans l'état b, avec la vitesse \vec{v}_0 + 2\vec{v}_r, trajectoire rectiligne) ; son amplitude est modulée par le coefficient de transmission t_b :

  \boxed{t_b = \frac{1}{\sqrt{2}}}

• La voie réfléchie correspond à la transition vers l'état fondamental a par émission stimulée (la vitesse varie de -2\vec{v}_r, la trajectoire est déviée) ; son amplitude est modulée par le coefficient de réflexion r_b :

  \boxed{r_b = -\frac{j}{\sqrt{2}}\mathrm{e}^{j\phi_{\text{laser}}}}

D'après la question Q7, la matrice d'interaction associée à une impulsion \pi (\Omega\tau = \pi) s'écrit :

Ses coefficients diagonaux étant nuls, les coefficients de transmission en amplitude sont nuls (t_a = t_b = 0). Les coefficients de transfert d'état (coefficients de réflexion) vérifient quant à eux :

L'impulsion \pi inverse totalement les populations des deux états :

• un atome incident dans l'état 1 est intégralement dévié vers l'état 2 avec une variation d'impulsion +2m\vec{v}_r ;
• un atome incident dans l'état 2 est intégralement renvoyé vers l'état 1 avec une variation d'impulsion -2m\vec{v}_r.

Il n'y a aucune composante transmise sans déviation (T = |t|^2 = 0) et la réflexion est totale (R = |r|^2 = 1).

L'élément optique analogue à une impulsion \pi est donc un miroir (miroir plan parfaitement réfléchissant).