Corrigé détaillé X ENS Physique B PC 2023 (page 2/3 : Partie I (questions 9 à 14.c))

Suivons les deux trajets en trait plein aboutissant au détecteur en sortie de la lame D :

• Trajet ACD :

  • Réflexion sur la lame A (coefficient r_o),
  • Réflexion sur la lame C (coefficient r_o),
  • Réflexion sur la lame D (coefficient r_o).

  L'onde traverse le milieu d'indice n sur une épaisseur l, le reste du trajet s'effectuant dans l'air d'indice 1. Le chemin optique associé s'écrit :

  L_{\mathrm{ACD}} = n l + 1 \times (AC - l) + 1 \times CD = AC + CD + (n-1)l

  L'amplitude complexe en sortie est donc :

  \underline{s}_1 = r_o^3 \, s_0 \, \exp\left(-\mathrm{j}\frac{2\pi}{\lambda_o} L_{\mathrm{ACD}}\right)

• Trajet ABD :

  • Transmission par la lame A (coefficient t_o),
  • Réflexion sur la lame B (coefficient r_o),
  • Transmission par la lame D (coefficient t_o).

  La totalité du trajet s'effectue dans l'air, d'où le chemin optique :

  L_{\mathrm{ABD}} = 1 \times AB + 1 \times BD = AB + BD

  L'amplitude complexe en sortie est donc :

  \underline{s}_2 = t_o^2 r_o \, s_0 \, \exp\left(-\mathrm{j}\frac{2\pi}{\lambda_o} L_{\mathrm{ABD}}\right)

Puisque AB = CD et AC = BD, la différence de chemin optique entre les deux bras se réduit à :

Le déphasage correspondant entre les deux ondes est :

L'amplitude complexe résultante au détecteur est la somme des deux contributions :

En supposant les coefficients r_o et t_o réels, l'intensité lumineuse mesurée I = |\underline{s}|^2 (avec I_0 = |s_0|^2) vaut :

Effet d'une variation de l'épaisseur l :

Lorsque l'épaisseur l varie, le déphasage \Delta\phi varie de manière linéaire. L'intensité en sortie subit une modulation périodique sinusoïdale entre une valeur minimale I_{\min} = I_0 r_o^2 (r_o^2 - t_o^2)^2 et une valeur maximale I_{\max} = I_0 r_o^2 (r_o^2 + t_o^2)^2.

On observe ainsi un défilement de franges d'interférence en sortie de l'interféromètre, avec une période spatiale en épaisseur donnée par :

À chaque impulsion \pi/2, le coefficient de transmission sans changement d'état électronique est t_a = t_b = \frac{1}{\sqrt{2}}. D'après les questions 8.a et 8.b :

• à t = 0 et t = T, l'impulsion transfère +2\vec{v}_r (recul vers le haut, transition a \to b). Le coefficient de réflexion associé est :

  r_a(t) = -\frac{j}{\sqrt{2}}\mathrm{e}^{-j\phi_{\mathrm{laser}}(t)}

• à t = 2T et t = 3T, l'effet de recul est vers le bas (transition b \to a). L'inversion du sens relatif des lasers impose le changement \phi_{\mathrm{laser}} \to -\phi_{\mathrm{laser}} sur la matrice d'interaction, de sorte que le coefficient de réflexion vaut :

  r_b'(t) = -\frac{j}{\sqrt{2}}\mathrm{e}^{j\phi_{\mathrm{laser}}(t)}

L'impulsion de Bloch (entre T et 2T) communique la même quantité de mouvement \Delta\vec{v} aux atomes des deux voies (tous dans l'état b) sans modifier leur état électronique ni créer de déphasage relatif.

1. Voie I (trajet ABCD) : L'atome subit :

• une réflexion en A (t = 0, transition a \to b) : facteur r_a(0) ;
• une transmission en B (t = T, état b) : facteur t_b ;
• une réflexion en C (t = 2T, transition b \to a) : facteur r_b'(2T) ;
• une transmission en D (t = 3T, état a) : facteur t_a.

En tenant compte de la phase de propagation accumulée \Phi_I (selon la convention d'évolution temporelle \mathrm{e}^{-j\Phi_I}) :

2. Voie II (trajet AB'C'D) : L'atome subit :

• une transmission en A (t = 0, état a) : facteur t_a ;
• une réflexion en B' (t = T, transition a \to b) : facteur r_a(T) ;
• une transmission en C' (t = 2T, état b) : facteur t_b ;
• une réflexion en D (t = 3T, transition b \to a) : facteur r_b'(3T).

L'amplitude associée à cette voie s'écrit :

3. Amplitude totale et probabilité de détection : L'amplitude totale au détecteur est \Psi_D = \Psi_I + \Psi_{II} :

La probabilité de détection vaut P = |\Psi_D|^2 = |\Psi_I + \Psi_{II}|^2. Comme |\Psi_I| = |\Psi_{II}| = \frac{1}{4}|\Psi_0|, on a :

avec :

Par parité de la fonction cosinus, \cos(-(\Delta\Phi + \Delta\phi_{\mathrm{laser}})) = \cos(\Delta\Phi + \Delta\phi_{\mathrm{laser}}), d'où :

D'après l'équation (11) et l'expression de la phase différentielle laser :

La probabilité P est une fonction périodique de la variable \delta_{\text{laser}}, de période fréquentielle notée \Delta\delta_{\text{laser}}, vérifiant :

Sur l'interférogramme expérimental de la figure 5 :

• La frange centrale repérée en pointillé gris est centrée en \delta_{\text{laser}}^* + 15\,907\,000\text{ Hz} \simeq -411\text{ Hz} ;
• Le maximum voisin à droite se situe à environ -361\text{ Hz} ;
• Le maximum voisin à gauche se situe à environ -461\text{ Hz} ;
• Les deux minima visibles sont situés en -436\text{ Hz} et -386\text{ Hz}.

L'écart entre deux maxima (ou deux minima) successifs donne directement la période :

On en déduit l'intervalle de temps T choisi pour l'expérience :

D'après l'Éq. (12), la phase cumulée s'écrit :

avec E = E_c + E_p + E_i et E_c = \frac{1}{2}mv^2. La contribution des énergies potentielle et électronique à cette phase s'écrit donc :

• Énergie potentielle E_p : dans cette section (partie I.2), E_p est supposée constante. Son intégrale sur la durée totale 3T vaut donc :

  \int_0^{3T} E_p\,\mathrm{d}t = 3E_p T

  pour l'un comme pour l'autre des deux trajets.

• Énergie électronique E_i : en observant la figure 4 (code couleur : bleu pour l'état b, gris pour l'état a) :

  • Pour le trajet I (\mathrm{ABCD}) : l'atome est dans l'état b sur [0, T] (segment \mathrm{AB}), reste dans l'état b sur [T, 2T] (segment \mathrm{BC}), puis passe dans l'état a sur [2T, 3T] (segment \mathrm{CD}). Le temps cumulé est donc de 2T dans l'état b et T dans l'état a :

    \int_{\mathrm{ABCD}} E_i(t)\,\mathrm{d}t = 2T E_b + T E_a

  • Pour le trajet II (\mathrm{AB'C'D}) : l'atome est dans l'état a sur [0, T] (segment \mathrm{AB'}), passe dans l'état b sur [T, 2T] (segment \mathrm{B'C'}), et reste dans l'état b sur [2T, 3T] (segment \mathrm{C'D}). Le temps cumulé est également de T dans l'état a et 2T dans l'état b :

    \int_{\mathrm{AB'C'D}} E_i(t)\,\mathrm{d}t = T E_a + 2T E_b

Ainsi, les intégrales de E_p + E_i(t) sur [0, 3T] sont rigoureusement identiques pour les deux trajets.

La phase cumulée due aux énergies potentielle et électronique est donc identique sur les deux trajets.

L'énergie totale de l'atome le long de sa trajectoire se décompose selon :

où i \in \{a, b\}. L'intégrande de la phase cumulée (Éq. (12)) s'écrit donc :

D'après la question 12.a, la contribution des termes E_p + E_i(t) intégrée entre t = 0 et t = 3T est identique sur les deux trajets ABCD (noté I) et AB'C'D (noté II) :

La différence de phase \Delta\Phi = \Phi_{II} - \Phi_I se réduit ainsi à la seule contribution cinétique :

En introduisant le produit scalaire et l'identité remarquable v_{II}^2 - v_I^2 = (\vec{v}_{II} - \vec{v}_I) \cdot (\vec{v}_{II} + \vec{v}_I), on a :

On en déduit directement l'expression de l'Éq. (13) :

D'après la figure 4 et la description du dispositif :

• Sur l'intervalle [0, T] : L'atome suivant le trajet I (ABCD) est défléchi par la première impulsion \pi/2 et acquiert la vitesse de recul +2\vec{v}_r, tandis que sur le trajet II (AB'C'D) l'atome est transmis sans modification d'impulsion :

  \vec{v}_I(t) = \vec{v}_0 + 2\vec{v}_r \quad \text{et} \quad \vec{v}_{II}(t) = \vec{v}_0

  On en déduit :

  \vec{v}_{II}(t) - \vec{v}_I(t) = -2\vec{v}_r \quad \text{et} \quad \frac{\vec{v}_I(t) + \vec{v}_{II}(t)}{2} = \vec{v}_0 + \vec{v}_r

• Sur l'intervalle [T, 2T] : À l'instant t = T, l'atome sur le trajet I est transmis (sa vitesse reste inchangée), tandis que sur le trajet II, il subit l'impulsion de recul +2\vec{v}_r. Tous deux se retrouvent dans l'état b avec la même vitesse \vec{v}_0 + 2\vec{v}_r. À l'instant t', l'impulsion Bloch communique la même variation de vitesse \Delta\vec{v} aux deux paquets d'ondes. Ainsi, à chaque instant t \in [T, 2T], les deux trajets ont exactement la même vitesse : \vec{v}_I(t) = \vec{v}_{II}(t). D'où :

  \vec{v}_{II}(t) - \vec{v}_I(t) = \vec{0}

• Sur l'intervalle [2T, 3T] : À l'instant t = 2T, l'impulsion laser transfère un recul vers le bas (-2\vec{v}_r) à la branche supérieure (trajet I), tandis que la branche inférieure (trajet II) est transmise sans déviation :

  \vec{v}_I(t) = \vec{v}_0 + \Delta\vec{v} \quad \text{et} \quad \vec{v}_{II}(t) = \vec{v}_0 + 2\vec{v}_r + \Delta\vec{v}

  On en déduit :

  \vec{v}_{II}(t) - \vec{v}_I(t) = +2\vec{v}_r \quad \text{et} \quad \frac{\vec{v}_I(t) + \vec{v}_{II}(t)}{2} = \vec{v}_0 + \Delta\vec{v} + \vec{v}_r

En injectant ces grandeurs par morceaux dans l'expression de \Delta\Phi donnée par l'équation (13) :

D'après la question 4.b (étendue à la transition Raman à la question 5), la vitesse de recul vérifie m\vec{v}_r = \hbar\vec{k}, ce qui donne :

On obtient finalement :

D'après l'énoncé, la position de la frange centrale correspond à la condition d'annulation du déphasage total :

avec \Delta\phi_{\mathrm{laser}} = 2\pi\delta_{\mathrm{laser}}^* T.

D'après le résultat de la question 12.c, le déphasage atomique s'écrit :

L'impulsion Bloch communique à l'atome un accroissement de vitesse \Delta\vec{v} = 2N\vec{v}_r (texte de la section I.2.4). Avec \vec{v}_r = \frac{\hbar\vec{k}}{m} et \vec{k} = k\vec{e}_z, on a :

Le produit scalaire vaut alors :

ce qui conduit à :

en utilisant \hbar = \frac{h}{2\pi}.

En injectant cette expression dans la condition de la frange centrale :

En simplifiant par 2\pi T \neq 0, on obtient :

D'après la question 13.a, la fréquence laser associée à la frange centrale s'écrit :

Puisque N est un entier positif, on en déduit l'expression de N :

D'après le texte et la figure 5, on a |\delta_{\mathrm{laser}}^*| \simeq 1{,}59 \times 10^7\text{ Hz}. Avec les données numériques fournies par l'énoncé :

• m \simeq 1{,}5 \times 10^{-25}\text{ kg}
• \hbar \simeq 1 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}
• k \simeq 1{,}0 \times 10^7\text{ m}^{-1} (retenu à la question 5)
• \pi \simeq 3{,}14

Le calcul donne :

Si l'on utilise alternativement h \simeq 7 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} et \pi^2 \simeq 10 :

Compte tenu des arrondis sur les constantes fondamentales imposés par l'énoncé sans calculatrice, on trouve un ordre de grandeur compris entre 300 et 400.

Ce résultat est en parfait accord avec la valeur \Delta v = 600 v_r = 2N v_r introduite explicitement à la question 14.b, qui correspond précisément à :

D'après la question 13.a, la fréquence associée à la frange centrale s'écrit :

On en déduit l'expression de la masse m de l'atome de rubidium 87 :

où \nu = \omega/(2\pi) = kc/(2\pi) désigne la fréquence optique des faisceaux laser. Le nombre entier N de transitions est connu sans incertitude, et les constantes h et c sont fixées exactement dans le Système international d'unités. La mesure de la fréquence centrale \delta_{\mathrm{laser}}^* permet donc bien de déterminer la masse m.

En considérant des sources d'erreurs indépendantes, la loi de propagation des incertitudes relatives s'écrit :

Évaluons les deux termes :

• L'incertitude relative sur \delta_{\mathrm{laser}}^* vaut :

  \frac{u(\delta_{\mathrm{laser}}^*)}{|\delta_{\mathrm{laser}}^*|} = \frac{0{,}047\text{ Hz}}{15\,907\,410{,}770\text{ Hz}} \simeq 3{,}0 \times 10^{-9}

• La fréquence optique \nu = \frac{kc}{2\pi} \simeq \frac{1{,}0 \times 10^7 \times 3 \times 10^8}{2\pi} \simeq 4{,}8 \times 10^{14}\text{ Hz} (domaine optique/proche infrarouge, \lambda \approx 780\text{ nm}). Avec u(\nu) = 1\text{ kHz} = 10^3\text{ Hz}, l'incertitude relative sur la fréquence laser est :

  \frac{u(\nu)}{\nu} \simeq \frac{10^3}{4{,}8 \times 10^{14}} \simeq 2 \times 10^{-12}

On constate que :

L'incertitude sur la fréquence optique est donc totalement négligeable devant celle sur \delta_{\mathrm{laser}}^*, ce qui justifie l'approximation :

Lors de la répétition de M mesures indépendantes et de même incertitude-type, les erreurs aléatoires se moyennent, et l'incertitude-type sur la valeur moyenne vérifie la loi statistique en 1/\sqrt{M} :

où (u(m)/m)_1 \simeq 3{,}0 \times 10^{-9} représente l'incertitude relative obtenue à l'issue d'une mesure élémentaire de durée t_1 = 1\text{ min} (d'après la question 13.c).

Pour atteindre l'incertitude relative requise \left(u(m)/m\right)_{\text{cible}} \simeq 1{,}5 \times 10^{-10} (Éq. (6)), le nombre de réalisations indépendantes doit vérifier :

soit un nombre total de mesures :

Puisque l'acquisition d'un interférogramme dure t_1 = 1\text{ min}, la durée totale nécessaire t_{\text{tot}} est :

Remarque sur le texte du sujet :
L'énoncé demande d'établir que l'Éq. (14) reste valable. Or, la question suivante 14.b montre précisément que la prise en compte de la pesanteur modifie le déphasage total selon \Delta\Phi' = \Delta\Phi + \Delta\Phi_g, où \Delta\Phi_g \neq 0 est calculé en injectant les vitesses modifiées dans l'intégrale. L'Éq. (14) n'est donc pas invariante sous l'effet de la gravité : il s'agit d'une coquille de l'énoncé qui fait en réalité référence à l'**Éq. (13)**.

D'après l'Éq. (12), la phase cumulée par la fonction d'onde le long d'une trajectoire \mathcal{C} s'écrit :

L'énergie totale s'écrit E = E_c + E_p + E_i = \frac{1}{2}m v^2 + E_p(\vec{r}) + E_i, où E_i \in \{E_a, E_b\} est l'énergie interne électronique. On a donc :

Le déphasage \Delta\Phi = \Phi_{II} - \Phi_I entre les deux trajets s'exprime ainsi sous la forme :

Comme établi à la question 12.a, la contribution de l'énergie électronique s'annule car les atomes passent la même durée globale dans l'état a et dans l'état b sur les deux chemins :

Examinons à présent le terme d'énergie potentielle. Le champ de pesanteur \vec{g} = -g\vec{e}_z étant uniforme, le principe fondamental de la dynamique implique que chaque atome subit exactement la même accélération \vec{g}, indépendamment de sa voie. La trajectoire sur chaque bras j \in \{I, II\} s'écrit :

où \vec{r}_{j,0}(t) désigne la position qu'aurait eue l'atome en l'absence de pesanteur.

L'énergie potentielle de pesanteur s'écrit E_p(\vec{r}) = -m\vec{g}\cdot\vec{r}. La différence d'énergie potentielle entre les deux voies à l'instant t vaut :

Le déplacement de chute libre \frac{1}{2}\vec{g}t^2, étant rigoureusement identique sur les deux voies, n'introduit aucune différence d'énergie potentielle. L'intégrale de cette différence ne dépend donc pas du champ de pesanteur et s'annule sur le cycle complet de l'interféromètre fermé (les deux voies décrivant des géométries symétriques dans le plan (z, t)) :

En factorisant v_{II}^2 - v_I^2 = 2(\vec{v}_{II} - \vec{v}_I)\cdot\left(\frac{\vec{v}_I + \vec{v}_{II}}{2}\right), on en déduit que l'expression de \Delta\Phi reste régie par les seules vitesses instantanées :

L'**Éq. (13)** reste donc pleinement valable dans un champ de pesanteur uniforme.

Dans un champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\vec{e}_z, le principe fondamental de la dynamique implique que chaque atome subit une accélération constante \vec{g}, de sorte que la vitesse acquiert un terme additif \vec{g}t :

où \vec{v}_{I,0}(t) et \vec{v}_{II,0}(t) désignent les vitesses en l'absence de pesanteur. Par intervalle de temps, avec t' \in ]T, 2T[ l'instant de l'impulsion Bloch :

• Sur [0, T] :

  \vec{v}_I(t) = \vec{v}_0 + 2\vec{v}_r + \vec{g}t \quad \text{et} \quad \vec{v}_{II}(t) = \vec{v}_0 + \vec{g}t

• Sur [T, t'] :

  \vec{v}_I(t) = \vec{v}_{II}(t) = \vec{v}_0 + 2\vec{v}_r + \vec{g}t

• Sur [t', 2T] :

  \vec{v}_I(t) = \vec{v}_{II}(t) = \vec{v}_0 + 2\vec{v}_r + \Delta\vec{v} + \vec{g}t

• Sur [2T, 3T] :

  \vec{v}_I(t) = \vec{v}_0 + \Delta\vec{v} + \vec{g}t \quad \text{et} \quad \vec{v}_{II}(t) = \vec{v}_0 + 2\vec{v}_r + \Delta\vec{v} + \vec{g}t

L'écart de vitesse \vec{v}_{II}(t) - \vec{v}_I(t) = \vec{v}_{II,0}(t) - \vec{v}_{I,0}(t) est donc rigoureusement inchangé par la gravité. En revanche, la vitesse moyenne devient :

D'après l'Éq. (13), le nouveau déphasage s'écrit \Delta\Phi' = \Delta\Phi + \Delta\Phi_g avec :

En décomposant l'intégrale sur les trois intervalles :

En sommant et en utilisant la relation \frac{m}{\hbar}\vec{v}_r = \vec{k} (question 4.c) :

Comme \vec{k} = k\vec{e}_z et \vec{g} = -g\vec{e}_z, on a \vec{k}\cdot\vec{g} = -kg, soit :

Calculons le rapport \Delta\Phi_g/\Delta\Phi avec \Delta\vec{v} = \Delta v\vec{e}_z et \Delta\Phi = 2Tk\Delta v :

Avec g \simeq 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, T = 20\text{ ms} = 2{,}0 \times 10^{-2}\text{ s} (question 11) et v_r \simeq 6{,}7 \times 10^{-3}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (question 4.c) :

L'effet relatif de la pesanteur est de l'ordre de 10^{-1} : il dépasse de neuf ordres de grandeur l'incertitude relative recherchée sur la masse \frac{u(m)}{m} \simeq 1{,}5 \times 10^{-10} (Éq. (6)). L'effet de la pesanteur n'est donc absolument pas négligeable et constitue un biais systématique majeur qu'il est indispensable de compenser.

D'après l'équation (15) établie à la question 14.b, le déphasage total dans l'interféromètre s'écrit :

où \vec{k} = k\vec{e}_z et \Delta\Phi_g = -4kgT^2 ne dépend pas de l'impulsion Bloch \Delta\vec{v}.

Notons \Delta\Phi'_{(+)} et \Delta\Phi'_{(-)} les déphasages totaux mesurés respectivement pour une accélération vers le haut (+\Delta\vec{v} = \Delta v\vec{e}_z) et vers le bas (-\Delta\vec{v} = -\Delta v\vec{e}_z) :

En formant la demi-différence de ces deux mesures, la contribution systématique de la pesanteur se compense exactement :

Expérimentalement, la frange centrale correspond à la condition d'annulation de la phase globale : \Delta\Phi' + 2\pi\delta_{\text{laser}}^* T = 0. Les fréquences mesurées pour chaque configuration vérifient ainsi :

La demi-différence des fréquences de résonance mesurées :

est totalement affranchie de l'effet de la gravité \Delta\Phi_g.