Corrigé détaillé Banque PT Physique A PT 2020 (page 3/4 : Partie 2 (questions 15 à 25))

Dans le vide séparant les deux conducteurs situés en x=0 et x=L, la densité volumique de charge est nulle (\rho = 0) et la densité volumique de courant est nulle (\vec{\jmath} = \vec{0}).

Les équations de Maxwell s'écrivent donc :

Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

En substituant \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} par son expression issue de l'équation de Maxwell-Ampère et en utilisant l'identité vectorielle \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec{E}) - \vec{\Delta}\vec{E} :

Comme \operatorname{div}\vec{E} = 0 dans le vide, et sachant que c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}, on obtient l'équation de d'Alembert :

Dans le cas d'une onde ne dépendant que de la coordonnée spatiale x, cette équation se réduit à :

La forme proposée pour le champ électrique est :

Cette forme présente plusieurs caractéristiques physiques :

• Onde stationnaire : les variables spatiale x et temporelle t sont factorisées sous la forme d'un produit g(x) \times \cos(2\pi ft). L'onde ne dépend pas d'une combinaison de propagation du type (t \pm x/c) : il n'y a pas de transport net d'énergie selon Ox, mais une oscillation synchrone en tous points avec une amplitude locale modulée par g(x), définissant des ventres et des nœuds d'oscillation.
• Onde monochromatique (ou harmonique) : l'évolution temporelle est purement sinusoïdale de fréquence bien déterminée f.
• Onde polarisée rectilignement : la direction du champ électrique est fixe au cours du temps et parallèle à l'axe vertical \vec{u}_y.
• Onde plane transverse : le champ ne dépend spatialement que de la seule coordonnée cartésienne x, et il est orthogonal à la direction de variation spatiale (\vec{E} \cdot \vec{u}_x = 0).

À l'intérieur d'un conducteur parfait, le champ électrique est identiquement nul :

Justification :

• Par définition d'un conducteur parfait, la conductivité électrique tend vers l'infini (\gamma \to +\infty).

• D'après la loi d'Ohm locale, la densité volumique de courant s'écrit :

  \vec{j} = \gamma \vec{E}

  Pour que la densité de courant \vec{j} et la puissance volumique dissipée par effet Joule restent finies, le champ électrique doit impérativement vérifier :

  \vec{E} = \frac{\vec{j}}{\gamma} \xrightarrow[\gamma \to +\infty]{} \vec{0}

• En régime variable harmonique de pulsation \omega, cette propriété se traduit également par une épaisseur de peau nulle :

  \delta = \sqrt{\frac{2}{\mu_0 \gamma \omega}} \xrightarrow[\gamma \to +\infty]{} 0

  L'onde électromagnétique ne pénètre donc pas dans le conducteur, assurant la stricte nullité du champ électrique en son sein.

Les deux parois conductrices occupent les plans x=0 et x=L, dont le vecteur unitaire normal est \vec{u}_x. Par conséquent, tout vecteur orthogonal à \vec{u}_x, en particulier \vec{u}_y, est contenu dans le plan tangent aux interfaces.

Le champ électrique dans la cavité s'écrit \vec{E}(x,t) = g(x)\cos(2\pi f t)\,\vec{u}_y : il est donc purement tangentiel aux deux interfaces :

D'après le résultat de la question Q17, le champ électrique est strictement nul à l'intérieur des conducteurs parfaits situés en x < 0 et x > L. La continuité de la composante tangentielle du champ électrique à la traversée des interfaces impose donc :

Cette relation étant valable à tout instant t, la fonction spatiale g(x) doit vérifier :

ou, sous forme vectorielle pour le champ électromagnétique :

D'après la question Q15, le champ électrique dans le vide vérifie l'équation de propagation de d'Alembert :

Le champ recherché est unidimensionnel et polarisé selon \vec{u}_y : \vec{E}(x,t) = g(x)\cos(\omega t)\vec{u}_y, avec la pulsation \omega = 2\pi f.

Calculons les dérivées partielles nécessaires :

En reportant dans l'équation de d'Alembert, il vient :

Cette relation étant vraie à tout instant t, g(x) vérifie l'équation différentielle de l'oscillateur harmonique spatial :

La solution générale de cette équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants est :

En appliquant la condition aux limites en x = 0 obtenue à la question Q18, g(0) = 0 :

On en déduit la forme de la fonction g(x) :

où B est une constante d'amplitude réelle.

D'après la question Q19, la solution générale respectant la condition aux limites en x=0 s'écrit :

La condition aux limites en x = L établie à la question Q18 impose :

Pour obtenir un champ électromagnétique non identiquement nul dans la cavité, l'amplitude B doit être non nulle, ce qui conduit à :

Le vecteur d'onde ne peut donc prendre qu'un ensemble discret de valeurs k_p = \frac{p\pi}{L}.

Comme k = \frac{2\pi f}{c}, les fréquences permises (fréquences des modes propres de la cavité) sont quantifiées :

La longueur d'onde dans le vide associée à chaque mode propre s'en déduit par \lambda_p = \frac{c}{f_p} :

Ce qui équivaut à la condition de résonance géométrique :

Considérons deux ondes successives émergeant de la lame partiellement réfléchissante (M'_x) dans le sens de -\vec{u}_x :

• La première onde subit une transmission à travers (M'_x), un aller-retour dans la cavité entre (M'_x) et (M_x), puis une transmission à travers (M'_x).
• L'onde suivante subit un aller-retour supplémentaire dans la cavité avant d'émerger : elle parcourt une distance géométrique supplémentaire égale à 2l_x dans un milieu d'indice de réfraction n_x.

La différence de chemin optique associée à cet aller-retour supplémentaire est donc :

Le déphasage de propagation correspondant s'écrit :

Par ailleurs, l'onde qui réalise cet aller-retour supplémentaire subit deux réflexions de plus :

• une réflexion sur le miroir parfait (M_x), induisant un déphasage de \pi ;
• une réflexion sur la face interne de la lame partiellement réfléchissante (M'_x), induisant également un saut de phase (souvent modélisé par \pi pour une réflexion interne ou compensé par les propriétés diélectriques de la lame).

Le déphasage lié aux deux réflexions supplémentaires vaut ainsi 2\pi \equiv 0 \pmod{2\pi} (ou est absorbé dans la définition de l'état résonant).

Le déphasage \psi entre deux ondes successives s'écrit donc :

En l'absence d'onde gravitationnelle (\tau = 0), l'indice de réfraction du vide dans le bras selon \vec{u}_x vaut :

D'après le résultat de la question Q21, le déphasage entre deux ondes successives émergeant de (M'_x) se réduit à :

Pour que ces ondes successives soient en phase, leur déphasage doit être un multiple entier de 2\pi :

On en déduit immédiatement la relation entre l_x et \lambda :

soit :

Commentaire :
À la question D.20, l'étude d'une cavité unidimensionnelle de longueur L entre deux conducteurs parfaits a montré que les longueurs d'onde des modes stationnaires résonants vérifient :

On retrouve exactement la même condition de résonance pour la cavité de Fabry-Pérot \{(M'_x) + (M_x)\} de longueur l_x : la cavité n'est à la résonance que si sa longueur est un multiple entier de la demi-longueur d'onde de l'onde incidente. Cela correspond à la formation d'ondes stationnaires résonantes par interférences constructives des allers-retours au sein de la cavité.

La cavité résonante située dans le bras y, délimitée par la lame partiellement réfléchissante (M'_y) et le miroir (M_y), est géométriquement et optiquement analogue à celle du bras x :

• l'amplitude incidente sur la cavité est notée \underline{S}_2 (au lieu de \underline{S}_1) ;
• la longueur de la cavité est l_y (au lieu de l_x) ;
• le coefficient de réflexion de la lame (M'_y) est identique à celui de (M'_x), soit r, ce qui conserve le même facteur F = \dfrac{1+r}{1-r}.

En revanche, le passage de l'onde gravitationnelle induit une anisotropie d'indice :

L'écart à l'indice du vide dans le bras y est donc opposé à celui du bras x :

Par conséquent, pour obtenir l'amplitude complexe \underline{S}'_y émergeant de (M'_y) dans le sens -\vec{u}_y, il convient de remplacer dans l'expression de \underline{S}'_x :

• \underline{S}_1 par \underline{S}_2 ;
• l_x par l_y ;
• \tau(t) par -\tau(t).

On en déduit directement :

D'après les questions précédentes, en présence des cavités résonantes, les amplitudes complexes réémises par chaque bras s'écrivent :

où F = \dfrac{1+r}{1-r} et où \underline{S}_1 et \underline{S}_2 sont les amplitudes des ondes incidentes sur les cavités, issues de la séparatrice.

En sortie de l'interféromètre, la différence de phase \varphi(t) = \varphi_y(t) - \varphi_x(t) entre les deux ondes recombinées s'écrit alors :

où \varphi_0 est le déphasage statique en l'absence d'onde gravitationnelle, et où le déphasage dynamique induit par l'onde gravitationnelle vaut désormais :

puisque l_x \approx L_x et l_y \approx L_y.

Par rapport au cas sans cavité de la question B.10, la perturbation de phase est multipliée par le facteur d'amplification F.

L'éclairement en sortie s'exprime toujours par la formule de Fresnel :

Au premier ordre en \tau (car \delta\varphi \ll 1) :

On en déduit que le terme variable proportionnel à \tau(t) dans le rapport d'éclairement est simplement multiplié par le facteur F :

(ou de manière équivalente avec l_x + l_y à la place de L_x + L_y).

D'après la relation établie en Q24, pour un point de fonctionnement \varphi_0 = \frac{\pi}{2}, on a \cos\varphi_0 = 0 et \sin\varphi_0 = 1. L'éclairement s'écrit :

La variation d'éclairement (et donc de puissance optique sur le détecteur) liée à l'onde gravitationnelle est donnée par :

où \Delta P_{y,0}(t) est la variation de puissance obtenue en l'absence des cavités (question Q11). La sensibilité du dispositif, définie par le taux de variation de la puissance par rapport à la déformation \tau, est ainsi directement multipliée par le facteur :

Pour r = 0{,}995 :

Le bruit de grenaille photonique restant inchangé (\Delta P_y conservé), la condition d'un rapport signal sur bruit supérieur à 1 impose :

La plus petite valeur mesurable de \tau_M est donc divisée par F :

En utilisant la valeur minimale sans cavité calculée en Q14, \tau_M^{(0)} \approx 4\cdot 10^{-19}, on obtient :

Cette valeur coïncide précisément avec l'ordre de grandeur de l'amplitude de l'onde gravitationnelle attendue (\tau_M = 10^{-21}, énoncé page 7). L'insertion des cavités résonantes de Fabry-Pérot permet d'atteindre le seuil de sensibilité requis : la détection directe des ondes gravitationnelles devient expérimentalement faisable.