Corrigé détaillé Banque PT Physique A PT 2020

Soit \varepsilon_0 la permittivité diélectrique du vide. On note :

• \vec{r}_{12} = \vec{P_1P_2} le vecteur joignant le point P_1 au point P_2,
• r_{12} = \|\vec{P_1P_2}\| la distance séparant les deux charges ponctuelles,
• \vec{u}_{1\to 2} = \dfrac{\vec{P_1P_2}}{r_{12}} le vecteur unitaire dirigé de P_1 vers P_2.

D'après la loi de Coulomb, la force électrostatique exercée par la charge ponctuelle q_1 située en P_1 sur la charge ponctuelle q_2 située en P_2 s'écrit :

Le théorème de Gauss en électrostatique s'énonce ainsi :

Le flux du champ électrostatique \vec{E} à travers une surface fermée \Sigma orientée vers l'extérieur est égal à la charge électrique totale algébrique Q_{\text{int}} contenue à l'intérieur du volume délimité par \Sigma, divisée par la permittivité diélectrique du vide \varepsilon_0 :

où :

• \Sigma est une surface fermée fictive (surface de Gauss) ;
• \mathrm{d}\vec{S}_{\text{ext}} = \vec{n}_{\text{ext}}\,\mathrm{d}S est le vecteur surface élémentaire orienté vers l'extérieur de la surface fermée ;
• Q_{\text{int}} = \iiint_{\mathcal{V}} \rho\,\mathrm{d}\tau est la charge intérieure au volume \mathcal{V} délimité par \Sigma.

Sous forme locale, il correspond à l'équation de Maxwell-Gauss :

D'après la loi de la gravitation universelle de Newton, la force gravitationnelle exercée par la masse ponctuelle m_1 située en P_1 sur la masse ponctuelle m_2 située en P_2 est une force d'interaction attractive, dirigée le long de la droite joignant les deux points.

En conservant les notations de la question précédente, en posant r_{12} = P_1 P_2 et en introduisant le vecteur unitaire \vec{u}_{1\to 2} = \frac{\overrightarrow{P_1 P_2}}{P_1 P_2} dirigé de P_1 vers P_2, elle s'écrit :

où G est la constante de gravitation universelle.

Le champ électrostatique créé en un point P_2 par une charge ponctuelle q_1 située en P_1 s'écrit :

De façon analogue, le champ gravitationnel créé en P_2 par une masse ponctuelle m_1 située en P_1 s'écrit (d'après l'expression de la force de gravitation de la question Q3 avec \vec{F}_{1\to 2} = m_2 \vec{g}(P_2)) :

Par identification directe des deux expressions, on établit la correspondance suivante :

En appliquant cette correspondance au théorème de Gauss électrostatique (question Q2), on en déduit le théorème de Gauss gravitationnel :

Le flux sortant du champ gravitationnel \vec{g}(M) à travers une surface fermée \Sigma orientée vers l'extérieur est proportionnel à la masse totale M_{\text{int}} contenue à l'intérieur du volume délimité par \Sigma :

Sous forme locale, cette loi se traduit par l'équation de Maxwell-Gauss gravitationnelle :

où \rho désigne la masse volumique locale.

On repère le point M en coordonnées sphériques (r,\theta,\varphi) d'origine O, centre de l'astre : \vec{OM} = r\,\vec{u}_r, avec r = OM > R.

1. Symétries et invariances :

• Invariances : La distribution de masse est à symétrie sphérique, invariante par toute rotation autour de O. Le champ gravitationnel ne dépend donc pas des coordonnées angulaires \theta et \varphi : \vec{g}(M) = \vec{g}(r).

• Symétries : Tout plan contenant l'axe (OM) est un plan de symétrie de la distribution de masse. Le champ gravitationnel étant un vrai vecteur, \vec{g}(M) doit appartenir à tous ces plans de symétrie : il est donc radial, porté par leur intersection, la droite (OM) :

  \vec{g}(M) = g(r)\,\vec{u}_r

2. Choix de la surface de Gauss et calcul du flux : On choisit pour surface de Gauss \Sigma la sphère de centre O et de rayon r > R, orientée vers l'extérieur : \mathrm{d}\vec{S}_{\text{ext}} = \mathrm{d}S\,\vec{u}_r. Le flux gravitationnel sortant à travers \Sigma vaut :

3. Application du théorème de Gauss gravitationnel : D'après le théorème de Gauss gravitationnel (question Q4) :

Comme r > R, la surface de Gauss englobe la totalité de l'astre : M_{\text{int}} = m. On en déduit :

Le champ gravitationnel s'écrit donc :

Comme r = OM, on obtient bien :

Commentaires :

• Le signe négatif traduit le caractère attractif de l'interaction gravitationnelle : le champ est dirigé vers le centre attracteur O.
• En tout point extérieur (r > R), le champ créé par une sphère de masse m est rigoureusement identique à celui qu'engendrerait une masse ponctuelle de même valeur m concentrée en son centre O (théorème de Newton).

Soit un point M intérieur à l'astre, situé à une distance r = OM < R du centre O.

Les symétries et invariances de la distribution sphérique sont identiques à celles analysées à la question Q5 :

On choisit comme surface de Gauss \Sigma la sphère de centre O et de rayon r (r < R). Le flux sortant du champ gravitationnel à travers \Sigma s'écrit :

La masse m étant uniformément répartie dans la sphère de volume V = \frac{4}{3}\pi R^3, la masse volumique de l'astre est :

La masse M_{\text{int}} contenue à l'intérieur de la surface de Gauss \Sigma est donc :

D'après le théorème de Gauss gravitationnel établi à la question Q4 :

Sous forme vectorielle, en utilisant \vec{OM} = r\,\vec{u}_r, on obtient :

D'après les résultats établis aux questions Q5 et Q6, la norme du champ gravitationnel s'écrit :

On relève les caractéristiques suivantes :

• Pour 0 \le r \le R, \|\vec{g}(M)\| varie de façon linéaire avec r, partant de zéro au centre (r = 0) ;

• À la surface de l'astre (r = R), \|\vec{g}(M)\| est continu et atteint sa valeur maximale :

  g_{\max} = \|\vec{g}(R)\| = \frac{Gm}{R^2}
• Pour r \ge R, \|\vec{g}(M)\| décroît en 1/r^2 et tend vers 0 lorsque r \to +\infty ;
• La dérivée par rapport à r présente une discontinuité en r = R (pente à gauche égale à +Gm/R^3, pente à droite égale à -2Gm/R^3), traduisant la discontinuité de la masse volumique à la surface.

Par définition du centre de masse C du système constitué des deux corps C_1 et C_2 de même masse m, on a :

En simplifiant par la masse m \neq 0, il vient :

D'après la relation de Chasles, le vecteur position relative \vec{r} = \vec{C_1 C_2} s'écrit :

En substituant \vec{R_2} = -\vec{R_1} dans cette relation :

On en déduit immédiatement :

On étudie le point matériel C_1 de masse m dans le référentiel galiléen d'origine C.

Le système \{C_1 + C_2\} étant isolé, la seule force appliquée à C_1 est l'action gravitationnelle exercée par C_2 :

D'après la question Q8, on a \vec{r} = -2\vec{R_1} avec \vec{R_1} = \vec{CC_1}, donc :

La force subie par C_1 est donc une force centrale de centre C.

Appliquons le théorème du moment cinétique à C_1 au point fixe C dans ce référentiel :

Comme \vec{F}_{2\to 1} est colinéaire à \vec{R_1}, le moment en C de la force est nul :

Deux situations se présentent :

• Si \vec{L}_C(C_1) = \vec{0}, alors \vec{R_1} et \vec{v}_1 sont colinéaires à chaque instant : le mouvement est rectiligne, ce qui constitue un cas particulier de mouvement plan.

• Si \vec{L}_C(C_1) \neq \vec{0}, le produit scalaire donne en permanence :

  \vec{R_1}(t) \cdot \vec{L}_C(C_1) = \left(\vec{R_1} \wedge m\vec{v}_1\right) \cdot \vec{R_1} = 0

  Le vecteur position \vec{R_1}(t) est orthogonal au vecteur constant non nul \vec{L}_C(C_1).

Le mouvement de C_1 est donc plan.

D'après la question Q8, le vecteur position de C_1 par rapport à C s'écrit :

Puisque la distance r = \|\vec{r}\| est supposée constante, la distance R_1 = CC_1 l'est également :

Le mouvement de C_1 étant plan (d'après la question Q9), repérons la position de C_1 en coordonnées polaires (R_1, \theta) de pôle C dans ce plan, avec la base (\vec{u}_{R_1}, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z) telle que \vec{R}_1 = R_1 \vec{u}_{R_1}. Le vecteur vitesse s'exprime par :

Comme R_1 = \text{cte}, on a \dot{R}_1 = 0, d'où :

D'après la question Q9, la force subie par C_1 est une force centrale de centre C, donc le moment cinétique de C_1 en C est conservé au cours du temps :

La masse m et le rayon R_1 étant constants, la vitesse angulaire \dot{\theta} est constante.

La norme de la vitesse vaut alors :

D'après les questions précédentes :

• le mouvement de C_1 est plan (question Q9) ;
• la distance de C_1 au centre d'inertie C est constante : R_1 = \|\vec{R}_1\| = \dfrac{r}{2} = \text{cte} (question Q8) ; la trajectoire de C_1 dans le référentiel galiléen de centre C est donc un cercle de centre C et de rayon R_1 = \dfrac{r}{2} ;
• la norme de la vitesse de C_1 est constante : v_1 = \text{cte} (question Q10).

Le mouvement de C_1 est donc un mouvement circulaire uniforme de centre C et de rayon :

D'après la question Q8, \vec{R}_2(t) = -\vec{R}_1(t). En dérivant par rapport au temps dans le référentiel galiléen lié à C :

Les corps C_1 et C_2 sont donc en permanence diamétralement opposés sur le même cercle de centre C et de rayon r/2, avec des vecteurs vitesse opposés, orthogonaux à la droite (C_1 C_2) et de même norme.

On étudie le corps C_1 de masse m dans le référentiel galiléen lié au centre de masse C.

Le corps C_1 est soumis à la force gravitationnelle exercée par C_2, située à une distance r :

Cette force est centrale, dirigée vers le centre C de la trajectoire.

D'après les questions précédentes, le mouvement de C_1 est circulaire uniforme de rayon R_1 = \frac{r}{2}. Son accélération est donc purement centripète et s'écrit, en introduisant la pulsation \omega = 2\pi f :

La deuxième loi de Newton appliquée à C_1 s'écrit :

En projetant selon le vecteur unitaire centripète -\vec{u}_r, on obtient :

Comme la fréquence f est une grandeur positive, on en déduit :

La force gravitationnelle exercée par le corps C_1 sur le corps C_2 s'écrit, d'après le résultat de la question Q3 avec m_1 = m_2 = m et \vec{r} = \overrightarrow{C_1C_2} = r \vec{u}_r :

Cette force dérive d'une énergie potentielle E_{\text{pot}} définie par :

On en déduit par intégration :

La condition de référence choisie impose \lim_{r\to+\infty} E_{\text{pot}}(r) = 0, d'où \text{cte} = 0.

L'énergie potentielle gravitationnelle s'écrit ainsi :

Le corps C_1 décrit un cercle de centre C et de rayon R_1 = \frac{r}{2} d'après la question 8, à la vitesse constante :

L'énergie cinétique de C_1 dans le référentiel barycentrique s'écrit donc :

En utilisant l'expression de la fréquence orbitale établie à la question 12, f^2 = \frac{Gm}{2\pi^2 r^3}, il vient :

D'après l'énoncé, l'énergie mécanique totale E_m du système \{C_1 + C_2\} s'obtient par la somme des énergies cinétiques des deux corps et de l'énergie potentielle d'interaction :

Par symétrie du mouvement dans le référentiel galiléen du centre de masse (question 11), on a \vec{v}_2 = -\vec{v}_1, d'où v_2^2 = v_1^2 et :

L'énergie cinétique totale vaut donc :

En utilisant l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle établie à la question 13, E_{\text{pot}} = -\dfrac{Gm^2}{r}, il vient :

d'où :

Conservation de l'énergie mécanique :

• Le système \{C_1 + C_2\} est isolé, il n'est soumis à aucune action mécanique extérieure.
• La seule force en jeu est la force gravitationnelle mutuelle entre C_1 et C_2, qui est une force intérieure conservative dérivant de l'énergie potentielle E_{\text{pot}}.
• Le travail des forces non conservatives est donc nul à chaque instant (\mathcal{P}_{\text{nc}} = 0).

D'après le théorème de l'énergie mécanique appliqué au système dans le référentiel galiléen lié à C :

L'énergie mécanique E_m est donc une constante du mouvement.

D'après la question Q12, la fréquence orbitale f s'écrit :

On en déduit l'expression de la distance r en fonction de f :

D'après la question Q15, l'énergie mécanique totale du système vaut :

En remplaçant \frac{1}{r} par son expression en fonction de f, il vient :

On identifie directement la relation demandée :

Vérification de l'homogénéité : Une énergie a la dimension du travail d'une force, soit :

La loi de la gravitation universelle F = G\frac{m^2}{r^2} permet d'obtenir la dimension de la constante de gravitation G :

Déterminons la dimension du coefficient \alpha :

La fréquence f est l'inverse d'un temps, donc [f] = \mathrm{T}^{-1} et [f^{2/3}] = \mathrm{T}^{-2/3}.

On en déduit la dimension du terme \alpha f^{2/3} :

L'expression est donc rigoureusement homogène.

Le système \{C_1 + C_2\} émet des ondes gravitationnelles avec une puissance P(t) > 0. D'après le théorème de l'énergie mécanique appliqué au système isolé de toute autre interaction extérieure, la dérivée temporelle de son énergie mécanique s'écrit :

L'énergie mécanique totale E_m(t) du système diminue donc continûment au cours du temps (elle prend des valeurs de plus en plus négatives).

D'après le résultat de la question Q15, l'énergie mécanique s'exprime en fonction de la distance r(t) entre les deux corps sous la forme :

Comme E_m(t) diminue, la valeur absolue |E_m(t)| = \frac{Gm^2}{2r(t)} augmente, ce qui implique que :

Les deux corps se rapprochent continûment l'un de l'autre en décrivant une trajectoire quasi circulaire en spirale (coalescence).

D'après la question Q12, la fréquence orbitale f(t) est reliée à la séparation r(t) par la troisième loi de Kepler :

Puisque la distance r(t) diminue :

Le mouvement orbital s'accélère à mesure que les corps se rapprochent.

Le système \{C_1 + C_2\} perd de l'énergie mécanique par émission d'ondes gravitationnelles avec une puissance P(t), d'où le bilan énergétique :

D'après le résultat de la question Q16, l'énergie mécanique s'écrit en fonction de la fréquence f :

En dérivant cette expression par rapport au temps, on obtient :

Par ailleurs, d'après la relation établie à la question Q12 :

La distance r(t) s'exprime donc en puissance de f sous la forme r \propto f^{-2/3}.

En injectant cette relation dans l'expression de la puissance rayonnée fournie par l'énoncé, on obtient :

En égalant les deux expressions de \dfrac{\mathrm{d}E_m}{\mathrm{d}t} :

On en déduit :

L'équation différentielle vérifiée par la fréquence s'écrit donc bien sous la forme :

avec :

D'après la question Q18, la fréquence orbitale f(t) vérifie l'équation différentielle :

En séparant les variables, il vient :

On intègre cette relation entre la date initiale t=0, où f(0)=f_0, et une date ultérieure t :

On isole [f(t)]^{-8/3} :

En élevant les deux membres à la puissance -3/8, on obtient :

où le temps caractéristique \tau est défini par :

D'après la loi d'évolution établie à la question Q19 :

Lorsque t tend vers la date \tau par valeurs inférieures :

D'après la relation issue de la question Q12, la distance relative r(t) entre les deux corps vérifie r(t) \propto f(t)^{-2/3}, de sorte que :

La grandeur \tau s'interprète donc comme la durée restant avant la coalescence (ou fusion) des deux corps, à compter de l'instant initial t=0 :