Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 TSI 2021 (page 3/3 : Partie III)

Soit \vec{u}_{B \to A} = \frac{\vec{BA}}{\|\vec{BA}\|} le vecteur unitaire orienté de la source B vers le point d'observation A, et notons r = AB = \|\vec{BA}\| la distance séparant les deux points.

• Force d'interaction électrostatique (loi de Coulomb) :

  La force exercée par la charge q_B sur la charge q_A s'écrit :

  \boxed{\vec{F}_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_A q_B}{r^2} \, \vec{u}_{B \to A} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_A q_B}{r^3} \, \vec{BA}}

  où \varepsilon_0 désigne la permittivité diélectrique du vide. Cette interaction est répulsive si les charges sont de même signe (q_A q_B > 0) et attractive si elles sont de signes opposés (q_A q_B < 0).

• Force d'attraction gravitationnelle (loi de Newton) :

  La force exercée par la masse m_B sur la masse m_A est toujours attractive, dirigée de A vers B (donc opposée à \vec{u}_{B \to A}) :

  \boxed{\vec{F}_g = - G \frac{m_A m_B}{r^2} \, \vec{u}_{B \to A} = - G \frac{m_A m_B}{r^3} \, \vec{BA}}

  où G est la constante gravitationnelle universelle.

D'après les lois d'interaction établies à la question Q32, le champ électrostatique \vec{E} créé en un point A par une charge ponctuelle q_B située en B et le champ gravitationnel \vec{g} créé par une masse ponctuelle m_B située en B s'écrivent :

La comparaison terme à terme de ces deux expressions conduit au dictionnaire d'analogie suivant :

• Champ : \vec{E} \longleftrightarrow \vec{g} ;
• Source ponctuelle (ou intérieure) : q \longleftrightarrow m (et Q_{\text{int}} \longleftrightarrow M_i) ;
• Facteur de couplage : \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \longleftrightarrow -G, ce qui équivaut à \dfrac{1}{\varepsilon_0} \longleftrightarrow -4\pi G.

Le théorème de Gauss pour le champ électrostatique à travers une surface fermée \Sigma orientée vers l'extérieur s'écrit :

En remplaçant \vec{E} par \vec{g}, Q_{\text{int}} par la masse intérieure M_i et \dfrac{1}{\varepsilon_0} par -4\pi G, on obtient le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel :

Soit un point de l'espace M repéré par ses coordonnées cartésiennes (x, y, z).

1. Étude des invariances : La distribution de masse est une couche plane homogène d'épaisseur H, d'extension infinie selon les axes (Ox) et (Oy). Elle est donc invariante par :

• translation de vecteur quelconque \delta x \, \vec{u}_x selon l'axe (Ox) ;
• translation de vecteur quelconque \delta y \, \vec{u}_y selon l'axe (Oy).

En vertu du principe de Curie, le champ gravitationnel créé possède les mêmes invariances que sa source. Les composantes de \vec{g}_c(M) ne dépendent donc ni de x ni de y, mais uniquement de la coordonnée z :

2. Étude des symétries : Considérons les deux plans passant par le point M(x, y, z) et perpendiculaires à la couche :

• le plan \Pi_1 = (M, \vec{u}_x, \vec{u}_z) ;
• le plan \Pi_2 = (M, \vec{u}_y, \vec{u}_z).

La distribution de masse étant invariante par translation dans le plan (Oxy), ces deux plans sont des plans de symétrie plane de la distribution de masse.

Le champ gravitationnel \vec{g}_c étant un champ vectoriel polaire (au même titre que le champ électrostatique \vec{E}), il appartient à tout plan de symétrie de sa distribution de source passant par le point considéré :

Le champ \vec{g}_c(M) est donc dirigé selon l'intersection de ces deux plans, c'est-à-dire la droite passant par M et de vecteur directeur \vec{u}_z.

En combinant l'étude des invariances et des symétries, on en déduit la forme recherchée :

Considérons une surface de Gauss \Sigma constituée d'un cylindre fermé d'axe (Oz), de section droite d'aire S, délimité par :

• une base supérieure S_{\text{haut}} située à l'altitude z > H/2, de normale unitaire sortante \vec{n}_{\text{ext}} = +\vec{u}_z ;
• une base inférieure S_{\text{bas}} située à l'altitude -z < -H/2, de normale unitaire sortante \vec{n}_{\text{ext}} = -\vec{u}_z ;
• une surface latérale S_{\text{lat}} cylindrique de génératrices parallèles à (Oz), de normale unitaire sortante \vec{n}_{\text{ext}} \perp \vec{u}_z.

Le flux sortant du champ gravitationnel à travers \Sigma se décompose en :

D'après la question Q34 :

• sur la surface latérale, \vec{g}_c(z) \parallel \vec{u}_z \perp \vec{n}_{\text{lat}}, d'où \vec{g}_c \cdot \vec{n}_{\text{lat}} = 0 et le flux latéral est nul ;
• sur la base supérieure (z > H/2), \vec{g}_c(z) \cdot \vec{u}_z = g_c(z), donc le flux vaut g_c(z) S ;
• sur la base inférieure (-z < -H/2), \vec{g}_c(-z) \cdot (-\vec{u}_z) = -g_c(-z).

Par antisymétrie par rapport au plan (Oxy), g_c(-z) = -g_c(z), d'où :

Puisque z > H/2, le cylindre intercepte toute l'épaisseur H de la couche plane. La masse intérieure est donc :

En appliquant le théorème de Gauss gravitationnel (question Q33) :

On simplifie par 2S, ce qui donne la composante g_c :

Ce résultat est indépendant de l'altitude z dans toute la région z > H/2.

Par application du principe de superposition linéaire du champ gravitationnel, la configuration avec nappe de pétrole (figure 10 droite) est équivalente à la somme :

• du sol homogène non perturbé créant le champ -g\,\vec{u}_z ;

• d'une tranche plane d'épaisseur H, infinie selon (Ox) et (Oy), de masse volumique apparente :

  \rho_c = \rho_p - \rho_s.

D'après le résultat de la question Q35, cette couche crée en tout point situé au-dessus d'elle (z > H/2) un champ gravitationnel additionnel :

Le champ gravitationnel total mesuré par l'avion s'écrit donc :

Par identification avec l'expression donnée par l'énoncé, \vec{g}' = -(g - \Delta g)\,\vec{u}_z, on en déduit l'expression de l'anomalie gravitationnelle :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2},
• \rho_s = 2800\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3},
• \rho_p = 800\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} \implies \rho_s - \rho_p = 2000\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3},
• H = 200\text{ m}.

La tige étant homogène et de longueur 2\ell, son centre d'inertie G est situé en son milieu, soit à une distance OG = \ell du point d'attache O.

La liaison pivot d'axe \Delta contraint la tige à se déplacer dans un plan \mathcal{P} orthogonal à \Delta. Dans ce plan, le point G décrit un cercle de centre O et de rayon \ell.

Soit \vec{u}_z le vecteur unitaire vertical ascendant et \vec{u}_\Delta le vecteur unitaire le long de l'axe \Delta. D'après l'énoncé, l'axe \Delta est incliné d'un angle \alpha par rapport à la verticale, donc :

La composante du champ de pesanteur (ou de la verticale) dans le plan du mouvement \mathcal{P} correspond à la ligne de plus grande pente de ce plan, inclinée de \alpha par rapport au plan horizontal.

Décomposons le vecteur unitaire vertical \vec{u}_z dans une base adaptée au plan \mathcal{P} :

• une direction \vec{e}_1 orthogonale à \Delta, située dans le plan (Oyz), dirigée vers le bas le long de la ligne de plus grande pente : \vec{u}_z \cdot \vec{e}_1 = -\sin\alpha ;
• une direction \vec{e}_2 = \vec{u}_x horizontale, contenue dans le plan \mathcal{P} : \vec{u}_z \cdot \vec{e}_2 = 0.

Le centre d'inertie G a pour vecteur position dans le plan \mathcal{P} :

où \theta = 0 correspond à la position d'équilibre stable (altitude minimale de G).

L'altitude z_G de G (en prenant z_O = 0) s'écrit alors :

L'énergie potentielle de pesanteur de la tige s'en déduit à une constante additive près :

En choisissant conventionnellement l'origine des énergies potentielles à la position d'équilibre \theta = 0 (E_p(0) = 0) :

Le référentiel d'étude lié au laboratoire est supposé galiléen. La tige, de masse m et de longueur 2\ell, effectue un mouvement de rotation pure autour de l'axe fixe \Delta avec la vitesse angulaire \dot{\theta}(t).

Son énergie cinétique s'écrit :

D'après le résultat de la question Q37, l'énergie potentielle de pesanteur s'exprime (à une constante additive près) par :

L'énergie mécanique totale de la tige est donc :

La liaison pivot d'axe \Delta en O étant parfaite et les frottements étant négligés, la puissance des forces de liaison est nulle. Le poids étant une force conservative, le système est conservatif :

En dérivant l'énergie mécanique par rapport au temps :

Cette égalité étant vérifiée à tout instant pour un mouvement quelconque (\dot{\theta}(t) non identiquement nulle), on simplifie par \frac{4}{3} m\ell^2 \dot{\theta}, ce qui conduit directement à :

Dans le cadre de l'approximation des petites oscillations (\theta \ll 1), on effectue le développement limité \sin\theta \approx \theta. L'équation différentielle établie à la question Q38 devient :

La période propre T des petites oscillations s'écrit alors :

Pour un axe de rotation horizontal, soit une oscillation de la tige dans un plan vertical (\alpha = 90^\circ et \sin\alpha = 1), la période vaut T_0 :

On en déduit l'expression de la période T en fonction de \alpha et de T_0 :

Commentaire sur le choix d'un angle \alpha faible :

• Lorsque l'angle \alpha est choisi faible (\alpha \to 0), \sin\alpha est petit devant 1, ce qui conduit à une période T nettement supérieure à T_0 (T \gg T_0).

• Une période plus grande présente un double intérêt expérimental :

  • elle permet de chronométrer les oscillations avec une incertitude relative plus faible, l'erreur absolue sur la mesure temporelle étant fixée par l'instrument ;
  • elle amplifie la variation absolue de période \Delta T engendrée par une très faible anomalie \Delta g du champ gravitationnel, rendant celle-ci beaucoup plus facile à détecter.

D'après la question Q39, la période des petites oscillations s'écrit :

Comme \Delta T \ll T et \Delta g \ll g, on peut assimiler le rapport des variations finies à la valeur absolue de la dérivée :

En prenant le logarithme népérien de l'expression de T :

Par différentiation par rapport à g, tous les autres paramètres étant maintenus constants :

On en déduit l'expression de la sensibilité :

En remplaçant T par son expression littérale :

D'après la question précédente, la sensibilité du gravimètre s'écrit :

En élevant au carré, on en déduit l'expression de \sin\alpha :

La tige a pour longueur totale L = 2\ell = 1\text{ m}, d'où la demi-longueur :

Avec les valeurs numériques fournies :

• \Delta g = 1 \times 10^{-4}\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• \Delta T = 1\text{ ms} = 1 \times 10^{-3}\text{ s} ;
• g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• \ell = 0{,}5\text{ m}.

Le rapport vaut \dfrac{\Delta g}{\Delta T} = 0{,}10\text{ s}^{-1}, ce qui donne :

L'angle étant très petit, on a \sin\alpha \approx \alpha (avec \alpha en radians) :

En convertissant en degrés (\alpha(^{\circ}) = \alpha(\text{rad}) \times \frac{180}{\pi}) :

Remarque : Si l'on interprétait la longueur de la tige comme étant \ell = 1\text{ m}, on obtiendrait \sin\alpha \approx 1{,}4 \times 10^{-4}, soit \alpha \approx 8{,}0 \times 10^{-3\circ}.

Commentaire :

• L'angle d'inclinaison requis est extrêmement faible : \alpha \approx 4 \times 10^{-3\circ} \approx 14'' d'arc. Un réglage d'une telle précision et sa stabilité mécanique vis-à-vis des vibrations parasites sont techniquement très difficiles à réaliser.

• De plus, la période d'oscillation correspondante vaut :

  T = 2g \frac{\Delta T}{\Delta g} = 2 \times 9{,}8 \times 10 \approx 196\text{ s} \approx 3{,}3\text{ minutes}

  Une mesure exigerait plusieurs périodes d'observation (soit plusieurs dizaines de minutes), ce qui rend le dispositif très sensible aux dérives thermiques et aux frottements (pourtant négligés ici).

• Ce dispositif rudimentaire n'est donc pas adapté pour mesurer de si faibles anomalies de pesanteur sur le terrain, ce qui justifie l'emploi de gravimètres interférométriques plus précis et plus rapides.

Pour pouvoir observer des interférences lumineuses stables et contrastées à partir de deux faisceaux, plusieurs conditions pratiques doivent être satisfaites :

1. Cohérence mutuelle (source unique) : les deux ondes lumineuses doivent avoir une différence de phase constante au cours du temps à l'émission. En pratique, cela impose d'utiliser une même source primaire (ici un laser) dédoublée par division d'amplitude (à l'aide de lames séparatrices dans un interféromètre) ou par division du front d'onde.

2. Cohérence temporelle (différence de marche bornée) : la différence de marche \delta entre les deux faisceaux doit rester très inférieure à la longueur de cohérence \ell_c = c\tau_c de la source lumineuse :

   |\delta| \ll \ell_c

   Cette condition est d'autant plus facile à respecter que la source est quasi-monochromatique (un laser présente une longueur de cohérence pouvant aller de quelques centimètres à plusieurs mètres).

3. Recouvrement spatial : les deux faisceaux doivent se superposer géométriquement sur la zone de détection (ici la photodiode).
4. Polarisations non orthogonales : d'après les lois de Fresnel-Arago, deux ondes polarisées selon des directions orthogonales n'interfèrent pas. Les états de polarisation des deux faisceaux doivent donc avoir une composante commune (idéalement, des polarisations identiques).
5. Intensités comparables : pour obtenir un contraste V = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2} proche de 1, les intensités I_1 et I_2 des deux faisceaux doivent être du même ordre de grandeur.

On étudie le coin de cube, assimilé à un point matériel de masse m, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. L'axe (Oz) est orienté selon la verticale descendante, avec pour vecteur unitaire \vec{u}_z.

L'objet étant lâché dans une enceinte sous vide, il est en chute libre et n'est soumis qu'à son propre poids :

D'après la deuxième loi de Newton :

Une première intégration avec la condition initiale d'une vitesse initiale nulle, \dot{z}(0) = 0, conduit à la vitesse instantanée :

Une seconde intégration avec la condition initiale d'une position de départ à l'origine, z(0) = 0, donne la loi horaire du mouvement :

D'après la formule de Fresnel avec deux faisceaux de même intensité I_1 = I_2 = I_0, l'intensité lumineuse résultante s'écrit :

En utilisant l'expression du déphasage fournie et la loi horaire de chute libre z(t) = \frac{1}{2}gt^2 (question Q43), on obtient :

La tension mesurée par la photodiode, proportionnelle à l'intensité lumineuse, présente les caractéristiques suivantes :

• Bornes et contraste : le terme en cosinus oscille entre -1 et +1. L'intensité oscille donc entre une valeur minimale I_{\min} = 0 et une valeur maximale I_{\max} = 4I_0. Le contraste est maximal (V = 1), ce qui correspond sur la figure 14 à une tension oscillant entre 0\text{ V} et 8\text{ V}.

• Évolution temporelle et fréquence instantanée : la pulsation instantanée du signal est donnée par :

  \omega_{\text{inst}}(t) = \frac{\mathrm{d}\Delta\varphi}{\mathrm{d}t} = \frac{4\pi}{\lambda_0}\dot{z}(t) = \frac{4\pi g}{\lambda_0}t

  soit une fréquence instantanée :

  f_{\text{inst}}(t) = \frac{\omega_{\text{inst}}(t)}{2\pi} = \frac{2g}{\lambda_0}t = \frac{2v(t)}{\lambda_0}

  La vitesse de chute v(t) = gt du catadioptre augmente linéairement avec le temps sous l'effet de la pesanteur. Par conséquent, la fréquence instantanée croît linéairement au cours du temps (et la pseudo-période diminue) : le défilement des franges d'interférence sur le détecteur est de plus en plus rapide, ce qui se traduit par des oscillations de plus en plus resserrées sur l'enregistrement.

L'ordre d'interférence est défini par :

À l'instant initial t = 0, on a z(0) = 0, donc p(0) = 0. Le signal est alors à un maximum d'intensité (U = 8\text{ V}, correspondant à \cos(\Delta\varphi) = 1).

Chaque passage successif par un maximum d'intensité correspond à une augmentation de l'ordre d'interférence d'une unité (\Delta p = 1). En comptant les maxima sur la figure 14 à partir de t = 0 exclu jusqu'à la fin de l'acquisition à t_f = 1{,}0\text{ ms} :

• le premier maximum se situe vers t \approx 0{,}25\text{ ms} ;
• on dénombre 15 maxima successifs sur la durée de l'enregistrement, le 15e pic se trouvant juste avant la fin de l'enregistrement (t \approx 0{,}99\text{ ms}) ;
• à t_f = 1{,}0\text{ ms}, le signal est au début de sa décroissance, ce qui correspond à une fraction de frange supplémentaire négligeable.

L'ordre d'interférence a donc varié de :

(ou plus finement \Delta p \approx 15{,}3 à 15{,}4 en estimant la position exacte de la fin du signal).

De la relation p(t_f) - p(0) = \Delta p = \dfrac{g t_f^2}{\lambda_0}, on déduit l'expression de l'accélération de la pesanteur :

Application numérique avec \lambda_0 = 638\text{ nm} = 638 \times 10^{-9}\text{ m}, t_f = 1{,}0\text{ ms} = 1{,}0 \times 10^{-3}\text{ s} et \Delta p = 15 :

En tenant compte de la fraction de frange à t = 1{,}0\text{ ms} (\Delta p \approx 15{,}36) :

Dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, le coin de cube de masse m n'est soumis qu'à son poids (la chute ayant lieu sous vide) :

Par projection sur l'axe vertical descendant (Oz), l'équation différentielle régissant le mouvement s'écrit :

Une première intégration temporelle donne la vitesse verticale du coin de cube en tenant compte de la condition initiale \dot{z}(0) = v_0 :

Une seconde intégration avec la condition initiale z(0) = z_0 conduit immédiatement à l'expression de la position :

L'ordre d'interférence p(t) est défini par :

où p_0 est une constante de phase.

En utilisant l'expression de z(t) établie à la question Q46, z(t) = \frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + z_0, l'ordre d'interférence s'écrit sous la forme d'un polynôme du second degré en t :

avec C = \frac{2z_0}{\lambda_0} + p_0.

Pour les trois instants de mesure t_1, t_2 et t_3, on a ainsi :

Soustrayons p_1 à p_2 et p_3 afin d'éliminer la constante inconnue C :

En divisant respectivement par (t_2 - t_1) et (t_3 - t_1), les taux de variation moyens s'écrivent :

Par soustraction membre à membre de ces deux relations, le terme contenant la vitesse initiale v_0 s'élimine :

En réduisant le membre de gauche au même dénominateur :

On en déduit l'expression demandée pour l'accélération de la pesanteur g :