Feuille d'entraînement : Ondes et signaux

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2026, Q30

   Le fil est fixé à ses deux extrémités au niveau des coupelles en x = -L/2 et x = +L/2. Les conditions aux limites s'écrivent donc à tout instant t :

   \boxed{s\!\left(-\frac{L}{2}, t\right) = 0 \quad \text{et} \quad s\!\left(\frac{L}{2}, t\right) = 0}

   En injectant la forme d'onde stationnaire s(x, t) = A \cos(\omega t + \varphi)\sin(kx + \psi) dans ces conditions, on obtient, pour une vibration d'amplitude non identiquement nulle (A \neq 0) :

   \begin{aligned} \sin\left(-k\frac{L}{2} + \psi\right) &= 0 \iff -k\frac{L}{2} + \psi = m_1 \pi \quad (m_1 \in \mathbb{Z}) \\ \sin\left(k\frac{L}{2} + \psi\right) &= 0 \iff k\frac{L}{2} + \psi = m_2 \pi \quad (m_2 \in \mathbb{Z}) \end{aligned}

   En effectuant la différence de ces deux équations :

   k L = (m_2 - m_1)\pi = p \pi \quad \text{avec } p \in \mathbb{N}^* \text{ (car } k > 0 \text{)}

   Le nombre d'onde est ainsi quantifié sous la forme :

   k_p = \frac{p\pi}{L}

   D'après la question Q29, on a k = \omega / c. Les pulsations propres possibles \omega_p s'en déduisent immédiatement :

   \boxed{\omega_p = \frac{p\pi c}{L} \quad (p \in \mathbb{N}^*)}

   En faisant la somme des deux équations précédentes, on a 2\psi = (m_1 + m_2)\pi. En choisissant le déphasage spatial \psi_p = \frac{p\pi}{2} (modulo \pi), la partie spatiale du mode propre p s'écrit :

   \sin\left(k_p x + \psi_p\right) = \sin\left[\frac{p\pi}{L}\left(x + \frac{L}{2}\right)\right]

   L'équation de d'Alembert étant linéaire et les conditions aux limites homogènes, le principe de superposition permet d'exprimer la forme transversale générale \xi(x, t) en régime libre comme la somme de tous les modes propres :

   \boxed{\xi(x, t) = \sum_{p=1}^{+\infty} A_p \cos(\omega_p t + \varphi_p) \sin\left[\frac{p\pi}{L}\left(x + \frac{L}{2}\right)\right]}

   où les constantes d'amplitude A_p et de phase temporelle \varphi_p sont fixées par les conditions initiales de position \xi(x, 0) et de vitesse \frac{\partial \xi}{\partial t}(x, 0) du fil.

   Résultat

   $$s\left(-\frac{L}{2},t\right)=0\text{et}s\left(\frac{L}{2},t\right)=0$$

   $${\omega }_p=\frac{p\pi c}{L}(p\in {\mathbb{N}}^{\ast })$$

   $$\xi (x,t)=\sum _{p=1}^{+\infty }{A}_p\cos ({\omega }_{p}t+{\phi }_p)\sin \left[\frac{p\pi }{L}\left(x+\frac{L}{2}\right)\right]$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q24

   On étudie le tronçon numéro n, assimilé à un point matériel de masse m, dans le référentiel d'étude supposé galiléen muni du repère d'axe horizontal (Ox) orienté par le vecteur unitaire \vec{u}_x.

   À l'équilibre, l'abscisse du tronçon n est X_n^{\text{éq}} = n a. Lors du passage de l'onde, son abscisse devient :

   X_n(t) = n a + x_n(t)

   La dérivée seconde de sa position est simplement l'accélération du déplacement algébrique :

   \frac{\mathrm{d}^2 X_n}{\mathrm{d}t^2} = \ddot{x}_n(t)

   Le tronçon n est soumis aux actions mécaniques suivantes :

   • son poids et la réaction verticale du support, qui se compensent d'après l'énoncé ;

   • la force exercée par le ressort de droite (reliant le tronçon n au tronçon n+1) : la longueur de ce ressort est L_{n, n+1} = X_{n+1} - X_n = a + x_{n+1} - x_n. La force de rappel exercée sur le tronçon n s'écrit :

     \vec{F}_{\text{droite} \to n} = K (L_{n, n+1} - a)\,\vec{u}_x = K \bigl(x_{n+1}(t) - x_n(t)\bigr)\,\vec{u}_x

   • la force exercée par le ressort de gauche (reliant le tronçon n-1 au tronçon n) : la longueur de ce ressort est L_{n-1, n} = X_n - X_{n-1} = a + x_n - x_{n-1}. La force de rappel exercée sur le tronçon n s'écrit :

     \vec{F}_{\text{gauche} \to n} = -K (L_{n-1, n} - a)\,\vec{u}_x = K \bigl(x_{n-1}(t) - x_n(t)\bigr)\,\vec{u}_x

   En appliquant la seconde loi de Newton au tronçon n et en projetant sur l'axe (Ox) :

   \begin{aligned} m \ddot{x}_n(t) &= K \bigl(x_{n+1}(t) - x_n(t)\bigr) + K \bigl(x_{n-1}(t) - x_n(t)\bigr) \\ m \ddot{x}_n(t) &= K \bigl(x_{n+1}(t) + x_{n-1}(t) - 2x_n(t)\bigr) \end{aligned}

   En divisant par la masse m, on obtient directement :

   \ddot{x}_n(t) = \frac{K}{m}\bigl(x_{n+1}(t) + x_{n-1}(t) - 2x_n(t)\bigr)

   Par identification avec l'équation (II.1), on en déduit l'expression de \Gamma :

   \boxed{\Gamma = \frac{K}{m}}

   Résultat

   $$\Gamma =\frac{K}{m}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q26

   À la solution réelle x_n(t) = X_0 \cos(\omega t - kna), on associe la grandeur complexe :

   \underline{x}_n(t) = X_0 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t - kna)}

   En dérivant deux fois par rapport au temps, il vient :

   \underline{\ddot{x}}_n(t) = -\omega^2 \underline{x}_n(t)

   Les déplacements des tronçons voisins s'écrivent :

   \begin{aligned} \underline{x}_{n+1}(t) &= X_0 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t - k(n+1)a)} = \underline{x}_n(t)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{j}ka} \\ \underline{x}_{n-1}(t) &= X_0 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t - k(n-1)a)} = \underline{x}_n(t)\,\mathrm{e}^{+\mathrm{j}ka} \end{aligned}

   En injectant ces grandeurs complexes dans l'équation différentielle (II.1) :

   -\omega^2 \underline{x}_n(t) = \Gamma \left(\mathrm{e}^{-\mathrm{j}ka} + \mathrm{e}^{\mathrm{j}ka} - 2\right) \underline{x}_n(t)

   Pour une onde non nulle (\underline{x}_n(t) \neq 0), on simplifie par \underline{x}_n(t) :

   -\omega^2 = \Gamma \left(2\cos(ka) - 2\right) = -2\Gamma\bigl(1 - \cos(ka)\bigr)

   En utilisant l'identité trigonométrique 1 - \cos(ka) = 2\sin^2\left(\frac{ka}{2}\right), on obtient directement :

   \boxed{\omega^2 = 4\Gamma \sin^2\left(\frac{ka}{2}\right)}

   Résultat

   $${\omega }^2=4\Gamma {\sin }^2\left(\frac{ka}{2}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2026, Q28

   L'équation du mouvement établie avant la question s'écrit :

   \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} \quad \text{avec} \quad c = \frac{2}{d}\sqrt{\frac{T}{\pi\rho}}

   Par analyse dimensionnelle des dérivées partielles spatiales et temporelles du déplacement transversal \xi :

   \left[\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}\right] = \mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2} \quad \text{et} \quad \left[\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}\right] = \mathrm{L}\cdot\mathrm{L}^{-2} = \mathrm{L}^{-1}

   On en déduit la dimension du facteur c^2 :

   [c^2] = \frac{\left[\dfrac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}\right]}{\left[\dfrac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}\right]} = \frac{\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{L}^{-1}} = \mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-2}

   soit pour c :

   \boxed{[c] = \mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-1}}

   On peut retrouver ce résultat à partir des grandeurs fondamentales du système international :

   • [d] = \mathrm{L} (diamètre) ;
   • [T] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2} (la tension T est homogène à une force) ;
   • [\rho] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-3} (masse volumique).

   Il vient alors :

   [c] = \frac{1}{\mathrm{L}}\sqrt{\frac{\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-3}}} = \frac{1}{\mathrm{L}}\sqrt{\mathrm{L}^4\cdot\mathrm{T}^{-2}} = \frac{\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-1}}{\mathrm{L}} = \mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-1}

   La grandeur c a donc la dimension d'une vitesse. Son unité dans le Système International est :

   \boxed{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}}

   Résultat

   $$[c]=\mathrm{L}\cdot {\mathrm{T}}^{-1}$$

   $$\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2026, Q29

   D'après l'expression de la célérité c = \dfrac{2}{d}\sqrt{\dfrac{T}{\pi\rho}}, on a :

   c^2 = \frac{4T}{\rho\pi d^2}

   L'équation aux dérivées partielles satisfaite par le déplacement transversal du fil en régime libre s'écrit donc sous la forme classique de l'équation de d'Alembert à une dimension :

   \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} = 0

   La fonction proposée pour la vibration d'onde stationnaire est :

   s(x, t) = A \cos(\omega t + \varphi)\sin(kx + \psi)

   Calculons les dérivées partielles secondes de s(x, t) par rapport au temps t et à la variable d'espace x :

   \begin{aligned} \frac{\partial^2 s}{\partial t^2}(x, t) &= -\omega^2 A \cos(\omega t + \varphi)\sin(kx + \psi) = -\omega^2 s(x, t) \\ \frac{\partial^2 s}{\partial x^2}(x, t) &= -k^2 A \cos(\omega t + \varphi)\sin(kx + \psi) = -k^2 s(x, t) \end{aligned}

   En injectant ces expressions dans l'équation de propagation \dfrac{\partial^2 s}{\partial t^2} = c^2 \dfrac{\partial^2 s}{\partial x^2}, on obtient, pour une solution non identiquement nulle :

   -\omega^2 s(x, t) = -c^2 k^2 s(x, t) \implies \omega^2 = c^2 k^2

   Par convention, les grandeurs pulsation \omega, célérité c et nombre d'onde k étant définies positives, on en déduit :

   \boxed{k = \frac{\omega}{c}}

   Résultat

   $$k=\frac{\omega }{c}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2025, Q47

   Le champ électrique de l'onde incidente émise par le flotteur s'écrit en tout point x et à tout instant t :

   \vec{E}_i(x, t) = E_0 \cos\left( \omega_c \left( t - \frac{x}{c} \right) + \varphi \right) \vec{u}.

   L'antenne du satellite récepteur se déplace selon la loi horaire x(t) = d_0 + v_k t. Le champ électrique capté par le récepteur au cours du temps s'obtient en évaluant l'onde incidente en sa position instantanée :

   \vec{E}_r(t) = \vec{E}_i(x(t), t) = E_0 \cos\left( \omega_c \left( t - \frac{d_0 + v_k t}{c} \right) + \varphi \right) \vec{u}.

   En regroupant les termes dépendant du temps dans l'argument du cosinus, on a :

   \begin{aligned} \vec{E}_r(t) &= E_0 \cos\left( \omega_c \left( 1 - \frac{v_k}{c} \right) t - \frac{\omega_c d_0}{c} + \varphi \right) \vec{u} \\ &= E_0 \cos\left( \omega'_c t + \varphi' \right) \vec{u}, \end{aligned}

   où la phase à l'origine vaut \varphi' = \varphi - \dfrac{\omega_c d_0}{c}.

   La pulsation de l'onde reçue par le satellite est la dérivée temporelle de la phase instantanée :

   \boxed{\omega'_c = \omega_c \left( 1 - \frac{v_k}{c} \right)}

   Puisque le satellite s'éloigne du flotteur (v_k > 0), on a \omega'_c \neq \omega_c (en l'occurrence \omega'_c < \omega_c).

   Cette modification de la fréquence (ou de la pulsation) d'une onde perçue par un observateur en mouvement relatif par rapport à la source est appelée l'effet Doppler (ou effet Doppler-Fizeau pour les ondes électromagnétiques).

   Résultat

   $${\omega }_c^{\prime }={\omega }_c\left(1-\frac{v_k}{c}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q57

   D'après le préambule de la sous-partie, la condition aux limites pour le tube ouvert à ses deux extrémités impose la relation de quantification suivante sur la longueur d'onde \lambda_n du mode propre de rang n :

   L = n \frac{\lambda_n}{2} \quad \text{avec } n \in \mathbb{N}^*.

   Par ailleurs, pour une onde se propageant à la célérité c_{\mathrm{son}}, la longueur d'onde \lambda_n et la fréquence f_n sont reliées par la relation fondamentale de propagation :

   \lambda_n = \frac{c_{\mathrm{son}}}{f_n}.

   En substituant l'expression de \lambda_n dans la condition de quantification, on obtient :

   L = n \frac{c_{\mathrm{son}}}{2 f_n}.

   On en déduit directement l'expression de la fréquence propre de rang n :

   \boxed{f_n = n \frac{c_{\mathrm{son}}}{2L}}

   Résultat

   $$f_n=n\frac{c_{\mathrm{son}}}{2L}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q58

   D'après la question Q57, la fréquence des modes propres d'un tuyau acoustique ouvert à ses deux extrémités s'écrit :

   f_n = n \frac{c_{\mathrm{son}}}{2L}

   La fréquence fondamentale correspond au premier mode propre (n = 1) :

   f_1 = \frac{c_{\mathrm{son}}}{2L}

   D'après les données de l'énoncé, à 25^\circ\text{C}, la célérité du son dans l'air vaut c_{\mathrm{son}} = 346\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et la longueur du tuyau est L = 70\text{ cm} = 0{,}70\text{ m}.

   On obtient numériquement :

   f_1 = \frac{346}{2 \times 0{,}70} \approx 247\text{ Hz}

   \boxed{f_1 \approx 247\text{ Hz}}

   Résultat

   $$f_1\approx 247\text{ Hz}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q59

   D'après la question Q58, la fréquence fondamentale de la flûte traversière modélisée vaut :

   f_1 \approx 247\text{ Hz}

   En consultant le tableau de correspondance note-fréquence fondamentale (figure 20 de l'énoncé), on constate que cette fréquence coïncide, à l'incertitude de calcul près, avec celle de la note si de la deuxième octave, tabulée à :

   f(\text{si}_2) = 246{,}94\text{ Hz}

   La note correspondante est donc :

   \boxed{\text{si}_2}

   Résultat

   $${\text{si}}_2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q13

    La longueur d'onde dans le vide \lambda_0 d'une onde électromagnétique est reliée à sa fréquence f et à la célérité de la lumière dans le vide c par la relation :

    \lambda_0 = \frac{c}{f}

    Avec c = 3,00 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et f = 30\text{ GHz} = 3,0 \cdot 10^{10}\text{ Hz}, on obtient :

    \begin{aligned} \lambda_0 &= \frac{3,00 \cdot 10^8}{3,0 \cdot 10^{10}} = 1,0 \cdot 10^{-2}\text{ m} = 1,0\text{ cm} \end{aligned}

    \boxed{\lambda_0 = 1,0 \cdot 10^{-2}\text{ m} = 1,0\text{ cm}}

    Résultat

    $${\lambda }_0=1,0\cdot 10^{-2}\text{ m}=1,0\text{ cm}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question