Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 TSI 2026

On étudie le mouton de masse M dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Entre l'instant où il est lâché d'une hauteur H sans vitesse initiale et l'instant précédant immédiatement l'impact avec l'enclume, le mouton n'est soumis qu'à son propre poids \vec{P} = -M g \vec{e}_z, les frottements de l'air étant négligés.

Le poids étant une force conservative, l'énergie mécanique du mouton se conserve au cours de la chute :

En notant V = \|\vec{V}\| la norme de la vitesse du mouton juste avant le choc :

D'après le repère de la figure 1, l'axe vertical (Oz) est orienté vers le haut par le vecteur unitaire \vec{e}_z, tandis que le mouton descend vers le bas. La vitesse vectorielle s'écrit donc :

On isole le système {mouton + enclume + tige} dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Pendant la durée très brève du choc, les forces extérieures (poids, réaction du sol) ont une impulsion négligeable devant les forces percussives intérieures mises en jeu. La quantité de mouvement totale du système se conserve donc au cours du choc :

Juste avant le choc :

• le mouton de masse M est animé de la vitesse \vec{V} établie à la question Q1 ;
• l'ensemble {enclume + tige} de masse m est immobile : \vec{v}_0 = \vec{0}.

D'où :

Juste après le choc, la collision étant parfaitement molle, le mouton et l'ensemble {enclume + tige} forment un bloc unique de masse (M + m) animé d'une vitesse commune notée \vec{v}. La quantité de mouvement s'écrit alors :

En égalant les deux expressions, on obtient :

Soit, en utilisant l'expression de \vec{V} obtenue à la question Q1 (\vec{V} = -\sqrt{2gH}\,\vec{e}_z) :

On considère le système constitué du mouton, de l'enclume et de la tige, de masse totale M + m, au cours de son enfoncement dans le sol sur la distance e :

• Juste après le choc (état initial de la phase d'enfoncement), l'ensemble est animé de la vitesse \vec{v} déterminée à la question Q2 :

  v = \frac{M}{M+m}\sqrt{2gH}

  Son énergie cinétique initiale vaut donc :

  E_{\text{c},i} = \frac{1}{2}(M+m)v^2 = \frac{1}{2}(M+m)\left(\frac{M}{M+m}\right)^2 (2gH) = \frac{M^2}{M+m}gH

• À la fin de l'enfoncement (état final), la tige s'est arrêtée dans le sol, donc la vitesse est nulle :

  E_{\text{c},f} = 0

La variation d'énergie cinétique du système lors de l'enfoncement est donc :

Par définition, la résistance dynamique de pointe q_d représente la pression moyenne exercée par le sol sur l'extrémité de la tige au cours de la pénétration. La surface de la pointe étant égale à la section droite S de la tige, la norme de la force moyenne exercée par le sol s'écrit :

Cette force de réaction s'oppose à l'enfoncement de la tige ; elle est donc dirigée verticalement vers le haut :

Au cours de l'enfoncement, la tige subit un déplacement vers le bas d'amplitude e :

Le travail moyen associé à cette force est donc :

d'où :

On applique le théorème de l'énergie cinétique au système {mouton + enclume + tige}, de masse totale M+m, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, entre l'instant juste après le choc et l'arrêt complet après l'enfoncement d'une distance e :

Au cours d'un enfoncement vertical vers le bas de longueur e, le vecteur déplacement s'écrit \Delta \vec{r} = -e\,\vec{e}_z. Les travaux des forces appliquées s'expriment donc comme suit :

• Le travail du poids \vec{P} = -(M+m)g\,\vec{e}_z est moteur :

  W(\vec{P}) = \vec{P} \cdot \Delta \vec{r} = (M+m)g e

• Le travail de la force exercée par le sol sur l'extrémité de la tige a été établi à la question Q4 :

  W(\vec{F}_\text{sol}) = -q_d S e
• Le travail des forces de frottement sur la surface latérale est négligé d'après l'énoncé.

En utilisant l'expression de la variation d'énergie cinétique obtenue à la question Q3, \Delta E_\text{c} = -\dfrac{M}{M+m} M g H, le théorème de l'énergie cinétique devient :

On en déduit :

En divisant par la quantité strictement positive S e, on obtient l'expression recherchée :

D'après le résultat de la question Q5, la résistance dynamique de pointe exacte s'écrit :

Pour retrouver la formule des Hollandais :

il faut effectuer l'approximation consistant à négliger le premier terme devant le second :

ce qui revient à négliger le travail du poids de l'ensemble {mouton + tige + enclume} au cours de l'enfoncement e devant la perte d'énergie cinétique du système lors de cet enfoncement : (M+m)g\,e \ll \dfrac{M^2}{M+m}gH.

Pour juger de la légitimité de cette approximation, calculons le rapport de ces deux termes :

Numériquement, \left(\dfrac{M+m}{M}\right)^2 = \left(\dfrac{88}{64}\right)^2 \approx 1,89.

D'après les données de l'essai (figure 2), l'enfoncement pour un coup de mouton e est de l'ordre du millimètre au centimètre (par exemple, pour un nombre de coups compris entre 5 et 50 pour 10\text{ cm}, e est compris entre 2\text{ mm} et 20\text{ mm}), ce qui reste très inférieur à la hauteur de chute H = 50\text{ cm} :

De plus, la pression statique vaut :

Cette valeur est négligeable devant les valeurs usuelles de q_d pour un sol constructible (de l'ordre de 10\text{ MPa} à plus de 40\text{ MPa}).

L'approximation est donc parfaitement légitime.

D'après la formule de la résistance dynamique de pointe, plus un matériau est résistant, plus l'enfoncement e par coup est faible, et donc plus le nombre de coups pour enfoncer la tige de 10\text{ cm} est grand. Inversement, une terre meuble présente une faible résistance et nécessite peu de coups.

Sur la figure 2(a), on observe quatre zones distinctes en fonction de la profondeur :

• entre 0 et 0{,}5\text{ m} : le nombre de coups par tranche de 10\text{ cm} est très faible (compris entre 1 et 3 coups), ce qui correspond à la couche de terre meuble ;
• entre 0{,}5\text{ m} et environ 1{,}4\text{ m} : le nombre de coups augmente nettement (entre 13 et 20 coups), traduisant une couche plus dure formée par les remblais de gravats ;
• entre 1{,}4\text{ m} et 2{,}2\text{ m} : le nombre de coups diminue à nouveau (jusqu'à 2 coups à 1{,}9\text{ m}), correspondant à la seconde couche de terre ;
• au-delà de 2{,}2\text{ m} : le nombre de coups croît fortement jusqu'à atteindre le refus (50 coups pour 10\text{ cm} à 3{,}0\text{ m}), marquant la présence de la roche.

La couche de terre meuble s'étend de la surface (0\text{ m}) jusqu'à une profondeur de 0{,}5\text{ m}. Son épaisseur est donc :

D'après la figure 2(a), la couche de remblais se situe entre 0{,}5\text{ m} et environ 1{,}5\text{ m} de profondeur. Sur cet intervalle, le nombre de coups nécessaires pour un enfoncement de \Delta z = 10\text{ cm} = 0{,}10\text{ m} oscille entre 13 et 20, soit une valeur moyenne typique :

L'enfoncement moyen par coup de mouton est donc :

En utilisant la formule des Hollandais (question Q5 ou énoncé) :

Avec les données numériques :

• M = 64\text{ kg} ;
• m = 24\text{ kg} ;
• g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• H = 0{,}50\text{ m} ;
• S = 20\text{ cm}^2 = 2{,}0 \times 10^{-3}\text{ m}^2 ;
• \Delta z = 0{,}10\text{ m}.

On calcule le facteur multiplicatif par coup :

Pour N \approx 15 coups :

Compte tenu des fluctuations du nombre de coups dans cette couche (13 \leqslant N \leqslant 20), la résistance de pointe est comprise entre 15\text{ MPa} et 23\text{ MPa}.

D'après l'énoncé, les fondations du bâtiment doivent impérativement reposer sur un matériau dont la résistance dynamique de pointe vérifie :

Or, d'après le résultat de la question Q8, la résistance dynamique de pointe au sein de la couche de remblais (entre 0{,}5\text{ m} et 1{,}5\text{ m} de profondeur) est de l'ordre de :

Cette valeur étant nettement inférieure au seuil minimal de 40\text{ MPa}, la portance de cette couche est insuffisante pour reprendre les charges de la structure sans risque d'affaissement.

D'après la formule des Hollandais utilisée à la question Q8, la résistance dynamique de pointe associée à N coups pour un enfoncement de 10\text{ cm} (e = \frac{0{,}10}{N}\text{ m}) s'exprime par :

Numériquement, le coefficient de proportionnalité vaut :

Pour respecter la condition imposée sur la portance du sol, q_d \ge 40\text{ MPa}, le nombre de coups doit vérifier :

L'énoncé indique la succession suivante en profondeur :

• de 0 à 0{,}5\text{ m} : terre meuble (N \le 4) ;
• de 0{,}5 à 1{,}5\text{ m} : remblais (N \le 18) ;
• de 1{,}5 à environ 2{,}2\text{ m} : couche de terre intermédiaire (N \le 5) ;
• au-delà de 2{,}2\text{ m} : transition vers la couche rocheuse.

Sur la courbe de la figure 2(a), le nombre de coups augmente nettement à partir de 2{,}2\text{ m} et atteint N = 50\text{ coups} à une profondeur de 3{,}0\text{ m}. À cette profondeur :

L'équation de la réaction de clinkerisation s'écrit :

D'après le préambule, les grandeurs thermodynamiques sont considérées comme indépendantes de la température (approximation d'Ellingham). L'entropie standard de réaction à T = 1\,700\text{ K} est donc égale à celle calculée à 298\text{ K} à l'aide des entropies molaires standard fournies dans le tableau 2 :

Application numérique :

Commentaire du signe : L'entropie standard de réaction est positive (\Delta_{\mathrm{r}}S^\circ > 0). Cela s'explique par la création de trois moles de gaz à partir de réactifs exclusivement solides (\Delta \nu_\text{g} = 3 - 0 = +3). Le désordre molaire d'un gaz étant considérablement plus grand que celui d'un solide, le désordre microscopique global du système augmente fortement au cours de la réaction.

L'équation de la réaction de clinkerisation est :

D'après l'énoncé, les grandeurs thermodynamiques sont considérées comme indépendantes de la température (approximation d'Ellingham). On applique la loi de Hess à l'aide des enthalpies standard de formation fournies dans le tableau 2 :

Application numérique :

Commentaire du signe :
L'enthalpie standard de réaction est positive (\Delta_{\mathrm{r}}H^\circ > 0), la réaction de clinkerisation est donc fortement endothermique. Elle consomme de l'énergie thermique, ce qui explique le besoin d'un chauffage important du four rotatif pour entretenir la réaction.

D'après la question Q12, la réaction de clinkerisation est endothermique :

D'après la loi de van 't Hoff :

La constante d'équilibre K^\circ(T) est donc une fonction strictement croissante de la température. Par conséquent, une augmentation de température déplace l'équilibre dans le sens direct : la réaction est favorisée à haute température.

On peut également déterminer la température d'inversion T_\text{inv} à partir de laquelle l'enthalpie libre standard devient négative, avec l'approximation d'Ellingham :

Comme \Delta_{\mathrm{r}}S^\circ > 0 (question Q11), \Delta_{\mathrm{r}}G^\circ(T) décroît lorsque T augmente et s'annule pour :

Pour T > T_\text{inv}, on a \Delta_{\mathrm{r}}G^\circ(T) < 0, soit K^\circ(T) > 1.

Commentaire du choix industriel (T = 1\,700\text{ K}) :

• Aspect thermodynamique : À 1\,700\text{ K}, la température est très largement supérieure à T_\text{inv} \approx 925\text{ K}. L'enthalpie libre standard est fortement négative, ce qui confère à la réaction une constante d'équilibre K^\circ \gg 1 et assure un rendement quantitatif en silicate de tricalcium (clinker).
• Aspect cinétique : Les réactifs solides (calcaire broyé et silice) présentent une réactivité et une diffusivité quasi nulles à température ambiante. La température élevée (1\,700\text{ K}) permet de franchir l'énergie d'activation et assure une vitesse de réaction suffisamment élevée pour opérer en continu dans un four rotatif.

L'enthalpie libre standard de la réaction de clinkerisation s'exprime par :

D'après les questions Q11 et Q12, en adoptant l'approximation d'Ellingham :

• \Delta_{\mathrm{r}}H^\circ = 419\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} = 4{,}19 \times 10^5\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}
• \Delta_{\mathrm{r}}S^\circ = 453{,}1\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}

À la température T = 1\,700\text{ K} :

La constante d'équilibre K^\circ est reliée à l'enthalpie libre standard de réaction par :

Numériquement, avec R = 8{,}31\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} :

D'où :

Puisque la constante d'équilibre est extrêmement grande devant l'unité (K^\circ \gg 10^4), la réaction est totale d'un point de vue thermodynamique dans le sens direct à 1\,700\text{ K}.

D'après l'énoncé, le ciment est assimilé au silicate de tricalcium \mathrm{Ca}_3\mathrm{SiO}_{5(\mathrm{s})}. À l'aide du tableau 1, les masses molaires valent :

D'après l'équation de clinkerisation :

la formation d'une mole de \mathrm{Ca}_3\mathrm{SiO}_{5(\mathrm{s})} s'accompagne de la production de 3 moles de \mathrm{CO}_{2(\mathrm{g})}. Ainsi :

La masse de \mathrm{CO}_2 libérée par la décarbonatation du calcaire s'écrit donc :

Application numérique pour une tonne de ciment (m_\text{ciment} = 1\,000\text{ kg}) :

Considérons la transformation chimique à pression atmosphérique constante P = P^\circ et à température maintenue uniforme et constante T = 1\,700\text{ K}. En l'absence de travail autre que celui des forces pressantes, le premier principe de la thermodynamique indique que le transfert thermique Q_{1\mathrm{t}} reçu par le système est égal à la variation d'enthalpie :

Pour une réaction monobare et isotherme à T = 1\,700\text{ K}, la variation d'enthalpie s'exprime en fonction de l'avancement \xi et de l'enthalpie standard de réaction :

D'après l'équation de la réaction :

le coefficient stœchiométrique du silicate de tricalcium est égal à 1. Pour produire une tonne de ciment, l'avancement vaut donc :

D'après les questions Q12 et Q15 :

L'énergie thermique requise s'écrit alors :

Numériquement :

Soit, avec trois chiffres significatifs :

La combustion complète d'une mole de méthane gazeux \mathrm{CH}_{4(\mathrm{g})} par le dioxygène gazeux \mathrm{O}_{2(\mathrm{g})} produit du dioxyde de carbone gazeux \mathrm{CO}_{2(\mathrm{g})} et de la vapeur d'eau \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{g})}, comme précisé dans l'énoncé.

La conservation des éléments chimiques s'écrit :

• élément carbone : 1\text{ C dans }\mathrm{CH}_4 \implies 1\text{ }\mathrm{CO}_2 ;
• élément hydrogène : 4\text{ H dans }\mathrm{CH}_4 \implies 2\text{ }\mathrm{H}_2\mathrm{O} ;
• élément oxygène : 2\text{ O dans }\mathrm{CO}_2 + 2\text{ O dans }2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O} = 4\text{ O} \implies 2\text{ }\mathrm{O}_2.

L'équation de la réaction de combustion s'écrit donc :

D'après la loi de Hess, l'enthalpie standard de la réaction de combustion s'exprime par :

Par définition, le dioxygène gazeux étant un corps pur simple dans son état standard de référence à 298\text{ K}, on a \Delta_{\mathrm{f}}H^\circ(\mathrm{O}_{2(\mathrm{g})}) = 0\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}.

En utilisant les valeurs du tableau 2 :

• \Delta_{\mathrm{f}}H^\circ(\mathrm{CO}_{2(\mathrm{g})}) = -393\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}
• \Delta_{\mathrm{f}}H^\circ(\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{g})}) = -242\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}
• \Delta_{\mathrm{f}}H^\circ(\mathrm{CH}_{4(\mathrm{g})}) = -75\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}

Il vient :

Commentaire : L'enthalpie standard de réaction est négative (\Delta_{\mathrm{r}}H^\circ < 0) : la réaction de combustion du méthane est fortement exothermique. Elle libère donc une quantité importante d'énergie sous forme thermique, ce qui justifie son utilisation comme combustible pour chauffer et maintenir le four de clinkerisation à 1\,700\text{ K}.

L'air est constitué de 20 % de \mathrm{O}_2 et 80 % de \mathrm{N}_2, soit un rapport molaire \frac{n(\mathrm{N}_2)}{n(\mathrm{O}_2)} = \frac{0{,}80}{0{,}20} = 4.

D'après la réaction de combustion établie à la question Q17 :

La combustion stœchiométrique d'une mole de méthane nécessite 2\text{ mol} de \mathrm{O}_2, qui sont accompagnées de :

Ainsi, pour une mole de \mathrm{CH}_4 introduite à T_i = 298\text{ K} :

• l'état initial à T_i = 298\text{ K} contient : 1\text{ mol de }\mathrm{CH}_4, 2\text{ mol de }\mathrm{O}_2, 8\text{ mol de }\mathrm{N}_2 ;
• l'état final à T_f = 1\,700\text{ K} contient : 1\text{ mol de }\mathrm{CO}_2, 2\text{ mol de }\mathrm{H}_2\mathrm{O}, 8\text{ mol de }\mathrm{N}_2.

Le système étant calorifugé vers l'extérieur et échangeant uniquement la chaleur Q avec le four à pression constante, le premier principe s'écrit pour n moles de méthane consommées :

Calculons la variation d'enthalpie molaire associée en décomposant la transformation en deux étapes :

1. Réaction de combustion totale isotherme à T_i = 298\text{ K} :

   \Delta H_1 = \Delta_{\mathrm{r}}H^\circ = -802\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}

2. Échauffement isobare des gaz produits (\mathrm{CO}_2, \mathrm{H}_2\mathrm{O}) et du gaz inerte (\mathrm{N}_2) de T_i à T_f :

   \begin{aligned} C_{p,\text{gaz}}^\circ &= C_{p,\mathrm{m}}^\circ(\mathrm{CO}_2) + 2\,C_{p,\mathrm{m}}^\circ(\mathrm{H}_2\mathrm{O}) + 8\,C_{p,\mathrm{m}}^\circ(\mathrm{N}_2) \\ &= 37{,}1 + 2 \times 33{,}6 + 8 \times 29{,}1 \\ &= 337{,}1\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} \end{aligned}

   D'où :

   \begin{aligned} \Delta H_2 &= C_{p,\text{gaz}}^\circ (T_f - T_i) \\ &= 337{,}1 \times (1\,700 - 298) \\ &= 4{,}726 \times 10^5\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1} = +472{,}6\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} \end{aligned}

La variation d'enthalpie globale par mole de méthane brûlé vaut donc :

L'énergie thermique transmise au four rotatif par mole de méthane est donc :

La quantité de matière de méthane nécessaire pour fournir Q_{1\mathrm{t}} = 1{,}84 \times 10^9\text{ J} est :

Soit en masse, avec M(\mathrm{CH}_4) = 12{,}0 + 4 \times 1{,}0 = 16{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} :

La fabrication d'une tonne de ciment libère du dioxyde de carbone par deux mécanismes distincts :

• la réaction chimique de clinkerisation (décarbonatation du calcaire), dont la masse de \mathrm{CO}_{2(\mathrm{g})} dégagée a été calculée à la question Q15 :

  m_{\text{chim}}(\mathrm{CO}_2) = 579\text{ kg}
• la combustion du méthane dans la chambre de combustion pour chauffer le four.

D'après l'équation de combustion du méthane (question Q17) :

la combustion d'une mole de méthane produit une mole de dioxyde de carbone. Par conséquent, la quantité de \mathrm{CO}_{2(\mathrm{g})} issue de la combustion pour une tonne de ciment vaut :

La masse molaire de \mathrm{CO}_2 étant :

la masse de \mathrm{CO}_{2(\mathrm{g})} d'origine énergétique est :

La masse totale de dioxyde de carbone produite par la fabrication d'une tonne de ciment est donc :

D'après les données introductives de la partie B-I, la confection d'un mètre cube de béton nécessite :

pour une masse totale de béton d'environ 2\,310\text{ kg} (le ciment ne représente donc que \frac{300}{2\,310} \approx 13\,\% de la masse du béton).

D'après le résultat de la question Q20, la fabrication d'une tonne de ciment engendre l'émission d'une masse totale de dioxyde de carbone :

Par conséquent, les émissions de \mathrm{CO}_{2} associées au ciment nécessaire à la confection d'un mètre cube de béton s'élèvent à :

Ce résultat est du même ordre de grandeur que la valeur de référence de 200\text{ kg de }\mathrm{CO}_2/\text{m}^3 mentionnée dans l'énoncé. On en tire deux conclusions majeures :

• Origine quasi-exclusive de l'empreinte carbone : Bien qu'il ne représente qu'environ 13\,\% de la masse du béton (le reste étant constitué d'eau et de granulats inertes : sable, gravillons), le ciment est responsable de la quasi-totalité de l'empreinte carbone du béton.
• Légère surestimation du modèle : La valeur calculée (250\text{ kg}) est légèrement supérieure à l'estimation industrielle (200\text{ kg}). Cet écart s'explique par les optimisations industrielles réelles : préchauffage des matières premières par récupération de la chaleur des fumées, utilisation de combustibles de substitution (biomasse, valorisation de déchets) et ajout d'ajouts cimentaires (laitiers de haut fourneau, cendres volantes, pouzzolanes) qui diminuent la teneur en clinker pur dans les ciments commerciaux usuels (ciments composés dits « bas carbone »).

L'oxyde de fer \mathrm{Fe}_2\mathrm{O}_{3(\mathrm{s})} est une espèce électriquement neutre. La neutralité de l'édifice impose donc :

L'oxygène étant plus électronégatif que le fer, il se trouve au degré d'oxydation \mathrm{n.o.}(\mathrm{O}) = -\mathrm{II}. Les deux atomes de fer étant par ailleurs équivalents, on en déduit :

Déterminons le nombre d'oxydation de l'élément fer dans chaque espèce :

• dans \mathrm{Fe_{(s)}} : \mathrm{n.o.}(\mathrm{Fe}) = 0 ;
• dans \mathrm{Fe^{2+}} : \mathrm{n.o.}(\mathrm{Fe}) = +\mathrm{II} ;
• dans \mathrm{Fe^{3+}} : \mathrm{n.o.}(\mathrm{Fe}) = +\mathrm{III} ;
• dans \mathrm{Fe_2O_3(s)} : \mathrm{n.o.}(\mathrm{Fe}) = +\mathrm{III} (d'après la question Q22).

1. Analyse selon l'axe des potentiels (ordonnée) :

• L'espèce au plus bas degré d'oxydation (\mathrm{n.o.} = 0), \mathrm{Fe_{(s)}}, occupe le bas du diagramme : il s'agit donc du domaine (D).
• L'espèce au degré d'oxydation intermédiaire (\mathrm{n.o.} = +\mathrm{II}), \mathrm{Fe^{2+}}, se situe au-dessus de \mathrm{Fe_{(s)}} : il s'agit du domaine (C).
• Les espèces au degré d'oxydation le plus élevé (\mathrm{n.o.} = +\mathrm{III}), \mathrm{Fe^{3+}} et \mathrm{Fe_2O_3(s)}, se trouvent dans la partie supérieure du diagramme, c'est-à-dire dans les domaines (A) et (B).

2. Analyse selon l'axe du pH (abscisse) pour le degré +III : La frontière acido-basique entre \mathrm{Fe^{3+}} et \mathrm{Fe_2O_3(s)} correspond à l'équilibre de précipitation :

L'ion \mathrm{Fe}^{3+} existe en milieu acide (bas pH), tandis que le précipité \mathrm{Fe_2O_3(s)} apparaît et subsiste lorsque le pH augmente. Par conséquent :

• le domaine (A) (à gauche, bas pH) est le domaine de stabilité de \mathrm{Fe^{3+}} ;
• le domaine (B) (à droite, pH plus élevé) est le domaine d'existence de \mathrm{Fe_2O_3(s)}.

On conclut :

1. Couple \mathrm{Fe}^{3+} / \mathrm{Fe}^{2+} :

La demi-équation électronique s'écrit :

La formule de Nernst à T = 298\text{ K} donne :

D'après les conventions de tracé indiquées dans l'énoncé, à la frontière séparant les deux espèces dissoutes (domaines (A) et (C)), on a [\mathrm{Fe}^{3+}] = [\mathrm{Fe}^{2+}], d'où :

Par lecture graphique sur la figure 4, le segment horizontal séparant (A) et (C) pour \mathrm{pH} \le 1{,}8 se situe légèrement au-dessus de 0{,}75\text{ V}, à E \approx 0{,}77\text{ V}. On en déduit :

2. Couple \mathrm{Fe}^{2+} / \mathrm{Fe}_{(\mathrm{s})} :

La demi-équation électronique s'écrit :

La formule de Nernst à T = 298\text{ K} donne :

À la frontière entre l'espèce dissoute et le solide (domaines (C) et (D)), la convention de tracé impose [\mathrm{Fe}^{2+}] = c_t = 1{,}0 \times 10^{-6}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}. Le potentiel de frontière vaut donc :

Sur la figure 4, le palier horizontal séparant (C) et (D) se situe à mi-chemin entre -0{,}50\text{ V} et -0{,}75\text{ V}, soit E_{\text{frontière}} \approx -0{,}62\text{ V}. On en déduit :

Pour un pH compris entre 12 et 13, on observe sur le diagramme potentiel-pH de la figure 4 :

• La frontière du couple \mathrm{H^+/H_2} (en tirets) se situe au-dessus du domaine d'immunité du fer \mathrm{Fe_{(s)}} (domaine (D)).

• L'oxydation du fer par l'eau ne conduit pas à des ions dissous (\mathrm{Fe^{2+}} ou \mathrm{Fe^{3+}}), mais à l'oxyde solide insoluble \mathrm{Fe_2O_{3(s)}} (domaine (B)), selon la réaction d'oxydation :

  2\,\mathrm{Fe_{(s)}} + 3\,\mathrm{H_2O}_{(\ell)} = \mathrm{Fe_2O_{3(s)}} + 3\,\mathrm{H_{2(g)}}

Cet oxyde insoluble forme à la surface de l'acier une couche mince, imperméable et adhérente qui isole le métal sous-jacent du milieu extérieur : c'est le phénomène de passivation.

Après la formation spontanée de cette pellicule protectrice, l'eau n'agit plus en profondeur sur le fer (la réaction est cinétiquement bloquée).

La carbonatation résulte de la réaction du dioxyde de carbone \mathrm{CO_{2(g)}} de l'air avec l'hydroxyde de calcium dissous dans les pores du béton, ce qui consomme des ions hydroxyde et abaisse le \mathrm{pH} de l'eau interstitielle (en pratique de \mathrm{pH} \sim 12\text{--}13 à un \mathrm{pH} < 9).

D'après le diagramme potentiel–\mathrm{pH} (figure 4) :

• À fort \mathrm{pH} (12 < \mathrm{pH} < 13), le fer est protégé de façon cinétique par une couche protectrice et étanche de sesquioxyde de fer \mathrm{Fe_2O_{3(s)}} : c'est le domaine de passivation (zone B).
• Lorsque le \mathrm{pH} diminue et passe en dessous de la frontière de précipitation (située vers \mathrm{pH} \approx 9 selon le potentiel), la couche de \mathrm{Fe_2O_{3(s)}} se dissout : il y a dépassivation des armatures.
• Le système entre alors dans le domaine de corrosion active, où l'espèce stable est l'ion ferreux \mathrm{Fe^{2+}} (zone C). Le potentiel d'équilibre du fer se situant sous les potentiels redox des couples \mathrm{O_2 / H_2O} et \mathrm{H^+ / H_2}, le fer métallique s'oxyde spontanément au contact de l'humidité et du dioxygène.

Cette corrosion présente un double risque majeur pour l'ouvrage :

1. Perte de résistance mécanique : la dissolution du fer réduit la section utile des armatures en acier, diminuant considérablement leur capacité à reprendre les efforts de traction.
2. Éclatement du béton : les produits de corrosion (rouille et hydroxydes de fer) ont un volume molaire nettement supérieur à celui du fer métallique initial (effet de foisonnement). Ce gonflement génère de fortes contraintes internes de traction dans le béton environnant, conduisant à sa fissuration, au délaminage de l'enrobage et à terme à l'affaiblissement global de la structure.

1. Direction du champ magnétique créé par la bobine au point \mathrm{O} :

La bobine est constituée de spires circulaires coaxiales d'axe (Oy).

• Tout plan contenant l'axe (Oy) coupe les spires circulaires en deux points diamétralement opposés où les vecteurs densité de courant sont directement opposés : c'est donc un plan d'antisymétrie \Pi^* pour la distribution de courants.

• Le champ magnétique \vec{B} étant un champ de pseudo-vecteurs (vecteur axial), en tout point M appartenant à un plan d'antisymétrie \Pi^*, le champ magnétique est contenu dans ce plan :

  \vec{B}(M \in \Pi^*) \in \Pi^*
• Le point \mathrm{O} appartient à l'axe (Oy), donc à une infinité de plans d'antisymétrie \Pi^* contenant cet axe. Le vecteur \vec{B}(\mathrm{O}) doit par conséquent appartenir à chacun de ces plans.

L'intersection de tous les plans passant par la droite (Oy) étant la droite (Oy) elle-même, on en déduit :

2. Nature et direction de la force qui s'exerce sur le fil en \mathrm{O} :

Le fil d'acier conducteur, situé le long de l'axe (Ox), est parcouru par un courant électrique induit d'intensité i(t). Placé dans le champ magnétique créé par la bobine, il est soumis aux forces de Laplace.

L'élément de fil centré en \mathrm{O}, de longueur \mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}x\,\vec{e}_x, subit la force de Laplace élémentaire :

Il s'agit donc d'une force de Laplace (force magnétique), dirigée selon l'axe (Oz).

L'équation du mouvement établie avant la question s'écrit :

Par analyse dimensionnelle des dérivées partielles spatiales et temporelles du déplacement transversal \xi :

On en déduit la dimension du facteur c^2 :

soit pour c :

On peut retrouver ce résultat à partir des grandeurs fondamentales du système international :

• [d] = \mathrm{L} (diamètre) ;
• [T] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2} (la tension T est homogène à une force) ;
• [\rho] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-3} (masse volumique).

Il vient alors :

La grandeur c a donc la dimension d'une vitesse. Son unité dans le Système International est :

D'après l'expression de la célérité c = \dfrac{2}{d}\sqrt{\dfrac{T}{\pi\rho}}, on a :

L'équation aux dérivées partielles satisfaite par le déplacement transversal du fil en régime libre s'écrit donc sous la forme classique de l'équation de d'Alembert à une dimension :

La fonction proposée pour la vibration d'onde stationnaire est :

Calculons les dérivées partielles secondes de s(x, t) par rapport au temps t et à la variable d'espace x :

En injectant ces expressions dans l'équation de propagation \dfrac{\partial^2 s}{\partial t^2} = c^2 \dfrac{\partial^2 s}{\partial x^2}, on obtient, pour une solution non identiquement nulle :

Par convention, les grandeurs pulsation \omega, célérité c et nombre d'onde k étant définies positives, on en déduit :

Le fil est fixé à ses deux extrémités au niveau des coupelles en x = -L/2 et x = +L/2. Les conditions aux limites s'écrivent donc à tout instant t :

En injectant la forme d'onde stationnaire s(x, t) = A \cos(\omega t + \varphi)\sin(kx + \psi) dans ces conditions, on obtient, pour une vibration d'amplitude non identiquement nulle (A \neq 0) :

En effectuant la différence de ces deux équations :

Le nombre d'onde est ainsi quantifié sous la forme :

D'après la question Q29, on a k = \omega / c. Les pulsations propres possibles \omega_p s'en déduisent immédiatement :

En faisant la somme des deux équations précédentes, on a 2\psi = (m_1 + m_2)\pi. En choisissant le déphasage spatial \psi_p = \frac{p\pi}{2} (modulo \pi), la partie spatiale du mode propre p s'écrit :

L'équation de d'Alembert étant linéaire et les conditions aux limites homogènes, le principe de superposition permet d'exprimer la forme transversale générale \xi(x, t) en régime libre comme la somme de tous les modes propres :

où les constantes d'amplitude A_p et de phase temporelle \varphi_p sont fixées par les conditions initiales de position \xi(x, 0) et de vitesse \frac{\partial \xi}{\partial t}(x, 0) du fil.

D'après la question Q30, la fréquence du fondamental (p=1) est reliée à la célérité c des ondes transversales par :

Avec L = 150\text{ mm} = 0{,}150\text{ m} et f_1 = 750\text{ Hz}, on obtient :

D'après la définition de la célérité rappelée dans le sujet :

En élevant cette expression au carré et en isolant la tension T, il vient :

Avec les données numériques :

• \rho = 7{,}80 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3},
• d = 0{,}75\text{ mm} = 0{,}75 \times 10^{-3}\text{ m},
• c = 225\text{ m}\cdot\text{s}^{-1},

le calcul conduit à :

Compte tenu des deux chiffres significatifs donnés sur le diamètre d, on retient :

D'après la loi de Hooke fournie par l'énoncé, la tension mécanique s'écrit :

On en déduit l'expression de l'allongement relatif initial \varepsilon_0 :

En remarquant que d'après la question Q28, c = \frac{2}{d}\sqrt{\frac{T}{\pi\rho}}, soit \frac{4T}{\pi d^2} = \rho c^2, on peut également exprimer \varepsilon_0 simplement sous la forme :

Application numérique :

Par définition de l'allongement relatif :

On exprime la longueur à vide L_0 en fonction de L et de \varepsilon_0 :

En utilisant la formule d'approximation fournie (1 + \varepsilon)^\alpha = 1 + \alpha\varepsilon à l'ordre 1 avec \alpha = -1 :

Il vient alors pour la variation absolue de longueur \Delta L :

Application numérique :

La masse du fil d'acier est conservée. En considérant sa masse volumique \rho inchangée lors de la déformation élastique, le volume du fil est également conservé :

On en déduit :

En utilisant la formule utile fournie par l'énoncé, (1 + \varepsilon)^\alpha = 1 + \alpha\varepsilon à l'ordre 1 en \varepsilon, pour \alpha = \frac{1}{2} :

La variation absolue \Delta d = d - d_0 s'exprime donc au premier ordre en \varepsilon_0 sous la forme :

Application numérique : Avec \varepsilon_0 \approx 1{,}8 \times 10^{-3} et d = 0{,}75\text{ mm} = 750\text{ }\mu\text{m} :

Commentaires :

• Le signe négatif traduit le phénomène physique de contraction latérale (effet Poisson) : lorsqu'on étire le fil dans la direction axiale, son diamètre diminue.

• La variation relative en valeur absolue est extrêmement faible :

  \frac{|\Delta d|}{d} = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \approx 0{,}09\,\%

  Cette variation de moins d'un micromètre est négligeable devant les dimensions macroscopiques du fil (d = 0{,}75\text{ mm}), ce qui justifie de considérer le diamètre comme constant dans les calculs ultérieurs.

Lorsque le béton se déforme, l'allongement relatif du fil devient :

D'après la loi de Hooke rappelée dans l'énoncé, la nouvelle tension exercée sur le fil s'écrit :

La célérité c' des ondes le long du fil vaut alors :

En négligeant la variation de longueur du fil devant L au dénominateur conformément aux indications de l'énoncé, la nouvelle fréquence fondamentale s'obtient d'après l'expression établie à la question Q30 (f_1 = \dfrac{c}{2L}) :

On remarque que cette expression peut également s'écrire en fonction de la fréquence initiale f_1 :

D'après l'expression établie à la question Q34, la fréquence fondamentale du fil sous contrainte s'écrit :

La jauge est solidaire du béton par l'intermédiaire de ses coupelles d'extrémité : le fil subit donc la même déformation longitudinale relative \Delta\varepsilon que le béton environnant. La fonction \Delta\varepsilon \mapsto f'_1(\Delta\varepsilon) est strictement croissante.

• Contrainte en compression : le béton se raccourcit selon l'axe du capteur, d'où un raccourcissement du fil :

  \Delta\varepsilon < 0 \implies \varepsilon_0 + \Delta\varepsilon < \varepsilon_0 \implies T' < T

  La tension du fil diminue, donc la fréquence fondamentale f'_1 diminue (f'_1 < f_1).

• Contrainte en traction : le béton s'allonge selon l'axe du capteur, d'où un étirement supplémentaire du fil :

  \Delta\varepsilon > 0 \implies \varepsilon_0 + \Delta\varepsilon > \varepsilon_0 \implies T' > T

  La tension du fil augmente, donc la fréquence fondamentale f'_1 augmente (f'_1 > f_1).

D'après l'énoncé, la déformation maximale admissible du béton en traction est de 0{,}02\,\%, ce qui correspond à une variation d'allongement relatif du fil :

D'après le résultat de la question Q34, la nouvelle fréquence fondamentale s'exprime par :

En utilisant la valeur \varepsilon_0 \approx 1{,}80 \times 10^{-3} calculée à la question Q32 :

L'application numérique donne :

La variation de fréquence associée à cette traction maximale vaut :

Or, l'énoncé précise qu'une analyse spectrale permet d'obtenir les fréquences propres avec une incertitude de 1\text{ Hz}. Comme \Delta f_1 \gg 1\text{ Hz}, cette variation de fréquence est très nettement supérieure à la précision de mesure :

D'après l'expression de la loi de Hooke et de la fréquence fondamentale établie à la question Q34 :

Pour que la corde puisse vibrer et qu'une fréquence propre puisse être mesurée, le fil doit obligatoirement demeurer sous tension :

Lors d'une compression, le béton se contracte selon l'axe de la jauge, ce qui correspond à \Delta\varepsilon < 0. Le fil se détend progressivement jusqu'à s'annuler pour :

Au-delà de cette valeur, le fil devient lâche (flambement, perte de tension), sa fréquence fondamentale s'annule et le capteur devient inopérant.

La déformation maximale en compression mesurable par la jauge, notée |\Delta\varepsilon|_\text{max}, est donc égale à l'allongement relatif initial \varepsilon_0 déterminé à la question Q32 :

Une variation de température \Delta\theta induit une déformation thermique relative du fil d'acier égale à :

Pour une variation modérée de température de \Delta\theta = 10\text{ K} (courante au cours d'une journée ou entre saisons) :

Cette déformation est du même ordre de grandeur que la déformation maximale admissible du béton en traction (0{,}02\,\%).

De plus, même pour une variation de seulement \Delta\theta = 1\text{ K}, la variation relative d'allongement induite vaut \varepsilon_{\mathrm{th}} \approx 1{,}2 \times 10^{-5}, ce qui conduit d'après la relation de la question Q34 différentiée au premier ordre à un décalage de fréquence :

Ce décalage est supérieur à la précision de mesure du spectre (1\text{ Hz}).

Pour ne pas fausser les mesures, plusieurs solutions peuvent être mises en œuvre :

1. Mesure simultanée de la température et compensation logicielle : intégrer une sonde de température (thermistance ou résistance de platine) au sein même du boîtier de la jauge. La température locale mesurée permet de soustraire la dérive thermique de la fréquence à l'aide d'une loi d'étalonnage.
2. Montage avec jauge témoin (méthode différentielle) : installer une seconde jauge identique dans le même environnement thermique, mais logée dans une cavité non soumise aux contraintes mécaniques du béton. La différence des mesures entre les deux jauges permet d'éliminer la contribution thermique.

Considérons comme système la tranche de béton indéformable comprise entre x et x + \mathrm{d}x, d'aire transverse S, de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x et de masse \mathrm{d}m = \rho S\,\mathrm{d}x.

1. Bilan d'énergie interne entre t et t + \mathrm{d}t :

Le béton étant une phase condensée indéformable, le travail des forces pressantes est nul (W = 0). La variation d'énergie interne du système s'écrit :

2. Transfert thermique conductif :

Le transfert thermique est unidimensionnel suivant l'axe (Ox). Les faces latérales étant isolées et en l'absence de terme source volumique interne, la tranche n'échange d'énergie que par ses faces en x et en x + \mathrm{d}x :

• à travers la face en x, le flux thermique entrant s'écrit \Phi(x, t) = \vec{\jmath}_\mathrm{th}(x, t) \cdot S \vec{e}_x = j_\mathrm{th}(x, t) S ;
• à travers la face en x + \mathrm{d}x, le flux thermique sortant s'écrit \Phi(x + \mathrm{d}x, t) = j_\mathrm{th}(x + \mathrm{d}x, t) S.

Le transfert thermique algébrique reçu par le système pendant la durée \mathrm{d}t est donc :

D'après la loi de Fourier, la densité de flux thermique conductif est :

La conductivité thermique \lambda étant constante, il vient :

3. Premier principe de la thermodynamique :

L'application du premier principe donne \mathrm{d}(\mathrm{d}U) = \delta Q :

En simplifiant par S \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t \neq 0, on obtient l'équation de la diffusion thermique à une dimension (équation de la chaleur) :

D'après l'équation de la diffusion thermique établie à la question Q39 :

Par analyse dimensionnelle, les termes différentiels s'évaluent aux échelles caractéristiques du système :

Le temps caractéristique de diffusion thermique à travers l'épaisseur h du mur s'exprime donc par :

Calculons numériquement la diffusivité thermique D puis le temps \tau :

D'après le préambule de la partie D, un épisode de canicule s'étend sur plus de trois jours consécutifs, soit une durée \Delta t_{\text{canicule}} \ge 3 \times 24\text{ h} = 72\text{ h}.

Le régime stationnaire est considéré comme atteint au bout d'une durée d'environ 3\tau à 5\tau (soit entre 39\text{ h} et 65\text{ h}). Comme :

le régime stationnaire est effectivement atteint au cours de la canicule étudiée.

1. Profil de température T(x) en régime stationnaire

En régime permanent (stationnaire), le champ de température est indépendant du temps : \dfrac{\partial T}{\partial t} = 0. D'après l'équation de la diffusion thermique établie à la question Q39, le champ de température vérifie :

Par intégrations successives, T(x) est une fonction affine de la position :

Les conditions aux limites aux parois du mur s'écrivent :

• en x = 0 (extérieur) : T(0) = T_{\mathrm{ext}} \implies B = T_{\mathrm{ext}} ;
• en x = h (intérieur) : T(h) = T_{\mathrm{int}} \implies A\,h + T_{\mathrm{ext}} = T_{\mathrm{int}} \iff A = -\dfrac{T_{\mathrm{ext}} - T_{\mathrm{int}}}{h}.

Le profil de température dans l'épaisseur du mur est donc :

2. Puissance thermique \Phi_{\mathrm{th0}} traversant le mur

D'après la loi de Fourier, le vecteur densité de flux thermique orienté selon \vec{e}_x (vers l'intérieur) vaut :

Le flux thermique à travers la surface plane d'aire S normale à \vec{e}_x est uniforme et s'écrit :

Application numérique avec \lambda = 1{,}8\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}, S = 25\text{ m}^2, h = 0{,}200\text{ m} et T_{\mathrm{ext}} - T_{\mathrm{int}} = 30 - 20 = 10\text{ K} :

3. Résistance thermique du mur

Par analogie électrocinétique avec la loi d'Ohm U = R\,I reliant la différence de potentiel électrique au courant électrique, on relie l'écart de température \Delta T = T_{\mathrm{ext}} - T_{\mathrm{int}} (analogue de la tension) au flux de chaleur \Phi_{\mathrm{th0}} (analogue du courant électrique) par :

Application numérique :

On applique le premier principe de la thermodynamique sous forme locale/globale au système fermé constitué de la pièce intérieure à température constante T_{\text{int}} :

La température intérieure étant maintenue constante par le climatiseur en régime stationnaire, l'énergie interne de la pièce ne varie pas au cours du temps :

Les transferts thermiques à travers le plancher, le plafond et les cloisons avec les pièces voisines étant négligés, les seuls échanges d'énergie de la pièce avec l'extérieur sont :

• le flux thermique \Phi_{\text{th0}} provenant de l'extérieur et entrant dans la pièce à travers le mur en x = h ;
• la puissance thermique \mathcal{P}_{\text{clim}} reçue de la part du climatiseur.

Le bilan énergétique s'écrit donc :

La puissance de refroidissement du climatiseur, notée \mathcal{P}_{\text{refr}}, correspond à la puissance thermique qu'il extrait de la pièce (\mathcal{P}_{\text{refr}} = -\mathcal{P}_{\text{clim}}) :

D'après la question Q41, \Phi_{\text{th0}} = 2{,}25\text{ kW}, d'où :

En régime stationnaire unidimensionnel, le flux thermique traverse successivement la paroi en béton d'épaisseur h puis la couche d'isolant d'épaisseur h_i, de même surface S. Par analogie électrocinétique, les deux milieux constituent deux résistances thermiques associées en série.

La résistance thermique du panneau isolant s'écrit :

L'application numérique donne :

La résistance thermique totale du mur composite est donc :

soit :

La puissance thermique traversant la paroi s'en déduit :

Comparons cette valeur à celle sans isolation (\Phi_{\mathrm{th0}} = 2{,}25\text{ kW}) :

La puissance thermique traversant le mur est divisée par un facteur d'environ 5{,}7, soit une diminution de près de 83\,\%.

1. Interprétation physique des profils de température

Les courbes de la figure 7(a) mettent en évidence deux zones distinctes séparées par un point anguleux à l'abscisse x = x_0(t) :

• Pour x \in [0,\, x_0(t)], la température décroît de façon quasi linéaire depuis la température imposée à l'extérieur T(0, t) = T_\text{ext} = 30\text{ }^\circ\text{C} jusqu'à la température de fusion T(x_0, t) = T_0 = 20\text{ }^\circ\text{C}.
• En x = x_0(t), la température est bloquée à la température de changement d'état T_0 = 20\text{ }^\circ\text{C} : c'est la position du front de fusion. Le flux thermique arrivant de l'extérieur est absorbé sous forme d'enthalpie latente de fusion pour faire fondre les billes de MCP, ce qui fait avancer le front vers la droite au cours du temps.
• Pour x \in [x_0(t),\, h], le profil présente un palier parfaitement horizontal : la température reste uniforme et égale à T_0 = T_\text{int} = 20\text{ }^\circ\text{C}.

2. État physique du MCP

• Pour x < x_0(t), T(x, t) > T_0 : le MCP est à l'état liquide.
• En x = x_0(t), T = T_0 : le MCP subit le changement d'état (coexistence solide-liquide).
• Pour x > x_0(t), T(x, t) = T_0 = 20\text{ }^\circ\text{C} : le MCP n'a pas encore reçu de chaleur latente, il est à l'état solide.

3. Régime stationnaire dans chaque zone

• Le système global n'est pas en régime stationnaire puisque la position du front x_0(t) évolue au cours du temps (il met plus de 15\text{ h} à traverser le mur).

• Cependant, au sein de chaque zone, on peut considérer que le régime quasi stationnaire est atteint à chaque instant :

  • Dans la zone liquide [0,\, x_0(t)], le profil T(x, t) est quasi affine en x. Cela correspond à la solution stationnaire de l'équation de la diffusion sans terme source :

    \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} \approx 0 \implies \frac{\partial T}{\partial t} \approx 0

    L'avancée du front de fusion est suffisamment lente pour que la diffusion thermique ait le temps d'établir quasi instantanément un régime permanent à l'échelle de la couche fondue.

  • Dans la zone solide [x_0(t),\, h], la température est rigoureusement constante et uniforme (T(x,t) = T_0), donc \partial T / \partial t = 0 : le régime y est stationnaire (flux thermique nul).

Considérons le système fermé constitué de la tranche de matériau comprise entre les abscisses x_0 et x_0 + \mathrm{d}x_0, de section droite d'aire S, entre les instants t et t + \mathrm{d}t. Sa masse est :

À l'instant t, cette tranche est à l'état solide à la température de fusion T_0 = 20~^\circ\mathrm{C}. À l'instant t + \mathrm{d}t, le front de fusion ayant progressé de \mathrm{d}x_0, l'ensemble de la tranche est passé à l'état liquide à la même température T_0.

La transformation étant isotherme et isobare (pression atmosphérique constante), la variation d'enthalpie du système s'identifie à l'enthalpie de changement d'état :

D'après le premier principe de la thermodynamique pour une transformation isobare sans travail utile :

où \Phi(x_0^-) et \Phi(x_0^+) sont respectivement les flux thermiques entrant par la gauche et sortant par la droite de la tranche :

• Dans la zone fondue [0, x_0(t)], le profil de température est supposé affine :

  T(x, t) = T_{\mathrm{ext}} - \frac{T_{\mathrm{ext}} - T_0}{x_0(t)} x

  D'après la loi de Fourier, la densité de flux thermique est :

  j_{\mathrm{th}} = -\lambda \frac{\partial T}{\partial x} = \lambda \frac{T_{\mathrm{ext}} - T_0}{x_0(t)}

  Le flux thermique entrant par la face située en x_0^- s'écrit donc :

  \Phi(x_0^-) = j_{\mathrm{th}} S = \lambda S \frac{T_{\mathrm{ext}} - T_0}{x_0(t)}

• Dans la zone solide [x_0(t), h], la température est uniforme et égale à T_0 = T_{\mathrm{int}} = 20~^\circ\mathrm{C}. Le gradient thermique y est donc nul :

  \left( \frac{\partial T}{\partial x} \right)_{x_0^+} = 0 \implies \Phi(x_0^+) = 0

Le bilan énergétique conduit alors à :

En simplifiant par S et en regroupant les termes en x_0 :

Puisque \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(x_0^2\right) = 2 x_0 \frac{\mathrm{d}x_0}{\mathrm{d}t}, on obtient :

On retrouve bien l'équation différentielle demandée :

D'après l'expression de la constante K établie à la question Q45 :

On en déduit l'expression littérale de l'enthalpie massique de fusion du béton composite :

Avec les données numériques :

• \lambda = 1{,}8\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
• \rho = 2{,}3 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• T_\text{ext} - T_0 = 30 - 20 = 10\text{ K} ;
• K = 5{,}40 \times 10^{-7}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1}.

On obtient :

Commentaire : La valeur obtenue pour le composite (\ell_\mathrm{f} \approx 29\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}) est nettement inférieure à celle de la paraffine pure (\ell_{\mathrm{f},\text{MCP}} \approx 200\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}).

Le matériau composite étant constitué d'une matrice de béton renfermant une fraction massique w de microcapsules de paraffine, l'enthalpie massique de fusion globale s'écrit \ell_\mathrm{f} = w\,\ell_{\mathrm{f},\text{MCP}} (le béton classique ne changeant pas de phase à cette température). On en déduit :

Cette teneur en billes de MCP (de l'ordre de 10\text{ à }15\,\% en masse) est tout à fait réaliste : elle confère au mur une capacité de stockage thermique latente significative tout en préservant la cohésion et les propriétés mécaniques de la structure en béton.

1. Commentaire sur la validité du modèle simple : Sur la figure 7(b), la courbe représentant le modèle simple (en tirets) et celle issue de la simulation numérique complète (en trait plein) sont extrêmement proches sur l'ensemble de la plage temporelle représentée (t \in [0\,;\,16\text{ h}]). L'écart maximal entre les deux courbes n'excède pas quelques millimètres (environ 5\text{ mm} à t = 16\text{ h}, soit une erreur relative inférieure à 3\,\%) : le modèle simple d'un profil de température affine dans la phase liquide (régime quasi stationnaire) est donc tout à fait satisfaisant et valide.

2. Détermination de l'instant t_\mathrm{f} : D'après la question Q45, la position du front de fusion vérifie :

Puisqu'à t = 0, le mur est entièrement solide (x_0(0) = 0), l'intégration donne immédiatement :

Le front de fusion traverse entièrement le mur lorsque x_0(t_\mathrm{f}) = h, soit :

Avec h = 200\text{ mm} = 0{,}200\text{ m} et K = 5{,}40 \times 10^{-7}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} :

D'après l'hypothèse du modèle simple, dans la zone fondue [0, x_0(t)], le profil de température est affine :

D'après la loi de Fourier, la densité de flux thermique selon \vec{e}_x s'écrit :

Le flux thermique total entrant dans le mur par la surface S en x = 0 s'en déduit directement :

Pour t \le t_\mathrm{f}, le front de fusion progresse selon x_0(t) = \sqrt{Kt} (question Q47), d'où :

En remplaçant l'expression de K = \dfrac{2\lambda(T_\text{ext} - T_0)}{\rho \ell_\mathrm{f}}, on peut également écrire :

Pour t > t_\mathrm{f}, l'intégralité du MCP a fondu (x_0 = h). Le mur se trouve entièrement à l'état liquide et le régime permanent s'établit sur toute l'épaisseur h entre T(0) = T_\text{ext} et T(h) = T_\text{int} = T_0. Le flux thermique traversant le mur devient alors stationnaire et constant :

Ce flux thermique \Phi_{\mathrm{th2}} est identique au flux stationnaire \Phi_\text{th0} obtenu à la question Q41 pour le mur en béton simple (puisque T_0 = T_\text{int} = 20\text{ }^\circ\text{C}) :

Il s'interprète comme la puissance thermique transmise en régime stationnaire de conduction pure à travers le mur une fois la capacité de stockage par changement d'état totalement épuisée.

À l'instant t = t_\mathrm{f} = \dfrac{h^2}{K}, on a x_0(t_\mathrm{f}) = h, ce qui assure la continuité du flux thermique entrant :