Magnétostatique : 317 questions de concours corrigées

On considère un circuit filiforme orienté C, parcouru par un courant constant I et déplacé dans un champ magnétique B. On considère un élément dl de ce circuit, soumis à un déplacement du. Montrer…

À l'aide d'un schéma, identifier du ∧ dl à un élément de surface dS. En déduire que le travail des forces de Laplace sur le circuit C lors d'une translation élémentaire du vaut δ W_L=I dΦ_c, où dΦ_c…

Montrer que le flux magnétique Φₐ à travers le circuit Cₐ ne dépend pas de la surface Σₐ choisie, tant que celle-ci repose sur Γₐ et est d'orientation compatible avec celle de Γₐ.

Montrer que le flux magnétique transverse est conservé le long d'un tube de champ.

On considère d'abord le mouvement d'un électron dans un champ magnétique B uniforme, la vitesse initiale de l'électron étant orthogonale à B. Déterminer le rayon r de la trajectoire en fonction de…

Déterminer la direction du champ magnétique B créé en M par ce fil. En déduire la projection de B sur la base locale cylindrique en fonction des coordonnées de M.

Rappeler l'expression de la force de LAPLACE exercée sur un conducteur électrique. En supposant le champ magnétique uniforme dans le canon, exprimer son intensité minimale B₀ en fonction de a, m, d…

Rappeler les propriétés d'un matériau ferromagnétique idéal. Déterminer la direction du champ magnétique en un point M de l'entrefer. Donner, en justifiant, la relation entre ω la pulsation des…

Rappeller et nommer les deux équations de Maxwell vérifiées par le champ B en magnétostatique, ainsi que les formes intégrales associées.

On repère tout point M de l’espace par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z) dans la base locale (u_r, u_θ, u_z). Exprimer en fonction de µ₀, I et de r le champ magnétique B_f,Bi(M) créé par le fil…

Expliquer comment on peut mesurer un champ magnétique au laboratoire.

On considère un électron non relativiste pénétrant avec une vitesse v = v₀e_z, avec v₀ > 0, dans une zone où règne le champ magnétique B = B₀e_y. En admettant que la trajectoire est circulaire de…

Donner la définition du flux de B à travers une spire de la bobine.

Montrer que le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde est de la forme B = B₀ u_z, avec B₀ une constante qu'on exprimera, entre autres, en fonction de l'intensité I. On admettra que le champ…

Rappeler, schéma à l'appui, la définition du moment magnétique µ d'une boucle de courant plane.

Que devient l'équation de Maxwell-Ampère dans le cadre de l'hypothèse précédente ?

Analyser les symétries et les invariances de la distribution de courant pour déterminer la direction du champ magnétique et les paramètres d'espace dont dépendent sa ou ses coordonnée(s) en…

En appliquant le théorème d'Ampère, établir l'expression du champ magnétique créé par ce fil à une distance R du fil. Préciser le contour d'Ampère choisi.

Rappeler la définition d'un milieu ferromagnétique linéaire doux. Donner la relation entre les vecteurs B et H au sein d'un tel milieu.

Déterminer la dimension de χ. Quelle relation lie H et le champ magnétique B ? Définir puis exprimer la perméabilité magnétique relative µ_r du milieu.

Rappeler l'expression de la résistance électrique R d'un conducteur cylindrique de conductivité γ, de longueur L, de section S, parcouru uniformément par un courant parallèle à son axe.

En utilisant un schéma, déterminer la direction du champ magnétique B créé par le courant circulant dans la bobine et indiquer les variables dont il dépend.

Une fois la vitesse v acquise, on s'arrange à la sortie (non représentée sur la figure) du canon pour que l'électron pénètre dans une région où règne seulement un champ magnétique B, stationnaire et…

Représenter l'allure des lignes de champ (orientées) de l'aimant (0).

Donner l'expression de la force de Laplace s'exerçant sur une barre conductrice MN parcourue par un courant i dans un champ magnétique uniforme et stationnaire.

Représenter l'allure des lignes de champ magnétique sur un schéma.

En appliquant le théorème d'Ampère, déterminer l'expression du champ magnétique créé par le fil à une distance d de celui-ci.

Dans l'approximation du solénoïde infini, justifier que le champ magnétostatique en tout point M à l'intérieur du solénoïde est de la forme : B(M) = B(r) u_z où r est la distance de M à la droite Oz…

On souhaite vérifier la valeur de cette pression à l'aide d'un capteur magnétique. Ce dernier comprend une bobine de longueur ℓ = 5 cm constituée d'un enroulement de N = 1000 spires de rayon R, de…

Reproduire la spire et l'aimant représentés sur la figure (1) mais vus dans le plan (O, x, y) et non plus en perspective. Tracer l'allure de quelques lignes du champ magnétique Bₐ créé par l'aimant.

Énoncer les deux équations de Maxwell pour un champ magnétique en régime permanent.

Donner les unités d'un moment magnétique |µ| et de l'aimantation spontanée M_s dans les unités de base du système international (m, kg, s, A, K).

Donner Nₓ, N_y, et N_z dans le cas d'un échantillon sphérique.

En négligeant pour un temps le caractère quantique de l'électron, c'est-à-dire son spin, et en considérant un électron de charge -e et de masse mₑ sur une trajectoire circulaire uniforme autour d'un…

En partant de l'équation de Larmor, donner sans autre forme de justification l'équation d'évolution de l'aimantation M(t) dans son champ magnétique effectif B_eff.

Vérifier que cette équation conserve la norme de l'aimantation.

Comment se transforme un champ magnétique B si l'on renverse la flèche du temps ? (On pourra s'aider du fait qu'un champ magnétique peut être vu comme résultant d'une charge électrique en rotation.)

Montrer, à l'ordre le plus bas en m(t) et b(t), que m(t) obéit à l'équation (dm(t))/dt = -γ [m(t) ∧ B₀ + M₀ ∧ b(t)].

Expliquer brièvement l'origine de la tension transversale V_H.

D'après la figure, que peut-on dire du flux magnétique ?

Rappeler l'expression de la force électromagnétique exprimant l'action du champ électromagnétique (E,B) sur une particule de charge q animée d'une vitesse v dans (R).

Rappeler les équations locales de Maxwell relatives au champ magnétique B. Comment se simplifient-elles dans l'ARQS ?

Dans le cadre de l'ARQS, indiquer comment on passe de l'équation locale concernée au théorème d'Ampère.

En invoquant des arguments de symétrie et d'invariance de la distribution de courants, déterminer la direction du champ B(M), ainsi que la (ou les) coordonnée(s) dont dépend(ent) son module.

Préciser, en justifiant votre réponse, la direction du champ magnétique B(M) au point M.

On suppose à présent que le circuit C effectue un déplacement à courant I toujours constant, mais dans un champ B(r) stationnaire. Montrer que le travail des forces de Laplace pour un déplacement…

En déduire l'énergie potentielle d'interaction U_I d'un circuit C parcouru par un courant I constant dans un champ B(r) stationnaire. Que peut-on en déduire sur les déplacements spontanés d'un…

En déduire que l'énergie magnétique totale d'un système de circuits Cₐ parcourus par des courants Iₐ s'écrit U_C=β₂ Σ_a, b Iₐ Φ_b → a, avec β₂ un facteur numérique à déterminer, et où la somme…

Prouver qu’en tout point M situé sur l’axe commun des deux spires (O_sy), on a B(M) = B(M)e_y.

Pour cette simulation, on a pris i = 1,0 × 10³ A. Déterminer la valeur numérique de _C B · dℓ le long de la courbe C représentée avec son orientation sur le schéma en pointillés.

Établir l’expression des inductances propres Lₐ et L_b des solénoïdes Sₐ et S_b en fonction de Nₐ, N_b, rₐ, r_b, µ₀ et ℓ.

Après avoir déterminé le champ magnétique complexe total régnant au voisinage extérieur de la surface de la voile (en x = 0⁻), établir l'expression de la densité surfacique de courant réelle j_s(t)…

En déduire l’expression du champ magnétique total B_f(M) créé par les deux fils en un point M situé dans le plan vertical (O, u_y, u_z), à égale distance d/2 de ces deux fils.

Rappeler les deux équations locales vérifiées par le champ magnétique en régime stationnaire et montrer que le champ proposé vérifie ces équations. Donner la valeur de K'.

Rappeler les deux équations locales vérifiées par le champ magnétique en régime stationnaire et montrer que le champ proposé vérifie ces équations. Donner la valeur de K'.

À partir du modèle du solénoïde infini, montrer que le champ magnétique peut s'écrire B(M) = B(x, y) u_z, puis déterminer l'expression du champ magnétique à l'intérieur du solénoïde, sous la forme…

À partir du modèle du solénoïde infini, montrer que le champ magnétique peut s'écrire B(M) = B(x, y) u_z, puis déterminer l'expression du champ magnétique à l'intérieur du solénoïde, sous la forme…

Déterminer l'expression du champ magnétique B_sol(M, t) produit à l'intérieur et à l'extérieur du solénoïde, et pour chacune des phases temporelles : t < 0, t [0, τ[ et t ≥ τ. On justifiera les…

Établir l'expression du champ magnétique B(M) en un point M à l'intérieur du solénoïde en fonction de la perméabilité magnétique du vide µ₀, du nombre de spires N, de la longueur ℓ du solénoïde et…

En déduire l'expression de B(r) pour r < a, a < r < b puis r > b.

Déterminer l'expression du champ magnétique B_S créé par l'ensemble des deux enroulements S₁ et S₂ du stator dans l'entrefer. On posera B_S0 = K_S I_Smax. Justifier que ce champ magnétique est un…

En utilisant le théorème de Stokes, démontrer le théorème d'Ampère dans le cadre de la magnétostatique et dans le cas des courants circulant dans des circuits filiformes. Vous préciserez sur un…

En d'étaillant les étapes et hypothèses de votre raisonnement, montrer que le champ magnétique dans l'entrefer s'écrit : B(x) = (µ₀ µ_r N I)/(ℓ + 2 µ_r x).

Définir les symétries et invariances du système afin de réduire le nombre de composantes non nulles et leurs dépendances.

Appliquer le théorème d'Ampère sur le contour C.

On effectue un bilan d'énergie magnétique sur le système. Ce bilan est donné par l'équation suivante : dE_mag(T, e_air) = -F_mag de_air - m_MC s dT . (9) En déduire l'expression de la force…

Montrer que ces trois champs sont uniformes dans ce milieu. En négligeant le champ magnétique à l'extérieur du milieu magnétique, exprimer B₀ en fonction de µ_r, µ₀, N₁, N₂, ℓ et des courants I₁ et…

Dans le modèle de Bohr, un électron possède une trajectoire circulaire autour d'un noyau atomique immobile. Le moment cinétique de l'électron est σₑ = |σₑ| = ħ, où ħ est la constante de Planck…

En travaillant en coordonnées cylindriques, d'axe l'axe de révolution du tore, justifier que H = He_θ et B = Be_θ.

Exprimer les champs H et B en fonction de µ₀, µ_r, Nₜ, ℓₜ et i. Préciser les orientations choisies.

Exprimer le champ d'excitation magnétique H dans le barreau. On d'étaillera la méthode utilisée.

En admettant que le champ magnétique est nul à l'extérieur de la bobine, déterminer le champ B à l'intérieur de la bobine.

Justifier l'existence d'un champ magnétique B et montrer que B(M,t) = B(r,z,t) e_θ.

Déterminer, en fonction de K, I_Seff, ω_s, θ et de t, l'expression du champ magnétique B_p=1 créé dans l'entrefer par les deux bobines du stator. Justifier qu'il s'agit d'un champ tournant et…

Représenter graphiquement ce champ de vecteurs. En quoi ce champ magnétique n'est-il pas compatible avec les équations de Maxwell écrites sous forme globale ? On justifiera la réponse par le calcul…

Supposons qu'il existe une fonction A(M) telle qu'en tout point de l'espace l'équation Bₘₒₙₒ(M) = rotA(M) (15) est vérifiée. Montrer que cela n'est pas compatible avec l'existence d'une charge…

Comme il est difficile de représenter le champ magnétique en trois dimensions, la figure D se limite au plan (Ω, u₁, u₃). Pourquoi cela ne constitue-t-il pas une perte d'information ? En quels…

Justifier par des considérations de symétrie la direction du champ magnétique.

Pour la ligne de champ moyenne, on note H_air et H_fer les normes du champ d'excitation magnétique dans l'air (entrefer) et dans le fer. Ces normes sont supposées uniformes le long de cette ligne de…

Déterminer l'expression de B en fonction de i₁(t), de e et de µ₀.

En analysant les symétries et les invariances de la distribution de courant, déterminer la direction du champ magnétique B créé par ce fil et les paramètres d'espace influents.

Justifier que le champ magnétostatique est uniforme à l'intérieur du solénoïde infini. Établir son expression en admettant qu'il est nul à l'extérieur.

Déterminer, en explicitant soigneusement l'argumentation, le champ magnétique produit dans tout l'espace uniquement par la lame de gauche (on ne tiendra donc pas compte de l'autre lame et du plasma).

Montrer que le champ magnétique dans l'entrefer a pour intensité : B₀ = (µ₀ I)/2e (III.1) et préciser son sens en fonction de l'angle θ.

On considère que le champ magnétique terrestre est celui d'un dipôle magnétique de moment magnétique M (figure 10) placé au centre de la Terre. L'angle entre sa direction et l'axe de rotation de la…

En l'absence de courant de charges libres, j_libres = 0, montrer que Hₘ dérive d'un potentiel tel que µ₀ Hₘ = -∇φₘ, et que le problème se ramène à l'équation de Poisson suivante ∇² φₘ = µ₀ ∇ · M.

Dans le cas simple où le champ effectif est statique, soit B_eff = B₀ avec dB₀/dt = 0, montrer que l'énergie Eₜₒₜ = -VM · B₀ est une fonction décroissante du temps, permettant ainsi la relaxation de…

Montrer que la susceptibilité longitudinale χ = µ₀ mₓ/bₓ et la susceptibilité transverse χ = µ₀ m_y/bₓ sont données par χ₍ω) = (ω₀ ω_M)/(ω₀² - ω²), χ₍ω) = -i (ω ω_M)/(ω₀² - ω²), où la fréquence ω_M…

Quelle est, en fonction de λ_f et Vₑ, l'expression de l'intensité du courant électrique vue par un observateur dans (R) ? À l'aide du théorème d'Ampère, exprimer B. Commenter par rapport à Q12.

En précisant le contour d'Ampère choisi, montrer tout d'abord que le champ magnétique est uniforme à l'intérieur du solénoïde. En choissant un second contour d'Ampère, déterminer le champ magnétique…

En fait, le tube de champ est également parcouru par un courant électrique provenant de l'intérieur du Soleil et dont la densité est de la forme jₜ = jₜ(r)u_z. En supposant que la longueur du tube…

En utilisant, au voisinage d'un point de l'axe (coordonnées (r, x₃) avec r ≪ R₁), l'équation de Maxwell de la question 37, démontrer que B_r(r, x₃) ≃ -r/2 dBₐₓₑ/dx₃.

En ramenant au préalable l'équation précédente à une équation différentielle du premier ordre, calculer explicitement φ(z). On rappelle la primitive ∫x dt 1/sin t = ln tan (x/2) + cste pour 0 < x <…

Justifier que les tubes de champ sont soit refermés sur eux-mêmes, soit vont à l'infini.

Montrer que les tubes de champ qui se referment sur eux-mêmes entourent forcément des branches de circuits dans lesquelles circulent des courants.

Préciser si les énergies magnétiques propre et d'interaction entre circuits changent de signe si le courant d'un des circuits en jeu change de signe. Quels signes peuvent avoir chacune de ces…

Représenter l'allure graphique de la dépendance de l'énergie d'interaction E₀(x) vis-à-vis de X. Indiquer les propriétés de cette interaction que ce tracé met en évidence.

Calculer la valeur de l'énergie d'interaction magnétique E₀₁ et celle de l'énergie cinétique initiale E_c,i,∞ de l'impacteur. Commenter ce résultat.

On considère maintenant le cas d'une vitesse initiale v quelconque. On note θ l'angle entre v et B. Le mouvement dans un plan perpendiculaire au champ est toujours un cercle. Exprimer son rayon r en…

Indiquer comment varie la norme du champ magnétique de gauche à droite le long d'une ligne de champ.

Expliquer comment on peut mesurer un champ magnétique au laboratoire.

La relation (1) reste valable dans le cadre de la relativité restreinte, avec une norme de la quantité de mouvement voisine de p ≈ E_c/c. Calculer la valeur du champ magnétique permettant d'obtenir…

Reproduire sur votre copie l'aspect général de la figure 4 en y précisant le sens du champ magnétique par l'orientation des lignes de champ ; justifier très brièvement.

Pour repérer un point M à l'intérieur du solénoïde, on utilise la base des coordonnées cylindriques d'axe (Oz). À partir de considérations de symétrie de la distribution de courants étudiée…

Exprimer, φ, le flux du vecteur B à travers une spire sous forme d'une intégrale double, on prendra soin d'expliciter les bornes d'intégration.

Comment évolue qualitativement l'intensité du champ magnétique lorsqu'on se rapproche des bords de la bouteille magnétique (c'est-à-dire lorsque |z| augmente) ? Représenter graphiquement l'allure de…

Préciser le nombre n de spires de l'enroulement S₁, décalées les unes par rapport aux autres, qui permettent de créer le champ magnétique B_S_1(θ, t) de la figure 11.

En utilisant les propriétés de symétrie de la distribution de courant, déterminer la direction et le sens du champ magnétique créé par cette spire au point M. Reproduire succinctement le schéma…

Comment choisir la géométrie du bobinage M et le courant I dans M pour créer un tel champ magnétique ?

Dans la phase statique, calculer l'expression de (∂ F_z(R, z))/(∂ R) en fonction notamment de (∂(R B_r(R, z)))/(∂ R).

Déduire de la question 16 une façon permettant de minimiser les problèmes posés par la dilatation de la spire.

On suppose les normes des champs d'excitation magnétique H et magnétique B uniformes dans le tore. À quelle condition sur la géométrie du tore cette hypothèse est-elle justifiée ?

Tracer l'allure des lignes de champ magnétique pour une bobine infinie, puis pour une bobine de longueur finie. Décrire les variations du champ magnétique dans les deux cas.

Vérifier que le potentiel vecteur A_1,p(R, t) = -i/ω_p E_1,p u_p(R) e⁻iω_p t eₓ (26) permet de retrouver le champ du mode p associé à un photon en utilisant B_1,p(R, t) = rot A_1,p(R, t) et E_1,p(R…

Exprimer, dans le repère R(O, x, y, z), le champ B₀(P(r, θ)) correspondant à chacun des points suivants : P₁=P(D, 0), P₂=P(D, π / 2), P₃=P(D, π) et P₄=P(D, 3 π / 2).

Indiquer l'argument qui justifie l'hypothèse H_ppv.

Énoncer dans le cadre de ce régime l'équation Maxwell-Ampère reliant le vecteur excitation magnétique H et , on précisera la nature de . En déduire la forme générale de l'énoncé du théorème d'Ampère.

Énoncer l'équation de Maxwell-Thomson (également appelée Maxwell-Flux) et en déduire la propriété correspondante du flux du champ magnétique.

Quelle est la direction du champ magnétique en tout point du plan passant par O et orthogonal à u_z ?

En un point M de coordonnées (r,θ,z) quelconques, que peut-on dire des coordonnées (B_r, B_θ, B_z) du champ magnétique compte tenu des symétries du problème ?

Quels éléments observés en figures 3 et 5 permettent de justifier que l'on puisse considérer le champ magnétique comme uniforme au voisinage du centre du noyau.

Quels éléments observés en figure 3 permettent d'expliquer la diminution de la composante B · u_z du champ observée en figure 5 lorsqu'on se rapproche des bords du noyau ?

La norme du champ magnétique est-elle uniforme dans le circuit magnétique ? Sinon, préciser les zones où le champ magnétique est le plus intense et est le moins intense.

De quelles perturbations s'agit-il ?

Quelles solutions peuvent être envisagées pour ne plus perturber le compas ?

Estimer la norme B₀ de ce champ pour un bobinage de 1 · 10³ spires⁻¹ avec I = 0,1 A. Comparer cette valeur à l'ordre de grandeur de la valeur du champ magnétique terrestre.

Quel est l'intérêt d'avoir supposé le solénoïde infini ? À quelle(s) condition(s) cette approximation est-elle valide ?

Dans cette question uniquement, l'enroulement statorique fournit une puissance électrique constante de 5,0 kW sous une tension de 230 V et on a N = 21. Calculer la valeur de l'intensité du courant I…

Le champ magnétique au pôle Nord géographique vaut B = 6,0· 10⁴ nT. En déduire l'ordre de grandeur du moment dipolaire M sachant que la perméabilité magnétique de l'air vaut µ₀ = 4π · 10⁻⁷ H⁻¹ et…

Cette interaction favorise-t-elle l'alignement ou l'anti-alignement des moments magnétiques ?

Exprimer ρ, la densité volumique des moments magnétiques, en termes de a.

Quelles configurations de l'aimantation M(x) minimisent E_ech ? (Une démonstration n'est pas requise.)

Quelles configurations de l'aimantation M(x) sont favorisées par E_ani ? (Une démonstration n'est pas requise.)

Quelle configuration de l'aimantation M(x) est favorisée par Eₑₓₜ ? (Une démonstration n'est pas requise.)

Montrer, en calculant δ(|M|²) = |M + δ M|² - |M|² au premier ordre en δ M, que la norme constante de l'aimantation impose de considérer uniquement des variations transverses de l'aimantation…

Montrer que les états stationnaires de l'aimantation correspondent aux états d'équilibre solutions de la première équation de Brown (19).

Vérifier que l'équation de LLG conserve la norme de l'aimantation.

Donner l'expression du courant critique I_c ≤ 0 pour laquelle l'effet de la dissipation est exactement compensé par le transfert de spin.

Tracer Eₜₒₜ en fonction des valeurs possibles de M_2z = M₂ · u_z. Identifier les états d'équilibre de l'aimantation, et distinguer les équilibres stables et instables.

Exprimer la barrière d'énergie Δ E > 0, définie comme la différence d'énergie entre état instable et état stable.

Exprimer la sensibilité de la sonde de Hall définie par s = δ V_H/δ B en fonction de L, N_s, j_S et e.

Calculer la valeur numérique de s pour L = 5 .

L'imperfection des appareils limite la précision de la mesure de la tension de Hall à ± 1 nV. Quel est le champ minimal que l'on peut mesurer à l'aide de la sonde précédente ?

Justifier que B' = 0. En déduire B d'après Q11.

Sous quelle(s) condition(s) l'approximation d'un solénoïde « infini » vous semble-t-elle légitime ?

On suppose que le circuit C, parcouru par un courant constant I, subit un déplacement entre une position initiale à t_ini et une position finale à t_fin. Si l'on ne fixe aucune contrainte sur le…

Calculer le travail des forces de Laplace sur la spire dans le cas A1, et le comparer au travail prédit par le théorème de Maxwell.

Calculer le travail des forces de Laplace sur la spire dans le cas A2, et le comparer au travail prédit par le théorème de Maxwell. On pourra utiliser sans la redémontrer, mais en justifiant sa…

En déduire que le solénoïde exerce sur lui-même une force qui peut être décrite comme une force de pression, qui vaut sur un élément dS orienté vers l'extérieur : dF=P_ms dS, où l'on exprimera P_ms…

En déduire que l'énergie magnétique totale stockée dans le système de courants pour t>T s'écrit: U_ms= (B²(r))/(2 µ₀) d τ_r où l'intégrale est prise sur tout l'espace.

On considère à nouveau le solénoïde introduit dans la section précédente. Calculer la variation d'énergie magnétique quand celui-ci passe d'un rayon R à un rayon 2 R. Commenter.

On considère à présent un système S_j constitué d'un ensemble S_ja de distributions de courants. Identifier dans l'énergie magnétique U_ms de S_j les contributions U_ja d'énergies propres de chaque…

On reprend l'exemple A2 décrit dans la section 2.1. Effectuer à nouveau le calcul de l'énergie magnétique de la configuration finale, mais en utilisant cette fois le flux de la spire sur le solénoïde.

En mécanique Newtonienne, la force subie par un point matériel ne doit pas changer lorsqu'on passe d'un référentiel Galiléen à un autre par une translation rectiligne uniforme. Déduire dans ce cadre…

En déduire l'expression des champs électrique et magnétique créés par un électron se déplaçant à la vitesse vₑ, que l'on écrira en fonction de ε₀, µ₀, e, vₑ et du vecteur r repérant le point où le…

On considère un électron de rayon rₑ, se déplaçant à la vitesse vₑ. Justifier qu'à un facteur numérique λ près, proche de l'unité, on peut interpréter l'énergie magnétique Uₘe associée au champ créé…

On considère à présent un solénoïde de longueur L, composé de N spires circulaires de rayon R parcourues par un courant I. On suppose que les fils de ce solénoïde sont de section circulaire, de…

En effectuant une application numérique, comparer cette énergie cinétique à l'énergie magnétique propre du solénoïde. On pourra utiliser le champ créé par un solénoïde infini, et ne calculer que la…

Attribuer une signification physique au paramètre B^ figurant dans l'équation (1). Calculer sa valeur.

Nous considérons la bille aimantée (0) et une bille ferromagnétique d'abscisse x (|x| ≥ a). Pour cette étude, x est une variable continue. Exprimer leur énergie d'interaction E₀(x) en fonction de…

Lorsque le champ vu par l'électron varie lentement le long de sa trajectoire, son mouvement dans le plan perpendiculaire reste approximativement circulaire, mais avec un rayon qui varie peu à peu…

Ce champ magnétique est assimilé à celui créé par un fil infini situé à la distance d/2 du point où se trouve le projectile. Exprimer puis calculer la valeur minimale I du courant électrique…

En utilisant les applications numériques des questions Q4 et Q10, indiquer le matériau qui vous semble le plus adapté pour les parois de la cavité supraconductrice.

En déduire la valeur numérique de la norme du champ magnétique. On pourra prendre vₘ = c pour cette application numérique. Commenter.

Reproduire rapidement sur votre copie cette figure avec quelques lignes de champ et représenter leur orientation en supposant i > 0. On constate que sur certaines zones, les lignes de champ…

Identifier, parmi les profils d’énergie potentielle proposés sur la figure 8, lequel décrit le mieux l’interaction entre les spires et l’aimant représentés. Justifier précisément la réponse.

On rappelle que le lien entre la force F et l’énergie potentielle E_p est donnée par F = -grad(E_p). En vous basant sur le profil choisi, expliquer où positionner l’aimant par rapport aux spires…

On s'intéresse dans un premier temps au champ magnétique créé par le rotor. Recopier, sur la copie, le schéma du rotor et du stator. Tracer l'allure de la carte du champ magnétique, en justifiant…

On note B_r(θ) = B · e_r la composante radiale du champ magnétique (où e_r est le vecteur unitaire radial des coordonnées cylindriques d'axe (Oz)) dans l'entrefer. Quelle est sa parité ? Quelle est…

Montrer que la valeur du champ rotorique B_r en tout point fixe de l'entrefer repéré par l'angle θ est donnée par B_r(θ, t) = B₁ cos [2(θ - θ_r(t))]e_r.

Exprimer la force électromagnétique δ F_L due au champ électromagnétique sur cette portion rectiligne en fonction de a, dy, j_s(t) et du champ magnétique incident à la surface de la voile B_i(x = 0…

Exprimer l’angle β en fonction de la norme des champs B_f et B_T,h. Calculer β sachant que B_T,h = 2· 10⁻⁵ T. On prendra d = 5 cm et I = 6 A.

Expliquer pourquoi le champ en un point du plan xOy de la figure 2b est contenu dans ce plan. Donner la direction et le sens du champ au voisinage de l'origine : • sur l'axe Ox ; • sur l'axe Oy…

On suppose K > 0. On considère un faisceau d'électrons de vitesse v = v₀ e_z avec v₀ > 0, possédant une faible extension Δ y autour de l'origine. Sur un schéma, dessiner le champ magnétique et la…

Montrer qu'un faisceau d'électrons possédant une extension Δ x autour de l'origine sera cette fois défocalisé. Expliquer comment on peut disposer deux quadrupôles successifs pour pallier cet…

Expliquer pourquoi le champ en un point du plan xOy de la figure 2b est contenu dans ce plan. Donner la direction et le sens du champ au voisinage de l'origine : - sur l'axe Ox ; - sur l'axe Oy…

On suppose K > 0. On considère un faisceau d'électrons de vitesse v = v₀e_z avec v₀ > 0, possédant une faible extension Δ y autour de l'origine. Sur un schéma, dessiner le champ magnétique et la…

Montrer qu'un faisceau d'électrons possédant une extension Δ x autour de l'origine sera cette fois défocalisé. Expliquer comment on peut disposer deux quadrupôles successifs pour pallier cet…

Montrer que le champ magnétique est nécessairement statique. On négligera ce champ dans toute la suite de cette partie III.A.

On admet que le flux Φ(t) du champ magnétique créé par l'aimant à travers ce même anneau (A) s'écrit Φ(t) = Φ₀ r_i³/((r_i² + (z + vt)²)³/²) où Φ₀ est une constante dont on admettra qu'elle s'écrit…

Le temps de chute est Δ t_h = 4,0 s pour un tube de 20 cm de haut. Quel serait le résultat de la même expérience avec un tube de même longueur en aluminium ? en acier ?

Faire apparaître sur votre copie l'allure d'un tel cycle en précisant les valeurs de l'aimantation rémanente M_r, de l'aimantation à saturation M_s et de l'excitation coercitive H_c. Laquelle de ces…

Au voisinnage du câble et en le supposant uniforme, exprimer B₀ en projection sur B_c. On justifiera la direction et le sens choisis et on exprimera la norme B₀ de ce champ en fonction de Bₑ (champ…

On oriente la spire dans le sens direct (indiqué sur le schéma plus haut), et on rappelle que l'élément de surface infinitésimal dS à rayon constant en coordonnées sphériques s'écrit dS = r² sin…

Au voisinage de l'axe (Oz), le champ magnétique est localement uniforme et orienté selon u_z : B = B u_z. Dans cette question, on suppose comme dans la Q4 que le mouvement du cation est circulaire…

Montrer que E = 1/2mv_² + E_p est une constante. Quelle signification physique peut-on donner aux termes 1/2mv_² et E du point de vue du dipôle magnétique ?

Établir l'expression de B au point M en fonction de B₀, r et de x, x représentant la distance entre le point O et le point M.

Quelle valeur maximale de x permet de considérer que le champ B est égal à B₀, (à 10 On exprimera x en fonction de r. On donne √(2/30) ≈ 0,26.

Définir l'énergie magnétique E_mag(x) du système noyau+entrefer comme la somme de deux intégrales volumiques exprimées en fonction de B(x), puis la calculer en fonction des paramètres du problème.

Exprimer la différentielle totale de l'enthalpie libre massique dg en fonction des variations infinitésimales de la température dT et de l'excitation magnétique dH.

Reproduire la figure 5 et indiquer qualitativement pour les étapes 2, 3 et 4 la position du matériau magnétocalorique (dessiner le matériau), la résultante des forces (flèche simple : →) et le flux…

Simplifier l'expression du champ magnétique et déduire de cette expression que la position du matériau magnétocalorique contrôle en partie le champ appliqué sur le matériau.

Déterminer l'énergie magnétique dans l'air, en fonction de B_air et des paramètres géométriques, et l'énergie magnétique dans le fer, ces milieux étant supposés linéaires.

Déterminer l'énergie magnétique dans le matériau magnétocalorique E_MC en fonction de B_MC, C₁, C₂, T, S_MC et l_MC.

En déduire l'énergie magnétique dans les aimants Eₘ et dans le matériau magnétocalorique E_MC en fonction de B_air, Mₘ, C₁, C₂ et pour les paramètres géométriques en fonction de S_air, eₘ et l_MC.

Expliquer pourquoi la force magnétique dépend de la température. Indiquer quel coefficient varie en fonction de la température dans l'expression de la force F_mag = -C₃/((e_air + C₄)²).

Écrire la condition d'équilibre mécanique lorsque le matériau est dans l'étape 1 du cycle. Expliquer pourquoi la force de contact tend vers 0 quand la température diminue.

Donner une propriété fondamentale du champ magnétique et rappeler l'équation locale qui traduit cette propriété. En déduire une nouvelle expression pour (∂ F_z(R, z))/(∂ R) en fonction notamment de…

Comment peut-on à partir de 2 spires identiques planes, créer un champ magnétique radial sortant dans un plan ? Faire un schéma du dispositif en supposant que ce plan est le plan z = 0. Dessiner les…

Tracer approximativement la courbe de F(R, z = 0) en fonction de R. Montrer qu'il existe une valeur de R, qu'on appellera R_opt, autour de laquelle F(R, z = 0) dépend peu de R.

Pour l'enroulement de cuivre de la figure 1, le courant circule de A vers B. Évaluer sa résistance électrique Rₑ. Citer deux inconvénients que présente l'existence de cette résistance pour un…

Un matériau ferromagnétique de masse molaire M, de masse volumique ρ, est formé d'atomes de moment magnétique zµₑ où z N. Quelle est l'expression de l'aimantation de saturation M_sat, valeur de…

En reprenant la valeur précédente de M_sat, quel serait le moment magnétique à saturation mₐ d'un cube de fer de côté 150 ? Quelle serait l'intensité I parcourant une boucle circulaire de diamètre…

Exprimer la puissance moyenne P_c consommée dans le tore en fonction de la valeur efficace I_eff de l'intensité i et des caractéristiques du milieu.

Calculer la puissance moyenne P_diss dissipée dans le tore ferromagnétique. Quelle est la nature de cette perte ?

Sachant que I₀ₑ est tel que la valeur maximale de l'excitation magnétique Hₘₐₓ = 2H₀, exprimer u_s(t) dans les deux domaines, linéaire et saturé.

Représenter sur la figure B du document réponse les graphes des fonctions B(t) = B · u_z et u_s(t).

Quelle est l'expression de H dans le barreau ? À l'aide des graphes de B(t) et de u_s(t) fournies figure C du document réponse, déterminer quelle inégalité est vérifiée par la valeur de Hₑₓₜ : a…

Exprimer H_r = H_r · u_z en fonction de Hₑₓₜ, µ_r et α, dans le domaine de linéarité du matériau. En déduire l'expression de H_r en fonction du champ magnétique extérieur Bₑₓₜ, µ₀, µ_r et α.

Lorsqu'on insère un matériau ferromagnétique dans une bobine, on modifie l'expression du champ créé en le multipliant par µ_r, perméabilité magnétique relative du milieu. En reprenant l'expression…

Dessiner en fonction de θ la fonction B₁(θ) pour θ [-π,π[ et proposer, à l'aide d'une figure, une répartition des conducteurs qui permette de créer un champ magnétique B₃ = B₃(θ) e_r décrit sur la…

Montrer que les champs de vecteurs A_N et A_S vérifient tous les deux l'équation (15) et déterminer l'ensemble des points de S_r pour lesquels ces fonctions sont définies.

Montrer que le flux du champ magnétique Bₘₒₙₒ à travers S_r peut s'écrire comme la différence de deux intégrales le long de l'équateur faisant intervenir A_N et A_S.

Calculer A_N - A_S. Avec la question précédente, vérifier que la description avec deux champs de vecteurs A_N et A_S est cohérente avec la question 36.

Montrer que rotA_N = rotA_S. On notera B ce vecteur commun.

Cette situation est analogue à celle du monopole magnétique. Dresser un tableau explicitant les quantités correspondantes dans les deux problèmes.

Exprimer la composante B₀(P₁) · e_z en fonction de µ₀ et M_v. Estimer sa valeur et la commenter brièvement.

Exprimer, en fonction de M et de l'angle θ, le moment magnétique M₁, dans la base polaire (e_r, e_θ, eₓ).

Exprimer l'énergie potentielle magnétique E_B de couplage entre les dipôles M₀ et M₁. Nous l'écrirons sous la forme suivante : E_B=1/2 K(sin θ)² Le paramètre K est une constante positive que l'on…

Exprimer l'énergie potentielle magnétique E_B N de l'édifice en fonction de N, K et α. On notera que cette énergie peut également s'écrire sous la forme suivante : E_B N=1/2 κ_B(1/R)² où κ_B=κ_B(N…

Le résultat de la simulation numérique est-il compatible avec ceux des questions 3 et 4 ? On justifiera précisément la réponse.

Justifier les propriétés de parité de ces deux composantes du champ.

Représenter sommairement l'allure d'une ligne de champ. Après avoir orienté cette ligne, justifier le signe des composantes du champ magnétique observé en figure 4.

Justifier cette observation par un calcul littéral. Peut-on, sur la figure 3, observer ce phénomène à d'autres endroits ?

Quelle équation de Maxwell exprime la conservation du flux de B ? En quoi cette propriété s'illustre-t-elle sur la carte fournie ? En utilisant les figures D et E, vous apporterez une réponse…

Les valeurs du champ observées le long de C sont-elles compatibles avec l'intensité circulant dans les bobines ?

Considérons à titre d'exemple le point A(x_1A = 5 cm, x_3A = 20 cm), près duquel la ligne de champ est légèrement inclinée. Que valent B₃(A) et B_r(A) ? Ces valeurs sont-elles cohérentes avec…

Cette relation est-elle satisfaite en A ?

À partir des graphiques fournis, déterminer le facteur µ tel que Bₐₓₑ(0) = µ N₁ i₁.

Déterminer rₘₐₓ et représenter ce cylindre sur la figure D.

En figure 5, le schéma des niveaux successifs d’énergie, obtenus par l’équation de Dirac en tenant compte du décalage de Lamb et de la structure fine, est représenté (sans que les échelles soient…

Décrire, sans calcul, le trajet des particules de type 2 après leur entrée dans la zone exposée au champ magnétique. Où peut-on recueillir les particules de type 2 ?

Représenter graphiquement en fonction de θ, l'allure de B_spire(θ,t) pour i₁(t) > 0 et θ [-π,π].

Représenter graphiquement, en fonction de θ, l'allure de la fonction B₁(θ,t) pour i₁(t) > 0 et θ [-π,π]. On prendra α ≈ π/6.

Exprimer l'énergie magnétique Wₘ stockée dans l'entrefer à l'aide d'une intégrale qu'on ne demande pas d'intégrer et faisant intervenir B_s et B_R.

Sachant que z ≃ 5 mm, R ≃ 5 cm, L ≃ 50 cm, montrer que b(z) ≃ B₀ (1 + a z/R). On donnera la valeur du coefficient numérique a. Dans quelle limite cette expression approchée redonne-t-elle celle…

Pour un diapason résonant à la fréquence 256 Hz, à quelle fréquence doit-on régler la source du courant i(t) pour exciter le diapason à résonance ?

Représenter graphiquement ses variations en fonction de r. Proposer une analogie magnétique.

On souhaite déterminer l'intensité du courant i circulant le long du câble ; pour cela, on se propose d'appliquer le théorème d'Ampère sur un contour fermé circulaire de rayon r compris entre R₁ et…

Exprimer le champ magnétique Bₐ(Q) en fonction de B, D, r, de l'angle φ et des vecteurs unitaires eₓ et e_r.

Exprimer la force F_s/a. Vérifier que ce résultat concorde avec celui obtenu en réponse à la question (13).

Préciser, sur la base d'une argumentation, la géométrie des lignes de courant apparaissant dans le bloc de cuivre.

En déduire le champ magnétique produit dans tout l'espace par l'ensemble des deux lames, sans tenir compte du plasma. Représenter en fonction de x, pour une valeur donnée de J(t) non nulle, le…

Le champ magnétique qui règne dans le plasma ne correspond pas à celui produit par les lames calculé précédemment. Expliquer qualitativement pourquoi. Montrer qu'il s'écrit sous la forme B(x,t) =…

On enroule autour du stator une deuxième spire parcourue par le même courant I, dans un plan de vecteur normal orienté selon e_y. Tracer la courbe représentative du champ magnétique total B(θ) = B ·…

Que devient l'équation locale de conservation de la masse dans le cadre d'un écoulement stationnaire incompressible ? Par analogie avec l'électromagnétisme ou par application du théorème de Stokes…

Avec un déplacement vers le Nord ou vers le Sud à peu près équivalent (800 km) on peut passer de 3,33· 10⁴ nT à 2,67· 10⁴ nT ou à 4,67· 10⁴ nT : quelles sont les variations relatives correspondantes…

Lorsque les atomes i et j sont "plus proches voisins", en introduisant x_ij = x_i - x_j, montrer que ρ² µ_i · µ_j ≃ M_s² + 1/2 M(x_i) · [ (x_ij · ∇)² M(x_i) ] au premier ordre non-nul en x_ij.

À l'aide du formulaire, montrer que l'expression (4) peut finalement s'écrire E_ech = A_ech ∫_V d³x [ [∇ Mₓ(x)]² + [∇ M_y(x)]² + [∇ M_z(x)]² ].

En sélectionnant soigneusement une surface fermée à l'interface des milieux 1 et 2, démontrer la relation de passage n · ∇ (φₘ(x₁) - φₘ(x₂)) = µ₀ (M(x₁) - M(x₂)) · n, où n est le vecteur unitaire…

En utilisant cette analogie et à l'aide du formulaire, montrer que l'énergie magnétique correspondante, dite énergie de démagnétisation, s'écrit E_dem = -1/2 µ₀ ∫_V d³x M(x) · Hₘ(x).

Calculer la variation δ Eₑₓₜ(M) = Eₑₓₜ(M + δ M) - Eₑₓₜ(M) et montrer que δ Eₑₓₜ(M) = -∫_V d³x (Bₑₓₜ ∧ M) · δ µ.

Montrer que δ E_ani(M) = -2 Kₐ ∫_V d³x (uₐ · M)(uₐ ∧ M) · δ µ.

Montrer que pour un échantillon magnétique ellipsoïdal δ E_dem(M) = -µ₀ ∫_V d³x (Hₘ ∧ M) · δ µ.

Montrer que δ Eₜₒₜ(M) peut s'écrire sous la forme δ Eₜₒₜ(M) = -∫_V d³x (B_eff ∧ M) · δ µ + 2 A_ech ∫_S d²x [(n · ∇)M ∧ M] · δ µ, et donner l'expression du champ magnétique effectif B_eff.

Justifier que les états d'équilibre sont ainsi donnés par les équations suivantes, dites équations de Brown, M₀ ∧ B_eff &= 0 pour tout x V, (n · ∇)M₀ ∧ M₀ &= 0 pour tout x S.

En utilisant la valeur de θ obtenue à la Question 21, refaire le schéma de la Fig. 2 en projection dans le plan (x, y). Exprimer B_eff θ et B_eff φ, les composantes de B_eff dans le repère sphérique…

Réécrire la première équation de Brown (19) dans le repère sphérique local, et montrer que l'angle φ(z) obéit à l'équation 2A_ech (d²φ(z))/dz² - (dε_ani(φ))/dφ = 0, où l'on donnera l'expression de…

Dans le cas simple où le champ magnétique effectif est statique, soit B_eff = B₀ avec dB₀/dt = 0, montrer que l'énergie Eₜₒₜ = -V M · B₀ est constante. Pour une condition initiale quelconque…

Comment se transforment µ et M par renversement du temps ? Comment se transforme l'équation de Larmor après un renversement du temps ?

Montrer que l'équation de LLG peut se mettre sous la forme suivante, dite de Landau-Lifshitz (LL), dM/dt = -γ_LL M ∧ B_eff - α γ_LL M ∧ ( M/M_s ∧ B_eff ), où γ_LL sera donné en termes de γ et α…

Représenter les deux moments de l'équation de Landau-Lifshitz agissant sur M sur le schéma de la Fig. 2 qui aura été préalablement recopié en projection dans le plan (y, z) dans le cas φ = π/2 (on…

Dans le cas où l'on applique un champ magnétique dépendant du temps, c'est-à-dire dB_eff/dt ≠ 0, la variation dEₜₒₜ/dt donne lieu à deux termes distincts. En argumentant succintement, identifier le…

Donner la forme de l'équation de LLG après un renversement du temps. Quelle est l'influence du terme proportionnel à α sur cette dynamique ?

En utilisant le résultat de la Question 14 pour la perturbation initiale m(t = 0) et l'équation ci-dessus pour les temps t > 0, montrer que la perturbation m(t) est perpendiculaire à M₀ à tout temps…

En prenant maintenant en compte la dissipation telle qu'introduite à l'équation (23), soit α > 0, montrer que mₓ obéit à l'équation d'un oscillateur harmonique amorti forcé avec pour équation…

Donner la relation de proportionalité entre m_y et mₓ, à l'ordre 0 en α.

En utilisant les réponses aux deux dernières questions et en repassant en notation réelle, calculer mₓ(t) et m_y(t) dans le cas où la variation du champ magnétique b(t) est nulle et la perturbation…

Calculer la norme de T_TS, et justifier que G est la quantité maximale de moment cinétique absorbée par la couche F2 par unité de volume et de temps.

Discuter l'action du moment -γ T_TS sur M₂ sur le schéma de la Fig. 2 qui aura été préalablement recopié en projection dans le plan (y, z) dans le cas φ = π/2.

En supposant que le transfert de spin a lieu pour chacun des électrons qui traversent F2, exprimer G en termes du courant I, de la charge électrique d'un electron -e, du moment cinétique échangé par…

En utilisant l'équation (28), donner l'expression G_c de G pour laquelle l'effet de la dissipation est exactement compensé par le transfert de spin.

Quel est l'état stationnaire de l'aimantation lorsque 0 ≥ I > I_c, et lorsque I < I_c ?

En se référant à la Partie 1, exprimer l'énergie de la couche de stockage F2 seule, Eₜₒₜ(M₂).

Application numérique : estimer le rayon minimal r d'une couche de stockage F2 cylindrique d'épaisseur d ≈ 1 nm qui est ainsi nécessaire pour stocker un de ces bits.

Établir la relation entre j_Sx et E_y en régime permanent en fonction de σ₀, ω_c et τ (effet Hall).

En déduire l'expression de la résistance de Hall définie par : R_H = V_H/I en fonction de e, B₀ et N_s.

On place maintenant un capteur à effet Hall dans l'entrefer. En fixant le plus précisément possible un courant d'intensité I continu, montrer que l'on récupère une tension V_H proportionnelle à…

Exprimer le flux Φ du champ magnétique créé par la bobine émettrice à travers la bobine réceptrice, en fonction de i(t), a, b, d, N₁ et N₂.

Afin d'accroître encore le couplage, on trouve dans la littérature d'autres systèmes constitués de plusieurs résonateurs (voir figure 17) ou d'un noyau ferromagnétique (non approprié dans le cas…

Que dire du plan d'équation z = 0 d'un point de vue des courants ? Qu'en déduire d'un point de vue du champ magnétique ? En déduire une relation simple entre B_z(-z) et B_z(z).

Représenter l'allure de la fonction B_z(z). Exprimer le champ magnétique maximal B_z,max, et déterminer à quelle distance z_1/2 de la spire le champ magnétique vaut B_z,max/2, en fonction de a.

Justifier les symétries et/ou antisymétries observées sur chacune de ces cartes de champ.

Sur la carte de champ du solénoïde, on remarque que les lignes de champ se resserrent au sein du solénoïde et qu'elles y sont approximativement parallèles. Que peut-on déduire de ces observations…

On considère un volume élémentaire dτ supposé neutre du plasma solaire constitué de N sortes de particules élémentaires de charges q₁, , q_N, en nombre n₁, , n_N par unité de volume et de vitesses…

Montrer que la grandeur p + 1/2µ₀B² est uniforme si on reste proche de la surface du Soleil. A la surface du Soleil, mais à l'extérieur d'une tache solaire, la valeur de la pression est pₑₓₜ = 1,3…

On admet que B(r) est une fonction décroissante. Justifier le fait que le tube de champ a tendance à se dilater sous le seul effet du champ magnétique B.

On se place maintenant dans la situation réelle en superposant les deux champs magnétiques régnant dans le tube Bₜₒₜ = B + Bₜ. Etablir une condition portant sur les composantes du champ et de la…

On constate sur les clichés du Soleil (partie droite de la figure 1) que les tubes de champ ont tendance à former des boucles, en connectant deux points de la surface du Soleil. Ce que l'on voit sur…

En vous appuyant notamment sur des schémas clairs, faisant apparaître explicitement les différents éléments du raisonnement, calculer la valeur du champ magnétique B_Σ créé par Σ au point P.

En déduire le travail reçu par le solénoïde sous sa propre action lorsqu'il passe de façon quasi-statique d'un rayon R à un rayon 2 R. Comparer ce résultat à celui obtenu par le théorème de Maxwell…

On considère un unique circuit filiforme fermé Cₐ. En décomposant tout l'espace où le champ magnétique Bₐ est non-nul en tubes de champ élémentaires, montrer à partir de la formulation donnée…

Par un raisonnement similaire, obtenir la forme de l'énergie magnétique d'interaction U_Ca b entre les circuits Cₐ et C_b, que l'on exprimera en fonction de I_b et Φ_a → b. On supposera pour…

Par un raisonnement physique ne demandant pas de développements calculatoires poussés, mais pouvant reposer sur des schémas, calculer le travail quasi-statique nécessaire pour effectuer le…

D'où vient la différence constatée à la question précédente? En vous appuyant sur un exemple simple, déterminer une borne supérieure absolue U_msmax de l'énergie magnétique du solénoïde en fonction…

En négligeant les effets de bord, on pourra en première approximation considérer le champ magnétique B, dans le plan z = 0 où se trouve le projectile, comme uniforme dans chaque zone de l'espace…

Calculer l'énergie magnétique Eₑₘ contenue dans l'entrefer. Pour quelle valeur de p cette énergie est-elle fonction de l'angle θ_r ? On suppose que p garde cette valeur par la suite.

On considère à présent la dynamique de l'atome dans son ensemble et on note R sa position identifiée à celle du noyau. En écrivant les forces s'appliquant sur le noyau et l'électron, montrer que la…

On suppose qu'en un point M de coordonnées (r, θ, z), le champ électromagnétique est de la forme : G_X : E(M, t) = E₀(r) exp (jω t - jkz)e_r B(M, t) = B₀(r) exp (jω t - jkz)e_θ Cette forme est…

Montrer que le champ magnétique dans l'air B_air s'écrit sous la forme : B_air = (a₁ Mₘ + (a₂ C₂(35 - T))/(µ₀(1 + C₁)))/(a₃/µ₀ + a₄/(µ₀(1 + C₁)) + a₅/(µ₀ µ_r)) , (7) avec a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ à…

Déterminer l'énergie magnétique dans les aimants Eₘ en fonction de Bₘ, Mₘ, Sₘ et eₘ (on rappelle que la relation magnétique est une fonction affine).

Montrer que l'énergie magnétique du système, E_mag(T, e_air), peut s'écrire sous la forme : E_mag(T, e_air) = - C₃/(e_air + C₄) , (8) où les expressions de C₃ et C₄ sont à déterminer.

L'hypothèse consistant à considérer le champ magnétique comme inchangé est-elle raisonnable ?

Montrer que, dans des conditions d'approximation à préciser, l'expression de la composante radiale du champ B_1→ 2 créé par la bobine N° 1 au niveau de la bobine N° 2, s'écrit B_r = e_r · B_1→ 2 ≃…

Donner les caractéristiques de B dans le plan z = 0. Quel est le signe de (∂ B_z)/(∂ z)(r, z = 0) au voisinage de r = 0 et pour r → ∞ ?

Dans le cadre d'un matériau de perméabilité relative complexe, tracer l'allure du cycle B(H) du matériau ferromagnétique. Évaluer le champ magnétique rémanent B_r et l'excitation coercitive H_c. On…

Toujours à l'aide des graphes de la figure C, estimer numériquement la valeur du rapport Hₑₓₜ/H₀.

En considérant qu'un signal est détectable si |H_r| dépasse de 10 % le champ d'excitation H_b provoqué par le bruit i_b de l'intensité d'excitation Iₑ, quelle est la plus petite valeur B_min du…

Calculer cette grandeur, en utilisant une méthode similaire à celle utilisée dans la partie 4. Que peut-on en déduire ?

On considère un élément de volume dV, centré sur le point M, situé au voisinage de l'interface air/métal. Montrer que la force dFₘ subie par cet élément de volume, dans le cadre du modèle développé…

Exprimer le flux φ_a/s = φ_a/s(s) du champ magnétique créé par l'aimant à travers la spire (on veillera à respecter les conventions de signe usuelles). L'écrire sous la forme : φ_a/s(s) = φ₀ F(X) où…

Déterminer l'expression de l'énergie magnétique totale dans l'entrefer, notée E_mag, en fonction, entre autres, de B_r, φ_s, φ_r et de I_s.

En remarquant que dans le cas d'une structure cristalline cubique x_ij prend les valeurs ± a uₓ, ± a u_y, ± a u_z [voir Fig. 1(a)], passer à la limite du continu, c'est-à-dire échanger Σ_i par ∫_V…

Montrer que δ E_ech(M) = 2 A_ech ∫_S d²x [(n · ∇) M ∧ M] · δ µ - ∫_V d³x [∇² M ∧ M] · δ µ .

En admettant que la solution (11), Hₘ = -Nₓ M₀ₓ uₓ - N_y M_0y u_y - N_z M_0z u_z, est encore valable dans cette géométrie (et N_z < 1), utiliser une équation de Maxwell pour montrer que l'angle θ…

On rappelle que l'énergie s'écrit Eₜₒₜ = -V M₂ · B₀. Exprimer la variation temporelle de l'énergie, dEₜₒₜ/dt, en fonction de M_2z = M₂ · u_z, G - G_c, B₀, et des autres données du problème.

Commenter les résultats obtenus. Proposer une justification qualitative, en lien avec les cartes de champ représentées sur la figure 5, permettant de comprendre le contraste avec les résultats…