Induction électromagnétique : 263 questions de concours corrigées

On considère un circuit filiforme orienté C, parcouru par un courant constant I et déplacé dans un champ magnétique B. On considère un élément dl de ce circuit, soumis à un déplacement du. Montrer…

À l'aide d'un schéma, identifier du dl à un élément de surface dS. En déduire que le travail des forces de Laplace sur le circuit C lors d'une translation élémentaire du vaut δ W_L=I dΦ_c, où dΦ_c…

Rappeler l'expression de la force de LAPLACE exercée sur un conducteur électrique. En supposant le champ magnétique uniforme dans le canon, exprimer son intensité minimale B_0 en fonction de a, m, d…

Rappeler la loi de Faraday de l'induction électromagnétique. On distingue parfois deux situations d'induction : « circuit fixe dans un champ magnétique variable » (induction de Neumann) et « circuit…

Décrire qualitativement mais précisément les phénomènes physiques qui se produisent permettant de freiner le train.

Rappeler la définition générale de l’inductance propre L d’un circuit et de l’inductance mutuelle M entre deux circuits.

Justifier qualitativement l'apparition d'une force électromotrice dans la bobine lorsqu'une corde vibre.

Énoncer la loi de Faraday.

Donner la définition du flux de B à travers une spire de la bobine.

Comment peut-on expliquer qu'un courant i_R_1(t) circule dans l'enroulement R_1 alors qu'il n'est relié à aucune alimentation ?

Déterminer l'expression du flux Φ du champ magnétique qui traverse la spire (S).

En déduire l'expression de la force électromotrice induite e apparaissant dans la spire (S).

On règle l'intensité du courant dans la bobine à une valeur I pour équilibrer la balance en présence de la masse m posée. Établir l'expression de m en fonction de I, g, B, et l.

Recopier sur la copie le schéma de la figure 2 en indiquant le sens du courant électrique dans la partie mobile, ainsi que la force s'exerçant sur celle-ci lorsqu'elle est parcourue par un courant…

Expliquer pourquoi il y a des phénomènes d'induction.

Quel couple faut-il exercer pour maintenir la vitesse de rotation constante ? Est-il moteur ou résistant ?

Lorsque la tige est mise en mouvement au passage d'un séisme, expliquer pourquoi le circuit électrique, représenté sur la figure 15, est le siège d'un courant électrique. Rappeler le phénomène…

Prévoir qualitativement l'évolution de la vitesse de la tige.

Donner l'expression de la force de Laplace s'exerçant sur une barre conductrice MN parcourue par un courant i dans un champ magnétique uniforme et stationnaire.

Donner l'expression de la force électromotrice d'induction e(t) en fonction de v(t), L et B.

Donner l'équation électrique du système liant e(t), i(t) et les paramètres du problème.

Exprimer la puissance de la force de Laplace P_L.

Rappeler dans quel(s) cadre(s) des phénomènes d'induction électromagnétique peuvent être observés.

Expliquer l'intérêt de cette bobine en citant au moins un autre élément constitutif de la lampe (mis à part la DEL et le condensateur). Préciser aussi le principe physique sur lequel se base la…

Rappeler l'équation locale de Maxwell-Faraday. On donne le théorème de Stokes : _L E · dℓ = _S rotE · dS où S désigne une surface s'appuyant sur le contour fermé L. Obtenir une formulation globale…

Exprimer le flux propre de ce champ magnétique à travers la bobine et en déduire l'expression de son inductance propre L_0 en fonction de µ_0, N, S, ℓ. Le calcul numérique conduit à L_0 = 25 mH.

Préciser à quelle condition, portant sur la résistance R et l'inductance L de la spire, ainsi que sur le temps caractéristique τ_i de variation du courant, l'hypothèse H_R adoptée dans la partie…

Montrer que la f.é.m. induite e dans le cadre vaut e = -Bℓ v(t) où v(t) est la vitesse, dérivée de x(t).

Déduire de la question précédente l'équation électrique (E.E.) traduisant le comportement du circuit. Faire le schéma électrique équivalent en tenant compte de la f.é.m. induite. On notera i(t) le…

Faire le bilan des forces s'exerçant sur l'ensemble barre + haut-parleur de masse m_T. En déduire l'équation différentielle mécanique relative au mouvement de la barre (équation E.M.).

Comparer la puissance de la f.é.m. P_fem = ei à la puissance de la force de Laplace P_L.

On oriente le cadre dans le sens trigonométrique (voir Figure 3). On note t_1 l'instant à partir duquel le cadre se trouve entièrement immergé dans la région z>0. Quelle est l'expression de la…

Exprimer la force électromotrice e_ind induite par le champ magnétique extérieur en fonction de B_0, ℓ et de la vitesse v de l'équipage mobile.

Exprimer la force de Laplace f_Laplace en fonction de i, ℓ et B_0.

Rappeler la définition de M, ainsi que sa dimension.

En appliquant la loi des mailles dans chacun des deux circuits, établir le système d'équations électriques couplées vérifiées par les intensités i_1(t) et i_2(t).

Le courant i(t) étant variable, il apparaît une force électromotrice (fem) e(t) aux bornes de la bobine réceptrice. Quel phénomène est ainsi mis en évidence ? Donner l'équation locale de Maxwell à…

Après avoir nommé la loi utilisée, exprimer la fem e(t) en fonction de I_0, ω, t, a, b, d, N_1 et N_2. On négligera le flux magnétique propre du circuit récepteur devant le flux extérieur.

On suppose à présent que le circuit C effectue un déplacement à courant I toujours constant, mais dans un champ B(r) stationnaire. Montrer que le travail des forces de Laplace pour un déplacement…

En déduire l'énergie potentielle d'interaction U_I d'un circuit C parcouru par un courant I constant dans un champ B(r) stationnaire. Que peut-on en déduire sur les déplacements spontanés d'un…

En déduire que l'énergie magnétique totale d'un système de circuits C_a parcourus par des courants I_a s'écrit U_C=β_2 _a, b I_a Φ_b → a, avec β_2 un facteur numérique à déterminer, et où la somme…

Établir l'équation électrique reliant E_0, les fonctions L(X), R(X), I(t), X(t) et leurs dérivées.

Montrer que la force électromotrice e induite par ce mouvement dans l'ensemble des spires s'écrit e=2π r N B_0 dzdt. On pourra s'intéresser au flux Φ du champ magnétique à travers un cylindre (C)…

Déterminer l'expression de la résultante F des forces électromagnétiques qui s'exercent sur les N spires. Exprimer F· v en fonction de e notamment et proposer une interprétation de cette relation.

Montrer que les grandeurs i(t) et z(t) vérifient l'équation différentielle : d^2 zd t^2+ ω_0Q_m d zd t+ω_0^2 z(t)=-β i(t) où ω_0, Q_m et β sont à exprimer en fonction de K, M, λ, r, N et B_0.

Représenter le circuit électrique équivalent et en déduire la seconde équation différentielle couplant i(t) et z(t) : E(t)=R_b i(t)+L_b d id t-γ d zd t où γ est à exprimer en fonction de r, N et B_0.

Après avoir précisé son orientation sur un schéma représentant uniquement le premier aimant du train et la spire avec lequel il interagit, déterminer l’expression de la force électromotrice induite…

Montrer que tant que 0 < x < ℓ, la spire est soumise à une force qui se met sous la forme F_aimant→ spire = α v e_x où l’on précisera l’expression de α.

Que devient l’énergie cinétique perdue par le train lors de ce freinage ? On justifiera la réponse à l’aide de l’établissement d’une relation entre différents termes énergétiques que l’on identifiera.

Établir l’expression des inductances propres L_a et L_b des solénoïdes S_a et S_b en fonction de N_a, N_b, r_a, r_b, µ_0 et ℓ.

En écrivant les équations électriques pour le primaire et le secondaire, montrer que u_a(t)/N_a = u_b(t)/N_b.

On étudie maintenant une spire carrée de côté a, qui passe à la vitesse v_0 = v_0 u_x imposée en face du solénoïde réel. Elle entre puis sort de la zone grisée des figures 5 et 6. On étudie d'abord…

En déduire qu'il s'exerce une force constante sur la spire pendant cette phase d'entrée dans la zone grisée, dont on donnera l'expression en fonction de B_0, a, R et de v_0. Justifier…

On étudie maintenant une spire carrée de côté a, qui passe à la vitesse v_0 = v_0 u_x imposée en face du solénoïde réel. Elle entre puis sort de la zone grisée des figures 5 et 6. On étudie d'abord…

En déduire qu'il s'exerce une force constante sur la spire pendant cette phase d'entrée dans la zone grisée, dont on donnera l'expression en fonction de B_0, a, R et de v_0. Justifier…

Déterminer l'expression du champ magnétique B_sol(M, t) produit à l'intérieur et à l'extérieur du solénoïde, et pour chacune des phases temporelles : t < 0, t [0, τ[ et t ≥ τ. On justifiera les…

Tous calculs faits, on obtient P_J = K M_0^2 v^2 où K = 2,3 SI. En admettant la conversion totale de l'énergie mécanique en énergie électrique lors du freinage inductif, donner l'expression…

Indiquez, sur le même schéma, la direction et le sens des densités volumiques j des courants induits dans le rail à l'aplomb des deux bobines ; justifier soigneusement le sens choisi.

Pour déterminer la force électro-motrice e induite par le déplacement du câble fixé au satellite en présence du seul champ magnétique terrestre, on imagine (figure 7) qu'il est la seule partie…

Déterminer l'expression de l'intensité du courant qui circule dans la spire en régime sinusoïdal forcé.

Obtenir l'expression de la valeur moyenne de la projection sur l'axe (Oz) du moment du couple exercé par B sur la spire en rotation. Interpréter son signe.

Montrer que i_2(t) vérifie l'équation différentielle : \[ di_2dt + i_2/τ_2 = I_0/τ_1\] avec τ_1 et τ_2 qui seront exprimés en fonction de L_2, R_2, M et de t_1.

En déduire les inductances propres L_1 et L_2 des deux bobines et leur inductance mutuelle M_0.

Indiquer sur un schéma simplifié l'orientation du courant permettant l'équilibrage de la balance une fois la masse m posée comme sur la figure 1. Déterminer la force qui agit sur la bobine.

Montrer que, dans ces conditions, on peut écrire EI + mgv = 0. Pourquoi parle-t-on également de « balance du watt » à la place de balance de Kibble ?

a) Exprimer, en fonction de L_S, L_R, M_0, θ_R, I_R et des courants i_a(t) et i_b(t), l'énergie magnétique notée W_magn stockée dans la machine. b) Exprimer le couple électromagnétique Γ_em en…

Exprimer l'intensité i du courant dans le circuit C en fonction de l'angle θ entre la normale au plan des spires et la direction de B. On suppose qu'à l'instant initial (t = 0), le plan de la spire…

Établir l'expression du moment résultant Γ_L des forces de Laplace exercées sur le circuit C. On rappelle qu'une boucle de moment dipolaire magnétique M placée dans un champ magnétique extérieur…

Calculer la puissance moyenne du moment des forces de Laplace. Comparer à la puissance électrique moyenne reçue par la résistance. Interpréter.

Établir les équations mécanique et électrique décrivant le système. On note R la résistance équivalente du circuit, e(t) la f.e.m d'induction, on néglige son inductance propre et on pose σ = ℓ B_0.

Donner l'équation mécanique du système liant v(t), F, i(t) et les paramètres du problème.

Déduire des équations précédentes une équation différentielle sur v(t).

Résoudre cette équation différentielle et puis tracer v(t) en fonction du temps. On fera apparaitre sur le graphe le temps caractéristique τ du problème. Ces résultats sont-ils en accord avec la…

Donner l'expression de la puissance dissipée par effet Joule P_J en fonction de i(t), L, B et v(t), puis en fonction de la puissance de la force de Laplace P_L. Interpréter cette relation.

À partir de l'équation mécanique, effectuer un bilan de puissance global et interpréter chacun des termes.

Rappeler la définition du coefficient de mutuelle induction M entre C_1 et C_2. L'exprimer en fonction de N_1, N_2, R_2, µ et φ.

Écrire les équations électriques régissant le fonctionnement de ces deux circuits, sans tenir compte, à ce stade, de la « très grande impédance » du voltmètre.

Montrer que E(r, t) = E_0(r) (ω t). On précisera l'expression de E_0(r) en fonction de I, µ_0, n, r et ω, puis en fonction de B_0, r et ω.

Déterminer E(r, t) en fonction de r, t, R, I_0, ω, µ_0 et de µ_r.

Déterminer le moment résultant des forces de Laplace qui s'exercent sur la tige OC par rapport à l'axe Oz, puis la puissance correspondante.

Nous nous plaçons dans la situation où s > 0 et v < 0. Indiquer, sur la figure tracée précédemment, le sens du courant i qui apparaît dans la spire. On le représentera au point P en utilisant les…

Toujours sur la même figure, représenter la force alors subie par une portion élémentaire de spire autour du point P. Préciser quelles sont toutes les conséquences mécaniques de cette force.

Analyser ce système d'un point de vue énergétique.

Établir que le courant i est lié à la position et la vitesse de l'aimant selon la relation : i = K_1 XX(1 + X^2)^5/2 où X = dXdt On exprimera la constante K_1 en fonction de φ_0 et R.

Faire un bilan de puissances en combinant les équations E.E. et E.M. Le commenter.

Établir, par rapport à R, l'équation différentielle du mouvement de A, le cadre étant supposé être en translation rectiligne, au cours de sa chute pour les instants compris entre l'instant initial…

Le générateur extérieur délivre une tension u(t) = u_0 ω t. À partir des équations (7) et (8), à réécrire en notations complexes, montrer que l'expression de l'impédance électrique totale du circuit…

En combinant les relations (E1) et (E2), montrer que le haut-parleur se comporte comme un dipôle d'impédance complexe Z appelée « impédance électrique équivalente ». On écrira Z sous la forme d'une…

Montrer que ce système d'équations conduit au bilan de puissance E i_1 = R_1 i_1^2 + R_2 i_2^2 + dE_magdt avec E_mag une quantité à exprimer en fonction de L_1, L_2, M, i_1 et i_2. Interpréter ce…

En admettant que E_mag est une quantité positive, montrer que l'inductance mutuelle vérifie une inégalité de la forme M ≤ M_max. Exprimer son majorant M_max en fonction de L_1 et L_2.

On note Φ le flux du champ magnétique à travers le circuit et Φ_0 sa valeur particulière lorsque θ = 0. En exprimant Φ en fonction notamment de Φ_0, déterminer à l'aide de la loi de Faraday la force…

Préciser si les énergies magnétiques propre et d'interaction entre circuits changent de signe si le courant d'un des circuits en jeu change de signe. Quels signes peuvent avoir chacune de ces…

Exprimer la résistance totale R_b et l'inductance totale L_b de la bobine formée des N spires en fonction de R_1, L_1 et N.

Justifier la nécessité d’un freinage mécanique d’appoint afin d’immobiliser complètement le train à la fin de son trajet.

Montrer que L_a/N_a^2 = L_b/N_b^2.

Expliquer comment on peut mesurer un champ magnétique au laboratoire.

Déterminer la puissance dissipée par le système de freinage. Comment varie cette puissance en fonction de la vitesse v_0 ?

Pourquoi est-il intéressant d'un point de vue sportif que la puissance augmente quand la vitesse augmente ?

Déterminer la puissance dissipée par le système de freinage. Comment varie cette puissance en fonction de la vitesse v_0 ?

Pourquoi est-il intéressant d'un point de vue sportif que la puissance augmente quand la vitesse augmente ?

Exprimer, φ, le flux du vecteur B à travers une spire sous forme d'une intégrale double, on prendra soin d'expliciter les bornes d'intégration.

Écrire un script Python qui affiche à l'écran l'allure de φ en fonction de y, pour -1 cm y 1 cm.

Le physicien américain Lyman Spitzer a établi en 1950 que la résistivité ρ d'un plasma soumis à un champ magnétique dépendait de la température T du plasma proportionnellement à T^-3/2. À partir de…

Que vaut l'inductance mutuelle M_S_1 S_2 entre les enroulements S_1 et S_2 du stator ? Que vaut la mutuelle M_R_1 R_2 entre les enroulements R_1 et R_2 du rotor ?

Déterminer l'expression du courant induit i(t) dans la bobine.

Déterminer l'expression de la puissance instantanée P(t) dissipée par effet Joule dans la spire (S).

En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que la puissance moyenne P_moy dissipée par effet Joule dans la spire (S) est égale à : P_moy = (ω B_0 π r_2^2)^2/2R.

Citer un intérêt d'une plaque à induction par rapport à une plaque de cuisson électrique fonctionnant à l'aide d'une résistance électrique.

La bobine comporte 600 spires réparties sur un cylindre de diamètre moyen égal à 260 mm. On prendra B = 1,0 T et |I| = 10 mA. Calculer m.

Si on prend m' = m/2, quelle relation a-t-on entre les intensités ?

Calculer la force électromotrice E attendue.

Qu'est-ce qui pourrait provoquer l'augmentation du rayon de la spire ?

Dans la phase statique, calculer l'expression de ∂ F_z(R, z)/∂ R en fonction notamment de ∂(R B_r(R, z))/∂ R.

Déduire de la question 16 une façon permettant de minimiser les problèmes posés par la dilatation de la spire.

Exprimer, en fonction de I, L et de B_s, l'expression de la force de Laplace F_L qui s'exerce sur un conducteur aller de longueur L du rotor. En notant R la distance entre les conducteurs du rotor…

De même, déterminer l'inductance mutuelle M_2(z) en fonction de M_0, z et L_ .

Justifier le fait que la force électromagnétique reçue par le noyau mobile lors de son déplacement est nulle.

En déduire la dimension de Rm/B^2 L^2.

Pourquoi peut-on conseiller de secouer vigoureusement cette lampe lors de la phase de recharge ?

Lorsque l'assistance électrique est sollicitée, il apparait par induction dans le circuit une force contre électromotrice e = ω B a^2/2. Exprimer alors l'intensité du courant dans le circuit, puis…

Comparer, qualitativement, l'efficacité du freinage de l'aimant par la spire et par le bloc de cuivre.

Déduire de ce qui précède le schéma électrique équivalent du haut-parleur.

Calculer τ si B_a=1 T, a=5 cm, m=0,1 kg et R_c=10 Ω. A) τ=4 s B) τ=400 s C) τ=4 min D) τ=1 min

β est appelé facteur de force : c'est le rapport entre la force appliquée à la lame piézoélectrique et la tension aux bornes de celle-ci. Montrer que β v_z est homogène à l'intensité d'un courant…

Expliquer, sans calcul, le principe de fonctionnement d'un haut-parleur électrodynamique.

L'ensemble du circuit mobile possède une résistance électrique R et une inductance propre L. Représenter le schéma électrique équivalent du circuit mobile.

En déduire l'équation électrique du système notée (8).

Dans cette question, on se place en régime sinusoïdal forcé à la pulsation ω. Établir une relation entre les amplitudes complexes E, V et I (respectivement associées aux grandeurs sinusoïdales e(t)…

Dans la limite où les bobines primaire et secondaire sont infiniment éloignées, quelle valeur attend-on pour le coefficient k ? Qu'en déduire concernant la tension v_2 aux bornes du circuit…

On pose la variable adimensionnée x = i_1/i_2. Mettre E_mag sous la forme E_mag = 1/2 i_2^2 P(x) où P(x) est un polynôme d'ordre 2 que l'on explicitera.

Connaissez-vous d'autres applications de tels circuits couplés par mutuelle induction dans les domaines de l'industrie et de la vie courante ? Deux applications d'étaillées sont attendues.

On suppose que le circuit C, parcouru par un courant constant I, subit un déplacement entre une position initiale à t_ini et une position finale à t_fin. Si l'on ne fixe aucune contrainte sur le…

Calculer le travail des forces de Laplace sur la spire dans le cas A1, et le comparer au travail prédit par le théorème de Maxwell.

Calculer le travail des forces de Laplace sur la spire dans le cas A2, et le comparer au travail prédit par le théorème de Maxwell. On pourra utiliser sans la redémontrer, mais en justifiant sa…

En déduire que le solénoïde exerce sur lui-même une force qui peut être décrite comme une force de pression, qui vaut sur un élément dS orienté vers l'extérieur : dF=P_ms dS, où l'on exprimera P_ms…

On considère à nouveau le solénoïde introduit dans la section précédente. Calculer la variation d'énergie magnétique quand celui-ci passe d'un rayon R à un rayon 2 R. Commenter.

On reprend l'exemple A2 décrit dans la section 2.1. Effectuer à nouveau le calcul de l'énergie magnétique de la configuration finale, mais en utilisant cette fois le flux de la spire sur le solénoïde.

En effectuant une application numérique, comparer cette énergie cinétique à l'énergie magnétique propre du solénoïde. On pourra utiliser le champ créé par un solénoïde infini, et ne calculer que la…

Justifier que la force propulsive est F = I^2(t) dL/dX ; en déduire l'équation mécanique qui décrit le mouvement du projectile.

Exprimer les constantes positives α, β et τ en fonction des données du problème. Préciser la dimension de τ et son interprétation physique.

Établir un bilan énergétique du fonctionnement du haut-parleur ; exprimer notamment la puissance P_a transmise par la membrane à l'air environnant (et en particulier à l'onde acoustique créée par le…

Exprimer Z_m(ω) en fonction de ω, R_b, L_b, ω_0, Q_m, β et γ. Préciser le comportement limite de Z_m(ω) à très basse fréquence.

Montrer que pour ℓ < x < 2ℓ, F_aimant→ spire possède la même expression.

Quelle est alors la force totale F_spires→ train s’exerçant sur la totalité du train ? En déduire l’équation différentielle vérifiée par v tout au long de la phase de freinage, dont on définira la…

En admettant qu’il n’y a aucune forme de perte magnétique, établir l’expression de l’inductance mutuelle M entre les solénoïdes S_a et S_b.

Montrer que l’on a M = k √(L_a L_b) en donnant l’expression de k en fonction de r_a et r_b.

Écrire, en notation complexe, l’expression de u_3 en fonction de L_3, M, ω_0, i_e et i_4.

En déduire la relation i_e = Y · u_3 en donnant l’expression de Y en fonction de L_3, N_4, R_m, M et ω_0.

En utilisant les résultats établis dans le II, montrer qu’on peut réécrire Y = 1/jL_3ω_0 + N_4^2/R_m.

Montrer à l’aide des résultats précédents que u_1 = -N_1/N_4(1 + R_e Y) R_m i_4.

Exprimer la force électromagnétique δ F_L due au champ électromagnétique sur cette portion rectiligne en fonction de a, dy, j_s(t) et du champ magnétique incident à la surface de la voile B_i(x = 0…

De la même façon, montrer que la force exercée sur la spire pendant la phase de sortie de la zone grisée (c'est-à-dire quand la partie arrière de la spire (CD) est dans la zone grisée et la partie…

On étudie maintenant une succession de spires toutes identiques, séparées de la distance a, qui passent devant le solénoïde à la vitesse v_0 = v_0 u_x (voir figure 7). Quel est l'avantage de choisir…

De la même façon, montrer que la force exercée sur la spire pendant la phase de sortie de la zone grisée (c'est-à-dire quand la partie arrière de la spire (CD) est dans la zone grisée et la partie…

On étudie maintenant une succession de spires toutes identiques, séparées de la distance a, qui passent devant le solénoïde à la vitesse v_0 = v_0 u_x (voir figure 7). Quel est l'avantage de choisir…

Déterminer la force de Laplace qui s'exerce sur l'élément de longueur dl=dy e_y parcouru par le courant di et plongé dans le champ magnétique B_t(x, t).

Montrer que la force totale qui s'exerce sur un pavé de conducteur de section d'aire dydz et de longueur infinie s'écrit d F_pavé=2 B_0^2µ_0 ^2(ω t) dz dy e_x. Calculer alors la valeur moyenne…

Déterminer Γ_L le moment scalaire des forces de Laplace qui s'exercent sur le cadre par rapport à Δ (orienté) : A) Γ_L = 0 B) Γ_L = ILℓ B (θ/2) C) Γ_L = -ILℓ B θ D) Γ_L = mgℓ

Exprimer le champ électrique E_sol(M, t) produit à l'intérieur et à l'extérieur du solénoïde et pour chacune des phases temporelles : t < 0, t [0, τ[ et t ≥ τ. On justifiera les éventuelles…

En supposant que τ est suffisamment petit pour qu'on puisse négliger le déplacement de la charge ponctuelle pendant l'intervalle [0, τ], déterminer l'expression de la vitesse v_P pour des instants t…

On admet que le flux Φ(t) du champ magnétique créé par l'aimant à travers ce même anneau (A) s'écrit Φ(t) = Φ_0 r_i^3 (r_i^2 + (z + vt)^2 )^3/2 où Φ_0 est une constante dont on admettra qu'elle…

On pose x = (z + vt)/r_i. Montrer que la puissance dissipée par effet Joule dans l'anneau (A) s'écrit : dP_J = 9γ e µ_0^2 M_0^2/2π r_i^4 x^2dx(1 + x^2)^5 v^2

Justifier que la puissance totale dissipée par effet Joule puisse être approchée par l'intégrale : P_J ≃ _x=-∞^+∞ dP_J

Le temps de chute est Δ t_h = 4,0 s pour un tube de 20 cm de haut. Quel serait le résultat de la même expérience avec un tube de même longueur en aluminium ? en acier ?

Calculer le moment dipolaire M_0 de l'aimant utilisé.

Déduire de ce qui précède les expressions et valeurs numériques de l'intensité I du courant induit et de la force de freinage f exercée sur le câble. Commenter cette dernière valeur.

Déterminer la puissance mécanique moyenne de la turbine qui entraîne le rotor de cet alternateur, ainsi que la puissance moyenne dissipée par effet Joule. Comparer ces deux puissances.

On oriente la spire dans le sens direct (indiqué sur le schéma plus haut), et on rappelle que l'élément de surface infinitésimal dS à rayon constant en coordonnées sphériques s'écrit dS = r^2…

En déduire l'expression de la force électromotrice, e, induite dans toute la bobine.

On considère une vibration sinusoïdale de l'aimant autour de la position z = 5 mm, d'amplitude z_0 = 1 mm et à la fréquence f = 500 Hz. Évaluer numériquement l'ordre de grandeur de e. On prendra R =…

La réponse du micro est-elle linéaire ? Justifier à l'aide des valeurs numériques données à la question précédente.

On dispose d'une fonction Python `B(r : float, theta : float, y : float) -> float` qui prend en argument les coordonnées r et θ d'un point M du plan de la spire, ainsi que l'ordonnée y de l'aimant…

Dans le cas précis du micro de guitare, expliquer pourquoi il n'est pas possible de tracer expérimentalement le diagramme de Bode.

Exprimer l'inductance mutuelle M entre le solénoïde central et la boucle de courant, en fonction de β et de a_1. Calculer M pour le tokamak ITER, sachant que a_1 = 2 m et que le champ magnétique au…

Exprimer l'énergie reçue par R_2 entre t = 0 et t = t_1 en fonction de R_2, L_2, M, I_0 et de t_1, en supposant que t_1 ≪ τ_2. Quel est l'effet de cette énergie sur le plasma ?

Exprimer l'inductance mutuelle M_S_1 R_2 entre les enroulements S_1 du stator et R_2 du rotor en fonction de M_SR et de θ_R, ainsi que la mutuelle M_S_2 R_2 entre les enroulements S_2 du stator et…

On note respectivement φ_S_1 R_1 et φ_S_2 R_1 les flux créés dans l'enroulement R_1 du rotor par les enroulements S_1 et S_2 du stator. Exprimer le flux φ_S_1 R_1 en fonction de M_SR, θ_R et du…

En remarquant que θ_R et i_S_1 dépendent du temps, exprimer en fonction de M_SR, i_S_1, Ω et de t la force électromotrice (fem) e_S_1 R_1 induite par S_1 dans R_1. Faire de même pour la fem e_S_2…

Déterminer, en régime harmonique forcé et à altitude z fixée, l'expression du courant induit sous la forme I_2(z,t) = I[β(z) (ω t) - α(z) (ω t)]. On exprimera les fonctions β(z) et α(z) en fonction…

Établir la relation qui remplace celle de la question 4. Quels sont les intérêts de cette nouvelle opération ?

Tracer approximativement la courbe de F(R, z = 0) en fonction de R. Montrer qu'il existe une valeur de R, qu'on appellera R_opt, autour de laquelle F(R, z = 0) dépend peu de R.

Établir la relation simple entre la constante de Planck et la masse m dans l'expérience de la balance de Kibble en faisant intervenir v, g et d'autres grandeurs mesurables.

Établir l'expression de l'intensité i en fonction de C_p, m et du_1dt pour une intensité de sortie nulle, i_2 = 0. En déduire l'expression de i_1 en fonction de C_p, m et du_1dt. Toujours avec le…

En déduire l'expression de l'impédance Z = ui. Y a-t-il dissipation d'énergie dans le matériau ?

Dans le cas où le milieu magnétique se comporte linéairement, exprimer le champ magnétique B en fonction de I_e, n, µ_0 et µ_r. En déduire l'expression de la tension u_s(t) en fonction de I_0e, ω…

Sachant que I_0e est tel que la valeur maximale de l'excitation magnétique H_ = 2H_0, exprimer u_s(t) dans les deux domaines, linéaire et saturé.

Représenter sur la figure B du document réponse les graphes des fonctions B(t) = B · u_z et u_s(t).

Quelle est l'expression de H dans le barreau ? À l'aide des graphes de B(t) et de u_s(t) fournies figure C du document réponse, déterminer quelle inégalité est vérifiée par la valeur de H_ext : a…

Quel signal issu de la décomposition de Fourier discrète permet de mesurer H_ext avec le maximum de sensibilité ? Peut-on connaitre le signe de H_ext ? Le signal qui détecte la présence du champ…

Proposer en fonction de M_0 et de θ_R l'expression de la mutuelle-inductance M_bR. Que vaut la mutuelle-inductance M_ab ?

Déterminer l'expression du facteur de qualité Q du géophone. On pourra noter α' = α + σ^2/R. Proposer un protocole pour accorder le géophone tel que le système obéisse à un régime critique…

Sachant qu'on mesure la tension aux bornes de la résistance et qu'on se place en régime sinusoïdal forcé, déterminer la nouvelle fonction de transfert liée au déplacement du bâti H_d^e = EX. On…

Déterminer l'équation du mouvement de la barre mobile du géophone asservi en force.

Dans le cadre de ces hypothèses simplificatrices, montrer que les deux inductances mutuelles M_1 et M_2 sont identiquement égales à une même valeur notée M_0. Exprimer M_0 en fonction de S, K, n et…

Application numérique : On donne la résistance du circuit primaire R_p = 100 Ω et l'inductance du circuit primaire L_p = 6 mH. Pour U_p = 10 V, on mesure aux bornes de chacun des deux circuits…

Dans le cadre de ce modèle, montrer que si |z| < L_ alors L_p est indépendante de z.

Déterminer l'inductance mutuelle M_1(z) en fonction de M_0, z et L_ .

Déduire des résultats précédents que la tension différentielle à vide du circuit secondaire s'écrit sous la forme u_s = u_2 - u_1 = λ M_0 zL_ di_pdt, dans laquelle on précisera la valeur de la…

Pour un courant i_p sinusoïdal fixé, quel est le paramètre de la tension u_s, noté A, permettant de mesurer z ? Tracer l'allure des variations de A en fonction de z ? Comment peut-on discerner le…

On suppose la tige en mouvement, compléter le schéma de la figure A en représentant la force électromotrice d'induction e(t), le courant ainsi que la force de Laplace. On ne cherchera pas à donner…

À quelle simplification peut-on procéder en tenant compte de la « très grande impédance » du voltmètre ? En déduire une relation entre u_1, u_2, L_1 et M.

Application numérique : U_1m = 5,00 V, U_2m = 170 mV, L_1 = 3,6 mH, R_2 = 5,0 cm, N_1 = 50, N_2 = 200. Calculer le coefficient de mutuelle induction M (en valeur absolue) et l'angle d'inclinaison φ…

Les particules posées sur le tapis arrivent à l'entrée de la zone exposée au champ magnétique avec la vitesse V_0 e_x. En assimilant, à chaque instant, la force de Laplace qui s'exerce sur une…

Décrire, sans calcul, le trajet des particules de type 2 après leur entrée dans la zone exposée au champ magnétique. Où peut-on recueillir les particules de type 2 ?

En admettant que l'expression du champ magnétique obtenue à la question Q11 reste valide à condition de remplacer I par i(t), justifier qu'en tout point M à l'intérieur du solénoïde, le champ…

Ce champ électrique induit est responsable de courants de Foucault répartis dans tout le volume du conducteur. Exprimer leur densité de courant volumique en tout point de la poêle, puis la puissance…

En intégrant cette puissance volumique moyenne sur le volume de la poêle, montrer que la puissance moyenne totale induite s'écrit : P_ind = π(µ_0µ_r)^2γω^2I_0^2ea^464R^2.

On dispose de poêles en aluminium et en fonte. Bien que l'aluminium soit environ 40 fois plus conducteur électriquement que la fonte, on choisira la poêle en fonte : pourquoi ?

Représenter l'allure graphique de l'évolution temporelle du courant i. On adoptera la convention de signe évoquée dans la question (2).

Représenter, en correspondance avec le tracé précédent, l'évolution temporelle de la force axiale (composante F_a/s) que l'aimant fait subir à la spire.

Représenter, en correspondance avec les deux tracés précédents, l'évolution temporelle de la vitesse v.

Indiquer comment serait modifiée chacune de ces évolutions si le moment magnétique de l'aimant était orienté selon +e_x, toutes choses égales par ailleurs.

Exprimer la force F_a/s que l'aimant fait subir à la spire (sans remplacer, ici, le courant i par son expression). Vérifier qu'elle se met sous la forme : F_a/s = K_2 X(1 + X^2)^5/2 i e_x On…

Donner l'expression du produit K = K_1K_2 en fonction de B^, D, a et R, puis celle de la force en fonction de K, X et X. Analyser la dépendance de cette force vis-à-vis des différents paramètres…

Exprimer la force F_s/a. Vérifier que ce résultat concorde avec celui obtenu en réponse à la question (13).

Dans la première approche nous avons négligé la composante inductive de la bobine. Dans la seconde, nous avons considéré le champ magnétique qu'elle produit et donc, tacitement, l'existence de son…

Dans le cadre réel d'une expérience, le bloc de cuivre n'est évidemment pas « semi-infini ». Au vu de l'expression de la force F_a/s obtenue à la question (14), cette hypothèse paraît-elle toutefois…

Préciser, sur la base d'une argumentation, la géométrie des lignes de courant apparaissant dans le bloc de cuivre.

Établir l'équation différentielle dont est solution l'abscisse s de l'aimant.

Expliquer qualitativement pourquoi il peut exister dans le plasma un champ électrique dû aux courants dans les lames. Montrer qu'il s'écrit sous la forme E(x,t) = E(x,t)e_y et justifier que E(x,t)…

Le champ magnétique qui règne dans le plasma ne correspond pas à celui produit par les lames calculé précédemment. Expliquer qualitativement pourquoi. Montrer qu'il s'écrit sous la forme B(x,t) =…

Justifier qualitativement les expressions précédentes.

Le générateur délivre une tension sinusoïdale E(t) de pulsation ω. On utilisera les notations complexes, pour lesquelles E(t) = E_0 e^jω t, E(t) s'identifiant alors avec la partie réelle de E(t)…

Montrer que l'admittance motionnelle Y_m = 1/Z_m peut s'écrire sous la forme : Y_m = 1/R_m + jC_mω + 1/jL_mω. Donner l'expression des termes R_m, C_m et L_m en fonction de B, ℓ, α, m_T et k.

Montrer que la relation établie à la question Q4. devient, en raisonnant sur les moyennes temporelles, en régime périodique établi : Ei = Ri^2 + α v^2 . Commenter ce résultat.

Le cadre métallique présente une résistance R_c. Déterminer l'expression de la force de Laplace F_L à laquelle est soumis le cadre. A) F_L(t)=0 si t<0 et F_L(t)= a^2B_a^2z_AR_ce_z si t>0 et F_L(t)=0…

On considère désormais le dispositif de la figure 4. Le cadre ABCD présente un interrupteur K qui permet de modifier le circuit fermé dans lequel pourrait circuler un éventuel courant induit: si K…

En supposant que le transfert de spin a lieu pour chacun des électrons qui traversent F2, exprimer G en termes du courant I, de la charge électrique d'un electron -e, du moment cinétique échangé par…

Déterminer l'expression vectorielle de la résultante des forces de Laplace s'exerçant sur la bobine en fonction de l'intensité du courant i(t), du nombre de spires N, du rayon a d'une spire et de la…

Appliquer le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe (Oz) pour en déduire l'équation mécanique qui sera notée (7).

La bobine mobile étant dans un champ magnétique permanent, la puissance des forces de Laplace et celle de la force électromotrice induite se compensent exactement. En déduire que l'expression de la…

On fait l'hypothèse que l'équipage mobile est en mouvement de translation rectiligne dans la direction de e_x. Établir une équation différentielle vérifiée par l'abscisse x repérant la position de…

Exprimer le flux Φ du champ magnétique créé par la bobine émettrice à travers la bobine réceptrice, en fonction de i(t), a, b, d, N_1 et N_2.

Quel comportement en fréquence pouvait-on prévoir par la loi théorique de Yates ? Ce comportement est-il vérifié expérimentalement ? On pourra distinguer le cas des basses et hautes fréquences.

En négligeant l'inductance propre L_2 de la bobine réceptrice, en déduire la puissance reçue par cette dernière de la part de la bobine émettrice, notée P_géné, puis sa moyenne temporelle P_géné en…

Interpréter l'évolution observée. Justifier qualitativement que l'effondrement du rendement soit plus important lorsque d est petit.

Montrer que le rendement peut se mettre sous la forme : η = k µ_0^2 N_1^2 N_2^2 a^4 b^4 ω^2/R_1 R_2 (d^2 + a^2)^3 avec k un coefficient sans dimension à expliciter. Ce résultat constitue la loi de…

La fréquence de résonance f_r dépend-elle de k ? Expliquer en quoi ce résultat est particulièrement intéressant, dans l'objectif d'un fonctionnement à récepteur mobile.

Établir l'expression de l'intensité du courant électrique. A) i = ℓ^2 C B_0/2θ B) i = ℓ^2 C B_0/2θ C) i = ℓ^2 C B_0θ D) i = -ℓ^2 C B_0θ

Exprimer le moment M_L,O en O des forces de Laplace qui s'exercent sur la tige. A) M_L,O = -i B_0 ℓ^2 e_z B) M_L,O = -i B_0 ℓ^2/4 e_z C) M_L,O = i B_0 ℓ^2/2 e_z D) M_L,O = -i B_0 ℓ^2/2 e_z

On suppose θ_0 ≪ 1. L'intensité du courant électrique obéit à l'équation suivante: d^2 idt^2 + ω_2^2 i = 0 où ω_2 est une constante temporelle. Déterminer ω_2. A) ω_2 = 0 B) ω_2 = ω_1 C) ω_2 = 2ω_1…

Calculer numériquement ω_1 : A) ω_1 ≈ 1 rad.s^-1 B) ω_1 ≈ 2,3 rad.s^-1 C) ω_1 ≈ 5 rad.s^-1 D) ω_1 ≈ 12 rad.s^-1

En déduire le travail reçu par le solénoïde sous sa propre action lorsqu'il passe de façon quasi-statique d'un rayon R à un rayon 2 R. Comparer ce résultat à celui obtenu par le théorème de Maxwell…

On considère un unique circuit filiforme fermé C_a. En décomposant tout l'espace où le champ magnétique B_a est non-nul en tubes de champ élémentaires, montrer à partir de la formulation donnée…

Par un raisonnement similaire, obtenir la forme de l'énergie magnétique d'interaction U_C^a b entre les circuits C_a et C_b, que l'on exprimera en fonction de I_b et Φ_a → b. On supposera pour…

Par un raisonnement physique ne demandant pas de développements calculatoires poussés, mais pouvant reposer sur des schémas, calculer le travail quasi-statique nécessaire pour effectuer le…

D'où vient la différence constatée à la question précédente? En vous appuyant sur un exemple simple, déterminer une borne supérieure absolue U_ms^max de l'énergie magnétique du solénoïde en fonction…

En négligeant les effets de bord, on pourra en première approximation considérer le champ magnétique B, dans le plan z = 0 où se trouve le projectile, comme uniforme dans chaque zone de l'espace…

On obtient l'allure de la figure 4 pour φ en fonction de y. En déduire l'allure du spectre de e(t) pour une vibration sinusoïdale de la corde à la fréquence f = 200 Hz.

En déduire l'équation différentielle vérifiée par le courant i_R_1(t) en fonction de R_R, L_R, M_SR, Ω, t et de i_S_1(t), i_S_2(t) et de leur dérivée. Cette équation différentielle peut être écrite…

Exprimer la force de Laplace totale F_L s'exerçant sur l'aire S de la surface du conducteur en fonction de ε_0, E_0, S, ω et de t.

En déduire la valeur moyenne, sur une période, de la force exercée sur la bobine N^2. Commenter son signe et l'influence de z sur cette force.

Toujours à l'aide des graphes de la figure C, estimer numériquement la valeur du rapport H_extH_0.

En considérant qu'un signal est détectable si |H_r| dépasse de 10 le champ d'excitation H_b provoqué par le bruit i_b de l'intensité d'excitation I_e, quelle est la plus petite valeur B_ du champ…

Donner l'expression de la force magnétique. Montrer que la composante séculaire de la force magnétique peut s'écrire F_mag = qr × (rot E(R, t)) (11) où × désigne le produit vectoriel. En déduire…

Estimer le couple mécanique résistant s'exerçant en moyenne sur l'anémomètre du fait de la présence de la bobine au voisinage de l'aimant. Cela est-il de nature à perturber le fonctionnement de…

Déterminer, en fonction de γ, B_0, ω, k, x, t, V(t) et de τ, la force de Laplace instantanée exercée sur la particule lorsqu'elle se trouve à une abscisse x dans la zone aimantée. Comment se…

Exprimer le flux φ_a/s = φ_a/s(s) du champ magnétique créé par l'aimant à travers la spire (on veillera à respecter les conventions de signe usuelles). L'écrire sous la forme : φ_a/s(s) = φ_0 F(X)…

En adaptant l'équation (8) au paramétrage adopté, établir l'expression de la composante d^2F_a/b de la force que l'aimant fait subir à une spire élémentaire.

En déduire que la composante F_a/b de la force totale subie par le bloc de cuivre prend la forme : F_a/b = α G vs^3 On précisera la valeur du préfacteur numérique α. → On donne la valeur de…

En identifiant la puissance émise par l'onde sonore P_son à α v^2 , où v est la vitesse de la membrane, montrer que η est de la forme : η = 1/1 + R/R_m [1 + Q^2 (ω/ω_0 - ω_0/ω )^2 ] . On donnera les…

Commenter les résultats obtenus. Proposer une justification qualitative, en lien avec les cartes de champ représentées sur la figure 5, permettant de comprendre le contraste avec les résultats…

L'équation du mouvement se met sous la forme suivante: θ + ω_1^2 θ = 0 où ω_1 est une constante temporelle. Déterminer ω_1. A) ω_1 = (g/ℓ )^1/2 (1 + ℓ^2 B_0^2 C/2m )^-1/2 B) ω_1 = (g/ℓ )^1/2 (1 -…