Feuille d'entraînement : Induction électromagnétique

Corrigés

1. Exercice 1E3A Physique-Chimie MP 2025, Q12

   1. Origine qualitative du courant induit et de son sens

   Au cours du mouvement de la spire à la vitesse \vec{v}_0 = v_0 \vec{u}_x, la surface S(t) de la spire plongée dans la zone de champ magnétique \vec{B}_0 = B_0 \vec{u}_z augmente au cours du temps :

   S(t) = a\,x(t) = a\,v_0 t \quad \text{pour } t \in \left[0, \frac{a}{v_0}\right]

   Le flux du champ magnétique à travers la spire varie donc au cours du temps, ce qui donne naissance à un phénomène d'induction (loi de Faraday).

   D'après la loi de Lenz, les effets induits s'opposent à la cause qui leur donne naissance :

   • La cause est ici l'augmentation du flux magnétique à travers la spire (selon +\vec{u}_z).
   • Le courant induit i doit donc créer un champ magnétique induit \vec{B}_{\text{ind}} de sens opposé, c'est-à-dire dirigé selon -\vec{u}_z.
   • D'après la règle de la main droite (ou du tire-bouchon), pour générer un champ selon -\vec{u}_z, le courant doit circuler dans le sens horaire dans le plan de la figure, ce qui correspond exactement au sens de i indiqué sur la figure 6.

   2. Détermination quantitative de l'intensité i

   On oriente le contour de la spire selon le sens algébrique du courant i (sens horaire). La normale unitaire \vec{n} associée par la règle de la main droite est alors :

   \vec{n} = -\vec{u}_z

   Le flux magnétique à travers la spire à l'instant t s'écrit donc :

   \begin{aligned} \Phi(t) &= \iint_{\text{spire}} \vec{B} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}S \\ &= \iint_{\text{zone } B_0} (B_0 \vec{u}_z) \cdot (-\vec{u}_z) \, \mathrm{d}S + 0 \\ &= - B_0 S(t) = - B_0 a v_0 t \end{aligned}

   D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite e vaut :

   \begin{aligned} e &= -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = B_0 a v_0 \end{aligned}

   En négligeant l'auto-inductance de la spire, la loi d'Ohm pour le circuit fermé de résistance R donne directement :

   e = R\,i \implies i = \frac{e}{R}

   \boxed{i = \frac{B_0 a v_0}{R}}

   L'intensité i est donc constante et positive pendant toute la phase d'entrée de la spire dans la zone de champ magnétique.

   Résultat

   $$i=\frac{B_{0}a{v}_0}{R}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2E3A Physique-Chimie MP 2025, Q13

   La résultante des actions mécaniques d'origine électromagnétique s'exerçant sur la spire fermée est la force de Laplace :

   \vec{F} = \oint_{\text{spire}} i\,\mathrm{d}\vec{\ell} \wedge \vec{B}

   Décomposons cette intégrale sur les quatre côtés de la spire carrée :

   • Côté arrière CD : il se trouve dans la zone de champ magnétique nul, d'où \vec{F}_{CD} = \vec{0}.

   • Côtés latéraux : les brins sont parallèles à \vec{u}_x et baignent dans le même champ uniforme \vec{B}_0 = B_0 \vec{u}_z. Comme ils sont parcourus par le même courant i en sens opposés, leurs forces de Laplace respectives, dirigées selon \pm \vec{u}_y, se compensent exactement :

     \vec{F}_{\text{latéraux}} = \vec{0}
   • Côté avant EF : situé entièrement dans la zone où règne \vec{B}_0 = B_0 \vec{u}_z, il a pour longueur a. Compte tenu du sens de circulation du courant i > 0 défini à la question Q12 (sens horaire sur la figure 6), le courant traverse le brin EF selon la direction et le sens du vecteur -a\,\vec{u}_y.

   La force totale subie par la spire se réduit donc à la force sur le segment EF :

   \vec{F} = (-a\,\vec{u}_y) \wedge (B_0 \vec{u}_z) \cdot i = - i\,a\,B_0\,(\vec{u}_y \wedge \vec{u}_z) = - i\,a\,B_0\,\vec{u}_x

   En injectant l'expression de l'intensité i = \dfrac{B_0 a v_0}{R} établie à la question Q12, on obtient :

   \boxed{\vec{F} = - \frac{B_0^2 a^2}{R} v_0\,\vec{u}_x}

   Pendant toute la phase d'entrée, les grandeurs B_0, a, R et v_0 sont constantes : la force exercée sur la spire est donc constante et uniforme.

   Justification qualitative du sens : D'après la loi de modération de Lenz, les effets du phénomène d'induction s'opposent à la cause qui les produit. La cause de l'induction étant le déplacement de la spire à la vitesse \vec{v}_0 = v_0 \vec{u}_x vers la zone de champ, les forces de Laplace induites doivent s'opposer à ce mouvement : il s'agit d'une force de freinage dirigée selon -\vec{u}_x.

   Résultat

   $$\vec{F}=-\frac{B_0^2{a}^2}{R}{v}_0{\vec{u}}_x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Physique MP 2024, Q3

   1. Approximations utilisées :

   • Approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) : l'énoncé précise que l'ARQS est applicable. Le champ magnétique \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) à l'instant t est donc identique au champ magnétostatique créé par un courant continu de valeur instantanée i(t).
   • Modèle du solénoïde infini : la longueur L étant suffisamment grande devant le rayon b (L \gg b), on néglige les effets de bord aux extrémités et on assimile le solénoïde à un solénoïde infiniment long le long de l'axe (Oz), comportant une densité linéique d'enroulement n = N/L.

   2. Symétries et invariances :

   • Tout plan contenant l'axe (Oz) est un plan d'anti-symétrie de la distribution de courant. Le champ magnétique en tout point d'un tel plan lui est perpendiculaire, ce qui implique que le champ magnétique est purement axial :

     \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = B_z(r, \theta, z, t)\,\vec{e}_z

   • Pour un solénoïde infini, la distribution de courant est invariante par translation selon z et par rotation autour de (Oz) (invariance selon \theta). Ainsi, B_z ne dépend spatialement que de la distance radiale r :

     \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = B_z(r, t)\,\vec{e}_z

   3. Détermination du champ magnétique par le théorème d'Ampère : On applique le théorème d'Ampère à un contour rectangulaire fermé de côtés parallèles à \vec{e}_z (de longueur h) et orienté selon la règle du tire-bouchon :

   • Pour un contour entièrement à l'extérieur (r > b) : le courant enlacé est nul, donc B_z(r_1, t) - B_z(r_2, t) = 0. Le champ est uniforme à l'extérieur. Les sources de courant étant localisées à distance finie, le champ doit s'annuler à l'infini (r \to +\infty), d'où :

     \vec{B}_{\mathrm{sol, ext}}(M, t) = \vec{0} \quad \text{pour } r > b

   • Pour un contour traversant la nappe de courant (un côté à l'intérieur r < b, un côté à l'extérieur r > b) :

     \oint \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = B_z(r, t)\,h - B_{z,\mathrm{ext}}\,h = \mu_0 I_{\text{enlacé}} = \mu_0 \left(\frac{N}{L} h\right) i(t)

     Puisque B_{z,\mathrm{ext}} = 0, on obtient :

     \vec{B}_{\mathrm{sol, int}}(M, t) = \mu_0 \frac{N}{L} i(t)\,\vec{e}_z \quad \text{pour } r < b

   4. Expressions selon les phases temporelles :

   • Phase 1 : t < 0 (i(t) = i_0) :

     \begin{cases} \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \mu_0 \dfrac{N}{L} i_0\,\vec{e}_z & \text{pour } r < b\\[6pt] \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \vec{0} & \text{pour } r > b \end{cases}

   • Phase 2 : t \in [0, \tau[ (i(t) décroît de i_0 à 0) :

     \begin{cases} \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \mu_0 \dfrac{N}{L} i(t)\,\vec{e}_z & \text{pour } r < b\\[6pt] \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \vec{0} & \text{pour } r > b \end{cases}

   • Phase 3 : t \geq \tau (i(t) = 0) :

     \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \vec{0} \quad \text{dans tout l'espace}

   Ces résultats se résument par :

   \boxed{\vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \begin{cases} \mu_0 \dfrac{N}{L} i(t)\,\vec{e}_z & \text{si } r < b \\ \vec{0} & \text{si } r > b \end{cases}}

   5. Homogénéité :

   • À l'intérieur (r < b), le champ ne dépend pas des coordonnées d'espace (r, \theta, z) : le champ est donc homogène (uniforme) à l'intérieur du solénoïde à chaque instant.
   • À l'extérieur (r > b), le champ est identiquement nul partout : il est donc également homogène (uniforme) à l'extérieur.

   Résultat

   $${\vec{B}}_{\mathrm{sol}}(M,t)=\{\begin{array}{ll}{\mu }_0\frac{N}{L}i(t){\vec{e}}_z& \text{si }r<b\\ \vec{0}& \text{si }r>b\end{array}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2022, Q44

   1. Définition de l'inductance mutuelle

   Le coefficient d'inductance mutuelle M entre le circuit \mathcal{C}_1 parcouru par un courant i_1 et le circuit \mathcal{C}_2 orienté est défini par la relation de proportionnalité reliant le flux magnétique \Phi_{1\to 2} créé par \mathcal{C}_1 à travers \mathcal{C}_2 à l'intensité i_1 :

   \Phi_{1\to 2} = M\,i_1

   D'après le théorème de réciprocité de Neumann, on a également \Phi_{2\to 1} = M\,i_2. Le coefficient M s'exprime en henrys (\mathrm{H}).

   2. Expression de M

   La bobine-sonde \mathcal{C}_2 est située au centre du dispositif de Helmholtz, dans la région où le champ magnétique créé par \mathcal{C}_1 est considéré comme quasi-uniforme. D'après la relation établie à la question Q42, ce champ s'écrit :

   \vec{B}_1 \simeq B_{\text{axe}}(0)\,\vec{u}_3 = \mu N_1 i_1\,\vec{u}_3

   Les N_2 spires de rayon R_2 de la bobine \mathcal{C}_2 sont orientées selon la normale \vec{u}_z (verticale ascendante). Le flux à travers une spire de surface S_2 = \pi R_2^2 vaut :

   \phi_{1\to 2,\,\text{spire}} = \iint_{S_2} \vec{B}_1 \cdot \vec{u}_z\,\mathrm{d}S = \vec{B}_1 \cdot \vec{u}_z\,\pi R_2^2

   Le flux total à travers l'ensemble des N_2 spires de \mathcal{C}_2 s'en déduit :

   \Phi_{1\to 2} = N_2\,\phi_{1\to 2,\,\text{spire}} = N_2\,\pi R_2^2\,(\vec{B}_1 \cdot \vec{u}_z) = \mu N_1 N_2 \pi R_2^2\,(\vec{u}_3 \cdot \vec{u}_z)\,i_1

   D'après la figure 8, l'axe vertical du pendule est dirigé par \vec{u}_z vers le haut. L'axe \vec{u}_3 des bobines de Helmholtz, initialement orthogonal à \vec{u}_z dans le plan horizontal, est incliné de l'angle \varphi vers le bas sous l'effet de l'inclinaison de la sphère. L'angle entre \vec{u}_3 et \vec{u}_z est donc un angle obtus égal à \frac{\pi}{2} + \varphi, ce qui donne :

   \vec{u}_3 \cdot \vec{u}_z = \cos\left(\frac{\pi}{2} + \varphi\right) = -\sin\varphi

   Par identification avec \Phi_{1\to 2} = M\,i_1, on obtient :

   \boxed{M = -\mu N_1 N_2 \pi R_2^2 \sin\varphi}

   En valeur absolue, on a :

   |M| = \mu N_1 N_2 \pi R_2^2 \sin\varphi

   Résultat

   $$M=-\mu N_1{N}_2\pi R_2^2\sin \phi$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2022, Q45

   Sur la figure 10 :

   • Pour le circuit primaire \mathcal{C}_1, la tension u_1 et le courant i_1 sont orientés selon la convention récepteur.
   • Pour le circuit secondaire \mathcal{C}_2, la tension u_2 mesurée par le voltmètre est orientée de telle sorte que la bobine \mathcal{C}_2 est également en convention récepteur vis-à-vis du courant i_2 fléché (la flèche de tension u_2 s'oppose au sens de circulation de i_2 dans la branche du voltmètre, donc pour le dipôle bobine \mathcal{C}_2, tension et courant sont en convention récepteur).

   Les résistances des bobines \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2 étant négligées, la tension aux bornes de chaque circuit est purement d'origine inductive :

   u_1 = \frac{\mathrm{d}\Phi_1}{\mathrm{d}t} \quad \text{et} \quad u_2 = \frac{\mathrm{d}\Phi_2}{\mathrm{d}t}

   Les flux magnétiques propres et mutuels s'écrivent :

   \begin{aligned} \Phi_1 &= L_1 i_1 + M i_2 \\ \Phi_2 &= M i_1 + L_2 i_2 \end{aligned}

   On en déduit le système d'équations couplées régissant le fonctionnement électrique des deux circuits :

   \boxed{\begin{cases} u_1 = L_1 \dfrac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t} + M \dfrac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t} \\[10pt] u_2 = M \dfrac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t} + L_2 \dfrac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t} \end{cases}}

   Résultat

   $$\{\begin{array}{l}{u}_1=L_1\frac{\mathrm{d}{i}_1}{\mathrm{d}t}+M\frac{\mathrm{d}{i}_2}{\mathrm{d}t}\\ u_2=M\frac{\mathrm{d}{i}_1}{\mathrm{d}t}+L_2\frac{\mathrm{d}{i}_2}{\mathrm{d}t}\end{array}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6E3A Physique-Chimie MP 2022, Q16

   D'après les résultats de la question Q11 et l'hypothèse de l'énoncé, le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde (r < R) en régime lentement variable s'écrit :

   \vec{B}(M, t) = \mu_0 n i(t)\,\vec{u}_z = \mu_0 n I \cos(\omega t)\,\vec{u}_z = B_0 \cos(\omega t)\,\vec{u}_z

   avec B_0 = \mu_0 n I.

   D'après la question Q15, le champ électrique est de la forme \vec{E}(M, t) = E(r, t)\,\vec{u}_\theta.

   Considérons un cercle \mathcal{C} d'axe Oz, de rayon r < R, orienté par \vec{u}_\theta. Il s'appuie sur le disque \mathcal{D} orienté selon sa normale \vec{u}_z.

   • La circulation du champ électrique le long de \mathcal{C} s'écrit :

     \oint_{\mathcal{C}} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = \int_0^{2\pi} E(r, t)\,\vec{u}_\theta \cdot (r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_\theta) = 2\pi r \, E(r, t)

   • Le flux magnétique à travers la surface du disque \mathcal{D} s'écrit :

     \Phi(t) = \iint_{\mathcal{D}} \vec{B}(M, t)\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \pi r^2 B_0 \cos(\omega t)

   D'après la loi de Faraday issue de l'équation de Maxwell-Faraday :

   \oint_{\mathcal{C}} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}

   d'où :

   2\pi r \, E(r, t) = - \pi r^2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ B_0 \cos(\omega t) \right] = \pi r^2 B_0 \omega \sin(\omega t)

   On en déduit :

   E(r, t) = \frac{1}{2} B_0 \omega r \sin(\omega t) = \frac{1}{2} \mu_0 n I \omega r \sin(\omega t)

   Le champ électrique est bien de la forme E(r, t) = E_0(r)\sin(\omega t), avec :

   \boxed{E_0(r) = \frac{1}{2}\mu_0 n I \omega r = \frac{1}{2} B_0 \omega r}

   Résultat

   $$E_0(r)=\frac{1}{2}{\mu }_{0}nI\omega r=\frac{1}{2}{B}_0\omega r$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7E3A Physique-Chimie MP 2020, Q1

   Orientons le circuit dans le sens conventionnel indiqué pour l'intensité i sur la figure 3 : le courant parcourt le rail \mathscr{R}_1, traverse la barre mobile \mathscr{B} de \mathscr{R}_1 vers \mathscr{R}_2 dans le sens de +\vec{e}_y, puis revient par le rail \mathscr{R}_2.

   Méthode 1 : Par la loi de Faraday

   D'après la règle du tire-bouchon de Maxwell, le vecteur surface associé à cette orientation est dirigé selon +\vec{e}_z :

   \vec{S} = \ell x \, \vec{e}_z + \vec{S}_0

   où \vec{S}_0 est une surface constante liée à la géométrie fixe en amont de l'origine.

   Le champ magnétique extérieur étant uniforme et stationnaire, \vec{B}_0 = B_0 \vec{e}_z, le flux magnétique à travers le circuit s'écrit :

   \Phi = \iint \vec{B}_0 \cdot \mathrm{d}\vec{S} = B_0 \ell x + \text{cste}

   D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite s'exprime par :

   e_{\text{ind}} = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = - B_0 \ell \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}

   Comme la vitesse de l'équipage mobile est v = \dot{x}, on obtient :

   \boxed{e_{\text{ind}} = - B_0 \ell v}

   Méthode 2 : Par l'action du champ électromoteur de Lorentz

   Chaque porteur de charge mobile de la barre \mathscr{B} est animé de la vitesse d'entraînement \vec{v} = v \vec{e}_x. Il subit le champ électromoteur de Lorentz :

   \vec{E}_m = \vec{v} \wedge \vec{B}_0 = (v \vec{e}_x) \wedge (B_0 \vec{e}_z) = - B_0 v \, \vec{e}_y

   La fem induite e_{\text{ind}} fléchée de \mathscr{R}_1 vers \mathscr{R}_2 (le long de \mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}y \, \vec{e}_y) est donnée par la circulation de \vec{E}_m :

   e_{\text{ind}} = \int_{\mathscr{R}_1}^{\mathscr{R}_2} \vec{E}_m \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \int_{y=0}^\ell (- B_0 v \, \vec{e}_y) \cdot (\mathrm{d}y \, \vec{e}_y) = - B_0 \ell v

   Résultat

   $$e_{\text{ind}}=-B_0\ell v$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8E3A Physique-Chimie MP 2020, Q3

   La force de Laplace subie par un élément de conducteur \mathrm{d}\vec{\ell} parcouru par un courant d'intensité i et plongé dans le champ magnétique extérieur \vec{B}_0 = B_0 \vec{e}_z s'écrit :

   \mathrm{d}\vec{f}_{\text{Laplace}} = i \, \mathrm{d}\vec{\ell} \wedge \vec{B}_0

   D'après le schéma électrique de la figure 3, le courant i circule dans le rail \mathscr{R}_1 de la borne A_1 vers la barre mobile \mathscr{B}, traverse celle-ci du rail \mathscr{R}_1 vers le rail \mathscr{R}_2 dans la direction et le sens du vecteur unitaire \vec{e}_y, puis retourne vers la borne A_2 par le rail \mathscr{R}_2.

   L'élément de longueur orienté le long de la barre mobile \mathscr{B}, de longueur \ell, s'écrit donc \mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}y \, \vec{e}_y.

   Le champ magnétique \vec{B}_0 étant uniforme le long du conducteur mobile, la résultante des forces de Laplace agissant sur la barre \mathscr{B} s'obtient par intégration :

   \begin{aligned} \vec{f}_{\text{Laplace}} &= \int_{\mathscr{B}} i \, \mathrm{d}\vec{\ell} \wedge \vec{B}_0 \\ &= \left( \int_0^\ell i \, \mathrm{d}y \right) \vec{e}_y \wedge (B_0 \vec{e}_z) \\ &= i \, \ell \, B_0 \, (\vec{e}_y \wedge \vec{e}_z) \end{aligned}

   La base (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) étant orthonormée directe, on a \vec{e}_y \wedge \vec{e}_z = \vec{e}_x. On en déduit :

   \boxed{\vec{f}_{\text{Laplace}} = i \, \ell \, B_0 \, \vec{e}_x}

   Résultat

   $${\vec{f}}_{\text{Laplace}}=i\ell B_0{\vec{e}}_x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9E3A Physique-Chimie MP 2020, Q11

   D'après l'équation mécanique (E2) établie à la question Q10 :

   \left(\mathrm{j}\omega M_{ms}^* + R_{ms} + \frac{1}{\mathrm{j}\omega C_{ms}}\right) \underline{V} = B_0 \ell \, \underline{I}

   d'où l'expression de l'amplitude complexe de la vitesse :

   \underline{V} = \frac{B_0 \ell}{\mathrm{j}\omega M_{ms}^* + R_{ms} + \dfrac{1}{\mathrm{j}\omega C_{ms}}} \, \underline{I}.

   D'après l'équation électrique (E1) issue de la question Q2 :

   \underline{E} = (R_e + \mathrm{j} L_e \omega)\underline{I} + B_0 \ell \, \underline{V}.

   En substituant l'expression de \underline{V}, il vient :

   \begin{aligned} \underline{E} &= (R_e + \mathrm{j} L_e \omega)\underline{I} + \frac{(B_0 \ell)^2}{\mathrm{j}\omega M_{ms}^* + R_{ms} + \dfrac{1}{\mathrm{j}\omega C_{ms}}} \, \underline{I} \\ &= \left[ \underline{Z_e} + \underline{Z_m} \right] \underline{I} = \underline{Z} \, \underline{I}, \end{aligned}

   ce qui montre que le haut-parleur se comporte vis-à-vis du générateur comme un dipôle linéaire d'impédance électrique équivalente \underline{Z} = \underline{Z_e} + \underline{Z_m}, où :

   \underline{Z_e} = R_e + \mathrm{j} L_e \omega

   représente l'impédance électrique propre (ou impédance bloquée, obtenue pour \underline{V} = 0), et \underline{Z_m} représente l'impédance motionnelle due au couplage électromécanique :

   \underline{Z_m} = \frac{(B_0 \ell)^2}{\mathrm{j}\omega M_{ms}^* + R_{ms} + \dfrac{1}{\mathrm{j}\omega C_{ms}}} = \frac{1}{\mathrm{j}\omega \dfrac{M_{ms}^*}{(B_0 \ell)^2} + \dfrac{R_{ms}}{(B_0 \ell)^2} + \dfrac{1}{\mathrm{j}\omega (B_0 \ell)^2 C_{ms}}}.

   Par identification avec la forme demandée :

   \underline{Z_m} = \frac{1}{\mathrm{j}\omega C_m^* + \dfrac{1}{R_m} + \dfrac{1}{\mathrm{j}\omega L_m}},

   on obtient les expressions des paramètres équivalents :

   \boxed{C_m^* = \frac{M_{ms}^*}{(B_0 \ell)^2}}

   \boxed{R_m = \frac{(B_0 \ell)^2}{R_{ms}}}

   \boxed{L_m = (B_0 \ell)^2 C_{ms}}

   Résultat

   $$C_m^{\ast }=\frac{M_{ms}^{\ast }}{(B_0\ell {)}^2}$$

   $$R_m=\frac{(B_0\ell {)}^2}{R_{ms}}$$

   $$L_m=(B_0\ell {)}^2{C}_{ms}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CCINP Physique MP 2025, Q38

    D'après l'énoncé, le champ magnétique responsable de la force de Laplace s'exerçant sur la voile est :

    \vec{B}_{\text{eff}}(x = 0, t) = \frac{1}{2} \vec{B}_{\text{tot}}(0^-, t)

    Or, en x = 0, les champs incidents et réfléchis s'ajoutent :

    \vec{B}_{\text{tot}}(0^-, t) = \vec{B}_i(0, t) + \vec{B}_r(0, t)

    D'après la question Q37, \vec{B}_r(0, t) = \vec{B}_i(0, t), de sorte que :

    \vec{B}_{\text{tot}}(0^-, t) = 2\vec{B}_i(0, t) \implies \vec{B}_{\text{eff}}(x = 0, t) = \vec{B}_i(0, t)

    Considérons l'élément rectiligne de voile de longueur a suivant \vec{e}_z et de largeur \mathrm{d}y, parcouru par le courant \delta i = j_s(t)\,\mathrm{d}y orienté selon \vec{e}_z. La force de Laplace élémentaire qui s'exerce sur cette bande s'écrit :

    \begin{aligned} \overrightarrow{\delta F_L} &= \int_{z} \delta i\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_z \wedge \vec{B}_{\text{eff}}(0, t) \\ &= \left(\int_{0}^{a} \mathrm{d}z\right) j_s(t)\,\mathrm{d}y\,\vec{e}_z \wedge \vec{B}_i(0, t) \\ &= a\,\mathrm{d}y \left(\vec{j}_s(t) \wedge \vec{B}_i(0, t)\right) \end{aligned}

    On obtient ainsi :

    \boxed{\overrightarrow{\delta F_L} = a\,\mathrm{d}y\,\vec{j}_s(t) \wedge \vec{B}_i(x = 0, t)}

    La force électromagnétique totale \vec{F}_L exercée sur l'ensemble de la voile s'obtient en sommant sur la largeur totale a selon y. Les champs et la densité de courant étant uniformes dans le plan de la voile :

    \begin{aligned} \vec{F}_L &= \int_{y=0}^a \overrightarrow{\delta F_L} \\ &= a \left(\int_{0}^{a}\mathrm{d}y\right) \vec{j}_s(t) \wedge \vec{B}_i(x=0, t) \end{aligned}

    D'où :

    \boxed{\vec{F}_L = a^2\,\vec{j}_s(t) \wedge \vec{B}_i(x = 0, t)}

    Résultat

    $$\overrightarrow{\delta F_L}=a\mathrm{d}y{\vec{j}}_s(t)\wedge {\vec{B}}_i(x=0,t)$$

    $${\vec{F}}_L=a^2{\vec{j}}_s(t)\wedge {\vec{B}}_i(x=0,t)$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question