Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 MP 2022

Déterminons le nombre d'oxydation de l'élément fer dans les espèces proposées :

• \text{n.o.} = 0 : \mathrm{Fe_{(s)}} ;
• \text{n.o.} = +\text{II} : \mathrm{Fe^{2+}_{(aq)}}, \mathrm{Fe(OH)_{2(s)}} et \mathrm{HFeO}_{2(aq)}^{-} (puisque \text{n.o.}(\text{Fe}) + 1 - 4 = -1) ;
• \text{n.o.} = +\text{III} : \mathrm{Fe^{3+}_{(aq)}} et \mathrm{FeOOH_{(s)}} (puisque \text{n.o.}(\text{Fe}) - 2 - 2 + 1 = 0).

On en déduit la répartition spatiale des domaines :

• Degré 0 : \mathrm{Fe_{(s)}} est le réducteur le plus fort, il occupe le domaine situé aux potentiels les plus bas sur l'ensemble de l'échelle de pH (cadre du bas à \text{pH} \in [6, 8]).

• Degré +III : ces espèces occupent la partie supérieure du diagramme (potentiels élevés). Par coupure acido-basique (précipitation à \text{pH} \approx 2{,}2) :

  • \mathrm{Fe^{3+}_{(aq)}} en milieu très acide (\text{pH} < 2{,}2, cadre supérieur gauche) ;
  • \mathrm{FeOOH_{(s)}} pour les pH plus élevés (\text{pH} > 2{,}2, grand cadre supérieur central).

• Degré +II : ces espèces occupent la zone intermédiaire de potentiel. Par acidité décroissante :

  • \mathrm{Fe^{2+}_{(aq)}} en milieu acide et modérément acide (\text{pH} \lesssim 9{,}5, cadre intermédiaire gauche) ;
  • \mathrm{Fe(OH)_{2(s)}} précipite à pH intermédiaire (9{,}5 \lesssim \text{pH} \lesssim 13, cadre pointé par la flèche à \text{pH} \approx 10) ;
  • \mathrm{HFeO}_{2(aq)}^{-} est une forme soluble hyperbasique (dissolution complexante de l'hydroxyde en milieu très alcalin, \text{pH} \gtrsim 13, cadre pointé par la flèche à \text{pH} \approx 13).

1. Potentiel standard du couple \mathrm{Fe}^{2+}_{(\mathrm{aq})}/\mathrm{Fe}_{(\mathrm{s})}

La demi-équation d'oxydoréduction s'écrit :

La formule de Nernst donne, à 25\,^\circ\mathrm{C} avec \frac{RT}{\mathcal{F}}\ln 10 = 0{,}06\text{ V} :

À la frontière entre \mathrm{Fe}^{2+}_{(\mathrm{aq})} et \mathrm{Fe}_{(\mathrm{s})}, la concentration en ions fer(II) est égale à la concentration de tracé C_{\text{tra}} = 1{,}0 \times 10^{-6}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} :

Sur la figure A, la frontière horizontale séparant les domaines de \mathrm{Fe}^{2+}_{(\mathrm{aq})} et de \mathrm{Fe}_{(\mathrm{s})} (pour \mathrm{pH} < 9{,}7) se situe à :

On en déduit le potentiel standard :

2. Produit de solubilité \mathrm{p}K_s de \mathrm{Fe(OH)}_{2\,(\mathrm{s})}

L'équilibre de dissolution de l'hydroxyde de fer(II) s'écrit :

En exprimant [\mathrm{HO}^-] = \frac{K_e}{[\mathrm{H}^+]}, il vient :

En passant au cologarithme décimal :

À la frontière de précipitation entre \mathrm{Fe}^{2+}_{(\mathrm{aq})} et \mathrm{Fe(OH)}_{2\,(\mathrm{s})}, [\mathrm{Fe}^{2+}] = C_{\text{tra}} = 1{,}0\times 10^{-6}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} et avec \mathrm{p}K_e = 14 :

Sur la figure A, le segment vertical marquant la frontière entre \mathrm{Fe}^{2+}_{(\mathrm{aq})} et \mathrm{Fe(OH)}_{2\,(\mathrm{s})} se situe à :

On en déduit :

Le fer se trouve au nombre d'oxydation +\mathrm{III} dans \mathrm{FeOOH}_{(\mathrm{s})} et +\mathrm{II} dans \mathrm{Fe}^{2+}_{(\mathrm{aq})}. La demi-équation rédox associée s'écrit :

D'après la formule de Nernst à la température de l'étude (avec \frac{RT}{\mathcal{F}}\ln 10 = 0{,}06\text{ V}) :

À la frontière, la concentration en ions fer(II) est fixée à la concentration de tracé [\mathrm{Fe}^{2+}] = C_{\text{tra}}, indépendante du \mathrm{pH}.

Par dérivation par rapport au \mathrm{pH}, la pente de la frontière vaut donc :

À \mathrm{pH} = 7 :

• Le potentiel d'équilibre du couple de l'eau \mathrm{O}_{2(\mathrm{aq})}/\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\ell)} vaut :

  E(\mathrm{O}_2/\mathrm{H}_2\mathrm{O}) = E^\circ(\mathrm{O}_2/\mathrm{H}_2\mathrm{O}) - 0{,}06\,\mathrm{pH} = 1{,}23 - 0{,}06 \times 7 = 0{,}81\text{ V}
• À ce potentiel très oxydant et à \mathrm{pH} = 7, l'espèce du fer thermodynamiquement stable est \mathrm{FeOOH}_{(\mathrm{s})} (le domaine de \mathrm{Fe}^{2+}_{(\mathrm{aq})} n'existant qu'au-dessous d'environ -0{,}15\text{ V}, et celui de \mathrm{Fe}_{(\mathrm{s})} au-dessous de -0{,}62\text{ V}).

Les domaines de prédominance/stabilité de \mathrm{Fe}_{(\mathrm{s})} et de \mathrm{O}_{2(\mathrm{aq})} sont disjoints : le fer métallique s'oxyde spontanément jusqu'au degré d'oxydation +\text{III}.

Écrivons les deux demi-équations rédox :

En combinant ces deux équations (3 \times la première + \; 4 \times la seconde), les électrons et les ions \mathrm{H}^+ s'éliminent :

Le tracé d'une courbe courant-potentiel nécessite un montage à trois électrodes piloté par un potentiostat (ou un générateur réglable avec appareils de mesure) :

• L'électrode de travail (ET) : la pièce d'acier AISI 316 dont on étudie le comportement électrochimique ;
• La contre-électrode (CE) : une électrode inattaquable en platine, assurant le passage du courant électrique à travers la solution ;
• L'électrode de référence (Réf) : une électrode au calomel saturé (ECS, de potentiel E_{\mathrm{ref}} = 0{,}25\text{ V}), placée au plus près de l'électrode de travail pour minimiser la chute ohmique. Aucun courant ne la traverse.

Si le système est représenté à l'aide d'instruments de mesure usuels (hors bloc potentiostat intégré), le circuit se décompose en :

• Un circuit de polarisation et de mesure du courant : un générateur de tension continue variable et un ampèremètre montés en série entre l'électrode de travail et la contre-électrode ;
• Un circuit de mesure de potentiel : un voltmètre à très haute impédance d'entrée monté entre l'électrode de travail et l'électrode de référence.

Le milieu étudié est une solution aqueuse aérée à \mathrm{pH} = 8{,}2. L'électrode de référence est une ECS de potentiel E_{\text{ref}} = 0{,}25\text{ V}, de sorte que le potentiel par rapport à l'ESH vaut :

Calculons les potentiels d'équilibre de Nernst des espèces à \mathrm{pH} = 8{,}2 :

• Réduction du dioxygène dissous : \mathrm{O}_{2(\mathrm{aq})} + 4\,\mathrm{H}^+ + 4\,\mathrm{e}^- = 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\ell)}, soit en milieu basique \mathrm{O}_{2(\mathrm{aq})} + 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\ell)} + 4\,\mathrm{e}^- = 4\,\mathrm{HO}^-_{(\mathrm{aq})} :

  \begin{aligned} E_{\text{eq}}(\mathrm{O}_2/\mathrm{H}_2\mathrm{O}) &= E^\circ(\mathrm{O}_2/\mathrm{H}_2\mathrm{O}) - 0{,}06\,\mathrm{pH} + \frac{0{,}06}{4}\log\left(\frac{P_{\mathrm{O}_2}}{P^\circ}\right) \\ &\simeq 1{,}23 - 0{,}06 \times 8{,}2 \simeq 0{,}74\text{ V}/\text{ESH} \quad (\text{soit } \simeq +0{,}49\text{ V}/\text{ECS}) \end{aligned}

• Réduction de l'eau (couple \mathrm{H}^+/\mathrm{H}_2 ou \mathrm{H}_2\mathrm{O}/\mathrm{H}_2) : 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\ell)} + 2\,\mathrm{e}^- = \mathrm{H}_{2(\mathrm{g})} + 2\,\mathrm{HO}^-_{(\mathrm{aq})} :

  E_{\text{eq}}(\mathrm{H}^+/\mathrm{H}_2) = -0{,}06\,\mathrm{pH} = -0{,}06 \times 8{,}2 \simeq -0{,}49\text{ V}/\text{ESH} \quad (\text{soit } \simeq -0{,}74\text{ V}/\text{ECS})
• Oxydation du fer : à \mathrm{pH} = 8{,}2, d'après le diagramme potentiel-pH (figure A), la frontière séparant \mathrm{Fe}_{(\mathrm{s})} de \mathrm{Fe}^{2+}_{(\mathrm{aq})} est horizontale à E \simeq -0{,}62\text{ V}/\text{ESH} (pour C_{\text{tra}} = 10^{-6}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}), soit environ -0{,}87\text{ V}/\text{ECS}.

Analysons les trois portions repérées sur la courbe courant-potentiel de l'acier (figure 2) :

• Portion (a) : branche anodique (j > 0 pour E_{/\text{ECS}} > -0{,}70\text{ V}).
  Il s'agit d'une oxydation du fer constituant l'acier en ions fer(II) :

  \boxed{\mathrm{Fe}_{(\mathrm{s})} \longrightarrow \mathrm{Fe}^{2+}_{(\mathrm{aq})} + 2\,\mathrm{e}^-}

  (L'oxydation en hydroxyde \mathrm{Fe(OH)}_2 ou oxyhydroxyde \mathrm{FeOOH} est également envisageable en surface).

• Portion (b) : palier cathodique (j < 0 pour -0{,}95\text{ V} < E_{/\text{ECS}} < -0{,}70\text{ V}).
  Le potentiel est inférieur au potentiel d'équilibre du couple \mathrm{O}_2/\mathrm{H}_2\mathrm{O}. Le courant présente un palier de diffusion caractéristique d'une espèce dissoute en faible concentration : il s'agit de la réduction du dioxygène dissous dans l'eau de mer :

  \boxed{\mathrm{O}_{2(\mathrm{aq})} + 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\ell)} + 4\,\mathrm{e}^- \longrightarrow 4\,\mathrm{HO}^-_{(\mathrm{aq})}}

• Portion (c) : vague/mur cathodique (j \ll 0 pour E_{/\text{ECS}} < -0{,}95\text{ V}).
  Pour des potentiels très réducteurs, on observe une brusque augmentation en valeur absolue du courant cathodique sans palier de diffusion limitant : il s'agit de la réduction du solvant (l'eau) avec dégagement de dihydrogène :

  \boxed{2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\ell)} + 2\,\mathrm{e}^- \longrightarrow \mathrm{H}_{2(\mathrm{g})} + 2\,\mathrm{HO}^-_{(\mathrm{aq})}}

La demi-équation rédox associée au couple \mathrm{H}^+/\mathrm{H}_{2(\mathrm{g})} s'écrit :

En prenant pour convention une pression partielle standard en dihydrogène P_{\mathrm{H}_2} = P^\circ = 1\text{ bar}, la formule de Nernst s'exprime (avec \frac{RT}{\mathcal{F}}\ln 10 = 0{,}06\text{ V}) :

Pour \mathrm{pH} = 8{,}2 et E^\circ(\mathrm{H}^+/\mathrm{H}_2) = 0\text{ V} :

Exprimé par rapport à l'électrode de référence au calomel saturé (E_{\text{ref}} = 0{,}25\text{ V / ESH}) :

Sur la figure 2, la réduction de l'eau (portion (c)) commence à se manifester par une chute brutale de la densité de courant cathodique à partir d'un potentiel seuil :

La surtension cathodique associée au dégagement de \mathrm{H}_2 sur l'acier vaut donc :

Une limitation du courant par le transport de matière (diffusion vers l'électrode) se traduit sur une courbe courant-potentiel par un palier de diffusion (courant limite de diffusion indépendant du potentiel appliqué).

Pour la réduction cathodique du dioxygène dissous dans l'eau salée :

cette limitation correspond au pseudo-palier horizontal où la densité de courant cathodique se stabilise avant le déclenchement de la réduction du solvant (\mathrm{H}_2\mathrm{O} / \mathrm{H}_2) aux potentiels plus réducteurs :

• Pour la courbe à v = 0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} : le palier s'étend sur l'intervalle de potentiel compris environ entre -0{,}90\text{ V} et -0{,}70\text{ V} par rapport à l'ECS, à une densité de courant j_{\text{lim}} \simeq -0{,}04\text{ mA}\cdot\text{cm}^{-2} (soit -4 \times 10^{-5}\text{ A}\cdot\text{cm}^{-2}).
• Pour la courbe à v = 2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} : le palier se situe environ entre -0{,}80\text{ V} et -0{,}65\text{ V} par rapport à l'ECS, autour de j \simeq -0{,}4\text{ mA}\cdot\text{cm}^{-2}.
• Pour la courbe à v = 5\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} : la zone de diffusion/convection se situe environ entre -0{,}75\text{ V} et -0{,}60\text{ V} par rapport à l'ECS, autour de j \simeq -0{,}8\text{ mA}\cdot\text{cm}^{-2}.

Sur la figure B du document réponse, on entoure donc les trois zones de paliers horizontaux (ou pseudo-paliers) précédant la chute abrupte de densité de courant due à la réduction de l'eau.

À l'abandon (potentiel de corrosion libre E_{\text{corr}}), le système est le siège d'un équilibre dynamique entre :

• l'oxydation anodique du fer constitutif de l'acier :

  \mathrm{Fe}_{(\mathrm{s})} \longrightarrow \mathrm{Fe}^{2+}_{(\mathrm{aq})} + 2\,\mathrm{e}^-

• la réduction cathodique du dioxygène dissous :

  \mathrm{O}_{2(\mathrm{aq})} + 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\ell)} + 4\,\mathrm{e}^- \longrightarrow 4\,\mathrm{HO}^-_{(\mathrm{aq})}

Le courant global étant nul, la densité de courant de corrosion vérifie :

Le dioxygène étant une espèce dissoute peu soluble, sa réduction est limitée par le transfert de matière par diffusion à travers la couche limite stationnaire de Nernst d'épaisseur \delta. La densité de courant limite de diffusion cathodique s'écrit :

• Lorsque la vitesse d'écoulement du fluide augmente, la convection accrue réduit l'épaisseur de la couche limite de diffusion \delta.
• Cette diminution de \delta entraîne une forte augmentation du flux de dioxygène arrivant à l'électrode, et donc une hausse sensible de la densité de courant limite de diffusion |j_{\text{lim}}| (visible sur la figure B).
• Comme le potentiel mixte de corrosion se situe dans la zone de limitation par diffusion du dioxygène, la densité de courant de corrosion j_{\text{corr}} \simeq |j_{\text{lim}}| augmente de concert avec la vitesse d'écoulement.

Dans le dispositif de protection par anode sacrificielle :

• À l'anode (aluminium) : l'aluminium métallique s'oxyde préférentiellement au fer :

  \mathrm{Al}_{(\mathrm{s})} \longrightarrow \mathrm{Al}^{3+}_{(\mathrm{aq})} + 3\,\mathrm{e}^-

  Le solide \mathrm{Al}_{(\mathrm{s})} se dissout sous forme d'ions \mathrm{Al}^{3+}_{(\mathrm{aq})} qui passent en solution dans l'eau de mer (flèche montante vers le cadre supérieur droit).

• Transfert électronique : les électrons libérés circulent dans la masse métallique de l'aluminium vers l'acier (flèche orientée de \mathrm{Al} vers la surface de l'acier).

• À la cathode (acier) : la surface de l'acier est le siège de la réduction du dioxygène dissous dans l'eau de mer (milieu à \mathrm{pH} = 8{,}2) :

  \mathrm{O}_{2(\mathrm{aq})} + 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\ell)} + 4\,\mathrm{e}^- \longrightarrow 4\,\mathrm{HO}^-_{(\mathrm{aq})}

  Sur la figure C, l'arc fléché représente cette transformation : il part du réactif consommé (\mathrm{O}_2) et pointe vers le produit formé (\mathrm{HO}^-), en recevant l'apport d'électrons provenant de la pièce d'acier.

Les espèces à inscrire dans les quatre cadres sont donc :

• Cadre supérieur gauche (au-dessus de l'acier) : \boxed{\text{\mathrm{HO}^-}} (ou \mathrm{HO}^-_{(\mathrm{aq})}) ;
• Cadre supérieur central (au-dessus de l'acier) : \boxed{\text{\mathrm{O}_2}} (ou \mathrm{O}_{2(\mathrm{aq})}) ;
• Cadre interne (dans l'aluminium) : \boxed{\text{\mathrm{Al}}} (ou \mathrm{Al}_{(\mathrm{s})}) ;
• Cadre supérieur droit (au-dessus de l'aluminium) : \boxed{\text{\mathrm{Al}^{3+}}} (ou \mathrm{Al}^{3+}_{(\mathrm{aq})}).

Le système constitué de la pièce d'acier et de l'anode d'aluminium est en contact électrique direct et n'est relié à aucun générateur extérieur. À l'abandon, le courant total échangé est nul :

L'oxydation a lieu sur l'aluminium (anode sacrificielle) et la réduction sur l'acier. Les deux pièces présentant la même surface active S, on a :

Sur la figure 2 :

• la branche cathodique sur l'acier présente un palier de diffusion associé à la réduction de \mathrm{O}_2 pour lequel |j_{\mathrm{acier}}| \simeq 4{,}3 \times 10^{-5}\text{ A}\cdot\text{cm}^{-2} ;

• la courbe anodique de l'aluminium atteint cette même valeur pour un potentiel de corrosion :

  E_{\mathrm{corr}} - E_{\mathrm{ref}} \simeq -0{,}70\text{ V} \quad (\text{soit } E_{\mathrm{corr}} \simeq -0{,}45\text{ V / ESH})

On en déduit l'estimation numérique de la densité de courant de corrosion :

Une valeur comprise entre 4{,}0 \times 10^{-5} et 4{,}5 \times 10^{-5}\text{ A}\cdot\text{cm}^{-2} est tout à fait acceptable compte tenu de la précision de lecture graphique.

L'oxydation de l'aluminium sacrificiel s'écrit :

Chaque mole d'aluminium oxydée libère donc z = 3 moles d'électrons.

Pendant une durée \Delta t, la charge totale mise en jeu à travers la surface S de l'anode est :

La quantité de matière d'électrons correspondante s'exprime par :

D'après la stœchiométrie de la demi-réaction, la quantité de matière d'aluminium dissoute est :

La masse d'aluminium consommée vaut :

En égalant les deux expressions de la masse, la surface S se simplifie :

On en déduit l'expression de la vitesse de régression de l'épaisseur :

Application numérique : Pour une durée de \Delta t = 1\text{ an} \simeq 365{,}25 \times 24 \times 3\,600\text{ s} \simeq 3{,}156 \times 10^7\text{ s}, avec la valeur estimée à la question Q11 :

• j_{\mathrm{corr}} \simeq 4{,}3 \times 10^{-5}\text{ A}\cdot\text{cm}^{-2} = 4{,}3 \times 10^{-1}\text{ A}\cdot\text{m}^{-2} ;
• M_{\mathrm{Al}} = 27{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 27{,}0 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• \rho_{\mathrm{Al}} = 2{,}72 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• \mathcal{F} = 96{,}5 \times 10^3\text{ C}\cdot\text{mol}^{-1}.

On obtient une vitesse de régression :

D'où l'épaisseur consommée en une année :

1. Confrontation aux résultats de la question précédente

D'après la question Q12, la vitesse de consommation de l'aluminium était estimée à :

Au bout de \Delta t = 3\text{ ans}, l'épaisseur consommée serait donc de :

Or, l'anode a une épaisseur de 3\text{ cm} = 30\text{ mm}. D'après ce modèle, il faudrait plus de 60 ans pour la consommer entièrement. Il y a donc une divergence manifeste avec la recommandation du constructeur de renouveler les anodes tous les 3 ans.

2. Explication des divergences

Cette divergence s'explique principalement par les hypothèses simplificatrices faites en Q11 et Q12 :

• L'effet de surface (S_{\text{acier}} \gg S_{\mathrm{Al}}) : La question Q11 supposait des surfaces égales (S_{\text{acier}} = S_{\mathrm{Al}}). En réalité, la bouée est une sphère de diamètre D = 70\text{ cm}, dont la surface totale vaut :

  S_{\text{sphère}} = \pi D^2 \approx \pi \times (70)^2 \approx 1{,}5 \times 10^4\text{ cm}^2

  Même si la bouée n'est que partiellement immergée (par exemple à moitié), la surface d'acier immergée est de l'ordre de :

  S_{\text{acier}} \approx \frac{1}{2}\pi D^2 \approx 7{,}7 \times 10^3\text{ cm}^2

  La surface d'une anode n'étant que de S_{\mathrm{Al}} \approx 30\text{ cm}^2, le rapport des surfaces est considérable :

  \frac{S_{\text{acier}}}{S_{\mathrm{Al}}} \sim 250 \text{ à } 500

  L'égalité des courants globaux imposes :

  I_a = I_c \implies j_{\mathrm{Al}} \, S_{\mathrm{Al}} = |j_{\text{acier}}| \, S_{\text{acier}} \implies j_{\mathrm{Al}} = |j_{\text{acier}}| \times \frac{S_{\text{acier}}}{S_{\mathrm{Al}}}

  La densité de courant traversant l'anode est donc plusieurs centaines de fois supérieure à celle calculée en Q11, ce qui multiplie la vitesse de dissolution de l'aluminium d'autant.

• L'agitation du milieu marin (effet de la houle) : Comme mis en évidence aux questions Q8 et Q9 (tableau 1), la vitesse d'écoulement du fluide autour de la coque augmente la densité de courant limite de diffusion du dioxygène |j_{\text{lim}}| d'un facteur 10 à 50 (passant d'environ 1{,}8 \times 10^{-5}\text{ A}\cdot\text{cm}^{-2} au repos à plus de 8{,}5 \times 10^{-4}\text{ A}\cdot\text{cm}^{-2} pour un écoulement à 5\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}). Le courant cathodique global est donc considérablement accru en mer.
• Marge de sécurité et intégrité mécanique : Le constructeur prévoit une marge de sécurité importante : l'anode doit être remplacée bien avant d'être totalement consommée afin d'éviter tout amorçage de piqûres de corrosion sur la coque en inox, et de prévenir une rupture mécanique de l'anode fragilisée par l'érosion.

On étudie le solide de volume V et de masse volumique \rho, entièrement immergé dans le liquide au repos de masse volumique \rho_\ell, dans le référentiel terrestre \mathcal{R}_T supposé galiléen.

On oriente la verticale ascendante par le vecteur unitaire \vec{u}_z, de sorte que le champ de pesanteur s'écrit \vec{g} = -g\,\vec{u}_z.

Le solide est soumis à deux forces à distance et de contact :

• son poids :

  \vec{P} = m\,\vec{g} = \rho\,V\,\vec{g} = -\rho\,V g\,\vec{u}_z

• la résultante des forces de pression exercées par le fluide, donnée par le principe d'Archimède (opposée au poids du volume de fluide déplacé) :

  \vec{\Pi} = -\rho_\ell\,V\,\vec{g} = +\rho_\ell\,V g\,\vec{u}_z

La résultante des forces appliquées au solide totalement immergé s'écrit :

D'après le principe fondamental de la dynamique, le mouvement vertical du solide dépend du signe de la projection de cette résultante sur l'axe ascendant \vec{u}_z :

• Si \rho < \rho_\ell : la poussée d'Archimède l'emporte sur le poids (\vec{F}_{\mathrm{res}} \cdot \vec{u}_z > 0). La résultante est dirigée vers le haut : le solide remonte vers la surface libre jusqu'à atteindre un état d'équilibre où il flotte partiellement émergé.
• Si \rho > \rho_\ell : le poids l'emporte sur la poussée d'Archimède (\vec{F}_{\mathrm{res}} \cdot \vec{u}_z < 0). La résultante est dirigée vers le bas : le solide accélère vers le bas et coule jusqu'au fond.
• Si \rho = \rho_\ell : le poids compense exactement la poussée d'Archimède (\vec{F}_{\mathrm{res}} = \vec{0}). Le solide est en équilibre indifférent entre deux eaux (flottabilité nulle).

Dans le référentiel \mathcal{R}, animé d'un mouvement de translation d'accélération \vec{a}_e par rapport au référentiel galiléen \mathcal{R}_T, un élément de volume \mathrm{d}V de fluide de masse \mathrm{d}m = \rho_\ell\,\mathrm{d}V est au repos (\vec{v}_r = \vec{0}, donc la force d'inertie de Coriolis est nulle) et subit :

• son poids : \mathrm{d}\vec{P} = \mathrm{d}m\,\vec{g} ;
• la force d'inertie d'entraînement : \mathrm{d}\vec{f}_{ie} = -\mathrm{d}m\,\vec{a}_e.

La force volumique à distance s'écrit donc :

où \vec{g}_{\mathrm{eff}} = \vec{g} - \vec{a}_e est le champ de pesanteur effectif (ou pesanteur apparente).

À l'équilibre dans \mathcal{R}, l'équation fondamentale de la statique des fluides devient :

La résultante des forces de pression exercées sur un corps occupant un volume V s'obtient à l'aide de la formule du gradient (théorème de Green-Ostrogradski) :

Il faut donc modifier le principe d'Archimède en remplaçant le poids du fluide déplacé par son poids effectif (ou apparent) dans \mathcal{R}, c'est-à-dire en substituant le champ de pesanteur effectif \vec{g}_{\mathrm{eff}} = \vec{g} - \vec{a}_e au champ de pesanteur \vec{g} :

L'énoncé du principe d'Archimède devient : « Soit un fluide en équilibre dans un référentiel en translation d'accélération \vec{a}_e par rapport à un référentiel galiléen. Un corps entièrement immergé subit de la part du fluide des forces de pression dont la somme est égale à l'opposé du poids effectif du fluide déplacé : \vec{\Pi} = -m_{\mathrm{fd}}\,(\vec{g} - \vec{a}_e). Cette force s'applique au centre de masse du fluide déplacé. »

Le système \Sigma est constitué de la réunion des trois solides S_0, S_1 et S_2.

Chaque solide S_i (i \in \{0, 1, 2\}) est homogène, de volume V_i, de masse volumique \rho_i et de centre de masse G_i. Il est soumis à :

• son poids, appliqué en G_i :

  \vec{P}_i = m_i \vec{g} = \rho_i V_i \vec{g}

• la poussée d'Archimède due au liquide environnant de masse volumique \rho_\ell, appliquée au centre de masse du fluide déplacé, c'est-à-dire également en G_i par homogénéité :

  \vec{\Pi}_i = -\rho_\ell V_i \vec{g}

La force nette d'origine gravitaire et de pression subie par le sous-système S_i s'écrit donc en G_i :

D'après l'énoncé, pour cette sous-partie, la masse volumique du solide S_0 est rigoureusement égale à celle du fluide : \rho_0 = \rho_\ell. On a donc :

Le solide S_0 est en flottabilité neutre.

Résultante des forces La résultante \vec{R} des forces de pesanteur et de pression s'exerçant sur \Sigma vaut :

soit :

Moment en C des forces Le moment en C est la somme des moments des forces élémentaires équivalentes appliquées en chaque point G_i :

On obtient, en factorisant par \wedge\,\vec{g} :

D'après la question Q16, la résultante des forces de pesanteur et de pression (poussée d'Archimède) s'exerçant sur l'ensemble \Sigma, compte tenu de l'égalité \rho_0 = \rho_\ell, s'écrit :

Les deux sous-systèmes ont des effets contraires :

• pour S_1, \rho_1 < \rho_\ell, la force apparente (\rho_1 - \rho_\ell)V_1\vec{g} est dirigée vers le haut (propension à flotter) ;
• pour S_2, \rho_2 > \rho_\ell, la force apparente (\rho_2 - \rho_\ell)V_2\vec{g} est dirigée vers le bas (propension à couler).

Ces deux effets antagonistes se compensent exactement lorsque la résultante globale est nulle :

soit encore :

D'après la question Q16, le moment en C des forces de pesanteur et de pression appliquées à \Sigma s'écrit :

La condition de compensation établie à la question Q17 s'écrit :

En reportant cette égalité dans l'expression du moment, il vient :

D'après la relation de Chasles, \overrightarrow{CG_2} - \overrightarrow{CG_1} = \overrightarrow{G_1C} + \overrightarrow{CG_2} = \overrightarrow{G_1G_2}, d'où :

On identifie ainsi l'expression cherchée :

avec :

La situation électrostatique analogue est celle d'un dipôle électrostatique rigide placé dans un champ électrique extérieur uniforme \vec{E}.

Ce dipôle est constitué de deux charges ponctuelles opposées :

• une charge négative -q (avec q > 0) située au point G_1 ;
• une charge positive +q située au point G_2.

La charge totale du dipôle étant nulle, la résultante des forces électrostatiques est nulle :

Par conséquent, le moment résultant des forces électrostatiques ne dépend pas du point d'évaluation C et s'écrit :

où \vec{p} = q\,\overrightarrow{G_1G_2} est le moment dipolaire électrostatique.

L'analogie terme à terme avec la relation \vec{\Gamma}_C = M_m\,\overrightarrow{G_1G_2} \wedge \vec{g} établie à la question Q18 se décline ainsi :

D'après la question Q18, le moment résultant en C des actions volumiques (pesanteur et poussée d'Archimède) s'écrit :

puisque \rho_2 > \rho_0 = \rho_\ell.

Le système \Sigma est astreint à pivoter autour de l'axe (C, \vec{u}_y) orthogonal au plan de la figure.

1. Positions d'équilibre :

L'annulation du moment des forces par rapport à l'axe impose :

car le vecteur \overrightarrow{G_1G_2} est confiné dans le plan (\vec{u}_x, \vec{u}_z). Le vecteur \overrightarrow{G_1G_2} est donc nécessairement vertical (colinéaire à \vec{g}) à l'équilibre, ce qui correspond à deux orientations possibles :

• soit \overrightarrow{G_1G_2} est colinéaire et de même sens que \vec{g} (G_1 au-dessus de G_2) ;
• soit \overrightarrow{G_1G_2} est colinéaire et de sens opposé à \vec{g} (G_2 au-dessus de G_1).

2. Stabilité de l'équilibre :

Par analogie avec l'énergie potentielle d'un dipôle électrostatique dans un champ uniforme \mathcal{E}_p = -\vec{p} \cdot \vec{E}, l'énergie potentielle du système s'écrit :

où \alpha = (\widehat{\vec{g}, \overrightarrow{G_1G_2}}). L'énergie potentielle est minimale pour \alpha = 0, c'est-à-dire lorsque \overrightarrow{G_1G_2} est de même sens que \vec{g}.

Ainsi, à l'équilibre stable, G_1 est situé au-dessus de G_2.

3. Vérification de la cohérence par analyse mécanique directe :

Sur le sous-système S_1, la poussée d'Archimède l'emporte sur le poids (\rho_1 < \rho_\ell), d'où une force résultante nette dirigée vers le haut :

Sur le sous-système S_2, le poids l'emporte sur la poussée d'Archimède (\rho_2 > \rho_\ell), d'où une force résultante nette dirigée vers le bas :

Ces deux forces constituent un couple de forces de résultante nulle.

Comme illustré ci-dessus :

• Lorsque G_1 est en haut et G_2 en bas, une inclinaison d'un angle \theta génère un couple qui tend à ramener le système vers la verticale : l'équilibre est stable.
• Dans la situation inverse où G_2 (plus dense) est en haut et G_1 (moins dense) en bas, le couple créé accentue l'inclinaison : l'équilibre est instable.

D'après la question Q20, le système \Sigma atteint sa position d'équilibre stable lorsque le vecteur \overrightarrow{G_1G_2} s'aligne verticalement avec le champ de pesanteur \vec{g}. Pour que la plateforme \mathcal{D} soit alors rigoureusement horizontale (et donc que l'axe \vec{u}_z de l'accéléromètre soit parfaitement vertical), il est nécessaire que la normale au disque \mathcal{D} soit exactement colinéaire à la droite (G_1G_2).

En pratique, les inévitables asymétries de fabrication et la présence de l'accéléromètre induisent un léger décalage latéral du centre de masse G_2 par rapport à l'axe de symétrie du dispositif.

La vis métallique \mathcal{V}, de masse volumique \rho_2 > \rho_0, peut être vissée ou dévissée, ce qui déplace sa masse le long d'une direction horizontale (de droite à gauche sur la figure 3). Ce déplacement permet de déplacer la position de G_2 selon l'axe horizontal et constitue ainsi un réglage d'équilibrage statique fin (ou masselotte de compensation) : en ajustant la vis, on fait coïncider la direction de \overrightarrow{G_1G_2} avec la normale au disque \mathcal{D}, assurant ainsi la parfaite horizontalité de la plateforme au repos.

On étudie le solide \Sigma_0 suspendu au point fixe O par un fil inextensible et sans masse de longueur \ell, dans le référentiel terrestre \mathcal{R}_T supposé galiléen.

Dans la base orthonormée directe (\vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z), le vecteur position de \Sigma_0 s'écrit, compte tenu de l'orientation de \theta définie autour de l'axe \vec{u}_y (voir figure 5) :

La vitesse de \Sigma_0 est donc :

L'inertie du solide entraînant le fluide environnant étant modélisée par la masse effective m_{\mathrm{eff}}, son moment cinétique par rapport au point fixe O s'écrit :

Comme \vec{u}_x \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_y et \vec{u}_z \wedge \vec{u}_x = \vec{u}_y, il vient :

Le solide \Sigma_0 est soumis aux actions suivantes :

• son poids réel : \vec{P} = \rho_0 V_0 \vec{g} = -\rho_0 V_0 g\,\vec{u}_z ;
• la poussée d'Archimède : \vec{\Pi} = -\rho_\ell V_0 \vec{g} = +\rho_\ell V_0 g\,\vec{u}_z ;
• la tension du fil \vec{T}, dirigée selon la droite (O\Sigma_0), dont le moment en O est nul : \vec{\mathcal{M}}_O(\vec{T}) = \vec{0}.

La résultante du poids et de la poussée d'Archimède s'exprime à l'aide de la masse apparente m_{\mathrm{app}} = (\rho_0 - \rho_\ell)V_0 :

Le moment en O de cette résultante vaut :

D'après le théorème du moment cinétique appliqué en O dans le référentiel galiléen \mathcal{R}_T :

En projetant sur l'axe (O,\vec{u}_y) :

Dans l'approximation des petits angles (\sin\theta \simeq \theta), on obtient l'équation différentielle :

Par identification avec la forme canonique \ddot{\theta} + \omega_0^2 \theta = 0 où \omega_0 = \sqrt{\dfrac{g}{\ell_{\mathrm{eff}}}}, on en déduit :

et par conséquent :

En l'absence de liquide (dans le vide), la poussée d'Archimède est nulle et aucun fluide n'est entraîné : m_{\mathrm{eff}} = m = \rho_0 V_0 et m_{\mathrm{app}} = \rho_0 V_0, d'où \ell_{\mathrm{eff}} = \ell. La période propre du pendule dans le vide vaut ainsi :

D'après le résultat de la question Q22, la période propre en présence de liquide s'écrit :

Le rapport des périodes propres s'en déduit directement :

D'après les hypothèses de l'énoncé, la masse volumique du liquide est inférieure de 1\,\% à celle du solide :

La masse apparente vaut donc :

La masse effective s'écrit quant à elle :

Le rapport des masses vaut par conséquent :

On en déduit :

La période propre d'un pendule simple de longueur \ell_{\mathrm{eff}} dans le vide s'écrit :

Pour \ell_{\mathrm{eff}} = 400\text{ m} et g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, l'application numérique donne :

La valeur annoncée de 40\text{ s} est donc parfaitement cohérente avec la longueur effective de 400\text{ m}.

D'après les questions Q22 et Q23, la longueur effective est liée à la longueur réelle \ell du fil de suspension par :

On en déduit une estimation de la longueur réelle \ell :

1. Poussée d'Archimède :

   Dans le référentiel \mathcal{R}_S, en translation rectiligne d'accélération \vec{a}(t) = a(t)\,\vec{u}_x par rapport au référentiel terrestre galiléen \mathcal{R}_T, le champ de pesanteur effectif auquel est soumis le fluide s'écrit, d'après le résultat de la question Q15 :

   \vec{g}_{\mathrm{eff}} = \vec{g} - \vec{a}(t)

   Le fluide étant à l'équilibre dans \mathcal{R}_S, la résultante des forces de pression exercées sur le solide immergé \Sigma_0 de volume V_0 s'obtient en remplaçant \vec{g} par \vec{g}_{\mathrm{eff}} dans l'expression de la poussée d'Archimède :

   \boxed{\vec{\Pi} = -\rho_\ell V_0 \big(\vec{g} - \vec{a}(t)\big) = -\rho_\ell V_0\,\vec{g} + \rho_\ell V_0 a(t)\,\vec{u}_x}

2. Force d'inertie liée au mouvement de \mathcal{R}_S :

   Le référentiel \mathcal{R}_S étant en translation par rapport au référentiel galiléen \mathcal{R}_T avec le vecteur rotation instantanée \vec{\Omega}(\mathcal{R}_S/\mathcal{R}_T) = \vec{0}, la force d'inertie de Coriolis est identiquement nulle (\vec{F}_{ic} = \vec{0}).

   La seule force d'inertie à considérer est donc la force d'inertie d'entraînement \vec{F}_{ie}. En utilisant la masse réelle m = \rho_0 V_0 du solide comme demandé par l'énoncé, elle s'écrit :

   \boxed{\vec{F}_{ie} = - \rho_0 V_0\,\vec{a}(t) = -\rho_0 V_0 a(t)\,\vec{u}_x}

Dans le référentiel \mathcal{R}_S, le solide quasi ponctuel \Sigma_0 est repéré par l'angle \theta. D'après l'orientation indiquée sur la figure 5, le vecteur position s'écrit :

Sa vitesse dans \mathcal{R}_S vaut :

L'inertie de \Sigma_0 tenant compte de l'entraînement du fluide environnant, son moment cinétique par rapport à l'axe (O,\vec{u}_y) est calculé avec la masse effective m_{\mathrm{eff}} :

D'après les résultats de la question Q25, la résultante des forces de pesanteur, d'Archimède et d'inertie d'entraînement s'écrit en introduisant la masse apparente m_{\mathrm{app}} = (\rho_0 - \rho_\ell)V_0 :

Calculons les moments en O projetés sur \vec{u}_y :

• La tension du fil \vec{T} est colinéaire à \overrightarrow{O\Sigma_0}, donc \overrightarrow{O\Sigma_0}\wedge\vec{T} = \vec{0}.

• Le moment de \vec{F}_{\mathrm{vol}} s'exprime par :

  \begin{aligned} \overrightarrow{O\Sigma_0}\wedge \vec{F}_{\mathrm{vol}} &= (-\ell\sin\theta\,\vec{u}_x - \ell\cos\theta\,\vec{u}_z) \wedge (-m_{\mathrm{app}}g\,\vec{u}_z - m_{\mathrm{app}}a(t)\,\vec{u}_x) \\ &= \ell m_{\mathrm{app}}g\sin\theta\,(\vec{u}_x\wedge\vec{u}_z) + \ell m_{\mathrm{app}}a(t)\cos\theta\,(\vec{u}_z\wedge\vec{u}_x) \\ &= \left[-m_{\mathrm{app}}g\ell\sin\theta + m_{\mathrm{app}}a(t)\ell\cos\theta\right]\vec{u}_y \end{aligned}

• Le moment de la force de frottement visqueux \vec{F}_v = -\beta\vec{v} vaut :

  \overrightarrow{O\Sigma_0}\wedge\vec{F}_v = -\beta\,\overrightarrow{O\Sigma_0}\wedge\vec{v} = -\beta\ell^2\dot{\theta}\,\vec{u}_y

Le théorème du moment cinétique scalaire en O appliqué à \Sigma_0 selon l'axe orienté par \vec{u}_y donne :

Dans l'approximation des petits angles (\sin\theta \simeq \theta et \cos\theta \simeq 1), cette équation devient :

En divisant par m_{\mathrm{eff}}\ell^2 et en rappelant que \ell_{\mathrm{eff}} = \dfrac{m_{\mathrm{eff}}}{m_{\mathrm{app}}}\ell et \omega_0^2 = \dfrac{g}{\ell_{\mathrm{eff}}} = \dfrac{m_{\mathrm{app}}g}{m_{\mathrm{eff}}\ell} (question Q22) :

Par identification avec la forme canonique demandée :

on obtient pour le facteur de qualité :

L'équation différentielle établie à la question Q26 est :

En régime sinusoïdal forcé à la pulsation \omega, on utilise la notation complexe :

La dérivation par rapport au temps se traduit par une multiplication par j\omega :

En injectant ces grandeurs complexes dans l'équation différentielle et en simplifiant par \mathrm{e}^{j\omega t}, il vient :

Soit, en isolant l'amplitude complexe \underline{\theta}_m :

On peut également factoriser par \omega_0^2 au dénominateur :

D'après la question Q27, l'amplitude complexe de l'angle d'oscillation est donnée par :

Pour \omega = 0 (régime statique), on a :

Par définition, la fonction de transfert \underline{H}(j\omega) vaut :

On en déduit immédiatement sa forme canonique :

Il s'agit de la fonction de transfert canonique d'un filtre passe-bas d'ordre 2, caractérisé par :

• un gain statique H_0 = 1 (G_{\text{dB}}(0) = 0\text{ dB}) ;
• une pulsation propre \omega_0 et un facteur de qualité Q ;
• une asymptote haute fréquence de pente -40\text{ dB/décade} (\underline{H}(j\omega) \sim -\frac{\omega_0^2}{\omega^2} lorsque \omega \gg \omega_0).

En l'absence de liquide (le pendule oscillant dans l'air avec \rho_{\text{air}} \ll \rho_0) :

• la poussée d'Archimède exercée par l'air est négligeable, de sorte que la masse apparente s'identifie à la masse réelle : m_{\text{app}} = \rho_0 V_0 = m ;
• la masse de fluide entraînée est négligeable, d'où m_{\text{eff}} = m ;

• la longueur effective se réduit à la longueur réelle du fil :

  \ell_{\text{eff}} = \frac{m_{\text{eff}}}{m_{\text{app}}}\ell = \ell

  ce qui conduit à la pulsation propre classique du pendule simple :

  \omega_{0,1} = \sqrt{\frac{g}{\ell}}
• les forces dissipatives étant négligées (\beta = 0), le facteur de qualité devient infini (Q \to +\infty).

D'après le résultat de la question Q28, la fonction de transfert s'écrit :

En substituant \omega_0^2 = g/\ell et en faisant tendre le terme d'amortissement vers zéro (1/Q \to 0), on obtient :

1. Commentaire des diagrammes de Bode (figure 6) :

• Pendule dans l'air (G_1) : la fréquence propre est de l'ordre de f_0 \simeq 1\text{ Hz} (ce qui correspond à \ell \simeq 20\text{ cm}). En l'absence d'amortissement, le gain présente une résonance aiguë infinie à 1\text{ Hz}, située en plein cœur de la bande spectrale de la houle (0{,}03\text{ Hz} \leqslant f \leqslant 1\text{ Hz}). Dans cette plage, le gain est positif ou nul (G_1 \geqslant 0\text{ dB}), ce qui amplifierait considérablement les mouvements du pendule et empêcherait toute mesure correcte.
• Plateforme stabilisée (G) : l'adjonction du liquide augmente considérablement la longueur effective (\ell_{\text{eff}} \simeq 400\text{ m}), abaissant la fréquence propre à f_0 = \frac{1}{T_0} \simeq \frac{1}{40\text{ s}} = 0{,}025\text{ Hz}, tout en introduisant un amortissement visqueux significatif (Q sans pic de résonance). Dans la bande utile de la houle (0{,}03\text{ Hz} \leqslant f \leqslant 1\text{ Hz}), le système fonctionne en régime atténuateur (pente de -40\text{ dB/décade}), avec un gain fortement négatif (G \leqslant -20\text{ dB}). Les accélérations horizontales perturbatrices dues à la houle sont ainsi remarquablement filtrées : la plateforme reste quasi-verticale.

2. Détermination de l'inclinaison maximale \theta_{m,\max} :

D'après les questions Q22 et Q27, l'inclinaison statique à \omega = 0 vaut :

Pour a_0 = 1{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

Sur la courbe en pointillés de la figure 6 (plateforme stabilisée), le gain est une fonction strictement décroissante de la fréquence sur l'intervalle de la houle [0{,}03\text{ Hz}\,;\,1\text{ Hz}]. L'inclinaison maximale est donc atteinte pour la fréquence minimale f_{\min} = 0{,}03\text{ Hz}.

À f = 0{,}03\text{ Hz} (qui se situe légèrement à gauche de l'abscisse 10^{-1}\text{ Hz}), la lecture sur la figure 6 donne :

Le module de la fonction de transfert à cette fréquence vaut donc :

L'inclinaison maximale atteinte sous l'effet de cette houle est ainsi :

Le signal utile correspondant à la houle est contenu dans la bande de fréquences inférieures à 1\text{ Hz}, tandis que le bruit parasite se situe à des fréquences supérieures à 1\text{ Hz}. Il est donc nécessaire de disposer d'un filtre passe-bas afin d'atténuer les composantes haute fréquence tout en conservant les basses fréquences.

Étudions le comportement haute et basse fréquence des filtres proposés :

• À basse fréquence (\omega \to 0) : l'impédance d'un condensateur \underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega} tend vers l'infini ; les condensateurs se comportent comme des circuits ouverts.

  • Pour le filtre A, la présence de condensateurs en série bloque le signal en continu : U_s \to 0 (comportement de type passe-haut).
  • Pour le filtre B, la présence d'au moins une capacité en série bloque également la composante continue : U_s \to 0 (comportement passe-haut ou passe-bande).

  • Pour le filtre C, les deux condensateurs placés en dérivation se comportent comme des circuits ouverts. En sortie ouverte, aucun courant ne circule dans les résistors montés en série, de sorte que la tension de sortie est égale à la tension d'entrée :

    U_s(\omega \to 0) = U

• À haute fréquence (\omega \to \infty) : l'impédance des condensateurs tend vers 0 ; ils se comportent comme des courts-circuits (fils).

  • Pour le filtre C, les deux condensateurs en dérivation court-circuitent la sortie à la masse :

    U_s(\omega \to \infty) = 0

Le filtre C présente donc un gain non nul en basse fréquence (G(0) = 1) et une forte atténuation en haute fréquence : c'est un filtre passe-bas du second ordre.

Le filtre C est constitué d'une entrée soumise à la tension \underline{U}, d'un premier résistor de résistance R relié à un nœud intermédiaire de potentiel complexe \underline{V}_A, d'un premier condensateur d'impédance \underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega} relié à la masse, d'un second résistor de résistance R reliant le nœud A à la sortie, et d'un second condensateur d'impédance \underline{Z}_C relié à la masse aux bornes duquel on prélève la tension de sortie \underline{U}_s. Le circuit n'étant pas chargé en sortie (le courant de sortie est nul), on procède par deux méthodes équivalentes.

Étape 1 : Relation entre \underline{U}_s et \underline{V}_A

La seconde cellule RC forme un diviseur de tension alimenté par \underline{V}_A :

soit :

Étape 2 : Potentiel au nœud intermédiaire A

Appliquons le théorème de Millman au nœud intermédiaire A, relié à la tension d'entrée \underline{U} à travers une conductance 1/R, à la masse à travers l'admittance jC\omega, et au nœud de sortie à travers une conductance 1/R :

En multipliant le numérateur et le dénominateur par R :

Étape 3 : Détermination de la fonction de transfert

En égalant les deux expressions obtenues pour \underline{V}_A :

On développe le membre de gauche avant regroupement des termes :

On obtient ainsi la relation entre \underline{U}_s et \underline{U} sous la forme non simplifiée demandée :

La fonction de transfert s'écrit sous la forme canonique d'un filtre passe-bas du second ordre :

Par identification, on obtient :

Le facteur d'amortissement vérifiant \xi > 1, le système est apériodique (pas de résonance).

Le signal d'intérêt lié à la houle s'étend jusqu'à 1\text{ Hz}, tandis que les composantes de fréquence supérieure à 1\text{ Hz} constituent du bruit parasite à éliminer. On choisit donc une fréquence propre f_0 de l'ordre de 1\text{ Hz} :

Le produit RC recherché vaut donc :

Afin de limiter le courant délivré par l'accéléromètre tout en évitant des impédances excessivement sensibles aux bruits électrostatiques, on choisit une résistance de l'ordre de quelques dizaines à centaines de kilo-ohms et un condensateur de l'ordre du microfarad :

• Par exemple, en fixant C = 1{,}0\ \mu\text{F}, on en déduit :

  R = \frac{0{,}16}{1{,}0 \times 10^{-6}} = 160\text{ k}\Omega \quad (\text{valeur normalisée proche : } 150\text{ k}\Omega \text{ ou } 160\text{ k}\Omega)

• Ou en fixant C = 10\ \mu\text{F}, on obtient :

  R \simeq 16\text{ k}\Omega \quad (\text{valeur normalisée : } 15\text{ k}\Omega \text{ ou } 18\text{ k}\Omega)

On peut ainsi retenir le couple de valeurs standards suivant :

1. Équation différentielle du filtre :

La fonction de transfert admise à la question Q32 s'écrit en posant \tau = RC :

Dans le domaine temporel, cette relation harmonique correspond à l'équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants :

D'après la question Q33, on a choisi \tau = RC \simeq \frac{1}{2\pi f_c} \simeq 0{,}159\text{ s} pour une fréquence de coupure f_c \simeq 1\text{ Hz}.

2. Discrétisation temporelle :

Le signal est échantillonné à la période d'échantillonnage :

On note t_k = k T_e, U_k = U(t_k) et U_{Sk} = U_s(t_k). Pour obtenir un filtre numérique causal et stable, on approche les dérivées par différences finies à gauche (Euler rétrograde) :

3. Équation de récurrence (filtre RII) :

En substituant ces approximations dans l'équation différentielle :

En factorisant par les termes en U_{Sk}, U_{S,k-1} et U_{S,k-2}, il vient :

On en déduit l'algorithme numérique récursif :

avec :

Application numérique :

Avec le rapport sans dimension \frac{\tau}{T_e} = 0{,}159 \times 10{,}24 \simeq 1{,}63 :

• 1 + 3(1{,}63) + (1{,}63)^2 \simeq 1 + 4{,}89 + 2{,}66 = 8{,}55
• a_0 = \frac{1}{8{,}55} \simeq \mathbf{0{,}12}
• b_1 = \frac{4{,}89 + 2(2{,}66)}{8{,}55} = \frac{10{,}21}{8{,}55} \simeq \mathbf{1{,}19}
• b_2 = -\frac{2{,}66}{8{,}55} \simeq \mathbf{-0{,}31}

On vérifie la cohérence du gain statique : a_0 + b_1 + b_2 = 0{,}12 + 1{,}19 - 0{,}31 = 1{,}00.

Autre proposition valable (moyenne glissante sur N points) :

On peut également envisager un filtre à réponse impulsionnelle finie (RIF) de type moyenne glissante :

Pour couper les composantes supérieures à f_c \simeq 1\text{ Hz}, on choisit la première annulation du gain en fréquence f_e / N \simeq f_c, soit N \simeq \frac{f_e}{f_c} \simeq 10 points.

L'échantillonnage du signal final à la fréquence f_e = 2{,}56\text{ Hz} impose, en vertu du théorème de Shannon-Nyquist, une fréquence maximale observable sans repliement spectral (fréquence de Nyquist) égale à :

Par ailleurs, le signal étant acquis sur une durée totale d'enregistrement :

la résolution fréquentielle (le pas entre deux composantes spectrales) vaut :

D'un point de vue physique, l'énoncé précise (partie II.D) que la houle présente un spectre utile de fréquences comprises entre 0{,}03\text{ Hz} et 1\text{ Hz}.

L'intervalle complet non redondant accessible par analyse spectrale pour un signal réel est [0 \,;\, f_e/2], soit :

En pratique, pour se focaliser sur le domaine représentatif de la houle tout en respectant la résolution du calcul, il convient d'afficher le spectre sur :

(ou sur l'intervalle complet [0 \,;\, 1{,}28\text{ Hz}] couvrant l'ensemble de la bande de Nyquist).

1. Absence de perte d'information :

Le dispositif des deux bobines de Helmholtz présente une symétrie de révolution autour de l'axe (\Omega, \vec{u}_3). La distribution de courant est donc invariante par toute rotation d'angle \theta autour de cet axe. Par conséquent, en coordonnées cylindriques (r, \theta, x_3), le champ magnétique ne dépend pas de l'angle \theta :

La connaissance du champ dans le demi-plan méridien défini par \theta = 0 (qui correspond au plan (\Omega, \vec{u}_1, \vec{u}_3)) permet de reconstituer l'ensemble du champ dans tout l'espace à trois dimensions par simple rotation d'axe (\Omega, \vec{u}_3). Il n'y a donc aucune perte d'information.

2. Points où la direction du champ est prévisible :

• Sur l'axe (\Omega, \vec{u}_3) (r = 0, soit x_1 = 0 dans la coupe) : Tout plan contenant l'axe (\Omega, \vec{u}_3) coupe les spires perpendiculairement au vecteur densité de courant. Par réflexion par rapport à un tel plan méridien, le vecteur courant est inversé : tout plan contenant (\Omega, \vec{u}_3) est un plan d'antisymétrie pour la distribution de courants (\Pi^*). Le champ magnétique \vec{B}, étant un vecteur axial (ou pseudovecteur), est contenu dans chacun de ces plans. L'axe (\Omega, \vec{u}_3) étant l'intersection de tous les plans méridiens d'antisymétrie, le champ magnétique en tout point de l'axe est nécessairement colinéaire à cet axe :

  \vec{B}(0, x_3) = B_{\text{axe}}(x_3)\,\vec{u}_3

• Dans le plan médiateur des deux bobines (x_3 = 0, soit l'axe (\Omega, \vec{u}_1) dans la coupe) : Puisque les deux bobines sont identiques, de même rayon R_1, situées à égale distance de \Omega (x_3 = \pm R_1/2) et parcourues par des courants de même intensité et de même sens, le plan (\Omega, \vec{u}_1, \vec{u}_2) d'équation x_3 = 0 est un plan de symétrie pour la distribution de courants (\Pi). Le champ magnétique \vec{B} en tout point de ce plan est orthogonal au plan de symétrie :

  \vec{B}(x_1, x_2, 0) = B_3(r, 0)\,\vec{u}_3

  En particulier, le long de la droite (\Omega, \vec{u}_1) représentée sur la figure D, le champ magnétique est rigoureusement parallèle à \vec{u}_3.