Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie MPI 2024

a) Dans un milieu conducteur ohmique isotrope, en régime stationnaire ou quasi-stationnaire, la loi d'Ohm locale s'écrit, en reliant le champ électrique \vec{E} au potentiel électrique V par \vec{E} = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,V :

où \vec{j} est le vecteur densité volumique de courant électrique et \sigma la conductivité électrique du milieu.

En comparant cette relation avec la loi de Darcy :

on identifie directement les analogies suivantes :

• le potentiel hydrique \psi est l'analogue du potentiel électrique V ;
• le vecteur densité de courant de masse \vec{j}_M est l'analogue du vecteur densité de courant électrique \vec{j}.

Par identification formelle entre \vec{j}_M = -\gamma\,\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,\psi et \vec{j} = -\sigma\,\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,V, on définit la conductivité hydraulique \gamma du milieu, analogue de la conductivité électrique \sigma, par :

b) En électrocinétique, le flux du vecteur densité de courant \vec{j} à travers une section (S) définit l'intensité du courant électrique I :

Par analogie, le débit massique D = \iint_{(S)} \vec{j}_M \cdot \mathrm{d}\vec{S} est l'analogue de l'intensité du courant électrique I.

a) Par analogie avec la loi d'Ohm macroscopique régissant un conducteur ohmique en régime continu (V_A - V_B = R \, I), la différence de potentiel hydrique \psi_A - \psi_B > 0 entre les deux extrémités d'un tube de courant parcouru par un débit massique D (orienté de A vers B) s'écrit :

La résistance hydraulique R_H est donc définie par :

b) Déterminons la dimension de la résistance hydraulique à partir des grandeurs de base du Système international :

• Le potentiel hydrique \psi est homogène à une pression, exprimée en pascals (\mathrm{Pa}) :

  [\psi] = \frac{[\text{Force}]}{[\text{Surface}]} = \frac{\mathrm{M \cdot L \cdot T^{-2}}}{\mathrm{L^2}} = \mathrm{M \cdot L^{-1} \cdot T^{-2}} \quad (\text{soit en } \mathrm{kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}})

• Le débit massique D représente une masse par unité de temps :

  [D] = \frac{[\text{Masse}]}{[\text{Temps}]} = \mathrm{M \cdot T^{-1}} \quad (\text{soit en } \mathrm{kg \cdot s^{-1}})

On en déduit la dimension de R_H :

La résistance hydraulique s'exprime donc en :

Considérons une racine cylindrique rectiligne de section s_r, de longueur l_r, d'axe orienté de l'extrémité en contact avec le sol (S) vers la base du tronc (O).

La circulation du champ -\vec{\operatorname{grad}}\,\psi le long de cette racine de S à O s'écrit :

D'après la loi de Darcy introduite en Q1, on a \vec{j}_M = -\gamma_r \vec{\operatorname{grad}}\,\psi, soit -\vec{\operatorname{grad}}\,\psi = \frac{\vec{j}_M}{\gamma_r}. En régime stationnaire, la conservation de la masse impose un écoulement unidimensionnel uniforme le long de la racine : le vecteur \vec{j}_M est colinéaire à \mathrm{d}\vec{\ell} et de norme uniforme dans la section s_r, d'où un débit massique à travers la section D_r = j_M s_r.

On en déduit :

Par identification avec la définition de la résistance hydraulique R_r = \frac{\psi_S - \psi_O}{D_r} (Q2), on obtient :

Le système racinaire est constitué de N racines identiques connectées en parallèle entre le même potentiel d'entrée \psi_S (le sol) et le même potentiel de sortie \psi_O (le point O). Le débit massique total aspiré est la somme des débits de chaque racine : D_{\text{tot}} = N D_r.

La loi d'association en parallèle donne ainsi :

En régime stationnaire, la conservation de la masse d'eau impose que le débit massique D qui traverse successivement le système racinaire, le tronc, le système foliaire et l'interface avec l'atmosphère soit conservé :

Par analogie électrocinétique, un même débit massique (analogue de l'intensité du courant électrique) traversant ces différents milieux implique que les résistances hydrauliques associées sont connectées en série.

Le système racines-tronc-feuilles-atmosphère est donc équivalent à quatre résistances en série soumises à la différence de potentiel hydrique globale \psi_S - \psi_{\text{atm}} :

La résistance hydraulique totale de l'arbre et de son interface s'écrit ainsi :

D'après l'étude menée à la question Q4, le pin et l'interface feuille-atmosphère sont traversés par un même flux d'eau de débit massique D en régime stationnaire. Par analogie avec la loi d'Ohm, on a :

où :

• \Delta \psi_p = \psi_{\text{sol}} - \psi_{\text{feuilles}} est la différence de potentiel hydrique aux bornes du pin (depuis le sol au contact des racines jusqu'aux aiguilles sommitales) ;
• \Delta \psi_a = \psi_{\text{feuilles}} - \psi_{\text{atm}} est la différence de potentiel hydrique à l'interface feuille-atmosphère.

On en déduit l'expression de la résistance hydraulique R_a :

D'après la figure 2, les potentiels hydriques valent :

Ce qui donne les écarts de potentiel suivants :

Avec R_p = 1{,}0 \cdot 10^9\text{ S.I.} :

En régime stationnaire, le débit massique D traversant chaque élément en série du système est constant. D'après la définition de la résistance hydraulique (question Q2) appliquée à l'ensemble du pin entre le sol (\psi_{\mathrm{S}}) et le sommet foliaire (\psi_{\mathrm{f}}) :

D'après la figure 2 :

d'où :

Pendant une durée journalière d'exposition solaire \Delta t = 12\text{ h} = 12 \times 3\,600\text{ s} = 4,32 \cdot 10^4\text{ s}, la masse d'eau évapo-transpirée par le pin est :

D'après la question Q6, la masse d'eau évapo-transpirée par un pin adulte au cours d'une journée d'été est :

Pour un peuplement de N = 300\text{ pins} par hectare, la masse totale d'eau M_{\text{ha}} évapo-transpirée par hectare et par jour s'écrit :

En réalisant l'application numérique :

Cette valeur de 19\text{ tonnes} est bien comprise dans l'intervalle de 15\text{ à } 25\text{ tonnes} par jour fourni par le C.N.P.F.

Les valeurs du C.N.P.F. sont donc en excellent accord avec le résultat calculé en Q6.

L'allure du diagramme des phases (p, T) d'un corps pur comme l'eau présente les trois domaines de stabilité monophasique (solide, liquide et gaz) séparés par trois courbes d'équilibre diphasique qui se rejoignent en un point commun :

Les deux points particuliers requis par l'énoncé sont :

• Le point triple \mathrm{T} : unique état thermodynamique où les trois phases (solide, liquide, vapeur) coexistent simultanément en équilibre sous la variance nulle v = 1 - 3 + 2 = 0. Pour l'eau pure : T_{\text{t}} \approx 273{,}16\text{ K} (0{,}01\text{ }^\circ\text{C}) et p_{\text{t}} \approx 611\text{ Pa} \approx 6{,}1\times 10^{-3}\text{ bar}.
• Le point critique \mathrm{C} : extrémité supérieure de la courbe de vaporisation liquide-gaz. En ce point, les masses volumiques et enthalpies des phases liquide et gazeuse deviennent identiques (la distinction liquide/gaz disparaît). Au-delà (T > T_{\text{c}} et p > p_{\text{c}}), le milieu est un fluide supercritique. Pour l'eau pure : T_{\text{c}} \approx 647\text{ K} (374\text{ }^\circ\text{C}) et p_{\text{c}} \approx 221\text{ bar}.

D'après l'énoncé, le pinène a pour formule brute \mathrm{C}_{10}\mathrm{H}_{16}. Sa masse molaire vaut :

À l'équilibre de vaporisation à la température T = 293\text{ K}, la pression partielle du pinène gazeux dans le local est égale à sa pression de vapeur saturante :

En assimilant la vapeur de pinène à un gaz parfait occupant un volume V, on a :

La concentration massique de pinène dans l'air, notée C_m, s'exprime donc par :

Application numérique avec p_p = 430\text{ Pa}, M = 136\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}, R = 8,31\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} et T = 293\text{ K} :

La concentration à l'équilibre dépasse largement la teneur limite admissible de 5\text{ g}\cdot\text{m}^{-3} (près de 5 fois plus élevée). Il est donc dangereux de travailler dans un local fermé à 20\text{ }^\circ\text{C} où se trouve de la térébenthine à l'équilibre de vaporisation ; une ventilation efficace est indispensable.

Un corps pur liquide entre en ébullition à la pression extérieure P^\circ lorsque sa pression de vapeur saturante devient égale à cette pression extérieure :

Sur la figure 5, chaque subdivision élémentaire de l'axe des abscisses représente 1\text{ K}. On repère l'intersection de la droite horizontale d'ordonnée p = 1{,}00\text{ bar} avec la courbe p_p(T) du pinène pur :

(une lecture comprise entre 432\text{ K} et 434\text{ K} est tout à fait acceptable).

L'eau et le pinène liquides étant non miscibles, chaque liquide exerce indépendamment sa propre pression de vapeur saturante dans la phase gazeuse à la température T du milieu :

D'après la loi de Dalton pour un mélange gazeux idéal, la pression totale dans l'alambic vaut :

L'ébullition du mélange se produit dès que la pression totale de vapeur atteint la pression atmosphérique extérieure P^\circ = 1\text{ bar} :

Sur la figure 5, on repère l'intersection de la courbe p_e(T) + p_p(T) avec la droite horizontale p = 1{,}00\text{ bar}. On lit en abscisse :

D'après l'énoncé, les deux liquides étant non miscibles, la phase vapeur à l'équilibre d'ébullition sous P^\circ = 1\text{ bar} est un mélange idéal de gaz dont les pressions partielles P_e et P_p vérifient :

avec P_e + P_p = P^\circ = 1{,}00\text{ bar}.

D'après le résultat de la question Q11, la température d'ébullition du mélange vaut :

Par lecture graphique sur la figure 5 à cette température :

• sur la courbe de l'eau pure p_e(T), on lit :

  \boxed{P_e \approx 0{,}85\text{ bar} = 8{,}5 \cdot 10^4\text{ Pa}} \quad (\pm 0{,}01\text{ bar})

• sur la courbe du pinène pur p_p(T), on lit :

  \boxed{P_p \approx 0{,}15\text{ bar} = 1{,}5 \cdot 10^4\text{ Pa}} \quad (\pm 0{,}01\text{ bar})

On vérifie bien que la somme de ces pressions partielles redonne la pression totale imposée :

Dans le mélange gazeux issu de l'alambic et entraîné vers le condenseur, les deux espèces sont assimilées à des gaz parfaits. Pour un même volume V de vapeur à la température T_{\text{eb}}, les quantités de matière d'eau n_e et de pinène n_p s'écrivent :

Le rapport molaire dans la phase gazeuse est donc égal au rapport des pressions partielles :

Les masses correspondantes m_e et m_p produites sont reliées aux quantités de matière par leurs masses molaires M_e et M_p :

On en déduit l'expression de la masse d'eau nécessaire :

D'après les données de l'énoncé :

• Pour l'eau \mathrm{H_2O} : M_e = 2 \times 1 + 16 = 18\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• Pour le pinène \mathrm{C_{10}H_{16}} : M_p = 10 \times 12 + 16 \times 1 = 136\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• D'après la question Q12 : p_e \approx 0{,}85\text{ bar} et p_p \approx 0{,}15\text{ bar} ;
• m_p = 1{,}0\text{ kg}.

Application numérique :

On étudie la jambe gauche (j_{\mathrm{g}}), solide indéformable de masse m_{\mathrm{j}}, dans le référentiel lié au buste, supposé galiléen selon l'énoncé.

Dans ce référentiel, le point F_{\mathrm{g}} (pivot fémoral) est fixe. La jambe est en rotation autour de l'axe fixe \Delta = (F_{\mathrm{g}} y), orienté par \vec{u}_y.

D'après la figure 7b, \theta(t) désigne l'écart angulaire de la jambe par rapport à la verticale descendante (l'énoncé mentionne par inadvertance la « verticale ascendante », mais la figure 7b ainsi que le caractère oscillatoire de la phase confirment qu'il s'agit de la verticale descendante passant par F_{\mathrm{g}}).

• Moment cinétique : le moment d'inertie de la jambe par rapport à l'axe (F_{\mathrm{g}} y) étant noté J_F, la projection du moment cinétique sur cet axe s'écrit :

  \sigma_{\Delta} = J_F \, \dot{\theta}(t)

• Bilan des actions mécaniques extérieures :

  • L'action de la liaison pivot en F_{\mathrm{g}}, dont le moment par rapport à l'axe de rotation est nul car la liaison est supposée parfaite : \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{R}) = 0.
  • Le poids \vec{P} = m_{\mathrm{j}}\vec{g} = -m_{\mathrm{j}}g\vec{u}_z, s'appliquant au centre de masse G_{\mathrm{jg}}, situé à la distance F_{\mathrm{g}}G_{\mathrm{jg}} = \Delta du pivot.

• Moment scalaire du poids : Avec \vec{F_{\mathrm{g}}G_{\mathrm{jg}}} = \Delta \sin\theta \, \vec{u}_x - \Delta \cos\theta \, \vec{u}_z, le moment du poids par rapport à F_{\mathrm{g}} vaut :

  \begin{aligned} \vec{\mathcal{M}}_{F_{\mathrm{g}}}(\vec{P}) &= \vec{F_{\mathrm{g}}G_{\mathrm{jg}}} \times \vec{P} \\ &= (\Delta \sin\theta \, \vec{u}_x - \Delta \cos\theta \, \vec{u}_z) \times (-m_{\mathrm{j}}g\vec{u}_z) \\ &= - m_{\mathrm{j}} g \Delta \sin\theta \, (\vec{u}_x \times \vec{u}_z) \end{aligned}

  Le poids exerce un couple de rappel qui tend à ramener la jambe vers la position verticale d'équilibre \theta = 0. Sa projection sur l'axe de rotation s'écrit donc :

  \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{P}) = - m_{\mathrm{j}} g \Delta \sin\theta

En appliquant le théorème du moment cinétique projeté sur l'axe (F_{\mathrm{g}} y) :

On obtient ainsi l'équation différentielle régissant le mouvement d'oscillation :

D'après la question Q14, l'équation différentielle régissant l'oscillation libre de la jambe gauche (j_{\mathrm{g}}) s'écrit :

Dans l'approximation des petits angles, on a \sin\theta(t) \simeq \theta(t), ce qui conduit à l'équation d'un oscillateur harmonique :

On en déduit l'expression de la pulsation d'oscillation :

La période propre associée à ces oscillations libres est :

Durant la phase d'oscillation gauche, la jambe est libérée en arrière en \theta = -\theta_{\mathrm{a}} avec une vitesse angulaire nulle et oscille jusqu'à atteindre l'avant en \theta = +\theta_{\mathrm{a}} où elle reprend appui au sol. Ce mouvement d'un extremum à l'extremum opposé constitue une demi-oscillation (ou un aller simple), de sorte que la durée \tau_{\mathrm{os}} correspond à une demi-période :

Soit, en fonction des grandeurs du problème :

L'énergie mécanique du marcheur est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle de pesanteur du système (\Sigma) = \{(j_{\mathrm{d}}), (j_{\mathrm{g}}), (b)\} :

1. Bilan d'énergie cinétique :

• Le buste (b) est animé d'un mouvement de translation quasi-uniforme de vitesse V_{\mathrm{dc}} constante, donc sa variation d'énergie cinétique est négligée : \Delta E_{\mathrm{c}}(b) = 0.

• La jambe droite (j_{\mathrm{d}}) est en rotation autour de l'axe fixe O_{\mathrm{d}}y. Sa vitesse angulaire valant \Omega(0) = 0 à t = 0 et \Omega(\tau_{\mathrm{dc}}) à t = \tau_{\mathrm{dc}}, on a :

  \Delta E_{\mathrm{c}}(j_{\mathrm{d}}) = \frac{1}{2} J_O \Omega(\tau_{\mathrm{dc}})^2 - \frac{1}{2} J_O \Omega(0)^2 = \frac{1}{2} J_O \Omega(\tau_{\mathrm{dc}})^2

• D'après l'énoncé, les variations d'énergie cinétique des deux jambes sont supposées égales :

  \Delta E_{\mathrm{c}}(j_{\mathrm{g}}) = \Delta E_{\mathrm{c}}(j_{\mathrm{d}}) = \frac{1}{2} J_O \Omega(\tau_{\mathrm{dc}})^2

La variation totale d'énergie cinétique vaut donc :

2. Bilan d'énergie potentielle de pesanteur :

• Les variations d'énergie potentielle de pesanteur des deux jambes sont négligées : \Delta E_{\mathrm{pp}}(j_{\mathrm{d}}) \approx 0 et \Delta E_{\mathrm{pp}}(j_{\mathrm{g}}) \approx 0.

• Le centre de masse G_b du buste subit une élévation d'altitude h = z_{G_b}(\tau_{\mathrm{dc}}) - z_{G_b}(0) dans le champ de pesanteur uniforme, d'où :

  \Delta E_{\mathrm{pp}}(b) = m_b g h

La variation d'énergie potentielle totale s'écrit alors :

En sommant les deux contributions, on obtient :

Cette relation découle du théorème de l'énergie mécanique (ou théorème de la puissance mécanique sous forme intégrée).

Énoncé du théorème de l'énergie mécanique : Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie mécanique \Delta\mathcal{E} d'un système matériel entre deux instants t_1 et t_2 est égale à la somme des travaux de l'ensemble des forces non conservatives (extérieures et intérieures) appliquées au système entre ces deux instants :

Dans le cas du marcheur (\Sigma) :

• les forces de pesanteur dérivent d'une énergie potentielle déjà incluse dans \mathcal{E} ;
• les forces de réaction du sol ne travaillent pas (contact sans glissement) ;
• la seule contribution non conservative provient des actions musculaires (efforts intérieurs), développant une puissance \mathcal{P}_{\mathrm{nc}} = \mathscr{P}.

En supposant cette puissance \mathscr{P} constante au cours de la phase de double contact de durée \tau_{\mathrm{dc}}, il vient :

ce qui conduit immédiatement à l'évaluation proposée :

D'après la question Q16, la variation d'énergie mécanique de l'ensemble marcheur (\Sigma) pendant la phase de double contact vaut :

D'après la question Q17, la puissance musculaire moyenne s'écrit :

D'après les hypothèses du préambule de la section III.2, la vitesse moyenne de translation du buste est liée au pas p et à la durée \tau_{\mathrm{dc}} par :

En utilisant la condition de marche \Omega(\tau_{\mathrm{dc}}) = \omega_{\mathrm{os}} et l'expression de la pulsation propre issue de la question Q15 :

le terme cinétique devient :

En substituant ce terme ainsi que l'expression approchée de la montée du buste h \simeq \frac{p^2}{2l_{\mathrm{j}}}, il vient :

On obtient bien la relation demandée :

D'après l'expression établie à la question Q18 :

Pour une vitesse de translation V_{\mathrm{dc}} donnée, dérivons la fonction \mathscr{P}(p) par rapport à p :

La condition d'extremum \dfrac{\mathrm{d}\mathscr{P}}{\mathrm{d}p} = 0 impose, pour un pas strictement positif (p > 0) :

On vérifie la nature de cet extremum à l'aide de la dérivée seconde :

La fonction \mathscr{P}(p) est strictement convexe sur \mathbb{R}^{+*}, l'extremum est donc un unique minimum absolu, atteint pour :

D'après la question Q19, l'expression générale du pas optimal minimisant la puissance musculaire s'écrit :

En injectant les conditions du modèle à répartition de masse uniforme, pour lesquelles \Delta = \dfrac{l_{\mathrm{j}}}{2} et J_O = J_F, l'expression se simplifie directement :

Avec l_{\mathrm{j}} = 1\text{ m}, m_{\mathrm{j}} = 10\text{ kg} et m_{\mathrm{b}} = 60\text{ kg} :