Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie MPI 2024 (page 2/2 : Partie III (questions 21 à 22), partie IV, partie V et partie VI)

a) D'après la question Q19, le pas optimal s'écrit :

L'échasse est modélisée comme une tige de longueur l^* et de masse négligeable fixée au pied de la jambe :

• Paramètres inchangés :

  • La masse du buste m_{\mathrm{b}} reste inchangée.
  • La masse de la jambe équivalente reste m_{\mathrm{j}} car la masse de l'échasse est négligée.
  • La position du centre de masse G_{\mathrm{j}} par rapport au pivot fémoral F ne change pas, donc la distance \Delta = F G_{\mathrm{j}} reste inchangée.
  • Le moment d'inertie de la jambe oscillante par rapport à l'axe fémoral Fy reste inchangé (J_F) car la masse de l'échasse est négligeable.

• Paramètres modifiés :

  • La longueur de la jambe en contact avec le sol devient celle de la jambe équivalente :

    l_{\mathrm{j}} \longrightarrow l_{\mathrm{j}}^* = l_{\mathrm{j}} + l^*

  • Le point de rotation au sol n'est plus O mais E (extrémité inférieure de l'échasse), de sorte que le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation au sol est modifié :

    J_O \longrightarrow J_E^*

b) En substituant ces modifications dans l'expression de p_{\mathrm{opt}}, le nouveau pas optimal s'écrit :

En effectuant le quotient avec l'expression de p_{\mathrm{opt}} :

soit :

a) D'après le tableau 1, les moments d'inertie valent respectivement :

Le quotient des moments d'inertie s'écrit donc en fonction du seul rapport \frac{l^*}{l_{\mathrm{j}}} :

En injectant ce rapport dans l'expression établie à la question Q21.b, on obtient :

b) Pour l_{\mathrm{j}} = 1\text{ m} et l^* = 1\text{ m}, le rapport des longueurs vaut \frac{l^*}{l_{\mathrm{j}}} = 1. L'application numérique donne :

Soit :

c) Pendant la phase d'oscillation, la jambe oscille autour de l'axe de son pivot fémoral F_{\mathrm{g}}y. La pulsation associée est donnée par (d'après Q15) :

L'échasse étant modélisée par une tige de masse négligeable fixée à la jambe :

• la masse totale de la jambe mobile reste égale à m_{\mathrm{j}} ;
• la position du centre de masse G_{\mathrm{jg}} par rapport à l'axe fémoral est inchangée, donc la distance \Delta est inchangée ;
• le moment d'inertie par rapport à l'axe fémoral F_{\mathrm{g}}y est inchangé (J_F^* = J_F).

Par conséquent, la pulsation \omega_{\mathrm{os}} ainsi que la durée de la phase oscillante restent inchangées :

d) La vitesse moyenne de déplacement horizontal sur un cycle vérifiant V \propto p_{\mathrm{opt}}\,\omega_{\mathrm{os}}, le rapport des vitesses s'écrit :

Comme \omega_{\mathrm{os}}^* = \omega_{\mathrm{os}}, on en déduit directement :

Commentaire : À puissance musculaire minimisée (conditions optimales), l'utilisation d'échasses de 1\text{ m} permet au berger de multiplier sa vitesse de déplacement par un facteur proche de 3{,}7 (le pas passe typiquement de 0{,}41\text{ m} à plus de 1{,}5\text{ m} pour une même cadence d'oscillation pendulaire des membres). Ce gain spectaculaire de rapidité et d'enjambée pour un moindre coût énergétique justifie pleinement le qualificatif de « marche à pied augmentée ».

Considérons les trois équilibres physico-chimiques mis en jeu en solution aqueuse :

• L'acidité du dihydrogénodiphosphate :

  \mathrm{H_2P_2O_7^{2-} + H_2O \rightleftarrows HP_2O_7^{3-} + H_3O^+} \quad (K_{a1})

• L'acidité du dioxyde de carbone dissous :

  \mathrm{CO_{2,aqueux} + 2\,H_2O \rightleftarrows HCO_3^- + H_3O^+} \quad (K_{a3})

• La dissolution du dioxyde de carbone gazeux :

  \mathrm{CO_2(g) \rightleftarrows CO_{2,aqueux}} \quad (K_s)

La réaction (1) s'écrit comme la combinaison suivante :

soit :

La constante d'équilibre K_1^\circ de la réaction (1) s'exprime donc par :

Application numérique : À 25\text{ }^\circ\text{C} :

D'où :

D'après les données fournies pour les masses molaires atomiques, on calcule les masses molaires de \mathrm{Na_2H_2P_2O_7} et de \mathrm{NaHCO_3} :

La masse totale du sachet est de 15\text{ g}, dont 4\text{ g} d'amidon inerte. La masse cumulée des réactifs actifs vaut donc :

D'après l'équation-bilan (1) :

les réactifs réagissent dans un rapport stœchiométrique 1:1. Pour assurer la stœchiométrie du mélange, il faut donc l'égalité des quantités de matière initiales :

En substituant cette relation dans l'expression de la masse totale :

Applications numériques :

D'après l'équation bilan de la réaction (1) :

une mole de \mathrm{HCO_3^-} (ou de \mathrm{H_2P_2O_7^{2-}}) réagissant totalement produit une mole de dioxyde de carbone gazeux.

La quantité de matière de \mathrm{CO_2} libérée par la réaction totale d'un sachet de levure correspond donc à la quantité initiale calculée à la question Q24 :

En assimilant le dioxyde de carbone à un gaz parfait, le volume V(\mathrm{CO_2}) libéré sous la pression P = 1\text{ bar} = 10^5\text{ Pa} et à la température de cuisson T = 170 + 273 = 443\text{ K} s'écrit :

Application numérique :

a) Attribution des espèces aux courbes :

• Par définition du \mathrm{pH}, [\mathrm{H_3O^+}] = 10^{-\mathrm{pH}}, soit \log\left(\frac{[\mathrm{H_3O^+}]}{C^\circ}\right) = -\mathrm{pH}. Il s'agit d'une droite de pente -1 passant par l'origine (0,0) : c'est la courbe 4.
• Le produit ionique de l'eau donne [\mathrm{OH^-}] = \frac{K_e}{[\mathrm{H_3O^+}]} = 10^{\mathrm{pH}-14}, soit \log\left(\frac{[\mathrm{OH^-}]}{C^\circ}\right) = \mathrm{pH}-14. C'est une droite de pente +1 s'annulant en \mathrm{pH} = 14 : c'est la courbe 5.

• Les espèces phosphorées dérivent du diacide \mathrm{H_2P_2O_7^{2-}}. Selon l'échelle des \mathrm{p}K_a, les formes prédominent par ordre de déprotonation croissante lorsque le \mathrm{pH} augmente :

  • À \mathrm{pH} < \mathrm{p}K_{a1} = 6{,}7, l'acide \mathrm{H_2P_2O_7^{2-}} prédomine : courbe 1.
  • Pour 6{,}7 < \mathrm{pH} < \mathrm{p}K_{a2} = 9{,}3, l'ampholyte \mathrm{HP_2O_7^{3-}} prédomine : courbe 2.
  • À \mathrm{pH} > \mathrm{p}K_{a2} = 9{,}3, la base \mathrm{P_2O_7^{4-}} prédomine : courbe 3.

b) Détermination de C_p : Dans le domaine où l'une des espèces phosphorées est ultra-majoritaire (par exemple pour la courbe 1 entre \mathrm{pH} = 2 et 5), sa concentration est pratiquement égale à la concentration totale C_p. Sur ce palier horizontal, on lit :

D'où la concentration totale en espèces phosphorées :

c) Valeurs théoriques des abscisses des points P et Q :

• Le point \mathrm{P} correspond à l'intersection des courbes 1 et 2, soit [\mathrm{H_2P_2O_7^{2-}}] = [\mathrm{HP_2O_7^{3-}}]. D'après la relation d'Henderson-Hasselbalch appliquée au premier couple acido-basique :

  \mathrm{pH} = \mathrm{p}K_{a1} + \log\left(\frac{[\mathrm{HP_2O_7^{3-}}]}{[\mathrm{H_2P_2O_7^{2-}}]}\right) = \mathrm{p}K_{a1}

  L'abscisse théorique du point \mathrm{P} est donc :

  \boxed{\mathrm{pH}_\mathrm{P} = \mathrm{p}K_{a1} = 6{,}7}

• Le point \mathrm{Q} correspond à l'intersection des courbes 2 et 3, soit [\mathrm{HP_2O_7^{3-}}] = [\mathrm{P_2O_7^{4-}}]. De même, pour le second couple acido-basique :

  \mathrm{pH} = \mathrm{p}K_{a2} + \log\left(\frac{[\mathrm{P_2O_7^{4-}}]}{[\mathrm{HP_2O_7^{3-}}]}\right) = \mathrm{p}K_{a2}

  L'abscisse théorique du point \mathrm{Q} est donc :

  \boxed{\mathrm{pH}_\mathrm{Q} = \mathrm{p}K_{a2} = 9{,}3}

La réaction (1) étant totale et réalisée dans les proportions stœchiométriques (d'après la question Q24), tout le dihydrogénodiphosphate \mathrm{H_2P_2O_7^{2-}} et l'hydrogénocarbonate \mathrm{HCO_3^-} ont réagi. Après dégazage complet du dioxyde de carbone, l'espèce prépondérante apportée en solution est l'ion ampholyte monohydrogénodiphosphate \mathrm{HP_2O_7^{3-}} à la concentration C_p.

D'après l'énoncé, l'état d'équilibre est régi par la réaction de dismutation :

La stœchiométrie de cette réaction impose l'égalité des concentrations des espèces formées :

soit encore :

Sur la figure 8, cette condition correspond à l'abscisse du point d'intersection de la courbe 1 (associée à \mathrm{H_2P_2O_7^{2-}}) et de la courbe 3 (associée à \mathrm{P_2O_7^{4-}}).

Par lecture graphique directe à l'intersection des courbes 1 et 3 :

Une porte logique nand (NON-ET) à deux entrées indépendantes A et B et une sortie S réalise l'opération logique :

La sortie S vaut 0 si et seulement si les deux entrées A et B sont simultanément à l'état haut (1). Sa table de vérité est la suivante :

Lorsque les deux entrées sont reliées entre elles, elles sont soumises au même niveau logique d'entrée, noté E (A = B = E). L'équation logique devient :

La porte se comporte donc comme un inverseur logique (ou porte not / porte NON).

D'après le schéma de l'étage 1 (figure 9) :

• Les tensions u_1(t), u(t) et u_2(t) représentent les potentiels électriques en différents nœuds du circuit par rapport à la masse.
• La résistance R est connectée entre le nœud de potentiel u_1(t) et le nœud de potentiel u_2(t).

• Le condensateur C est connecté entre le nœud de potentiel u(t) (en sortie de la porte 1) et le nœud de potentiel u_2(t). La tension à ses bornes est définie par :

  u_c(t) = u_2(t) - u(t)

Les résistances d'entrée des portes logiques étant infinies et le courant prélevé par l'étage 2 étant négligeable devant les courants de charge du condensateur, aucun courant ne s'échappe vers la porte 2 ni vers la résistance R_{\mathrm{h}}.

En appliquant la loi des nœuds au point de potentiel u_2(t) :

• Le courant issu de la résistance R entrant dans le nœud vaut :

  i_R(t) = \frac{u_1(t) - u_2(t)}{R}

• En convention récepteur pour la tension u_c(t) = u_2(t) - u(t), le courant quittant le nœud à travers le condensateur vers le potentiel u(t) s'écrit :

  i_C(t) = C \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t}

La conservation de la charge au nœud impose i_R(t) = i_C(t), soit :

En retranchant u(t) de part et d'autre :

On obtient bien la forme demandée :

avec le temps caractéristique :

a) D'après la question Q28, la porte NAND dont les deux entrées sont reliées fonctionne comme un inverseur logique (porte NOT).

À l'instant t = 0, la tension d'entrée de la porte 1 est u_1 = V_a. Comme V_a > V_b, l'entrée est au niveau logique « 1 ». Le temps de propagation de la porte étant considéré comme négligeable, la sortie bascule instantanément au niveau logique « 0 », soit :

Tant que u_1 = V_a, la tension à la sortie de la porte 1 reste constante : u(t) = 0\text{ V}. L'équation différentielle établie à la question Q29 devient alors :

La solution générale s'écrit :

Le condensateur étant initialement déchargé, la continuité de la tension à ses bornes impose u_c(0^+) = u_c(0^-) = 0, d'où V_a + A = 0, soit A = -V_a. On obtient :

Par définition de u_c(t) = u_2(t) - u(t), et sachant que u(t) = 0\text{ V} :

b) La résistance d'entrée des portes logiques étant considérée comme infinie, aucun courant ne traverse la résistance de protection R_p. Le potentiel à l'entrée de la porte 2 est donc égal à u_2(t).

Tant que u_2(t) < V_b, l'entrée de la porte 2 est au niveau logique « 0 », ce qui maintient sa sortie à l'état logique « 1 », confirmant la valeur u_1 = V_a.

La fin de validité de cette phase intervient à la date t_b où la tension d'entrée de la porte 2 franchit le seuil de basculement V_b :

En prenant le logarithme népérien, on en déduit :

a) Nouvelle équation différentielle vérifiée par u_c(t) :

À la date t = t_b^-, u_2(t_b^-) = V_b. Lorsque u_2 dépasse V_b, l'entrée de la porte 2 passe au niveau logique « 1 ». Par conséquent :

• La sortie de la porte 2 passe au niveau logique « 0 », soit u_1 = 0.
• L'entrée de la porte 1 (reliée à u_1) passe au niveau logique « 0 », donc sa sortie passe au niveau logique « 1 », soit u = V_a.

En reportant u_1 = 0 et u = V_a dans l'équation différentielle générale \tau \dfrac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t} + u_c = u_1 - u (établie en Q29), on obtient :

b) Expressions de u_c(t) et de u_2(t) pour t_b < t < t'_b :

La solution générale de cette équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants s'écrit :

où A est une constante déterminée par la continuité de la tension aux bornes du condensateur en t = t_b :

D'où -V_a + A = V_b, soit A = V_a + V_b. Ainsi :

Pour t \in ]t_b, t'_b[, la sortie de la porte 1 vaut u(t) = V_a. La relation u_c(t) = u_2(t) - u(t) donne immédiatement :

Soit :

c) Expression de la durée t'_b - t_b :

À t = t_b^+, on a u_2(t_b^+) = V_a + V_b > V_b, ce qui maintient l'entrée de la porte 2 au niveau logique « 1 ».

Puis, u_2(t) décroît exponentiellement vers 0. Le prochain basculement intervient à la date t'_b lorsque la tension d'entrée u_2(t) atteint à nouveau le seuil de basculement V_b par valeurs supérieures :

Il vient :

En prenant le logarithme népérien, on en déduit :

a) À la date t = t'_b, la tension u_2(t) décroît et franchit vers le bas la tension de basculement V_b :

• l'entrée de la porte 2 passe à un niveau logique « 0 » (u_2 < V_b), sa sortie bascule donc à l'état haut : u_1 = V_a ;
• l'entrée de la porte 1 reçoit alors u_1 = V_a > V_b (niveau logique « 1 »), sa sortie bascule donc à l'état bas : u = 0.

D'après l'équation différentielle générale établie à la question Q29, \tau \dfrac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t} + u_c = u_1 - u, l'équation à considérer pour t'_b < t < t''_b est :

Par continuité de la tension aux bornes du condensateur à l'instant du basculement :

La solution générale de l'équation différentielle s'écrit :

La condition initiale en t = t'_b donne V_a + A = V_b - V_a, d'où A = -(2V_a - V_b). On en déduit :

Pendant cet intervalle de temps, la sortie de la porte 1 est à u(t) = 0, d'où u_2(t) = u(t) + u_c(t) = u_c(t) :

b) À l'instant t = {t'_b}^+, la tension u_2({t'_b}^+) = V_b - V_a < 0 est inférieure à V_b. Elle croît ensuite asymptotiquement vers V_a > V_b.

La date de fin de validité t''_b correspond à l'instant où u_2(t) atteint à nouveau le seuil de basculement V_b :

Soit :

On obtient finalement :

D'après les résultats des questions Q30, Q31 et Q32, le fonctionnement s'organise en trois phases successives :

• Pour 0 \leqslant t < t_b : la sortie de l'inverseur 1 vaut u(t) = 0. Le condensateur se charge depuis u_c(0) = 0 vers V_a, avec u_2(t) = u_c(t) = V_a(1 - \mathrm{e}^{-t/\tau}). À l'instant t_b^-, on atteint u_2(t_b^-) = V_b.

• À t = t_b : u_2 atteint le seuil V_b, la porte 2 bascule à 0 (u_1 = 0), ce qui fait commuter la sortie 1 à u = V_a. Par continuité de la tension aux bornes d'un condensateur :

  u_c(t_b^+) = u_c(t_b^-) = V_b

  La loi des mailles impose donc un saut de potentiel pour u_2 :

  u_2(t_b^+) = u(t_b^+) + u_c(t_b^+) = V_a + V_b
• Pour t_b < t < t'_b : u(t) = V_a. Le condensateur se décharge vers -V_a selon l'asymptote -V_a : u_c(t) = -V_a + (V_a + V_b)\mathrm{e}^{-(t - t_b)/\tau}, d'où u_2(t) = (V_a + V_b)\mathrm{e}^{-(t - t_b)/\tau}. À la date t = {t'_b}^-, u_2({t'_b}^-) = V_b et u_c({t'_b}^-) = V_b - V_a.

• À t = t'_b : u_2 passe sous le seuil V_b, la porte 2 bascule à 1 (u_1 = V_a), donc la sortie 1 retombe à u = 0. Par continuité :

  u_c({t'_b}^+) = u_c({t'_b}^-) = V_b - V_a

  D'où un saut de tension vers le bas pour u_2 :

  u_2({t'_b}^+) = u({t'_b}^+) + u_c({t'_b}^+) = V_b - V_a < 0
• Pour t'_b < t < t''_b : u(t) = 0. Le condensateur se recharge vers V_a avec u_2(t) = u_c(t) = V_a - (2V_a - V_b)\mathrm{e}^{-(t - t'_b)/\tau}, jusqu'à atteindre de nouveau le seuil u_2({t''_b}^-) = V_b, clôturant ainsi une période complète du régime établi (T = t''_b - t_b).

a) Expression de la période T
Pour t > t_{\mathrm{b}}, le circuit fonctionne en régime périodique entretenu. Une période complète T est constituée de la somme des durées des deux demi-cycles consécutifs calculées aux questions Q31.c et Q32.b :

En remplaçant par les expressions établies :

Soit, en regroupant les logarithmes :

b) Application numérique
Avec R = 100\text{ k}\Omega et C = 20\text{ nF} :

Pour V_{\mathrm{a}} = 5\text{ V} et V_{\mathrm{b}} = 1{,}5\text{ V} :

On en déduit :

c) Rôle de l'étage 1 et dénomination en électronique

• Rôle : L'étage 1 génère de manière autonome une oscillation périodique (signal rectangulaire / en créneaux) sans nécessiter de signal de commande extérieur. Il sert de générateur de signal ou d'horloge pour alimenter et exciter le capteur d'humidité capacitif de l'étage 2 en régime alternatif.
• Nom du circuit : Il s'agit d'un oscillateur astable (ou multivibrateur astable).

a) Justification de la relation u_h(t) = u_2(t) + k

L'étage 2 relie la tension u_2(t) issue de l'oscillateur astable à l'entrée de la porte NAND 3. La résistance d'entrée de cette porte étant considérée comme infinie, le courant i_e entrant sur la porte 3 est nul :

Le courant traversant la branche constituée de la résistance R_h et du capteur capacitif C_h est donc nul :

• La tension aux bornes de la résistance de protection R_h est nulle : u_{R_h} = R_h \, i_e = 0.

• Le courant de charge du condensateur C_h étant nul (i_e = \frac{\mathrm{d}q_h}{\mathrm{d}t} = 0), la charge q_h portée par ses armatures est constante au cours des oscillations, ce qui implique que la tension à ses bornes est rigoureusement constante :

  u_{C_h}(t) = \frac{q_h}{C_h} = \text{cte}

D'après la loi des mailles le long de cette branche :

En posant k = - u_{C_h} = -\frac{q_h}{C_h}, qui est une constante dépendant de la capacité C_h, on obtient bien :

b) Identification des chronogrammes

• Signal C \longleftrightarrow u_i(t) : la porte NAND 3 a ses deux entrées reliées, elle fonctionne donc en inverseur logique (porte NOT). Sa sortie u_i(t) ne peut prendre que deux valeurs discrètes : l'état bas 0\text{ V} et l'état haut V_a = 5\text{ V}. C'est exactement le comportement binaire créneau observé pour la courbe C.
• Signal B \longleftrightarrow u_h(t) : d'après la question précédente, u_h(t) reproduit les variations exponentielles et les sauts discontinus de tension (d'amplitude \pm V_a = 5\text{ V}) de u_2(t), translatés verticalement d'une constante k. C'est la forme d'onde analogique représentée par la courbe B.
• Signal A \longleftrightarrow u_{\mathrm{rd}}(t) : l'étage 3 effectue un redressement et un filtrage passe-bas (cellule R_d C_d) pour délivrer une tension quasi-continue. La courbe A représente cette tension continue lissée.

c) Situation d'arrosage et variation de C_h

D'après le texte, l'arrosage se déclenche lorsque la tension u_{\mathrm{rd}} dépasse la valeur seuil de 3{,}5\text{ V} :

• Sur la figure 10a (C_h = 1\,000\text{ pF}), u_{\mathrm{rd}} \approx 1\text{ V} < 3{,}5\text{ V} : l'arrosage n'est pas activé.
• Sur la figure 10b (C_h = 700\text{ pF}), u_{\mathrm{rd}} \approx 3{,}9\text{ V} > 3{,}5\text{ V} : l'arrosage est déclenché.

La situation d'arrosage correspond donc à la figure 10b.

L'arrosage automatique intervient lorsque le sol est sec, c'est-à-dire pour un faible taux d'humidité. Ainsi, la valeur C_h = 700\text{ pF} correspond à un sol sec et la valeur C_h = 1\,000\text{ pF} à un sol humide. On en déduit que :

d) Forme du signal C et comparaison entre les figures 10a et 10b

La porte 3 bascule lorsque sa tension d'entrée u_h(t) franchit la tension de seuil V_b = 1{,}5\text{ V} :

• Si u_h(t) < V_b, l'entrée est au niveau logique « 0 », donc la sortie vaut u_i(t) = V_a = 5\text{ V}.
• Si u_h(t) > V_b, l'entrée est au niveau logique « 1 », donc la sortie vaut u_i(t) = 0\text{ V}.

Figure 10a : Lors des fronts montants de u_2(t), le signal B (u_h) saute à une valeur crête d'environ +2{,}5\text{ V}, supérieure au seuil V_b = 1{,}5\text{ V}. Tant que u_h(t) > 1{,}5\text{ V}, la porte 3 voit un niveau haut et fait chuter u_i(t) à 0\text{ V}. Dès que u_h(t) décroît en dessous de 1{,}5\text{ V}, la sortie u_i(t) repasse à 5\text{ V}. Le signal C présente ainsi des créneaux descendants périodiques à 0\text{ V}, ce qui décharge partiellement le condensateur C_d et maintient u_{\mathrm{rd}} à un niveau bas insuffisant pour arroser.

Figure 10b : La constante k étant plus négative, le signal B (u_h) culmine après le saut à une valeur maximale d'environ +1{,}3\text{ V}, restant en permanence inférieure au seuil de basculement V_b = 1{,}5\text{ V}. L'entrée de la porte 3 est donc en permanence au niveau logique « 0 ». En conséquence, la sortie C (u_i) reste figée au niveau haut V_a = 5\text{ V} sans aucune impulsion à 0\text{ V}. Le condensateur C_d reste alors chargé à travers la diode, maintenant u_{\mathrm{rd}} \approx 3{,}9\text{ V} > 3{,}5\text{ V} et assurant un arrosage continu du green.

1. Concentration C_i en diiode de la solution (i)

La masse molaire du diiode \mathrm{I_2} vaut :

La quantité de matière de diiode introduite dans un volume V_0 = 100\text{ mL} = 0{,}100\text{ L} est :

D'où la concentration molaire C_i en diiode :

Application numérique avec m_i = 1{,}250\text{ g} et V_0 = 0{,}100\text{ L} :

2. Concentration C_t en ion thiosulfate \mathrm{S_2O_3^{2-}} de la solution (t)

La dissolution du thiosulfate de sodium dans l'eau s'écrit :

Ainsi, une mole de sel dissous libère une mole d'ions thiosulfate : n(\mathrm{S_2O_3^{2-}}) = n(\mathrm{Na_2S_2O_3}).

La masse molaire du thiosulfate de sodium \mathrm{Na_2S_2O_3} est :

La concentration molaire C_t en ions \mathrm{S_2O_3^{2-}} s'exprime donc par :

Application numérique avec m_t = 1{,}500\text{ g} et V_0 = 0{,}100\text{ L} :

1. Réaction d'oxydation de l'acide ascorbique par le diiode (avant titrage) :

Les couples oxydant/réducteur engagés sont :

• \mathrm{I_2 / I^-} avec E^\circ_1 = 0{,}54\text{ V} ;
• \mathrm{C_6H_6O_6 / C_6H_8O_6} avec E^\circ_2 = 0{,}13\text{ V}.

Comme E^\circ_1 > E^\circ_2, le diiode \mathrm{I_2} oxyde spontanément l'acide ascorbique \mathrm{C_6H_8O_6}.

Les demi-équations électroniques s'écrivent :

La réaction étant supposée totale, son équation-bilan est :

2. Réaction de titrage du diiode en excès par le thiosulfate :

Le diiode n'ayant pas réagi est dosé par les ions thiosulfate \mathrm{S_2O_3^{2-}}. Les couples mis en jeu sont :

• \mathrm{I_2 / I^-} avec E^\circ_1 = 0{,}54\text{ V} ;
• \mathrm{S_4O_6^{2-} / S_2O_3^{2-}} avec E^\circ_3 = 0{,}08\text{ V}.

Comme E^\circ_1 > E^\circ_3, le diiode oxyde les ions thiosulfate.

Les demi-équations électroniques sont :

On en déduit l'équation-bilan de la réaction de dosage :

La quantité totale initiale de diiode introduite dans l'erlenmeyer vaut :

D'après l'équation de la réaction préliminaire établie en Q37, une mole de diiode réagit avec une mole d'acide ascorbique :

La réaction étant totale et le diiode introduit en excès, la quantité de matière de diiode consommée est égale à n_a. La quantité de diiode restant en solution à l'issue de cette réaction s'écrit donc :

Lors du dosage de cet excès de diiode par les ions thiosulfate, l'équation support est (d'après Q37) :

À l'équivalence du titrage, les réactifs ont été introduits dans les proportions stœchiométriques :

On en déduit :

D'après les données, la masse molaire de l'acide ascorbique \mathrm{C_6H_8O_6} vaut :

D'après la question Q38, la quantité de matière d'acide ascorbique présente dans le prélèvement de volume V_a = 20{,}0\text{ mL} s'écrit :

En reprenant les concentrations calculées à la question Q36 :

Ce prélèvement V_a = 20{,}0\text{ mL} provient de la solution (a) préparée dans un volume V_0 = 100\text{ mL} à partir de la masse m_p = 500\text{ mg} = 0{,}500\text{ g} de poudre (p). La quantité totale d'acide ascorbique dissoute dans la solution (a) est donc :

La masse d'acide ascorbique correspondante dans l'échantillon de poudre dissous vaut :

Le degré de pureté w de la poudre (p) en acide ascorbique est défini par sa fraction massique :

Soit numériquement :