Feuille d'entraînement : Électronique numérique : échantillonnage et modulation

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie MPI 2025, Q32

   La limitation de la liste des fréquences à l'intervalle \left[0, \frac{f_e}{2}\right] s'explique par deux arguments complémentaires :

   1. Théorème d'échantillonnage de Shannon-Nyquist :
      D'après le critère de Shannon, pour discrétiser et reconstruire fidèlement un signal sans phénomène de repliement spectral (aliasing), la fréquence d'échantillonnage f_e doit être au moins égale au double de la fréquence maximale f_{\max} contenue dans le signal :

      f_e \geqslant 2 f_{\max} \quad \Longleftrightarrow \quad f_{\max} \leqslant \frac{f_e}{2}

      La fréquence f_{\mathrm{N}} = \frac{f_e}{2} est la fréquence de Nyquist, borne supérieure absolue des fréquences physiques analysables sans ambiguïté.

   2. Réalité du signal et symétrie du spectre :
      Le signal mesuré par la photodiode s(t) est une grandeur physique à valeurs réelles. Sa transformée de Fourier possède donc une symétrie hermitienne :

      F(-f) = F(f)^* \quad \Longrightarrow \quad |F(-f)| = |F(f)|

      Pour un signal échantillonné à la fréquence f_e, le spectre calculé par transformée de Fourier discrète (TFD) est périodique de période f_e. Les composantes fréquentielles comprises entre \frac{f_e}{2} et f_e sont redondantes avec celles comprises entre 0 et \frac{f_e}{2} (car f \in \left[\frac{f_e}{2}, f_e\right] correspond par périodicité à f - f_e \in \left[-\frac{f_e}{2}, 0\right]).

   Toute l'information spectrale utile et accessible est donc contenue dans la plage :

   \boxed{f \in \left[0, \, \frac{f_e}{2}\right]}

   C'est précisément ce que met en œuvre la fonction rfft (real FFT) de la bibliothèque NumPy.

   Résultat

   $$f\in \left[0,\frac{f_e}{2}\right]$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique-Chimie MPI 2024, Q28

   Une porte logique nand (NON-ET) à deux entrées indépendantes A et B et une sortie S réalise l'opération logique :

   S = \overline{A \cdot B}

   La sortie S vaut 0 si et seulement si les deux entrées A et B sont simultanément à l'état haut (1). Sa table de vérité est la suivante :

   A	B	S = \overline{A \cdot B}
   0	0	1
   0	1	1
   1	0	1
   1	1	0

   Lorsque les deux entrées sont reliées entre elles, elles sont soumises au même niveau logique d'entrée, noté E (A = B = E). L'équation logique devient :

   S = \overline{E \cdot E} = \overline{E}

   La porte se comporte donc comme un inverseur logique (ou porte not / porte NON).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique-Chimie MPI 2024, Q29

   D'après le schéma de l'étage 1 (figure 9) :

   • Les tensions u_1(t), u(t) et u_2(t) représentent les potentiels électriques en différents nœuds du circuit par rapport à la masse.
   • La résistance R est connectée entre le nœud de potentiel u_1(t) et le nœud de potentiel u_2(t).

   • Le condensateur C est connecté entre le nœud de potentiel u(t) (en sortie de la porte 1) et le nœud de potentiel u_2(t). La tension à ses bornes est définie par :

     u_c(t) = u_2(t) - u(t)

   Les résistances d'entrée des portes logiques étant infinies et le courant prélevé par l'étage 2 étant négligeable devant les courants de charge du condensateur, aucun courant ne s'échappe vers la porte 2 ni vers la résistance R_{\mathrm{h}}.

   En appliquant la loi des nœuds au point de potentiel u_2(t) :

   • Le courant issu de la résistance R entrant dans le nœud vaut :

     i_R(t) = \frac{u_1(t) - u_2(t)}{R}

   • En convention récepteur pour la tension u_c(t) = u_2(t) - u(t), le courant quittant le nœud à travers le condensateur vers le potentiel u(t) s'écrit :

     i_C(t) = C \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t}

   La conservation de la charge au nœud impose i_R(t) = i_C(t), soit :

   \begin{aligned} \frac{u_1(t) - u_2(t)}{R} &= C \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t} \\ R C \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t} + u_2(t) &= u_1(t) \end{aligned}

   En retranchant u(t) de part et d'autre :

   R C \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t} + \big(u_2(t) - u(t)\big) = u_1(t) - u(t)

   On obtient bien la forme demandée :

   \boxed{\tau \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t} + u_c = u_1 - u}

   avec le temps caractéristique :

   \boxed{\tau = RC}

   Résultat

   $$\tau \frac{\mathrm{d}{u}_c}{\mathrm{d}t}+u_c=u_1-u$$

   $$\tau =RC$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique-Chimie MPI 2024, Q33

   D'après les résultats des questions Q30, Q31 et Q32, le fonctionnement s'organise en trois phases successives :

   • Pour 0 \leqslant t < t_b : la sortie de l'inverseur 1 vaut u(t) = 0. Le condensateur se charge depuis u_c(0) = 0 vers V_a, avec u_2(t) = u_c(t) = V_a(1 - \mathrm{e}^{-t/\tau}). À l'instant t_b^-, on atteint u_2(t_b^-) = V_b.

   • À t = t_b : u_2 atteint le seuil V_b, la porte 2 bascule à 0 (u_1 = 0), ce qui fait commuter la sortie 1 à u = V_a. Par continuité de la tension aux bornes d'un condensateur :

     u_c(t_b^+) = u_c(t_b^-) = V_b

     La loi des mailles impose donc un saut de potentiel pour u_2 :

     u_2(t_b^+) = u(t_b^+) + u_c(t_b^+) = V_a + V_b
   • Pour t_b < t < t'_b : u(t) = V_a. Le condensateur se décharge vers -V_a selon l'asymptote -V_a : u_c(t) = -V_a + (V_a + V_b)\mathrm{e}^{-(t - t_b)/\tau}, d'où u_2(t) = (V_a + V_b)\mathrm{e}^{-(t - t_b)/\tau}. À la date t = {t'_b}^-, u_2({t'_b}^-) = V_b et u_c({t'_b}^-) = V_b - V_a.

   • À t = t'_b : u_2 passe sous le seuil V_b, la porte 2 bascule à 1 (u_1 = V_a), donc la sortie 1 retombe à u = 0. Par continuité :

     u_c({t'_b}^+) = u_c({t'_b}^-) = V_b - V_a

     D'où un saut de tension vers le bas pour u_2 :

     u_2({t'_b}^+) = u({t'_b}^+) + u_c({t'_b}^+) = V_b - V_a < 0
   • Pour t'_b < t < t''_b : u(t) = 0. Le condensateur se recharge vers V_a avec u_2(t) = u_c(t) = V_a - (2V_a - V_b)\mathrm{e}^{-(t - t'_b)/\tau}, jusqu'à atteindre de nouveau le seuil u_2({t''_b}^-) = V_b, clôturant ainsi une période complète du régime établi (T = t''_b - t_b).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2024, Q10

   Le principe de la méthode des rectangles pour évaluer numériquement une intégrale simple \displaystyle I = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x repose sur les étapes suivantes :

   1. On discrétise l'intervalle [a, b] en N sous-intervalles de même largeur (le pas de discrétisation) :

      h = \frac{b - a}{N}, \quad \text{avec les points } x_k = a + k\,h \quad (k \in \{0, \dots, N\}).
   2. Sur chaque sous-intervalle [x_k, x_{k+1}], on approxime la fonction f par une constante, égale à sa valeur en un point du sous-intervalle, par exemple l'extrémité gauche x_k (méthode des rectangles à gauche).
   3. L'intégrale est alors approchée par la somme des aires algébriques des rectangles de largeur h et de hauteur f(x_k) :

   \boxed{\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \approx h \sum_{k=0}^{N-1} f(x_k) = \frac{b - a}{N} \sum_{k=0}^{N-1} f\left(a + k\,\frac{b - a}{N}\right)}

   Ce principe se généralise directement à une intégrale double sur un domaine rectangulaire [a, b] \times [c, d] (comme celle du flux de la question précédente) en maillant le domaine selon un quadrillage de pas h_r et h_\theta. L'intégrale est alors approchée par la somme des volumes élémentaires de parallélépipèdes de surface de base h_r\,h_\theta :

   \iint_{[a,b]\times[c,d]} g(r, \theta)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta \approx h_r\,h_\theta \sum_{i=0}^{N_r-1} \sum_{j=0}^{N_\theta-1} g(r_i, \theta_j).

   Résultat

   $${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\approx h\sum _{k=0}^{N-1}f(x_k)=\frac{b-a}{N}\sum _{k=0}^{N-1}f\left(a+k\frac{b-a}{N}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Mines-Ponts Physique 2 MPI 2024, Q10

   1. Réalisation de la fonction NOT (NON)

   En reliant ensemble les deux entrées d'une porte NAND à une entrée commune A, la sortie S s'écrit :

   \boxed{S = \overline{A \cdot A} = \overline{A}}

   Table de vérité :

   A	S = \overline{A}
   0	1
   1	0

   2. Réalisation de la fonction AND (ET)

   La fonction AND s'obtient en complémentant la sortie d'une porte NAND au moyen d'un inverseur réalisé par une seconde porte NAND :

   \boxed{S = \overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B}

   Table de vérité :

   A	B	\overline{A \cdot B}	S = A \cdot B
   0	0	1	0
   0	1	1	0
   1	0	1	0
   1	1	0	1

   3. Réalisation de la fonction OR (OU)

   D'après le théorème de De Morgan, la fonction OR peut s'exprimer par :

   \boxed{S = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B}

   Le montage utilise trois portes NAND : deux montées en inverseurs pour former \overline{A} et \overline{B}, et une troisième pour calculer \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}.

   Table de vérité :

   A	B	\overline{A}	\overline{B}	S = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} = A + B
   0	0	1	1	0
   0	1	1	0	1
   1	0	0	1	1
   1	1	0	0	1

   Résultat

   $$S=\overline{A\cdot A}=\overline{A}$$

   $$S=\overline{\overline{A\cdot B}}=A\cdot B$$

   $$S=\overline{\overline{A}\cdot \overline{B}}=\overline{\overline{A}}+\overline{\overline{B}}=A+B$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2023, Q31

   1. Phénomène observé

   À la question précédente, des raies non présentes dans le signal d'origine (notamment à 230\text{ Hz} et 450\text{ Hz}) se superposent dans la bande utile [0\,;\,f_e/2]. Cela provient du fait que des composantes spectrales initiales (550\text{ Hz} et 770\text{ Hz}) dépassent la demi-fréquence d'échantillonnage f_e/2 = 500\text{ Hz}. Leurs répliques spectrales centrées autour de f_e viennent se rabattre dans les basses fréquences. Ce phénomène s'appelle le repliement spectral (ou recouvrement spectral).

   2. Critère quantitatif pour y remédier

   Pour qu'il n'y ait aucun chevauchement entre le spectre de base et ses répliques centrées en \pm f_e, la fréquence d'échantillonnage f_e doit être au moins égale au double de la fréquence maximale f_{\max} contenue dans le spectre du signal analogique s(t) :

   \boxed{f_e \geqslant 2\,f_{\max}}

   Dans le cas du signal tronqué au rang k = 3, la fréquence maximale vaut f_{\max} = 7f = 770\text{ Hz}. La condition s'écrit alors numériquement :

   f_e \geqslant 2 \times 770\text{ Hz} = 1540\text{ Hz}

   Pour le signal théorique complet (dont le spectre s'étend jusqu'à l'infini), il est nécessaire d'intercaler préalablement un filtre passe-bas anti-repliement de fréquence de coupure f_c \leqslant f_e/2.

   3. Nom du critère

   Ce résultat constitue le critère de Shannon (ou théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon).

   Résultat

   $$f_e⩾2f_{\max }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2023, Q37

   Puisque la période d'échantillonnage T_e est petite devant le temps caractéristique \tau du filtre, la fonction s_s(t) varie peu sur l'intervalle [t_{n-1}, t_n]. On effectue un développement de Taylor à l'ordre 1 au voisinage de t_n :

   s_s(t_{n-1}) = s_s(t_n - T_e) = s_s(t_n) - T_e\,\frac{\mathrm{d}s_s}{\mathrm{d}t}(t_n) + \mathcal{O}(T_e^2)

   En introduisant les grandeurs échantillonnées S_s[n] = s_s(t_n) et S_s[n-1] = s_s(t_{n-1}), on en déduit l'approximation par différence finie régressive (ou méthode d'Euler rétrograde) :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}s_s}{\mathrm{d}t}(t_n) \approx \frac{S_s[n] - S_s[n-1]}{T_e}}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}{s}_s}{\mathrm{d}t}(t_n)\approx \frac{S_s[n]-S_s[n-1]}{T_e}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2023, Q38

   D'après la question Q34, l'équation différentielle liant l'entrée s_e(t) et la sortie s_s(t) s'écrit :

   s_s(t) + \tau \frac{\mathrm{d}s_s}{\mathrm{d}t}(t) = s_e(t)

   À l'ordre 1 en T_e, le taux d'accroissement déterminé à la question Q37 approche également la dérivée temporelle de la sortie à l'instant t_{n-1} :

   \left. \frac{\mathrm{d}s_s}{\mathrm{d}t} \right|_{t_{n-1}} \approx \frac{S_s[n] - S_s[n-1]}{T_e}

   En évaluant l'équation différentielle à l'instant d'échantillonnage t_{n-1} = (n-1)T_e (schéma d'Euler explicite), il vient :

   S_s[n-1] + \tau \, \frac{S_s[n] - S_s[n-1]}{T_e} = S_e[n-1]

   En multipliant par \frac{T_e}{\tau} et en isolant S_s[n] :

   \begin{aligned} S_s[n] - S_s[n-1] &= \frac{T_e}{\tau} \left( S_e[n-1] - S_s[n-1] \right) \\ S_s[n] &= \left( 1 - \frac{T_e}{\tau} \right) S_s[n-1] + \frac{T_e}{\tau} S_e[n-1] \end{aligned}

   On obtient ainsi la relation de récurrence du filtre passe-bas numérique d'ordre 1 :

   \boxed{S_s[n] = \left( 1 - \frac{T_e}{\tau} \right) S_s[n-1] + \frac{T_e}{\tau} S_e[n-1]}

   Résultat

   $$S_s[n]=\left(1-\frac{T_e}{\tau }\right)S_s[n-1]+\frac{T_e}{\tau }{S}_e[n-1]$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CCINP Physique-Chimie MPI 2025, Q30

    Pour que l'intégrale de Fourier bornée à l'intervalle [0, T] :

    F(f) = \int_0^T s(t)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} 2\pi f t}\,\mathrm{d}t

    représente fidèlement le spectre continu (qui correspond formellement à une borne supérieure infinie), la durée d'acquisition T doit être grande devant :

    1. La durée de cohérence de l'interférogramme (ou temps d'amortissement du signal) \tau_{\text{signal}} \approx \dfrac{L_c}{2 v_0} (qui vaut quelques dizaines de secondes d'après la figure 7b). Ainsi, le signal modulé s'est amorti et a pratiquement disparu pour t \ge T, ce qui rend négligeable la troncature temporelle et évite les effets d'apodisation (élargissement instrumental des raies).
    2. La période d'oscillation du signal T_{\text{osc}} = \dfrac{\lambda_m}{2 v_0} \approx 0{,}36\text{ s} (déterminée à la question Q28). Cela garantit d'enregistrer un très grand nombre de périodes d'oscillation et d'obtenir une résolution spectrale instrumentale \delta f \approx \dfrac{1}{T} très petite devant la fréquence centrale f_0 = \dfrac{1}{T_{\text{osc}}}.

    \boxed{T \gg \tau_{\text{signal}} \approx \frac{L_c}{2 v_0} \quad \text{et} \quad T \gg T_{\text{osc}} = \frac{\lambda_m}{2 v_0}}

    Résultat

    $$T\gg {\tau }_{\text{signal}}\approx \frac{L_c}{2v_0}\text{et}T\gg T_{\text{osc}}=\frac{{\lambda }_m}{2v_0}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question