Corrigé détaillé Mines Physique 2 MPI 2024

La solution de l'équation homogène u_H(t) correspond au régime transitoire. En effet, dans un circuit passif linéaire comportant des résistances, cette composante s'amortit exponentiellement au cours du temps et tend vers zéro lorsque t \to +\infty.

La forme générale de u_H(t) ne dépend pas de E_0, car l'équation différentielle homogène s'obtient précisément en annulant le second membre (terme source).

Pour déterminer l'évolution de u_H(t), on éteint la source indépendante de tension en la remplaçant par un court-circuit (E_0 = 0).

Le condensateur de capacité C se décharge alors dans l'association en parallèle des résistors de résistances R et R_L = \alpha R. La résistance équivalente vue par le condensateur est :

Le circuit équivalent est un simple dipôle R_{\text{éq}}C en régime libre, régi par :

En introduisant la constante de temps \tau_0 = RC, il vient :

La solution particulière u_P(t) correspond au régime permanent si la solution de l'équation homogène u_H(t) = A\,\mathrm{e}^{-t/\tau_\alpha} s'amortit au cours du temps, c'est-à-dire si :

Cette condition est bien satisfaite ici puisque les grandeurs physiques R, C et \alpha sont strictement positives. L'excitation E_0 étant constante, la solution particulière est elle aussi constante : u_P(t) = u_\infty.

En régime permanent continu, la dérivée temporelle de la tension est nulle, de sorte que le courant à travers le condensateur s'annule :

Le condensateur se comporte comme un circuit ouvert :

• la valeur de u_\infty ne dépend donc pas de la capacité C ;
• elle dépend en revanche des résistances R et R_L qui déterminent la répartition de la tension.

En remplaçant le condensateur par une branche ouverte, on obtient le schéma équivalent suivant :

Il s'agit d'un diviseur de tension non chargé alimenté par la tension E_0. On en déduit immédiatement :

soit :

Par définition, le paramètre sans dimension \alpha relie la résistance R_L du dipôle \mathcal{D} à celle du résistor R selon :

D'après l'énoncé, le comportement électrique de la lampe dépend de son état :

• Lampe éteinte : le dipôle \mathcal{D} se comporte comme un assez bon isolant, de résistance électrique R_L très grande devant R (R_L \gg R). On a donc a priori :

  \boxed{\alpha \gg 1}

• Lampe allumée : le gaz étant ionisé, le dipôle \mathcal{D} se comporte comme un assez bon conducteur, de résistance électrique R_L faible devant R (R_L \ll R). On a donc a priori :

  \boxed{\alpha \ll 1}

D'après la question Q1, la constante de temps du circuit vaut :

avec \tau_0 = RC = 2{,}0\cdot 10^{4} \times 200{,}0\cdot 10^{-6} = 4{,}0\text{ s}.

1. Régime lampe éteinte La résistance vaut R_L = R_e \gg R, soit \alpha_e = \dfrac{R_e}{R} \gg 1. On en déduit :

Numériquement :

2. Régime lampe allumée La résistance vaut R_L = R_a \simeq 1\text{ k}\Omega, soit \alpha_a = \dfrac{R_a}{R} = \dfrac{1}{20} = 0{,}05 \ll 1. L'expression de la constante de temps devient :

Numériquement :

(l'approximation \tau_a \simeq R_a C = 1{,}0\cdot 10^3 \times 200\cdot 10^{-6} = 0{,}2\text{ s} conduit au même résultat à un chiffre significatif).

1. Limites asymptotiques de la tension :

• Si la lampe ne s'allume jamais (état éteint, R_L = R_e \gg R, soit \alpha_e \gg 1), le régime permanent correspond d'après la question Q2 à :

  \lim_{t\to\infty} u(t) = u_{\infty, e} = \frac{R_e}{R+R_e} E_0 \simeq E_0

• Si la lampe reste allumée (R_L = R_a \simeq 1\text{ k}\Omega, soit \alpha_a = R_a/R = 1/20) :

  \lim_{t\to\infty} u(t) = u_{\infty, a} = \frac{R_a}{R+R_a} E_0 = \frac{\alpha_a}{\alpha_a+1} E_0

  Numériquement, avec R_a = 1\text{ k}\Omega et R = 20\text{ k}\Omega, on a u_{\infty, a} = \frac{1}{21} E_0 \simeq 0{,}05 \, E_0.

2. Condition d'oscillation : Pour que le système oscille continûment sans se bloquer dans un état permanent :

• Lampe éteinte, la tension part d'une valeur inférieure à U_a et croît vers u_{\infty, e}. Pour que la lampe puisse s'allumer, il faut que la tension puisse atteindre le seuil d'allumage U_a, soit :

  u_{\infty, e} > U_a \implies E_0 > U_a

• Lampe allumée, la tension part de U_a et décroît vers u_{\infty, a}. Pour que la lampe puisse s'éteindre, il faut que la tension puisse passer en dessous du seuil d'extinction U_e, soit :

  u_{\infty, a} < U_e \implies \frac{R_a}{R+R_a} E_0 < U_e \implies E_0 < \left(1 + \frac{R}{R_a}\right) U_e

Le système oscille donc si et seulement si E_0 est compris dans l'intervalle :

Numériquement, avec U_a = 90\text{ V}, U_e = 70\text{ V}, et 1 + R/R_a = 21 :

La valeur E_0 = 120\text{ V} appartient bien à cet intervalle (90\text{ V} < 120\text{ V} < 1470\text{ V}), donc le système entre bien en oscillation de relaxation.

3. Observabilité à l'œil :

• Lors de la phase de charge (lampe éteinte), la tension évolue de U_e à U_a avec une constante de temps \tau_e \simeq 4\text{ s} :

  u(t) = E_0 - (E_0 - U_e)\,\mathrm{e}^{-t/\tau_e}

  Elle atteint U_a au bout d'une durée :

  \Delta t_c = \tau_e \ln\left(\frac{E_0 - U_e}{E_0 - U_a}\right) = 4 \times \ln\left(\frac{120 - 70}{120 - 90}\right) = 4 \ln(5/3) \simeq 2\text{ s}
• La décharge (lampe allumée) se fait avec une constante de temps \tau_a \simeq 0{,}2\text{ s}, sur une durée \Delta t_d \ll \Delta t_c (\Delta t_d \sim 0{,}05\text{ s}).

La période globale des oscillations est donc de l'ordre de T \simeq \Delta t_c \simeq 2\text{ s}, correspondant à une fréquence f \simeq 0{,}5\text{ Hz}. Cette fréquence étant très nettement inférieure au seuil de persistance rétinienne (\sim 15\text{ à }20\text{ Hz}), les flashs de la lampe seront parfaitement observables à l'œil nu.

Signification de la variable logique al

La variable booléenne al (abréviation de « allumée ») indique l'état électrique de la lampe à l'instant considéré :

• al = True si la lampe est allumée (état conducteur, R_L = R_a) ;
• al = False si la lampe est éteinte (état isolant, R_e \gg R).

Objectif des lignes 3 à 6

Ces lignes implémentent le basculement avec hystérésis du dipôle selon les tensions seuils U_a et U_e :

• si la lampe était allumée (if al:), elle reste allumée tant que u \geqslant U_e et s'éteint dès que u < U_e (al = u >= Ue) ;
• si la lampe était éteinte (else:), elle reste éteinte tant que u \leqslant U_a et s'allume dès que u > U_a (al = u > Ua).

L'objectif est d'actualiser l'état al de la lampe pour le pas de temps suivant.

Justification de la ligne 7

Représentons le schéma électrique équivalent : la lampe allumée est modélisée par la résistance R_a, tandis qu'éteinte, sa très grande résistance R_e \gg R permet d'assimiler sa branche à un circuit ouvert (i_D \simeq 0).

Au nœud commun à R, C et au dipôle \mathcal{D}, la loi des nœuds s'écrit :

avec :

• i = \dfrac{E_0 - u}{R} (calculé à la ligne 2 du code) ;
• i_C = C \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} ;
• i_D = \dfrac{u}{R_a} si la lampe est allumée et i_D \simeq 0 si la lampe est éteinte.

En Python, un booléen utilisé dans une expression arithmétique est implicitement converti en entier : True vaut 1 et False vaut 0. Le courant dérivé dans la lampe s'écrit donc de façon compacte :

On en déduit l'expression de la dérivée temporelle de u :

L'application de la méthode d'Euler explicite sur le pas \mathrm{d}t donne l'approximation :

ce qui correspond exactement à l'instruction d'incrémentation de la ligne 7 :

1. Analyse du tracé :

Le tracé ne sera pas satisfaisant.

À la ligne 12, l'instruction :

crée une unique liste vide en mémoire (objet mutable) et lui assigne deux étiquettes (deux références), LT et LU.

Par conséquent, à chaque itération de la boucle for :

• LT.append(t) ajoute la date t à cette liste ;
• LU.append(u) ajoute la tension u à cette même liste.

À l'issue de la boucle, LT et LU désignent exactement le même objet, contenant alternativement dates et tensions : [t_0, u_0, t_1, u_1, \dots].

L'appel pl.plot(LT, LU) trace donc une liste contre elle-même, ce qui affiche simplement le segment de droite y = x, et non la fonction u(t).

2. Modifications proposées :

• Correction impérative : instancier deux listes distinctes à la ligne 12 en écrivant :

  LT = []   puis   LU = []   (ou LT, LU = [], [])

• Amélioration numérique éventuelle : pour N = 500, le pas de temps vaut h = \frac{t_{\max}}{N} = \frac{20}{500} = 0{,}04\text{ s}. Comparé à la constante de temps de décharge \tau_a \simeq 0{,}2\text{ s} calculée à la question Q4, ce pas ne comporte que 5 points par constante de temps. Augmenter N (par exemple N = 5\,000) permettrait d'accroître la précision temporelle lors de la phase rapide d'extinction.

1. Identification des phases de fonctionnement

D'après les résultats de la question Q4 :

• Lorsque la lampe est éteinte, la constante de temps du circuit est \tau_e \simeq 4\text{ s}. Le condensateur se charge vers E_0 = 120\text{ V} : la tension u(t) augmente avec une pente modérée. Cela correspond aux phases de croissance (durées de charge, notées notamment \Delta t_0 et \Delta t_1).
• Lorsque la lampe est allumée, la constante de temps est \tau_a \simeq 0{,}2\text{ s} \ll \tau_e. Le condensateur se décharge très rapidement à travers R_a vers u_{\infty, a} \simeq 5{,}7\text{ V} : la tension u(t) décroît avec une forte pente. Cela correspond aux phases de décroissance brusque.

2. Valeur de a

La lampe s'allume lorsque la tension u(t) atteint le seuil d'allumage U_a. Comme la pente de charge est relativement faible (\left.\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\right|_{u=U_a} \simeq \frac{E_0 - U_a}{\tau_e} \simeq 7{,}5\text{ V}\cdot\text{s}^{-1}), le dépassement numérique au-dessus du seuil sur un pas de temps h est négligeable :

3. Explication de la valeur b \simeq 59\text{ V} < 70\text{ V}

D'un point de vue physique, la lampe s'éteint dès que u(t) < U_e = 70\text{ V}, de sorte que le minimum théorique devrait être b_{\text{th}} = U_e = 70\text{ V}.

Numériquement, l'algorithme fonctionne avec un pas d'intégration temporel fixe :

Or, lors de la phase de décharge rapide, la constante de temps \tau_a \simeq 0{,}2\text{ s} est du même ordre de grandeur que le pas temporel :

Au voisinage de l'extinction (u \gtrsim U_e = 70\text{ V}), la vitesse de décharge est très élevée :

Sur un seul pas temporel h, la tension chute donc typiquement de :

Tant que u \geqslant U_e, le booléen al reste à True. Au pas où la tension passe sous le seuil, la mise à jour d'Euler projette la tension directement d'une valeur légèrement supérieure à 70\text{ V} à une valeur d'environ 70 - 13 \simeq 57\text{ V} à 59\text{ V}.

Ce n'est qu'après cette mise à jour, lors de l'appel suivant, que le test détecte que u < U_e et bascule al à False. Ce retard intrinsèque à la discrétisation explicite explique pourquoi :

On associe aux tensions d'entrée et de sortie les états logiques usuels compte tenu du seuil de basculement V_{cc}/2 :

• un niveau bas (0) pour une tension inférieure à V_{cc}/2 ;
• un niveau haut (1) pour une tension supérieure à V_{cc}/2.

1. Première expérience (figure 3) :

• Les deux entrées de la porte sont reliées ensemble et soumises à la même tension d'entrée u_e.

• D'après la caractéristique :

  \begin{aligned} u_e < \frac{V_{cc}}{2} \ (e = 0) &\implies u_s = V_{cc} \ (s = 1), \\ u_e > \frac{V_{cc}}{2} \ (e = 1) &\implies u_s = 0 \ (s = 0). \end{aligned}

  Le montage se comporte donc comme un inverseur logique (fonction NOT) : s = \bar{e}.

• Testons les quatre types de portes lorsque les deux entrées A et B sont confondues (A = B = e) :

  \begin{aligned} \text{AND} &: s = e \cdot e = e, \\ \text{OR} &: s = e + e = e, \\ \text{NAND}&: s = \overline{e \cdot e} = \bar{e}, \\ \text{NOR} &: s = \overline{e + e} = \bar{e}. \end{aligned}

On en déduit que la porte est un composant inverseur : il s'agit nécessairement d'une porte NAND ou d'une porte NOR (les portes AND et OR sont éliminées).

2. Seconde expérience (figure 4) :

• La première entrée est soumise à u_e tandis que la seconde entrée est reliée à la masse, c'est-à-dire fixée au niveau logique 0 (B = 0).
• D'après la caractéristique, la tension de sortie vaut constamment u_s = V_{cc} (niveau logique 1), quelle que soit la valeur de u_e \in [0, V_{cc}].

• Testons les deux portes restantes avec B = 0 :

  \begin{aligned} \text{NOR} &: s = \overline{e + 0} = \bar{e} \quad (\text{la sortie dépendrait de } e), \\ \text{NAND} &: s = \overline{e \cdot 0} = \bar{0} = 1 = \text{cste}. \end{aligned}

Le résultat expérimental s = 1 pour tout e n'est vérifié que par la porte NAND.

1. Réalisation de la fonction NOT (NON)

En reliant ensemble les deux entrées d'une porte NAND à une entrée commune A, la sortie S s'écrit :

Table de vérité :

2. Réalisation de la fonction AND (ET)

La fonction AND s'obtient en complémentant la sortie d'une porte NAND au moyen d'un inverseur réalisé par une seconde porte NAND :

Table de vérité :

3. Réalisation de la fonction OR (OU)

D'après le théorème de De Morgan, la fonction OR peut s'exprimer par :

Le montage utilise trois portes NAND : deux montées en inverseurs pour former \overline{A} et \overline{B}, et une troisième pour calculer \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}.

Table de vérité :

Pour fonctionner, le circuit intégré nécessite au minimum deux broches dédiées à son alimentation continue :

• une broche pour le potentiel d'alimentation V_{\text{cc}} ;
• une broche pour la référence de potentiel (la masse).

Il reste donc au maximum :

disponibles pour les entrées et sorties logiques des portes.

Une porte NAND à deux entrées (telle que définie et schématisée dans l'énoncé) requiert 3 broches indépendantes :

• 2 broches d'entrée ;
• 1 broche de sortie.

Le nombre maximal N_{\max} de portes NAND indépendantes que peut intégrer ce boîtier est donc :

Lorsque le circuit est invalidé, la tension d'entrée est maintenue à :

1. Tensions en sortie des portes logiques La porte 1 est une porte NAND (NON-ET). Dès lors que l'une de ses entrées est au niveau logique bas (b_v = 0), sa sortie s_1 est forcée au niveau logique haut, quelle que soit la valeur de la tension e :

La porte 2 a ses deux entrées reliées à la sortie de la porte 1. Elle se comporte donc comme un inverseur logique (porte NOT). Son entrée étant au niveau logique haut (s_1 = V_{cc} > V_{cc}/2), sa sortie s(t) est au niveau logique bas :

2. Équation différentielle sur e(t) Les courants d'entrée des portes CMOS étant négligeables (i < 0{,}1\ \mu\text{A} \simeq 0), la loi des nœuds appliquée au nœud de potentiel e(t) donne :

où :

• i_R(t) = \frac{s_1(t) - e(t)}{R} = \frac{V_{cc} - e(t)}{R} est le courant traversant le résistor depuis la sortie de la porte 1 ;
• i_C(t) = C \frac{\mathrm{d}(e - s)}{\mathrm{d}t} = C \frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}t} est le courant s'écoulant vers la sortie de la porte 2 (car s(t) = 0\text{ V} est constante).

On obtient l'équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants :

3. État stable atteint La solution générale s'écrit :

La constante de temps \tau étant strictement positive, le terme transitoire s'amortit exponentiellement. Quel que soit l'état initial du système, la tension e(t) tend asymptotiquement vers la valeur constante :

Puisque e = V_{cc} > \frac{V_{cc}}{2}, la valeur binaire associée est :

Le circuit atteint donc toujours un régime permanent stable et indépendant des conditions initiales.

1. Basculement d'une seule porte à t = 0

À l'instant t = 0^-, le circuit est invalidé (v = 0\text{ V}, soit b_v = 0). D'après l'énoncé, le condensateur est alors déchargé :

Le système est dans un état où e(0^-) = s(0^-) = V_{cc} (niveaux logiques b_e = 1 et b_s = 1). La porte 2 a donc sa sortie à l'état haut (s = V_{cc}).

À l'instant t = 0^+, le circuit est validé, ce qui impose v = V_{cc} (b_v = 1).

• Les deux entrées de la porte 1 sont alors à l'état logique 1 (b_v = 1 et b_e = 1). La sortie s_1 de la porte NAND 1 passe instantanément à l'état logique 0 (s_1(0^+) = 0\text{ V}). La porte 1 bascule donc.
• La porte 2 a ses deux entrées reliées à s_1. Comme son entrée passe à 0, sa sortie (fonction inverseur NON) prend la valeur \text{NON}(0) = 1, soit s(0^+) = V_{cc}.

La tension de sortie s reste donc égale à V_{cc} : la porte 2 ne bascule pas.

2. Continuité de la différence e(t) - s(t)

La différence e(t) - s(t) = u_C(t) représente la tension aux bornes du condensateur de capacité C. L'intensité du courant restant finie, la tension aux bornes d'un condensateur est une fonction continue du temps. On en déduit :

Comme s(0^+) = V_{cc}, il vient immédiatement :

3. Évolution de e(t) et détermination de t_1

Pour t \in ]0, t_1[, la sortie de la porte 2 demeure au niveau haut constant s(t) = V_{cc}.

Le courant d'entrée de la porte 1 étant négligeable, la loi des nœuds au point e montre que le courant i_C(t) traversant le condensateur s'écoule intégralement à travers le résistor R vers la masse. En convention récepteur pour C avec la tension orientée de e vers s :

La loi d'Ohm aux bornes du résistor R donne e(t) = R\,i_C(t), d'où l'équation différentielle :

La solution générale est de la forme e(t) = K\,\mathrm{e}^{-t/(RC)}. Avec la condition initiale e(0^+) = V_{cc}, on obtient :

La tension e(t) décroît à partir de V_{cc}. L'état logique de l'entrée e reste b_e = 1 tant que e(t) > V_{cc}/2. Le nouvel instant de basculement t_1 correspond au franchissement du seuil de basculement V_{cc}/2 :

D'où l'expression de l'instant de basculement :

1. Détermination de s(t_1^+) et e(t_1^+) :

Juste avant l'instant t_1, on a e(t_1^-) = V_{cc}/2, s_1(t_1^-) = 0 et s(t_1^-) = V_{cc}. Dès que t > t_1, la tension e(t) passe sous le seuil V_{cc}/2, de sorte que la variable binaire associée devient b_e = 0.

Le circuit étant toujours validé (v = V_{cc}, soit le niveau logique 1) :

• la porte 1 voit ses entrées valoir 1 et 0, sa sortie bascule donc à l'état haut :

  s_1(t_1^+) = V_{cc}

• la porte 2, montée en inverseur, reçoit alors l'entrée s_1(t_1^+) = V_{cc} et bascule immédiatement à l'état bas :

  \boxed{s(t_1^+) = 0\text{ V}}

La tension u_C(t) = e(t) - s(t) aux bornes du condensateur est une grandeur d'état qui ne peut subir de discontinuité en l'absence de courant infini :

Or e(t_1^-) = \frac{V_{cc}}{2} et s(t_1^-) = V_{cc}, ce qui donne :

On en déduit :

2. Évolution de e(t) pour t > t_1 :

Tant que les portes ne changent pas d'état, on a s_1(t) = V_{cc} et s(t) = 0. Le courant d'entrée de la porte 1 étant négligeable, la loi des nœuds au point de potentiel e s'écrit :

Comme s = 0 et s_1 = V_{cc}, on obtient :

La solution générale de cette équation différentielle linéaire du premier ordre s'écrit :

La condition initiale en t_1^+ donne :

D'où l'expression de e(t) pour t > t_1 :

3. Détermination de l'instant de basculement t_2 :

La tension e(t) croît de manière monotone de -V_{cc}/2 vers l'asymptote V_{cc}. Tant que e(t) < V_{cc}/2, la variable binaire b_e reste égale à 0 et les sorties des portes logiques ne sont pas modifiées.

L'état dure ainsi jusqu'à ce que e(t) atteigne à nouveau le seuil de basculement V_{cc}/2 à un instant noté t_2 :

Soit successivement :

D'après la question Q13, le premier instant de basculement vaut t_1 = RC\ln(2). On obtient donc :

Pour t \in ]t_1, t_2[, la tension e(t) croît de -V_{cc}/2 vers V_{cc}. Tant que e(t) < V_{cc}/2, les états logiques sont b_e = 0, la sortie de la porte 1 vaut s_1 = V_{cc} et la sortie de la porte 2 vaut s(t) = 0\text{ V}.

1. Valeurs de s(t_2^+) et e(t_2^+)

À l'instant t = t_2, la tension e(t) atteint le seuil V_{cc}/2 par valeurs inférieures. Pour t = t_2^+, la tension franchit le seuil :

• b_e passe de 0 à 1 ;
• comme v = V_{cc} (b_v = 1), la sortie de la porte 1 bascule à l'état bas : s_1(t_2^+) = 0\text{ V} ;
• la porte 2 (montée en inverseur) bascule à l'état haut :

La tension aux bornes du condensateur ne subissant pas de discontinuité, la grandeur e(t) - s(t) est continue en t_2 :

On en déduit immédiatement la valeur de e immédiatement après le basculement :

2. Évolution de e(t) pour t > t_2

Pour t > t_2, tant qu'aucun nouveau basculement n'intervient, la sortie de la porte 2 reste constante à s(t) = V_{cc} et celle de la porte 1 à s_1 = 0\text{ V}.

Le courant d'entrée de la porte 1 étant négligeable, la loi des nœuds en e donne :

Comme s_1 = 0\text{ V} et \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = 0, l'équation différentielle s'écrit :

La solution générale décroît exponentiellement vers 0\text{ V} :

soit :

3. Instant du nouveau basculement t_3

La fonction e(t) décroît à partir de \frac{3}{2}V_{cc} vers 0\text{ V}. Comme 0 < V_{cc}/2 < \frac{3}{2}V_{cc}, la tension traverse nécessairement la valeur de seuil V_{cc}/2 à un instant t_3 > t_2 défini par :

Ce qui équivaut à :

En rappelant d'après la question Q14 que t_2 = RC\ln(6) = RC(\ln 2 + \ln 3), on obtient :

D'après les questions précédentes, l'évolution du circuit validé à t = 0 se décompose ainsi :

• Pour t \in [0, t_1[ avec t_1 = RC\ln 2 :

  s(t) = V_{cc} \quad \text{et} \quad e(t) = V_{cc}\,\mathrm{e}^{-t/(RC)}

  La tension e(t) décroît de V_{cc} jusqu'au seuil de basculement e(t_1) = V_{cc}/2.

• À t = t_1, la porte 1 bascule : s chute à 0, et par continuité de la charge du condensateur, e subit une discontinuité de -V_{cc}, passant à e(t_1^+) = -V_{cc}/2.

• Pour t \in [t_1, t_2[ avec t_2 = t_1 + RC\ln 3 = RC\ln 6 :

  s(t) = 0 \quad \text{et} \quad e(t) = V_{cc}\left(1 - \frac{3}{2}\mathrm{e}^{-(t - t_1)/(RC)}\right)

  La tension e(t) croît de -V_{cc}/2 vers V_{cc} et atteint V_{cc}/2 à l'instant t_2.

• À t = t_2, la porte 1 bascule à nouveau : s passe à V_{cc} et e saute de +V_{cc} pour atteindre e(t_2^+) = \frac{3}{2}V_{cc}.

• Pour t \in [t_2, t_3[ avec t_3 = t_2 + RC\ln 3 = RC(\ln 2 + 2\ln 3) :

  s(t) = V_{cc} \quad \text{et} \quad e(t) = \frac{3}{2}V_{cc}\,\mathrm{e}^{-(t - t_2)/(RC)}

  La tension e(t) décroît vers 0 et atteint le seuil V_{cc}/2 en t_3.

À l'instant t = t_3, l'état du système (s(t_3^+) = 0,\ e(t_3^+) = -V_{cc}/2) est strictement identique à celui en t_1^+. Le régime permanent périodique est donc établi dès l'instant t_1, avec une période de relaxation :

Pour couvrir une durée supérieure à 2t_3 \simeq 5{,}8\,RC, on poursuit les basculements successifs espacés de T/2 = RC\ln 3 :

• Pour t \in [t_3, t_4[ avec t_4 = t_3 + RC\ln 3 \simeq 4{,}0\,RC : s(t) = 0, e(t) croît de -V_{cc}/2 à V_{cc}/2.
• Pour t \in [t_4, t_5[ avec t_5 = t_4 + RC\ln 3 \simeq 5{,}1\,RC : s(t) = V_{cc}, e(t) décroît de \frac{3}{2}V_{cc} à V_{cc}/2.
• Pour t \in [t_5, t_6[ avec t_6 = t_5 + RC\ln 3 \simeq 6{,}2\,RC > 2t_3 : s(t) = 0, e(t) croît de -V_{cc}/2 à V_{cc}/2.

1. Commentaire sur le comportement du circuit

Le montage constitue un oscillateur de relaxation (ou multivibrateur astable) commandé :

• Lorsque v = 0\text{ V} (circuit invalidé), le système est au repos et rejoint un état stable caractérisé par s = 0\text{ V}.
• Dès que v = V_{cc} (circuit validé), le montage devient instable et entre spontanément en auto-oscillations : la sortie s(t) délivre un signal périodique rectangulaire alternatif entre 0 et V_{cc}, avec un rapport cyclique de 50\,\% une fois le régime permanent établi.

2. Valeur numérique de la durée caractéristique

La durée caractéristique associée à ce régime oscillant est la période d'oscillation T établie à la question Q16 :

Avec R = 1\,\text{M}\Omega = 10^6\,\Omega, C = 100\,\text{nF} = 1{,}0\cdot 10^{-7}\,\text{F} et \ln(3) = 1{,}1 :

Avec un seul chiffre significatif :

ce qui correspond à une fréquence d'oscillation de :

3. Application en électronique musicale

La fréquence d'oscillation (f \simeq 5\text{ Hz}) se situe dans le domaine des très basses fréquences (infrasons inaudibles directement). Ce circuit réalise typiquement :

• un oscillateur basse fréquence (dit LFO, pour Low-Frequency Oscillator), servant à moduler périodiquement un signal sonore audible :

  • modulation d'amplitude pour créer un effet de trémolo ;
  • modulation de hauteur (fréquence) pour créer un effet de vibrato ;
• une horloge de commande pour déclencher des notes à intervalles réguliers (métronome électronique, boîte à rythmes ou séquenceur musical) ;
• un générateur de note musicale (synthétiseur rudimentaire), si l'on remplace C par une capacité plus faible (par exemple de l'ordre du nanofarad) afin de faire passer la fréquence dans le domaine audible (20\text{ Hz} à 20\text{ kHz}).

On munit l'espace du repère orthonormé (O, \vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z) défini sur la figure 8, le plan (Oxy) étant le plan horizontal du tableau noir et l'axe (Oz) étant orienté vers le haut, de sorte que l'accélération de la pesanteur s'écrit \vec{g} = -g\,\vec{u}_z.

Force de traction exercée par le ressort Le ressort relie le point H du mobile (\Sigma) à son extrémité tractée A. Sa longueur à l'instant t est :

D'après la loi de Hooke, la force de rappel exercée par le ressort sur le mobile en H s'écrit :

Comme x_A(t) = v_0 t et x_H(t) = X_H(t) - \ell_0, l'allongement s'exprime par :

On en déduit l'expression de la force de traction exercée sur le mobile :

Composante normale de la force de contact Le solide (\Sigma) de masse M est soumis à :

• son poids \vec{P} = -Mg\,\vec{u}_z ;
• la force du ressort \vec{F} (purement horizontale, selon \vec{u}_x) ;
• la réaction du support \vec{R} = \vec{R}_T + \vec{R}_N, avec \vec{R}_N = R_N\,\vec{u}_z et \vec{R}_T contenu dans le plan horizontal (Oxy).

Le mobile restant constamment au contact du plan horizontal (Oxy), son mouvement est strictement unidimensionnel selon l'axe (Ox), donc son accélération selon l'axe vertical est nulle : a_z = 0.

La deuxième loi de Newton projetée sur l'axe vertical ascendant (\vec{u}_z) donne :

La composante normale de la réaction s'écrit donc :

Tant que la craie (\Sigma) reste immobile sur le support fixe (F), sa vitesse de glissement est nulle (\vec{v}_g = \vec{0}) et sa position reste fixée à sa valeur initiale, soit x_H(t) = -\ell_0, c'est-à-dire :

Le bilan des forces appliquées à (\Sigma) dans le référentiel d'étude galiléen comprend :

• le poids \vec{P} = -Mg\,\vec{u}_z ;
• la composante normale de la réaction \vec{R}_N = Mg\,\vec{u}_z (d'après la question Q18) ;

• la force de rappel élastique du ressort :

  \vec{F} = k\big(v_0 t - X_H(t)\big)\vec{u}_x = k v_0 t\,\vec{u}_x
• la composante tangentielle de la réaction exercée par le support \vec{R}_T = R_{Tx}\,\vec{u}_x.

À l'équilibre statique, la projection de la relation fondamentale de la dynamique sur l'axe horizontal (Ox) donne :

La norme de la force de frottement statique s'écrit donc, pour tout t \geqslant 0 :

D'après la loi de Coulomb pour le contact statique, le solide reste immobile tant que :

soit :

À t = 0, la force exercée par le ressort est nulle, l'inégalité est strictement vérifiée (0 < f_s M g). La craie reste donc immobile tant que t \leqslant t_0, avec :

À l'instant t = t_0, la force de traction atteint la valeur critique f_s M g : il y a glissement imminent, puis décrochage et mise en mouvement pour t > t_0.

À l'instant \tau = 0, c'est-à-dire t = t_0 :

• La position de l'extrémité A vaut, d'après la question Q19 :

  x_A(\tau = 0) = v_0 t_0 = \frac{f_s M g}{k}

• Le solide (\Sigma) étant resté immobile en x_H(t) = -\ell_0 pour tout t \in [0, t_0], on a :

  X_H(\tau = 0) = x_H(t_0) + \ell_0 = 0

• La vitesse initiale de mise en mouvement est nulle (continuité de la vitesse du solide) :

  V_H(\tau = 0) = 0

Pour \tau > 0, le solide se met en mouvement vers la droite sous l'action de la traction du ressort : sa vitesse de glissement est \vec{v}_g = V_H(\tau)\vec{u}_x avec V_H > 0.

On applique le principe fondamental de la dynamique au solide (\Sigma) de masse M dans le référentiel d'étude supposé galiléen :

D'après les lois de Coulomb en régime de glissement (\vec{v}_g \cdot \vec{u}_x > 0) et les résultats de la question Q18 (\|\vec{R}_N\| = M g) :

Comme \tau = t - t_0, on a \frac{\mathrm{d}^2 x_H}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}^2 X_H}{\mathrm{d}\tau^2}. En remplaçant l'expression de la force du ressort \vec{F} = k(v_0 t - X_H)\vec{u}_x = k\left(v_0(\tau + t_0) - X_H\right)\vec{u}_x, la projection sur l'axe horizontal (Ox) donne :

D'après la question Q19, k v_0 t_0 = f_s M g. L'équation devient :

En divisant par M, on obtient :

C'est bien la forme requise avec :

D'après la question Q20, l'équation différentielle vérifiée par X_H(\tau) s'écrit :

En introduisant le paramètre sans dimension \alpha = \frac{\gamma}{\omega v_0}, soit \gamma = \alpha \omega v_0, le second membre devient :

Cherchons une solution particulière de la forme X_{H,p}(\tau) = C_1 \tau + C_0. En injectant dans l'équation différentielle :

Par identification, on obtient :

La solution générale est donc de la forme :

où A et B sont deux constantes réelles.

La vitesse s'obtient par dérivation :

D'après les conditions initiales déterminées à la question Q20 :

• X_H(0) = 0 \implies A + \frac{\alpha v_0}{\omega} = 0 \implies A = -\frac{\alpha v_0}{\omega}
• V_H(0) = 0 \implies \omega B + v_0 = 0 \implies B = -\frac{v_0}{\omega}

On en déduit l'expression de la position :

Puis, en dérivant :

D'après la question Q21, la vitesse de l'extrémité H s'écrit pour \tau \geqslant 0 :

En posant \theta = \omega\tau, la dérivée de V_H par rapport à \theta est :

1. Recherche de \theta_{\max} et calcul de V_{\max} Le premier maximum de vitesse correspond à la première annulation de cette dérivée avec une dérivée seconde négative :

La dérivée seconde vaut :

Pour un maximum, cette dérivée seconde doit être strictement négative, ce qui impose \cos(\theta_{\max}) < 0. Comme \alpha = \frac{\gamma}{\omega v_0} > 0, on a \tan(\theta_{\max}) < 0, d'où \sin(\theta_{\max}) > 0 : l'angle \theta_{\max} appartient au deuxième quadrant (]\pi/2, \pi[).
À l'aide des relations du formulaire avec t = \tan(\theta_{\max}) = -\alpha :

Compte tenu des signes de \cos(\theta_{\max}) et \sin(\theta_{\max}), on en déduit :

En reportant ces expressions dans V_H(\theta_{\max}) :

D'où l'expression attendue :

2. Allure de V_H(\tau) et annulation en \tau_1 La vitesse part de V_H(0) = 0 avec une pente initiale strictement positive \left.\frac{\mathrm{d}V_H}{\mathrm{d}\tau}\right|_{\tau=0} = \alpha\omega v_0 = \gamma > 0, passe par son maximum V_{\max} en \tau_{\max} = \theta_{\max}/\omega, puis décroît jusqu'à s'annuler à une date \tau_1 > \tau_{\max}.

L'instant \tau_1 > 0 d'annulation correspond à \theta_1 = \omega\tau_1 > 0 tel que :

En utilisant les identités 1 - \cos\theta_1 = 2\sin^2(\theta_1/2) et \sin\theta_1 = 2\sin(\theta_1/2)\cos(\theta_1/2) :

Puisque le mobile est en mouvement, \theta_1 > 0 et le premier facteur ne s'annule pas sur ]0, 2\pi[ (\sin(\theta_1/2) \neq 0). Il vient donc :

L'angle \theta_1/2 a la même tangente que \theta_{\max} et appartient au même quadrant ]\pi/2, \pi[ car \theta_1 > \theta_{\max} > \pi/2 implique \theta_1/2 > \pi/4, d'où nécessairement :

En utilisant les formules de duplication du formulaire :

Finalement :

1. Expression de \ell(\tau) et longueur initiale \ell(0) :

Par définition, la longueur du ressort est \ell(\tau) = x_A(\tau) - x_H(\tau). Sachant que X_H(\tau) = x_H(\tau) + \ell_0 et x_A(t) = v_0 t = v_0(t_0 + \tau), on a :

En injectant l'expression de X_H(\tau) obtenue à la question Q21 :

on obtient directement :

À l'instant \tau = 0, les termes sinusoïdaux s'annulent :

On peut donc réécrire \ell(\tau) sous la forme :

2. Longueur du ressort à l'instant \tau_1 :

À l'instant \tau = \tau_1, la phase vaut \theta_1 = \omega \tau_1. D'après la question Q22, on a :

Calculons le terme entre parenthèses :

On en déduit immédiatement :

3. Durée \tau_2 d'arrêt avant reprise du mouvement :

À l'instant \tau_1, la vitesse de la craie s'annule : V_H(\tau_1) = 0. Le mobile entre alors en phase d'adhérence statique, donc sa position reste fixe : x_H(\tau) = x_H(\tau_1) = \text{cte}.

Pendant ce temps, l'extrémité A continue d'avancer à la vitesse constante v_0. La longueur du ressort s'accroît donc à la vitesse :

D'après les lois de Coulomb du frottement statique (question Q19), le décrochage et la reprise du glissement ont lieu dès que la force de traction exercée par le ressort atteint la valeur seuil F_s = f_s M g, c'est-à-dire précisément lorsque la longueur du ressort atteint à nouveau la valeur critique \ell(0) :

L'allongement nécessaire au réarmement est donc :

On en déduit la durée de la phase d'adhérence :

4. Allure de la vitesse V_H(\tau) sur une période T :

La période totale du cycle est :

Le mouvement alterne deux phases bien distinctes :

• pour \tau \in [0, \tau_1] : phase de glissement (slip) avec V_H > 0, correspondant au relâchement subit de la contrainte (le ressort se détend rapidement en faisant glisser la craie vers l'avant) ;
• pour \tau \in [\tau_1, T] : phase d'adhérence (stick) avec V_H = 0, correspondant à l'augmentation continue de la contrainte (le ressort est étiré progressivement à vitesse v_0 jusqu'au seuil de décrochage).

5. Expression de la pulsation \Omega :

La pulsation \Omega associée au mouvement périodique de relaxation vaut \Omega = \frac{2\pi}{T}. En exprimant T = \tau_1 + \tau_2 puis en remplaçant \tau_1 = \frac{\theta_1}{\omega} et \tau_2 = \frac{2\alpha}{\omega}, il vient :

soit finalement :

D'après les résultats de la question Q22, on a :

ce qui conduit à :

Pour \theta_{\max} = \frac{5\pi}{6}, on a \tan\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}}, d'où :

Avec un seul chiffre significatif :

Par définition (question Q20 et Q21), \alpha = \frac{\gamma}{\omega v_0} avec \gamma = (f_s - f_d)g. On en déduit :

Numériquement, avec f_s \simeq 1, f_d \simeq 0{,}6, g \simeq 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, v_0 = 1\text{ cm}\cdot\text{s}^{-1} = 10^{-2}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} :

D'après la question Q23, la pulsation \Omega des oscillations de relaxation s'exprime par :

où \theta_1 = 2\theta_{\max} = \frac{5\pi}{3}. Ainsi :

Comme 2\pi \simeq 6{,}28, le rapport \frac{2\pi}{\theta_1 + 2\alpha} \simeq \frac{6{,}28}{6{,}39} \simeq 0{,}98 est très proche de 1, ce qui donne :

Avec un seul chiffre significatif :

Lien avec le son émis et domaine fréquentiel :
Le mouvement mécanique périodique de la craie excite l'air environnant à la même périodicité : la pulsation fondamentale de l'onde sonore émise est donc égale à la pulsation \Omega du mouvement de relaxation :

La fréquence fondamentale associée vaut :

Cette fréquence appartient au domaine audible (20\text{ Hz} - 20\text{ kHz}). De plus, le mouvement de relaxation (« stick-slip ») étant fortement non sinusoïdal (succession d'adhérence et de glissements avec des ruptures de pente de vitesse), le spectre sonore émis présente un très grand nombre d'harmoniques de fréquences f_n = n f.

Ces harmoniques s'étendent largement dans la bande des moyennes et hautes fréquences (1\text{ kHz} à plusieurs kilohertz), domaine de sensibilité maximale de l'oreille humaine, ce qui explique le caractère aigu, grinçant et particulièrement désagréable du crissement.