Instabilités et oscillations de relaxation : oscillateur à tube, portes logiques et crissement
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La deuxième épreuve de physique MPI des Mines 2024 (3 heures) est consacrée aux oscillations de relaxation, obtenues par l'augmentation continue d'une contrainte suivie de son relâchement subit. Le sujet comporte trois problèmes totalement indépendants qui traitent chacun d'un phénomène analogue par une méthode différente : un oscillateur à lampe étudié par intégration numérique, un oscillateur à portes logiques résolu par équations différentielles par morceaux, et le crissement d'une craie sur un tableau décrit analytiquement.
1Problème I : oscillateur à tubeÉtude d'un circuit RC avec une lampe à deux états, intégration numérique par une méthode dérivée d'Euler explicite pour simuler les oscillations de tension.
2Problème II : oscillateur à portes logiquesIdentification de portes logiques NAND, puis étude d'un montage à rétroaction dont la tension évolue par morceaux avec des basculements successifs entre deux états.
3Problème III : le crissementModélisation du frottement d'une craie sur un tableau à l'aide des lois de Coulomb, établissement d'une équation différentielle du mouvement et estimation numérique de la fréquence du crissement.
Difficulté moyenne. Le jury indique que l'épreuve a permis de classer convenablement les candidats et que le sujet était de longueur raisonnable, bien que de nombreux candidats n'aient traité qu'une petite partie du sujet.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : document officiel du concours, épreuve du 14 mai 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
5 erreurs relevées
Flèches des vecteurs oubliées · Problème LT = LU non identifié · Pas d'intégration mal interrogé
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Les copies sont dans l'ensemble agréables à lire, mais le défaut de soin apporté à certaines copies atteint un niveau préoccupant, rendant parfois les exposés difficiles à suivre. Les questions étant souvent indépendantes, les candidats ont pu continuer le sujet sans être bloqués, mais nombreux sont ceux n'ayant traité qu'une petite partie de l'épreuve.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Flèches des vecteurs oubliéesgénéralités
Les flèches sur les vecteurs sont assez souvent absentes, ce qui traduit un manque de vigilance sur la nature des grandeurs manipulées.
« Les flèches sur les vecteurs sont assez souvent absentes »
2
Problème LT = LU non identifiéQ7
Très peu de copies relèvent que l'égalité des listes LT et LU pose problème dans le code de simulation numérique.
« Très peu de copies relèvent queLT = LU pose problème. »
3
Pas d'intégration mal interrogéQ8
Seule une moitié des copies s'interroge effectivement sur la problématique du pas d'intégration pour que la méthode d'Euler conduise à une simulation correcte.
« Une moitié des copies s'interroge effectivement sur la problématique du pas d'intégration pour que la méthode d'Euler conduise à une simulation correcte. »
4
Table de vérité non explicitéeQ10
Si l'algèbre de Boole permet de retrouver rapidement les montages, on attendait l'écriture explicite de la table de vérité, conformément à l'énoncé.
« on attendait l'écriture explicite de la table de vérité, conformément à l'énoncé »
5
Stabilité de l'état non justifiéeQ12
Si les valeurs numériques demandées sont souvent justes, peu de copies justifient la stabilité de l'état.
« peu de copies justifient la stabilité de l'état »
Ce qui a été bien réussi
La question 1 est bien traitée dans de nombreuses copies.
Les questions 2 et 3 sont bien traitées.
La question 5 est bien traitée, de nombreuses copies comparant la période d'oscillation à la durée de réponse typique de l'œil.
La question 9 est bien traitée dans la majorité des copies.
La question 10 est bien traitée dans la majorité des copies.
Conseils du jury
Arriver aux concours avec une parfaite maîtrise du cours pour traiter en confiance les situations classiques et aborder des situations plus nouvelles.
Être vigilant sur l'homogénéité des expressions littérales.
Être vigilant sur la rigueur dans la manipulation des grandeurs vectorielles ou scalaires.
S'entraîner aux calculs numériques sans calculatrice pour gagner en efficacité sur les nombreux points attribués aux applications numériques.
Avoir un esprit critique sur les résultats numériques obtenus et commenter leurs incohérences si besoin.
Rendre des copies propres et lisibles.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Corrigé détaillé
24 questions
Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question.
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24 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré. Chaque question est vérifiée avant publication.
La deuxième épreuve de physique MPI des Mines 2024 (3 heures) est consacrée aux oscillations de relaxation, obtenues par l'augmentation continue d'une contrainte suivie de son relâchement subit. Le sujet comporte trois problèmes totalement indépendants qui traitent chacun d'un phénomène analogue par une méthode différente : un oscillateur à lampe étudié par intégration numérique, un oscillateur à portes logiques résolu par équations différentielles par morceaux, et le crissement d'une craie sur un tableau décrit analytiquement.
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II - MPI
L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des
initiatives qu'il est amené à prendre.
Instabilités et oscillations de relaxation
Ce sujet est consacré à certaines situations physiques instables conduisant à des oscillations de relaxation. Ce terme désigne des oscillations non linéaires obtenues par l'augmentation continue d'une contrainte, suivie du relâchement subit de celle-ci. Le sujet est constitué de trois problèmes totalement indépendants sur cette thématique assez courante en physique.
Bien que les trois problèmes traitent de phénomènes physiques analogues, les méthodes développées sont totalement différentes :
le problème I analyse un oscillateur historique de l'électronique linéaire. Il s'agit de l'emploi de méthodes numériques pour l'intégration des équations différentielles déduites des lois physiques, avec prise en compte d'un basculement périodique ;
le problème II est consacré à l'étude des régimes stables et instables d'un montage à portes logiques. Il s'agit de la résolution par morceaux d'une équation différentielle linéaire, avec raccordement par continuité d'une grandeur physique;
le problème III s'intéresse à une description analytique complète des équations du mouvement d'un solide frottant sur un support fixe et du crissement qui en résulte.
Les vecteurs ( w⃗ ) sont surmontés d'une flèche. Les applications numériques seront réalisées avec un seul chiffre significatif. Lorsqu'un code informatique est demandé, il sera rédigé dans la syntaxe de Python 3. Un petit formulaire et quelques valeurs numériques sont regroupés en fin d'énoncé.
I Oscillateur à tube
On considère le montage de la figure 1 comportant un générateur idéal de tension constante E_0, un résistor de résistance R, un condensateur de capacité C et un dipole D assimilé à un résistor de résistance R_L = αR.
I.A Une première équation d'évolution
Dans un tel circuit linéaire, l'équation d'évolution de u(t) est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants dont la solution comporte d'une part une solution de l'équation homogène u_H(t) et
Figure 1 - Circuit
d'autre part une solution particulière u_P(t).
Laquelle de ces deux solutions correspond au régime transitoire?
Sa forme générale dépend-elle de E_0 ?
Proposer un schéma simplifié et en déduire, en effectuant le moins de calculs possible, qu'il s'agit d'une solution caractérisée par une constante de temps τ_α qu'on explicitera en fonction de τ_0 = RC et de α.
À quelle condition l'autre solution correspond-elle au régime permanent?
Sa forme générale dépend-elle de C ? des résistances R et R_L ?
Proposer un schéma simplifié et en déduire simplement l'expression correspondante u_∞ de u en fonction de α et E_0. .
I.B Un dipôle à deux états
En réalité, le dipôle D est une lampe contenant un gaz raréfié qui peut être dans deux états électriques (lampe éteinte ou allumée). Ces deux états correspondent chacun à une valeur de α.
Le comportement électrique de D diffère selon son état : c'est un assez bon conducteur si elle est allumée, et un assez bon isolant si elle est éteinte. ◻ − 3. Que peut-on dire a priori de α si la lampe est éteinte? si elle est allumée?
On réalise le circuit avec R = 20kΩ et C = 200μ F. Lors du branchement initial du circuit, on admettra que la lampe est éteinte et le condensateur déchargé. Par la suite :
la lampe reste éteinte tant que la tension à ses bornes vérifie |u| < U_a où U_a = 90 V est la tension d'allumage; dans ce cas elle a pour résistance R_e≫R;
une fois allumée, la lampe a pour résistance R_a ≃ 1kΩ; elle reste allumée sauf si la tension à ses bornes diminue trop et elle va donc s'éteindre dès lors que |u| < U_e où U_e = 70 V est la tension d'extinction.
Exprimer et calculer τ_α dans les deux régimes, successivement lampe éteinte puis allumée.
Exprimer la limite lim_(t → ∞)u(t) si la lampe ne s'allume jamais; puis si elle reste allumée.
En déduire que le système oscille seulement si E_0 > 0 est compris dans un intervalle que l'on déterminera. Est-ce le cas avec E_0 = 120 V, valeur choisie dans la suite?
Ces oscillations seront-elles observables à l'œil?
I.C Étude numérique du régime d'oscillation
On propose une étude numérique des oscillations au moyen d'un algorithme dérivé de la méthode d'Euler explicite pour l'étude de u(t); le passage de t à t + δt se fait au moyen de la fonction Next :
def Next(u, al, dt):
i = (E - u)/R
if al:
al = u >= Ue
else:
al = u > Ua
u += dt*(i - al*u/Ra)/C
return u, al
Quelle est la signification de la variable (logique) al ?
Quel est l'objectif des lignes 3 à 6 ?
Justifier, au moyen d'un schéma électrique, la ligne 7.
On propose enfin de tracer l'allure de la courbe représentative de u(t) au moyen du code ciaprès :
E = 120.0
R = 2.0E4
C = 200.0E-6
Ua = 90.0
Ue = 70.0
Ra = 1.0E3
tmax = 20.0
def Etude(tmax, N, uO, allO):
h = tmax/N
t, u, all = 0, u0, all0
LT = LU = []
for k in range(N):
LT.append(t)
LU.append(u)
t = t + h
u, all = Next(u, all, h)
pl.figure()
pl.plot(LT, LU)
pl.show()
suivi de l'exécution des lignes:
import matplotlib.pyplot as pl
Etude(tmax, 500, 0, False)
-7. Le tracé sera-t-il satisfaisant?
Si non, quelle(s) modification(s) proposez-vous?
Après rectification si nécessaire, l'allure du tracé obtenu est représenté figure 2.
Figure 2 - Tracé de u(t) par la méthode numérique proposée
Sur la figure 2, identifier les phases où la lampe est allumée et celles où elle est éteinte; quelle est la valeur de a ?
La valeur de b dépend en fait du paramètre N de la fonction Etude; avec N = 500 on trouve par exemple b ≃ 59 V. Expliquer pourquoi cette valeur reste inférieure à 70 V ?
II Oscillateur à portes logiques
Dans la partie précédente, les oscillations étaient dues aux deux états du dipôle D. On peut également utiliser un circuit comportant une rétroaction pour engendrer des oscillations : c'est le cas dans cette partie.
II.A Identification d'un circuit intégré
On récupère au laboratoire un circuit intégré comportant un certain nombre de portes logiques identiques, dont on est sûr :
de leur tension d'alimentation V_(cc) = 15 V associée à la technologie CMOS employée;
de la faible valeur ( i < 0, 1μ A ) des courants d'entrée, qu'on négligera donc dans tout ce qui suit.
Les références du circuit intégré n'étant plus lisibles, on n'est plus sûr de la nature des portes en question; on sait cependant qu'il s'agit nécessairement de portes figurant dans la liste AND, OR, NAND, NOR (ou en français ET, OU, NON ET, NON OU). Pour déterminer la nature de ces portes, on réalise deux séries de mesures de la caractéristique entrée-sortie selon les schémas des figures 3 et 4
Figure 3 - Montage d'une première série de mesures (à gauche) et ses résultats (à droite).
Figure 4 - Montage de la seconde série de mesures (à gauche) et ses résultats (à droite).
Que peut-on déduire de la première expérience (figure 3) ? Et de la seconde expérience (figure 4)?
On poursuivra l'étude, indépendamment des conclusions ci-dessus, en n'utilisant que des portes NAND (NON ET) que l'on symbolisera à l'aide du schéma suivant :
Proposer des montages n'utilisant que des portes NAND réalisant les fonctions NOT, AND et OR. On vérifiera le comportement de chaque montage en donnant sa table de vérité.
Le circuit intégré Texas Instruments CD-4011 (photographie de la figure 5) comporte quatorze broches (pins en anglais). Combien de portes NAND comporte-t-il au maximum? Justifier.
Figure 5 - Circuit intégré TI CD-4011
II.B Emploi de portes logiques
De nombreux documents destinés à la réalisation de montages d'électronique musicale proposent l'utilisation du circuit théorique présenté sur la figure 6 avec R = 1MΩ et C = 100nF. La tension d'entrée marquée v (pour «valid») peut être, selon le cas :
maintenue égale à v = 0 V (le circuit est alors dit invalidé);
portée à la valeur constante v = + V_(cc) (le circuit est alors dit validé). On considérera qu'à l'instant de la validation le condensateur est déchargé.
Figure 6 - Un circuit classique de l'électronique musicale
On notera s(t) la tension en sortie de la porte 2 et e(t) la tension à l'autre entrée de la porte 1 (voir figure 6). Les tensions e, s et v sont toutes déterminées relativement à la masse électrique du montage. Dans toute la suite de cette partie, on suppose que le seuil de basculement des portes NAND utilisées est égal à V_(cc)/2. On notera respectivement b_s et b_e les valeurs binaires associées à s et e; ainsi par exemple b_s = 1 si s > V_(cc)/2 et b_s = 0 sinon.
Lorsqu'il est invalidé, montrer que le circuit atteint toujours un état stable pour lequel on déterminera les valeurs de s et e, et de b_s et b_e. ◻ - 13. À l'instant t = 0 le circuit est alors validé. Montrer qu'une seule des deux portes NAND change d'état (on dit qu'elle bascule); laquelle?
Que dire de la différence e(t) − s(t) en t = 0^+et en t = 0^−? Exprimer e(t) et en déduire que cet état dure jusqu'à un instant t_1, que l'on déterminera en fonction de R et C.
Un nouveau changement d'état a lieu à l'instant t = t_1 ◻ − 14. Exprimer s(t_1^+)et e(t_1^+)où la notation t_1^+désigne la limite t → t_1 par valeur supérieure. Déterminer alors e(t) pour t > t_1 et en déduire que cet état dure jusqu'à un instant t_2 que l'on exprimera en fonction de R et C. ◻ - 15. Avec la même convention, exprimer s(t_2^+)et e(t_2^+), puis e(t) pour t > t_2. En déduire l'existence d'un nouvel instant de basculement t_3 > t_2 que l'on exprimera en fonction de R et C.
Tracer l'allure de e(t) et s(t) sur une durée au moins égale à 2t_3, en positionant clairement les instants t_1, t_2 et t_3 ainsi que les valeurs de e et s correspondantes. ◻ − 17. Commenter le comportement du circuit et calculer la valeur numérique de la durée caractéristique associée.
Proposer une application dans le domaine pour lequel ce circuit a été conçu.
III Le crissement
III.A Les lois de Coulomb
Les crissements et grincements qui caractérisent certains frottements sont des oscillations de relaxation. La fréquence des relaxations est aussi celle de l'onde sonore émise, qui est souvent désagréable à entendre, notamment à cause de sa position dans la gamme des sons aigus. Nous allons en donner une description très simplifiée, dans le cadre des lois, dites de Coulomb, qui régissent le frottement de glissement d'un solide ( Σ ) en translation relativement à un support fixe (F).
Nous supposerons ici l'existence (figure 7) d'une surface de contact plane entre ( Σ ) et ( F ).
Figure 7 - Lois de Coulomb du frottement de glissement
Ces lois décrivent la force de contact R⃗ = R⃗_N + R⃗_T exercée par le support ( F ) sur le solide (Σ). Il s'agit d'une force exercée en un point P de la surface de contact des deux solides; elle peut être décomposée en une partie R⃗_T colinéaire à la surface de contact des deux solides et une autre R⃗_N perpendiculaire à celle-ci.
Les lois de Coulomb distinguent deux situations :
Lorsque ( Σ ) est en mouvement à la vitesse v⃗_g (dite vitesse de glissement), R⃗_T est colinéaire à v⃗_g, de sens inverse et de norme proportionnelle à celle de R⃗_N, ‖R⃗_T‖ = f_d‖R⃗_N‖, où le coefficient f_d > 0 porte le nom de coefficient de frottement dynamique; il reste constant pendant tout le mouvement et ne dépend que de l'état de surface des deux solides en contact.
Lorsque le mouvement de (Σ) cesse, v⃗_g = 0→ et la composante tangentielle vérifie nécessairement la condition ‖R⃗_T‖ ⩽ f_s‖R⃗_N‖ où le coefficient f_s porte le nom de coefficient de frottement statique ; lui aussi ne dépend que de l'état de surface des solides.
III.B Le modèle de crissement
Lorsqu'on appuie une craie sur un tableau noir avant de la déplacer, on entend parfois distinctement le bruit du crissement lors du déplacement de la craie. Pour étudier cette situation, on modélise (figure 8) la craie et son appui par un solide rectangulaire ( Σ ) de masse M attaché à un ressort ; le tableau noir par un support fixe (F) confondu avec le plan horizontal ( Oxy ); le déplacement, par le mouvement à vitesse constante v_0 de l'extrémité A du ressort élastique de raideur k et de longueur à vide ℓ_0.
Le ressort reste constamment parallèle à l'axe ( Ox ), à t = 0 il est à sa longueur naturelle ℓ_0.
L'autre extrémité du ressort, notée H, est liée au mobile (Σ); c'est sa vitesse que l'on souhaite étudier. À l'instant t = 0, on a x_H(0) = − ℓ_0.
On note enfin f_s > f_d les coefficients de frottement statique et dynamique de la craie sur le tableau et g = ‖g⃗‖ l'accélération de la pesanteur.
Figure 8 - Un modèle pour le crissement
◻ - 18. Exprimer la force de traction exercée par le ressort sur le mobile en fonction de k, v_0, t et de X_H(t) = x_H(t) + ℓ_0.
Exprimer aussi la composante normale R⃗_N de la force de contact exercée sur la craie. ◻ - 19. En déduire qu'à partir de t = 0 la craie reste immobile jusqu'à l'instant t = t_0 que l'on déterminera en fonction de f_s, M, g, k et v_0.
On pose τ = t − t_0. Préciser les valeurs de x_A, de X_H et de sa dérivée V_H = (dX_H)/(dτ) à l'instant τ = 0 avant d'expliciter l'équation différentielle vérifiée par X_H(τ) sous la forme :
(d^2 X_H)/(dτ^2) + ω^2 X_H = ω^2 v_0 τ + γ
où l'on exprimera les constantes ω et γ en fonction de k, M, g, f_s et f_d.
III.C Étude du mouvement de crissement
La suite du mouvement du mobile se poursuit en alternant les étapes d'immobilité et de glissement; le mouvement ainsi observé est périodique de pulsation Ω et il est la cause du bruit de crissement, par exemple, de la craie sur un tableau.
On pourra se reporter au formulaire donné à la fin de cette partie. ◻ − 21. Déterminer les expressions de X_H(τ) et V_H(τ) en fonction de τ, v_0, ω et α = γ/(ωv_0).
On note τ_(max) le premier instant où V_H atteint sa valeur maximale V_(max) et θ_(max) = ωτ_(max).
Sans nécessairement exprimer τ_(max), déterminer les expressions de cos(θ_(max)) et sin(θ_(max)) en fonction de α. En déduire que V_(max) = v_0(1 + √(1 + α^2)).
Tracer l'allure de la courbe donnant V_H(τ) puis montrer alors que cette vitesse s'annule à nouveau à un instant τ_1 > 0 correspondant à l'angle θ_1 = ωτ_1 dont on exprimera le cosinus et le sinus en fonction de α. On admettra dans la suite que 0 < α < 1.
La première mise en mouvement du mobile ( Σ ) correspond à l'intervalle 0 ⩽ τ ⩽ τ_1. À l'issue de cette phase, il s'immobilise alors pendant un laps de temps avant de rédémarrer par la suite. On rappelle que longueur du ressort est donnée à chaque instant par ℓ = x_A − x_H.
Déterminer l'expression de ℓ(τ) et en déduire la longueur du ressort ℓ(0) à l'instant τ = 0.
Montrer qu'à l'instant τ_1 elle est devenue ℓ(τ_1) = ℓ(0) − 2αv_0/ω.
En déduire la durée τ_2 qui devra alors s'écouler avant que le mobile se remette en mouvement. Compléter alors le tracé de la question précédente en faisant apparaître une période T complète du mouvement du mobile; préciser sur ce schéma dans quelle phase du mouvement il y a augmentation continue d'une contrainte et dans quelle phase il y a relâchement subit de celle-ci.
Exprimer Ω en fonction de τ_1 et τ_2 puis en fonction de ω, α et θ_1.
Pour estimer les ordres de grandeur du phénomène, on prend θ_(max) = 5π/6 avec un frottement caractérisé par f_s ≃ 1 et f_d ≃ 0, 6 pour une vitesse de traction du ressort v_0 = 1 cm/s. On prendra g ≃ 10 m/s^2. En déduire les valeurs numériques de α, puis de Ω. Quel lien existe-t-il entre cette pulsation et celle du son émis ? Préciser et justifier le domaine fréquentiel du crissement.
Formulaire et données numériques
On donne ln(2) = 0, 7 et ln(3) = 1, 1.
Si t = tanθ alors cos^2 θ = 1/(1 + t^2) et sin^2 θ = (t^2)/(1 + t^2).
On rappelle par ailleurs que cos(2θ) = cos^2 θ − sin^2 θ et sin(2θ) = 2cosθsinθ.
On pourra prendre √3 ≃ 1, 73, 1/(√3) ≃ 0, 58, π ≃ 3, 14 et 2/π ≃ 0, 64;
FIN DE L'ÉPREUVE
Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.
Questions fréquentes
4 questions
Sur quoi porte le sujet de physique 2 MPI des Mines 2024 ?
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Sur quoi porte le sujet de physique 2 MPI des Mines 2024 ?
+
Sur les oscillations de relaxation, à travers trois problèmes indépendants : un oscillateur à lampe étudié numériquement, un oscillateur à portes logiques et le crissement d'une craie sur un tableau.
Le sujet de physique 2 MPI Mines 2024 est-il long ?
+
Le jury le juge de longueur raisonnable, mais note que de nombreux candidats n'ont traité qu'une petite partie du sujet.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en physique 2 MPI Mines 2024 ?
+
L'oubli des flèches sur les vecteurs, un problème non identifié dans le code de simulation numérique, un manque d'interrogation sur le pas d'intégration de la méthode d'Euler, et l'absence de justification de la stabilité d'un état pour les portes logiques.
Ce sujet de physique MPI Mines 2024 comporte-t-il de la programmation ?
+
Oui, le problème I demande d'analyser et de compléter un code Python utilisant une méthode dérivée d'Euler explicite pour simuler les oscillations du circuit.
Pas de description pour le moment
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