CCINP Physique MP 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

Lumière et changements de référentiels : de l'éther luminifère à la relativité restreinte

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Faisable en sup ?

Faisable en partie en MPSI : 10 questions sur 38. Autres questions faisables en MPSI

Autres premières années : PTSI 6 · MP2I 9 · TSI1 9 questions.

Détail par partie

Partie I : L'expérience "MM" : Michelson et Morley (1887)1/8En partie
- Question 6
Partie II : Électromagnétisme et relativité1/8En partie
- Question 9
Partie III : L'expérience "M-G-P" : Michelson-Gale-Pearson (1924), ou de la mesure de l'effet Sagnac à l'échelle de la Terre0/72e année
Partie IV : Une application moderne de l'effet Sagnac : le gyromètre à fibre8/15En partie

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Difficulté moyenne

Lumière et changements de référentiels : de l'éther luminifère à la relativité restreinte, effet Sagnac et gyromètre à fibre

Le sujet comporte quatre parties indépendantes autour de la propagation de la lumière et des changements de référentiel. Il analyse l'expérience de Michelson et Morley avec la composition galiléenne des vitesses, puis les champs d'un fil chargé vus depuis deux référentiels. Il étudie ensuite l'effet Sagnac à l'échelle de la Terre et termine par un gyromètre à fibre, avec filtrage et simulation en Python.

1Partie I : l'expérience de Michelson et Morley (1887)Composition galiléenne des vitesses, durées de parcours, variation de l'ordre d'interférence et discussion du résultat négatif.
2Partie II : électromagnétisme et relativitéTransformation des champs entre deux référentiels, théorèmes de Gauss et d'Ampère pour un fil chargé, puis contraction ou dilatation des longueurs.
3Partie III : l'expérience de Michelson, Gale et Pearson (1924)Référentiel géocentrique, vent d'éther selon la latitude et mesure de l'effet Sagnac à l'échelle de la Terre.
4Partie IV : le gyromètre à fibreDéphasage de Sagnac, modulation de phase, analyse de Fourier, filtrage passe-bas par une cellule RC et simulation par la méthode de Runge-Kutta en Python.

Difficulté moyenne. Le rapport juge le sujet long, mais ses parties indépendantes permettaient de repartir facilement sur de nouvelles questions après un blocage.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,49 / 20 · écart-type 3,51 · 7 294 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,49/ 20
Écart-type: 3,51
Présents: 7 294
Coefficient: 15
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 4 juillet 2020. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Composition des vitesses mal représentée · Référentiels et lois de Kepler approximatifs · Ordre d'interférence mal interprété

Le sujet mêlait calculs, questions de sens physique et questions de cours, sur des thèmes variés de MPSI et MP. Le jury déplore des questions de cours souvent mal maîtrisées, un vocabulaire approximatif et des notations négligées. Il a toutefois lu de très bonnes copies, bien structurées, et salue une bonne maîtrise des théorèmes de Gauss et d'Ampère.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Composition des vitesses mal représentéeQ1
Les schémas vectoriels sont bâclés et les normes attribuées sont incohérentes, parfois même absentes des quatre propositions de l'énoncé.
« La représentation graphique de la loi de composition vectorielle des vitesses a posé beaucoup de problèmes »
2
Référentiels et lois de Kepler approximatifsQ6, Q17
Un référentiel n'a pas de centre, et il n'existe qu'un référentiel héliocentrique. Pour la loi des aires, c'est le rayon vecteur Soleil-planète qui balaie l'aire. La rotation de la Terre se fait autour de l'axe des pôles.
« Un référentiel n’a pas de barycentre ou de centre (erreur très répandue) »
3
Ordre d'interférence mal interprétéQ7
Beaucoup jugent la variation indétectable parce qu'elle est inférieure à 1, sans la comparer à la sensibilité indiquée dans l'énoncé. Un ordre d'interférence n'a pas d'unité.
4
Notations et formules de géométrieQ13, Q24
Le point du produit scalaire et le rond des intégrales fermées sont presque toujours oubliés. Certains choisissent un disque comme surface de Gauss ou ignorent l'aire latérale d'un cylindre.
5
Formule de Fresnel et filtre RCQ25, Q32
La formule de Fresnel pour deux ondes cohérentes n'est pas connue de tous. La cellule RC n'est pas toujours reconnue comme un filtre passe-bas qui garde la composante continue.
« Ce filtre pourtant élémentaire et étudié en travaux pratiques, ne devrait plus avoir de secret pour les candidats »
6
Programme Python hors consignesQ37
Il faut compléter le programme fourni sans le réécrire, utiliser append plutôt que la concaténation et vérifier les bornes des boucles for.
« utiliser la méthode append et proscrire L=L+[terme] »

Ce qui a été bien réussi

Les théorèmes de Gauss et d'Ampère sont connus et l'étude des symétries et invariances est plutôt bien menée, sans même être demandée.
Les questions 9 à 11 sont réussies dans l'ensemble.
Le développement limité de τ1 est généralement bien fait (Q19).
Les questions 29 à 31 sont souvent correctement traitées quand elles sont abordées.
La partie d'informatique, quand elle a été abordée, a donné d'assez bons résultats.

Conseils du jury

Travailler le cours pour maîtriser les compétences exigibles, y compris celles liées aux travaux pratiques.
Réviser l'informatique pour tous avec la même rigueur que la physique.
Lire attentivement l'énoncé pour respecter les consignes et ne calculer que ce qui est demandé.
Faire des schémas clairs, notamment pour les vitesses et les surfaces de Gauss.
Numéroter les questions comme l'énoncé et mettre en valeur les résultats.
Vérifier le réglage de la calculatrice en radians ou en degrés.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

38 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.

38 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.

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Description

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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

PHYSIQUE

Mercredi 6 mai : 8 h-12 h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de quatre parties indépendantes et d'une annexe (page 19).

Il est rappelé au candidat qu'il peut utiliser tout résultat fourni dans l'énoncé pour répondre aux questions suivantes, même si ce résultat n'a pu être établi.

Formulaire

Développements limités à l'ordre 2 au voisinage de zéro de deux fonctions utiles :

1/(1 - x) = 1 + x + (x^2)/2 + o(x^2); (1 + x)^γ = 1 + γx + γ(γ - 1)(x^2)/2 + o(x^2)

Relations de trigonométrie :

cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b); cos(a) - cos(b) = - 2sin((a - b)/2)sin((a + b)/2); cos^2(a) = 1/2(1 + cos(2a)); cos(a)cos(b) = 1/2(cos(a - b) + cos(a + b))

Lumière et changements de référentiels : de l'éther luminifère à la relativité restreinte

Après le succès des théories ondulatoires de Young et de Fresnel, il restait aux physiciens à expliquer la propagation de la lumière. En 1873, Maxwell publie la forme définitive de ses équations de l'électromagnétisme. À l'instar d'une onde mécanique, la lumière est conçue comme la vibration d'un "milieu support" présent partout dans l'univers : l'éther luminifère. Puis en 1905, Einstein fonde la théorie de la relativité restreinte sur le principe de relativité (qui énonce que toutes les lois physiques sont invariantes par changement de référentiel galiléen (ou inertiel)) et sur le postulat de l'invariance de la vitesse de la lumière dans le vide : le caractère absolu du temps est remis en question, la transformation de Galilée est remplacée par celle de Lorentz, l'éther luminifère peut enfin être abandonné. La question de son existence restera cependant une des grandes quêtes de la Physique jusque dans les années 1930.

Les parties I et III de ce problème abordent deux expériences à propos de l'éther restées célèbres dans l'histoire des sciences.
La partie II traite des lois de transformation du champ électromagnétique lors d'un changement de référentiel.
Enfin, la partie IV traite du gyromètre optique : une application moderne d'un effet relativiste découvert par Sagnac en 1913 qui affecte la lumière dans un référentiel tournant. L'étude se termine par une modélisation informatique d'un moyen de détection du déphasage produit.

Point de vue général

On souhaite reprendre les raisonnements historiques à propos de l'éther tenus par les physiciens pré-relativistes.
On introduit pour cela le référentiel de l'observateur noté (

R_(obs)

) et on considère l'éther comme un fluide en mouvement à la vitesse

w⃗

dans (

R_(obs)

), ce qui définit le référentiel de l'éther (

R_(eth)

). La lumière, qui est une oscillation de l'éther, se propage dans celui-ci de manière isotrope : quelle que soit sa direction, le vecteur vitesse de propagation de la lumière dans (

R_(eth)

), noté

c⃗

, a pour norme

c = 299792458 m \cdot s^(- 1)

(valeur qui sera arrondie à

3, 0 \cdot 10^8 m \cdot s^(- 1)

pour les applications numériques).

Consigne : en nous plaçant à l'époque des physiciens pré-relativistes, nous utiliserons la transformation galiléenne des vitesses et ferons comme si nous ne savions pas que

c

est une constante universelle de la Physique.

Partie I - L'expérience "MM" : Michelson et Morley (1887)

Le schéma de principe du dispositif que Michelson et Morley utilisèrent en 1887 est représenté en figure 1. Il s'agit d'un interféromètre de Michelson réglé au contact optique avec

L

la longueur commune des bras de l'interféromètre :

L = OH_1 = OH_2

. L'ensemble Séparatrice-Compensatrice est modélisé comme une lame semi-réfléchissante d'épaisseur nulle, placée à

45^\circ

du faisceau incident et n'introduisant aucun déphasage supplémentaire sur les trajets lumineux. Les deux faisceaux lumineux obtenus après division d'amplitude suivent des trajets selon les axes

Ox

Oy

perpendiculaires. On observe les franges d'interférences à l'aide d'un oculaire micrométrique placé à la sortie de l'appareil.
À l'entrée de l'interféromètre, un filtre interférentiel isole la raie

H_α

du rayonnement solaire. On note

v

la fréquence de la lumière monochromatique ainsi obtenue.
Le référentiel d'observation (

R_(obs)

) est ici le référentiel terrestre dans lequel les miroirs

M_1

M_2

sont immobiles. L'air est assimilé au vide et nous considèrerons qu'il n'a aucune influence sur la propagation. En revanche, l'ensemble du dispositif baigne dans l'éther en mouvement à la vitesse

w⃗ = we⃗_x

uniforme avec

w > 0

(mouvement appelé "vent d'éther").
Configuration

α

: l'interféromètre est positionné de telle sorte que le trajet lumineux sur le bras

n^\circ1

soit colinéaire au vent d'éther. Le bras

n^\circ2

est perpendiculaire à cette direction.
Configuration

β

: on fait subir à l'ensemble

δ = {

Source, interféromètre, observateur} une rotation de

90^\circ

autour de l'axe Oz dans le sens horaire, de telle sorte que ce soit le bras

n^\circ2

qui devienne colinéaire au vent d'éther.

Figure 1 - Schéma de l'interféromètre de Michelson dans la configuration

α

L'interféromètre est dans la configuration

α

(figure 1). On appelle

A_1

, un point quelconque entre O et

H_1

sur le trajet lumineux aller du bras

n^\circ1

R_1

un point sur le trajet retour. On note de même

A_2

R_2

deux points entre O et

H_2

sur les trajets aller et retour du bras

n^\circ2

.
En utilisant l'indice

i = 1

ou 2 pour indiquer la voie de l'interféromètre et l'indice

ε = a

r

pour indiquer le sens aller ou retour, on note

v⃗_(εi)

la vitesse de la lumière dans (

R_(obs)

) et

c⃗_(εi)

sa vitesse dans (

R_(eth)

). Par souci de lisibilité les quatre points

A_1, A_2, R_1

R_2

et les vitesses

v⃗_(εi)

ont été représentées hors des trajets des rayons lumineux.

Q1. Reproduire la figure 1 et la compléter en dessinant les "triangles des vitesses" reliant les vecteurs

v⃗_(εi), c⃗_(εi)

w⃗

aux points

A_1, A_2, R_1

, et

R_2

en supposant qu'une loi de composition galiléenne des vitesses s'applique.
Attribuer à chaque expression fournie ci-dessous la norme

v_(εi)

correspondante :

c - w; \sqrt(c^2 - w^2); c + w; \sqrt(c^2 - w^2).

Q2. En déduire l'expression de la différence

τ(α) = τ_2(α) - τ_1(α)

des durées de parcours de la lumière arrivant à l'oculaire en suivant la voie 1 (respectivement 2) dans la configuration

α

.
Faire un développement limité de

τ(α)

à l'ordre 2 en

w/c

.
Donner alors l'expression de l'ordre d'interférence

p(α)

en fonction de la fréquence

v

, de

L

, de

c

et du rapport

w/c

(on rappelle que l'ordre d'interférence de deux signaux lumineux cohérents entre eux et présentant un déphasage

φ

est égal à

φ/2π

Q3. Avec le moins possible de calculs, donner de même les expressions :

de la différence $τ(β) = τ_2(β) - τ_1(β)$ des durées de parcours de la lumière arrivant à l'oculaire en suivant la voie 1 (respectivement 2) dans la configuration $β$ ;
du développement limité de $τ(β)$ à l'ordre 2 en $w/c$ ;
de l'ordre d'interférence $p(β)$ en fonction de $v, L, c$ et du rapport $w/c$ .

Q4. Soit

Δp = p(β) - p(α)

la variation de l'ordre d'interférence produite lors du passage de l'interféromètre de la configuration

α

à la configuration

β

. Montrer que

Δp = 2Lv/c(w/c)^2

Q5. De manière à visualiser un petit nombre de franges d'interférence à l'oculaire micrométrique, on règle l'interféromètre en coin d'air à partir de la configuration

α

en opérant une toute petite rotation du miroir

M_1

autour de son diamètre

H_1 z

. La figure d'interférences se présente alors comme un ensemble de franges rectilignes parallèles équidistantes d'interfrange

i

.
En supposant la variation

Δp

de l'ordre d'interférence obtenue en Q4 inchangée par ce nouveau réglage, indiquer quelle modification de la figure d'interférences est attendue lors du passage de la configuration

α

à la configuration

β

. Exprimer cette modification à l'aide de

Δp

i

Q6. En faisant l'hypothèse d'un éther immobile dans le référentiel héliocentrique et ne subissant aucun effet d'entraînement par l'atmosphère terrestre, Michelson et Morley comptaient observer cette modification avec une vitesse de vent d'éther de norme

w = 30, 0 km \cdot s^(- 1)

environ.
a) Rappeler la définition du référentiel héliocentrique.
b) Énoncer, sans les démontrer, les trois lois de Képler pour une planète autour du Soleil.
c) Expliquer à quelle caractéristique terrestre correspond la valeur

w = 30, 0 km \cdot s^(- 1)

escomptée par Michelson et Morley. Retrouver cette valeur à partir de

G

(constante de Newton),

M_S

(masse du Soleil) et

T_(an)

(durée de l'année terrestre).
Faire l'application numérique avec

G = 6, 67 \cdot 10^(- 11) N \cdot kg^(- 2) \cdot m^2, M_S = 1, 99 \cdot 10^(30) kg

T_(an) = 365, 25

jours.

Q7. Pour passer de la configuration

α

à la configuration

β

, Michelson et Morley avaient monté leur interféromètre sur une table en granit posée au-dessus d'un flotteur en bois sur un bain de mercure, ce qui leur permettait d'opérer une rotation de l'ensemble en toute simplicité (photo 1).

Photo 1 - L'interféromètre utilisé par Michelson et Morley en 1887
(source : http://ondes-relativite.info/ DomniqueCabala/chap4_histo.htm)

Une grande longueur des bras de l'interféromètre (obtenue par un rallongement des trajets à l'aide de plusieurs jeux de miroirs) et un oculaire micrométrique avaient été prévus afin d'assurer une détection confortable des modifications attendues de la figure d'interférences. La sensibilité du dispositif était de l'ordre du centième d'interfrange.

Avec

w = 30, 0 km \cdot s^(- 1), L = 11, 2 m

v = 4, 57 \cdot 10^(14) Hz

, donner la valeur numérique de

Δp

, variation de l'ordre d'interférence escomptée par Michelson et Morley, exprimée en Q4. Commenter.

Q8. Donner une estimation numérique de la vitesse d'éther minimale que le dispositif permettait de mesurer a priori. Quelle(s) objection(s) aurait-on pu faire quant au résultat de l'expérience finalement annoncé négatif par Michelson et Morley? Pourquoi l'expérience fut-elle reconduite à différents moments de l'année ?

Le résultat négatif de l'expérience de Michelson et Morley a révélé la mise en défaut de la transformation de Galilée. Cette dernière conduit également à des lois erronées de changement de référentiel pour le champ électromagnétique. C'est l'objet de la partie II ci-après.

Partie II - Électromagnétisme et relativité

Soit (R') un référentiel en translation rectiligne uniforme à la vitesse

V⃗_e

par rapport à un référentiel (R). Un champ électromagnétique (

E⃗, B⃗

) est présent dans (R).

Q9. Rappeler l'expression de la force électromagnétique exprimant l'action du champ électromagnétique (

E⃗, B⃗

) sur une particule de charge

q

animée d'une vitesse

v⃗

dans (R).

Q10. Expliciter la formule de transformation galiléenne des vitesses reliant la vitesse

v⃗^'

de la particule dans (R') à sa vitesse

v⃗

dans (R) et à

V⃗_e

Q11. Dans (R') le champ électromagnétique précédent est caractérisé par les champs (

E⃗^', B⃗^'

). En utilisant l'invariance de la force électromagnétique entre les référentiels

(R)

(R

'), montrer que la loi de composition des vitesses utilisée en Q10 est compatible avec les lois suivantes de transformation «classique» des champs :

{E⃗ = E⃗^′ − V⃗_e ∧ B⃗^′; B⃗ = B⃗^′

On considère, dans le vide, un fil rigide rectiligne cylindrique de rayon

a

et infiniment long, chargé avec une densité volumique

ρ_f

uniforme (figure 2). On note

λ_f = πa^2 ρ_f

la densité linéique de charge et ( R ') le référentiel du fil. La direction du fil est confondue avec l'axe Oz d'un référentiel (R) dans lequel le fil est en mouvement rectiligne uniforme à la vitesse

V⃗_e = V_e e⃗_z

. On repère un point

M

à l'extérieur du fil par ses coordonnées cylindriques (

r, θ, z

) d'axe Oz (avec

r > a

). On note

ε_0

la permittivité diélectrique et

μ_0

la perméabilité magnétique du vide.

Figure 2 - Fil chargé en mouvement à la vitesse

V⃗_e

dans (R)

On cherche à calculer les champs électrique

E⃗

et magnétique

B⃗

créés par le fil dans (R) en tout point à l'extérieur du fil, à partir de leurs homologues

E⃗^'

B⃗^'

dans ( R ').

Q12. Justifier que

B⃗^' = 0\to

. En déduire

B⃗

d'après

Q11

Q13. Par l'application du théorème de Gauss, calculer

E⃗^'

. En déduire

E⃗

d'après

Q11

.
Q14. Quelle est, en fonction de

λ_f

V_e

, l'expression de l'intensité du courant électrique vue par un observateur dans (R) ? À l'aide du théorème d'Ampère, exprimer

B⃗

. Commenter par rapport à Q12.

En fait, les lois de transformation des champs selon la relativité restreinte sont les suivantes :

E⃗_(//) = E⃗_(//)^' E⃗_⊥ = γ(E⃗_⊥^' - V⃗_e \land B⃗_⊥^') B⃗_(//) = B⃗_('//)^' B⃗_⊥ = γ(B⃗_⊥^' + (V⃗_e)/(c^2) \land E⃗_⊥^')

avec

γ = 1/(\sqrt(1 - (V_e^2)/(c^2)))

et où l'indice // désigne la composante des champs dans la direction définie par

V⃗_e

et l'indice

⊥

leur composante perpendiculaire à

V⃗_e

. Ainsi a-t-on

E⃗ = E⃗_(//) + E⃗_⊥

B⃗ = B⃗_(//) + B⃗_⊥

Q15. À l'aide de ces lois de transformations et en considérant exacts les champs

E⃗^'

B⃗^'

obtenus en

Q12

Q13

, donner les expressions correctes de

E⃗

B⃗

Q16. Quelle est alors, en fonction de

λ_f

γ

, la valeur de la densité linéique de charge

λ

vue par un observateur dans

(R)

? Ce résultat correspond-il à une contraction ou à une dilatation des longueurs si on considère qu'il y a conservation de la charge électrique?

En 1924, la théorie de la relativité restreinte a presque vingt ans, mais les physiciens n'ont toujours pas tranché définitivement la question de l'éther, surtout qu'en 1913, un jeune physicien français, Georges Sagnac, découvre un effet qui va relancer le débat : en faisant circuler sur un même trajet fermé, mais en sens inverse, deux rayons lumineux émis à partir d'une source, Sagnac mesure un décalage des franges d'interférences lorsque le plateau sur lequel repose l'ensemble du dispositif est mis en rotation à la vitesse de quelques tours par seconde. Le décalage mesuré est proportionnel à la vitesse angulaire du plateau et à l'aire de la boucle suivie par la lumière. Cet effet, qui semble révéler une anisotropie de la vitesse de la lumière dans un référentiel en rotation, serait-il la preuve tant attendue de l'existence de l'éther?
Michelson, Gale et Pearson mettent alors sur pied une version modifiée de l'expérience de 1887 dans le but de tester les deux théories (éther luminifère et relativité restreinte) en mesurant l'effet Sagnac dû̀ à la rotation de la Terre. Cette rotation étant bien plus lente que la rotation du plateau utilisé par Sagnac, il fallait construire un interféromètre aux dimensions "gigantesques". La partie III traite de cette expérience "hors normes".

Partie III - L'expérience "M-G-P" : Michelson-Gale-Pearson (1924), ou de la mesure de l'effet Sagnac à l'échelle de la Terre

La Terre est supposée sphérique de rayon

R_T

et animée d'un mouvement de rotation uniforme d'Ouest en Est autour de l'axe des pôles à la vitesse angulaire

Ω⃗_T

. Seul l'hémisphère nord a été représenté en figure 3. Un point quelconque sur cet hémisphère est repéré par ses coordonnées géographiques : latitude

φ(0 \leq φ \leq π/2)

comptée à partir de l'équateur vers le Nord et longitude

θ

(

0 \leq θ < 2π

) comptée à partir du méridien de Greenwich vers l'Ouest.

Figure 3 - Coordonnées géographiques d'un point M dans l'hémisphère nord et interféromètre de Michelson-Gale-Pearson à boucle rectangulaire

ABCD

Q17. Rappeler la définition du référentiel géocentrique

(R_g)

. Quel est le mouvement de la Terre dans

(R_g)

? Relier la norme

Ω_T

du vecteur

Ω⃗_T

à la durée

T_j

du jour terrestre.

Dans cette partie, on fait l'hypothèse d'un éther immobile dans (

R_g

) et on étudie les effets du "vent d'éther" dus à la rotation terrestre.

Q18. Dans quelle direction et dans quel sens "souffle le vent d'éther" pour un observateur terrestre ? On note

w⃗(φ) = w(φ)e⃗

la vitesse du vent d'éther à la latitude

φ

, avec

e⃗

le vecteur unitaire adéquat pour que

w(φ)

soit positive. Exprimer

w(φ)

en fonction de

R_T, Ω_T

φ

La figure 4 représente schématiquement le dispositif de Michelson-Gale-Pearson utilisé en 1924. Celui-ci s'inspire de l'interféromètre à boucle fermée utilisé par Sagnac en 1913.

Figure 4 - Schéma de l'interféromètre utilisé dans l'expérience de Michelson-Gale-Pearson (source : "A review of Michelson-Morley, Sagnac and Michelson-Gale-Pearson experiments", the general science journal, M. D. Abdullahi)

Il s'agit d'un interféromètre à boucle rectangulaire, de largeur

Y = AD = BC = 339 m

et de longueur

X = AB = DC = 612 m

installé sur un vaste champ à Clearing, en Illinois. Les côtés longs, AB et DC , de ce rectangle sont dirigés d'Ouest en Est, en suivant deux parallèles de latitudes respectives

φ

φ + Δφ

(figure 3). Les petits côtés AD et BC qui complètent le rectangle occupent la direction Sud-Nord locale.

Cette "piste" rectangulaire était conçue à partir de tubes en fonte hermétiquement liés, dans lesquels un dispositif de pompage avait été prévu pour assurer un vide de bonne qualité.
La photo 2 montre à quoi ressemblait l'installation de la plus extraordinaire expérience d'interférométrie jamais réalisée jusqu'alors.

Photo 2 - L'installation de Michelson-Gale-Pearson à l'hiver 1924 dans un vaste champ à Clearing, en Illinois

On peut remarquer dans la partie gauche de la figure 4 un tube supplémentaire EF , formant avec AD une boucle rectangulaire AEFD d'aire beaucoup plus petite que le rectangle principal ABCD . Nous évoquerons plus loin le rôle de ce rectangle secondaire.

Aux sommets

A, E

et F , sont placées des lames semi-réfléchissantes orientée à

45^\circ

par rapport aux côtés et en

B, C

et D se trouvent trois miroirs plans également inclinés à

45^\circ

afin d'assurer des trajets lumineux parallèles aux axes de symétrie des tubes. Pour simplifier l'étude, on considèrera que les lames ont toutes une épaisseur nulle.

Un rayon de lumière issu d'une source

S

est divisé en deux rayons, l'un transmis et l'autre réfléchi par la lame A . Les deux rayons de lumière sont ainsi injectés en sens inverse le long du rectangle ABCD , en se réfléchissant sur les miroirs aux coins

B, C

et D , pour revenir sur la lame A et finalement interférer dans le plan focal image de l'objectif d'un télescope T .

Q19. a) On note

τ_0

la durée que met la lumière à parcourir la distance cumulée 2 Y entre les deux latitudes

φ

φ + Δφ

(il est inutile de chercher à déterminer sa valeur).
À l'aide de deux lois de composition galiléenne des vitesses aux latitudes

φ

φ + Δφ

, exprimer en fonction de

τ_0, c, X

et des composantes de vitesse du vent d'éther

w(φ)

w(φ + Δφ)

, la durée de parcours

τ_1

de la lumière dans son trajet ABCDA .
b) Faire le développement limité de

τ_1

à l'ordre 1 en

(w(φ))/c

et en

(w(φ + Δφ))/c

, puis à l'ordre 1 en

Δφ

(on rappelle que

w(φ + Δφ) \approx w(φ) + w^'(φ)Δφ

où

w^'(φ)

désigne la dérivée de

w(φ)

). En faisant apparaître Y , établir que la durée

τ_1

peut s'écrire sous la forme

τ_1 = τ_0 + (2X)/c + (Ω_T X)/(c^2)f(Y, φ)

dans laquelle on explicitera

f(Y, φ)

.
c) Exprimer de même la durée de parcours

τ_2

de la lumière effectuant le trajet ADCBA en fonction de

τ_0, c, X, w(φ)

w(φ + Δφ)

. Un calcul non demandé analogue à celui de Q19.b conduit à

τ_2 = τ_0 + (2X)/c - (Ω_T X)/(c^2)f(Y, φ)

Q20. On suppose la lumière monochromatique de longueur d'onde dans le vide

λ_0

. On note

Ω_n = Ω_T sinφ

la composante du vecteur

Ω⃗_T

sur la direction de la normale au plan ABCD orientée vers le ciel (zénith local) et

S =

XY l'aire du rectangle ABCD délimité par le trajet lumineux. Établir que le déphasage

ΔΦ

entre les deux rayons lumineux à leur arrivée en A est

ΔΦ = (4π)/(λ_0 c)SΩ_n

Q21. Quel est l'ordre d'interférence

p

correspondant?
Q22. Dans l'expérience de Sagnac, un décalage des franges (donc une variation

Δp

de l'ordre d'interférence) est observé par rapport à la situation où le plateau est immobile. Quelle est la difficulté de la mesure d'une variation

Δp

dans le cas de la Terre sur le même principe ? Expliquer le rôle du rectangle AEFD , d'aire beaucoup plus petite que

S

Q23. On donne

φ = 41^\circ48^' N, λ_0 = 0, 500μ m

Ω_T = 7, 29 \cdot 10^(- 5)rad \cdot s^(- 1)

. Calculer

Δp

.
L'expérience de 1924 a donné

(Δp)_(exp) = 0, 26\dots

L'effet Sagnac dû à la rotation de la Terre existe donc bel et bien, mais seule la relativité peut en donner le calcul correct.

Partie IV - Une application moderne de l'effet Sagnac : le gyromètre à fibre

On considère un interféromètre de Sagnac (figure 5), constitué :

d'une lame séparatrice,
d'une bobine de fibre optique de longueur totale $L$ et d'indice optique $n$ , enroulée ( $N_t$ tours) sur un contour circulaire de centre O et de rayon $r$ ,
d'une source laser de longueur d'onde dans le vide $λ_0$
d'un détecteur optique.

Les rôles du modulateur et du démodulateur de phase seront explicités plus loin.

Figure 5 - Interféromètre de Sagnac à fibre optique

Après division du rayon incident, l'onde transmise et l'onde réfléchie parcourent la fibre en sens inverse (on parle d'ondes contra-propagatives), puis elles interfèrent par recombinaison après réflexion ou transmission retour sur la séparatrice. Un détecteur optique enregistre l'intensité résultante.

Lorsque l'ensemble du dispositif tourne autour de l'axe (

O, e⃗_z

) perpendiculaire au plan de l'enroulement de la fibre avec une vitesse angulaire

Ω⃗ = Ωe⃗_z

(avec

Ω > 0

< 0

), un déphasage Sagnac apparaît entre les deux ondes à la sortie de l'interféromètre. Son expression est

ΔΦ_s = (4πL)/c(rΩ)/(λ_0)

La mesure de ce déphasage permet d'accéder à

Ω

. On obtient ainsi un gyromètre optique, (ou gyrofibre) capable de fournir la mesure de vitesses de rotation. Pour avoir les trois composantes du vecteur rotation, il faut embarquer trois interféromètres de Sagnac à bobines mutuellement perpendiculaires. Allié à trois accéléromètres, l'ensemble constitue une UMI (unité de mesure inertielle), couramment utilisée aujourd'hui dans les avions et les navires. L'intégration des trois composantes d'accélération et de vitesse angulaire donne la position et l'orientation absolue du véhicule dans l'espace. Ce système embarqué autonome présente une complémentarité intéressante avec le positionnement GPS.

IV. 1 - Principe de fonctionnement et modulation de phase

Q24. Donner

ΔΦ_s

en fonction de

Ω

et de l'aire totale

S_(tot)

de la boucle qui compte

N_t

tours de fibre.
Q25. On note

I_0

l'intensité du rayon lumineux incident sur la séparatrice. En supposant une séparatrice idéale avec des coefficients de réflexion et de transmission en intensité égaux à

50%

, donner sans démonstration l'expression

I(ΔΦ_s)

de l'intensité enregistrée par le détecteur en sortie d'interféromètre en fonction de

I_0

ΔΦ_s

Q26. a) Partant d'un interféromètre au repos (

ΔΦ_s = 0

), la mesure de la variation de

I

produite par une rotation permet-elle de discriminer le sens de la rotation ? Argumenter.
b) On définit la sensibilité en intensité par

κ = 1/(I_0)|(dI)/(dΩ)|

. Exprimer

κ

en fonction de

λ_0, c, S_(tot)

Ω

. À

Ω

donné, sur quels paramètres peut-on jouer pour augmenter

κ

sachant que le rapport

(S_(tot)Ω)/(λ_0 c)

reste très inférieur à 1 pour les valeurs

S_(tot)

Ω

usuellement rencontrées dans un gyromètre optique ?
c) À

S_(tot)

donnée, quelle difficulté apparaît pour la mesure des très faibles vitesses de rotation?

La difficulté à déterminer le sens de rotation et à mesurer de très faibles vitesses angulaires peut être résolue en utilisant une modulation de phase sinusoïdale de fréquence

f_m

et d'amplitude

Φ_0

au moyen d'un modulateur électro-optique (représenté en figure 5).

Le modulateur joue le rôle d'une ligne à retard. À la traversée du modulateur, les deux ondes subissent le même signal de modulation mais décalé dans le temps, l'une subissant la modulation avant son entrée dans la bobine de fibre, l'autre après en être ressortie. Le retard est égal au temps de transit

τ_r = (nL)/c

dans la bobine de fibre (on rappelle que

n

est l'indice optique). Le déphasage total entre les deux ondes en sortie d'interféromètre est alors donné par :

ΔΦ_t = ΔΦ_s + Φ_b(t) - Φ_b(t - τ_r)

où

Φ_b(t) = Φ_0 cos(2πf_m t)

est le signal de modulation (ou "biais") appliqué par le modulateur.
Q27. a) Montrer que

ΔΦ_t = ΔΦ_s - 2Φ_0 sin(πf_m τ_r)sin(2πf_m(t - (τ_r)/2))

.
b) On note

f_p = c/(2nL)

la fréquence propre de la fibre. Montrer que pour des valeurs de

f_m

bien choisies par rapport à

f_p, ΔΦ_t

prend la forme suivante:

ΔΦ_t = ΔΦ_s + Φ_(eff)cos(2πf_m t)

où on exprimera la constante

Φ_(eff)

en fonction de

Φ_0

Q28. Donner l'expression de l'intensité

I(t)

enregistrée par le détecteur en fonction de

I_0, ΔΦ_s

Φ_(eff), f_m

t

, puis montrer qu'elle peut se mettre sous la forme suivante :

I(t) = (I_0)/2[1 + cos(ΔΦ_s)cos(Φ_(eff)cos(2πf_m t)) - sin(ΔΦ_s)sin(Φ_(eff)cos(2πf_m t))].

IV. 2 - Analyse harmonique

Q29. À l'aide des données de l'annexe (page 19), montrer que le développement en série de Fourier du signal

I(t)

limité à ses trois premiers termes s'écrit

I(t) = i_0 + i_1 cos(2πf_m t) + i_2 cos(4πf_m t)

avec

i_0, i_1

i_2

trois coefficients à exprimer en fonction de

I_0, ΔΦ_s

et des valeurs

J_0(Φ_(eff)), J_1(Φ_(eff))

J_2(Φ_(eff))

des fonctions de Bessel.

Une méthode de détection de la rotation de la fibre basée sur la détermination du coefficient

i_1

est détaillée dans les questions Q31 à Q33.

Q30. a) Que vaut

i_1

en l'absence de rotation?
b) Expliquer pourquoi la détermination de

i_1

permet de résoudre les problèmes sur le sens de la rotation et sur la sensibilité aux faibles vitesses évoqués en Q26.

Pour extraire la valeur de

i_1

, on met en œuvre une méthode de détection synchrone : on utilise pour cela un démodulateur (figure 6) constitué d'un étage multiplieur (de constante caractéristique

K_p

) et d'un circuit (

R, C

). La tension réponse du détecteur

d(t) = KI(t)

(où

K

est une constante caractéristique du détecteur) est multipliée par une tension sinusoïdale

s(t) = s_0 cos(2πf_m t)

synchrone de l'harmonique qu'on cherche à extraire (i.e. de même fréquence et de même phase que lui). Ainsi, la tension en sortie de multiplieur est

p(t) = K_p d(t)s(t)

Figure 6 - Schéma du démodulateur

Q31. Exprimer la tension

p(t)

sous la forme d'une somme

p_0 + p_1 cos(2πf_m t) + p_2 cos(4πf_m t) + p_3 cos(6πf_m t)

dans laquelle on précisera les valeurs des coefficients

p_0, p_1, p_2

p_3

en fonction de

K_p, K, s_0

et des coefficients

i_0, i_1

i_2

introduits en Q29.

Q32. Expliquer le rôle de la cellule (

R, C

) par rapport à l'objectif visé. Exprimer une condition littérale avec

f_m

et la constante de temps

τ = RC

de la cellule pour que la tension

u

aux bornes de C soit constante. Donner une valeur numérique convenable de

τ

Q33. La condition demandée en Q32 étant satisfaite, on donne la valeur de

u

obtenue aux bornes de

C : u = - 1/2K_p KI_0 s_0 J_1(Φ_(eff))sin(ΔΦ_s)

Application numérique :

f_m = 30kHz, Φ_(eff) = 1, 8rad, s_0 = 10, 0 V, K_p KI_0 = 1, 0, r = 10, 0 cm, N_t = 10^4, λ_0 = 410 nm

u = - 1, 5 V

. Calculer

ΔΦ_s

(en radians) puis

Ω

IV. 3 - Simulation informatique

Cette sous-partie est indépendante des questions précédentes. Ni le traitement des questions Q24 à Q33, ni la connaissance du signal

p(t)

ne sont nécessaires pour répondre aux questions ci-dessous.

On veut faire une simulation du filtrage du signal

p(t)

par la cellule (

R, C

) à l'aide d'un code informatique. L'intervalle de temps choisi pour la simulation est

[t_i; t_f]

. On définit dans cet intervalle

N

dates

t_n

équidistantes, avec

n

entier naturel (

n = 0, 1, 2, \dots, (N - 1)

).
On note

h = t_(n + 1) - t_n = (t_f - t_i)/(N - 1)

le pas de temps.
On note

u_n

la valeur de

u

à la date

t_n : u_n = u(t_n)

.
On fait de même avec

p : p_n = p(t_n)

.
Q34. a) Établir l'équation différentielle liant

u(t), p(t)

τ = RC

.
b) Mettre cette dernière sous la forme

(du)/(dt) = f(p(t), u(t))

où on explicitera la fonction

f

(paramétrée par

τ

).
c) En déduire l'écriture de la différence

u_(n + 1) - u_n

en fonction de l'intégrale

Ψ_n = \int_(t_n)^(t_(n + 1))f(p(t), u(t))dt

Q35. Méthode $n^\circ1$

Écrire l'évaluation approchée de

Ψ_n

par la méthode des rectangles.
En déduire la relation de récurrence donnant

u_(n + 1)

à partir de

u_n, τ, h

f(p_n, u_n)

. Quel nom donne-t-on à cette méthode ?

Q36. Méthode $n^\circ2$ : méthode améliorée de Runge-Kutta

On reprend l'intégrale

Ψ_n

de la question Q34.c. Écrire l'évaluation approchée de

Ψ_n

par la méthode des trapèzes.

Grâce à une évaluation approchée de

u_(n + 1)

à préciser, montrer que la relation de récurrence qui permet de calculer

u_(n + 1)

à partir de

u_n, p_n

p_(n + 1)

, prend la forme suivante :

u_(n + 1) = u_n + h/2(r + k) avec {r = f(p_n, u_n); k = f(p_(n + 1), u_n + rh).

Écriture du programme (Informatique Pour Tous)

On prendra

N = 5000

, la date de début

t_i = 0 s

, la date de fin

t_f = 0, 001 s

u(0) = 0

comme condition initiale. Le candidat utilisera le langage de programmation Python pour compléter le programme (tableau 1) en Q37.

Dans ce tableau, lignes 13 à 17, le symbole @ désigne des valeurs numériques qu'on ne demande pas de renseigner. A partir du bloc ligne 34,

$$

indique le code absent à compléter (un morceau de ligne ou une ligne ou plusieurs lignes d'instructions).

Programme incomplet (Python)	$N^\circ$ de ligne
import matplotlib.pyplot as plt	1
import numpy as np	2
	3
#Définition des constantes	4
fm=3E4 # fréquence de modulation	5
$I0 = 1$ . #intensité de référence	6
$K = 1$ .	7
$s0 = 10$ .	8
$Kp = 1$ .	9
pi=np.pi #valeur pi de numpy nommée pi	10
	11
#Valeurs numériques entrées	12
phi_s =@ # valeur de $ΔΦ_s$ trouvée en Q33	13
phi_eff=@ # valeur de $Φ_(eff)$	14
# différents essais (cf. question Q38)	15
tau $= @$ # valeur de la constante de temps $τ$ (cf. question Q32)	16
# différents essais pour illustrer le rôle de la cellule (R,C)	17
	18
# Définition des signaux $I(t), d(t), s(t)$ et $p(t)$	19
$defI(t)$ :	20
return (I0/2)(1+np.cos(phi_s+phi_effnp.cos(2pifm*t)))	21
	22
$defd(t)$ :	23
return K*I(t)	24
	25
$defs(t)$ :	26
return s0np.cos(2pifmt)	27
	28
$defp(t)$ :	29
return $Kp^* d(t)^* s(t)$	30
	31
#définition de la fonction f	32
$deff(x, y)$ :	33
$$	34
	35
#dates initiale et finale de la simulation	36
ti, tf = 0, 0.001	37
	38
#nbre de dates de simulation	39
$N = 5000$	40
	41
$h = (tf - ti)/(N - 1) #pas$ de temps	42

	43
#définition de la liste T des dates $t_n$ :	44
T=[ ]	45
for n in range ( $$$$	46
$$	47
	48
#définition de la liste P des valeurs $p(t_n)$	49
$$	50
	51
	52
#Calcul de U par la méthode $n^\circ1$ :	53
$defE(P)$ :	54
$U = [0]$ #initialisation avec $u(0) = 0$	55
for n in range($$$	56
U.append($$	57
$$	58
	59
$U1 = E(P)$ # Liste U1 obtenue par appel de E(P)	60
	61
# Affichage de la liste des résultats de la méthode $n^\circ1$	62
print(U1)	63
	64
#Calcul de U par la méthode de Runge-Kutta	65
def RK(P):	66
$U = [0]$	67
$$	68
	69
U2=RK(P) #Liste U2 obtenue par appel de RK(P)	70
	71
# Représentations graphiques pour la méthode de Runge-Kutta	72
plt.figure()	73
plt.plot(T,P,'b')	74
plt.plot(T,U2,'r')	75
plt.title('p(t) et $u(t)^'$ )	76
	77

Tableau 1 - Programme incomplet

Q37. Répondre sur la copie aux consignes ci-dessous :

bloc ligne 32 : compléter le programme pour la définition de la fonction f .
bloc ligne 44 : compléter cette section par les lignes nécessaires à la création de la liste T des N dates $t_n$ équidistantes dans l'intervalle $[t_0; t_f]$ .
bloc ligne 49 : faire de même pour la création de la liste P des valeurs $p(t_n)$ .
bloc ligne 53 : recopier et compléter cette partie de programme pour obtenir la liste U des valeurs $u(t_n)$ calculées par la méthode $n^\circ1$ de la question $Q35$ .
bloc ligne 65 : écrire une fonction $RK(P)$ qui remplit la liste U des valeurs $u(t_n)$ calculées par la méthode de Runge-Kutta de la question Q36.

Q38. Pour la valeur

ΔΦ_s

de la question Q33, les figures 7a, b, c, d et e fournies en page 18 sont les représentations graphiques de

p(t_n)

u(t_n)

obtenues par la fonction RK. L'unité utilisée en ordonnée est le volt. Chaque figure correspond à un couple (

τ, Φ_(eff)

) dont les valeurs sont regroupées dans le tableau 2.

N^\circ

du couple

Nom de la

figure

(τ, Φ_(eff))

(500μ s, 1, 8rad)

(50μ s, 1, 8rad)

(5μ s, 1, 8rad)

(50μ s, 3, 8rad)

(50μ s, 5, 4rad)

Tableau 2

a) Recopier le tableau 2 et compléter la ligne vide à l'aide du document dans l'annexe et des valeurs numériques données en Q33. Vous fournirez les explications qui ont motivé vos réponses.
b) Quelle valeur de

Φ_(eff)

n'est-elle pas conseillée ? Pourquoi?
c) Quel avantage et quel inconvénient ces graphes laissent-ils entrevoir dans le choix d'une grande valeur de

τ

?
d) Calculer la valeur de

ΔΦ_s

si on exploite le graphe (

50μ s, 5, 4rad

) en pensant qu'il s'agit d'un graphe (

50μ s, 1, 8rad

Figures 7a et 7b

p(t_n)

u(t_n)

Figures

7c, 7 d

7ep(t_n)

u(t_n)

ANNEXE

Les fonctions suivantes :

f_z : ξ \to f_z(ξ) = cos(zcosξ); g_z : ξ \to g_z(ξ) = sin(zcosξ)

paramétrées par le réel z ont pour développements en série de Fourier :

{f_z(ξ) = J_0(z) + 2∑_(n = 1)^∞(− 1)^n J_(2n)(z)cos(2nξ); g_z(ξ) = 2∑_(n = 0)^∞(− 1)^n J_(2n + 1)(z)cos((2n + 1)ξ)

où

J_n

est la fonction de Bessel de première espèce d'ordre

n

Le document ci-dessous donne les graphes des fonctions

J_n

pour

n = 1, 2

et 3 .

Document - Graphes des fonctions de Bessel

J_1, J_2

J_3

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet CCINP physique MP 2020 ?

Sur l'interférométrie, la composition galiléenne des vitesses, l'électromagnétisme (Gauss, Ampère), le filtrage harmonique et une simulation informatique. Le fil conducteur est l'histoire de l'éther jusqu'à la relativité restreinte.

Quelles erreurs le jury du CCINP physique MP 2020 a-t-il relevées ?

Des schémas de composition des vitesses bâclés, des confusions entre référentiel et repère, des lois de Kepler approximatives, une formule de Fresnel mal connue et un filtre RC passe-bas non identifié.

Le sujet de physique MP CCINP 2020 est-il faisable en première année ?

En partie : selon le rapport, le sujet se référait aux programmes de physique et d'informatique de MPSI et de MP, sans préciser la répartition par partie.

Y avait-il une erreur dans l'énoncé CCINP physique MP 2020 ?

Oui : le rapport signale une erreur dans le formulaire pour le développement limité utile en Q2. Le jury en a tenu compte dans la notation pour les candidats gênés.

Pas de description pour le moment

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

PHYSIQUE

Mercredi 6 mai : 8 h-12 h

RAPPEL DES CONSIGNES

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de quatre parties indépendantes et d'une annexe (page 19).

Formulaire

Lumière et changements de référentiels : de l'éther luminifère à la relativité restreinte

Point de vue général

Partie I - L'expérience "MM" : Michelson et Morley (1887)

Partie II - Électromagnétisme et relativité

Partie III - L'expérience "M-G-P" : Michelson-Gale-Pearson (1924), ou de la mesure de l'effet Sagnac à l'échelle de la Terre

Partie IV - Une application moderne de l'effet Sagnac : le gyromètre à fibre

IV. 1 - Principe de fonctionnement et modulation de phase

IV. 2 - Analyse harmonique

IV. 3 - Simulation informatique

Q35. Méthode n^∘1

Q36. Méthode n^∘2 : méthode améliorée de Runge-Kutta

Écriture du programme (Informatique Pour Tous)

ANNEXE

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet CCINP physique MP 2020 ?

Quelles erreurs le jury du CCINP physique MP 2020 a-t-il relevées ?

Le sujet de physique MP CCINP 2020 est-il faisable en première année ?

Y avait-il une erreur dans l'énoncé CCINP physique MP 2020 ?

Commentaires• CCINP Physique MP 2020

Commentaires• CCINP Physique MP 2020

Q35. Méthode $n^\circ1$

Q36. Méthode $n^\circ2$ : méthode améliorée de Runge-Kutta