Considérations sur une raie spectrale : largeur des raies d'émission (oscillateur amorti, rayonnement dipolaire, interférométrie, effet Doppler)
Afficher ou masquer la section
Le sujet étudie la largeur des raies spectrales d'émission sous plusieurs aspects : modèle de l'électron élastiquement lié dans l'atome de Thomson, rayonnement dipolaire et amortissement radiatif, mesure interférométrique par un Michelson, et élargissement Doppler dans un gaz. Il comporte cinq parties largement indépendantes, mêlant mécanique, électromagnétisme, optique ondulatoire, physique quantique et physique statistique, avec des calculs d'ordre de grandeur sans calculatrice.
1Partie I : PréambuleCalcul de la pulsation du photon émis lors de la désexcitation d'un atome.
2Partie II : Oscillations au sein de l'atome de ThomsonModèle de l'électron élastiquement lié, oscillations libres puis amorties, et résolution numérique par la méthode d'Euler explicite.
3Partie III : Rayonnement de l'atome de Thomson excité et largeur spectralePuissance rayonnée par un dipôle oscillant et lien avec l'amortissement de l'oscillateur.
4Partie IV : Mesure interférométrique de la durée d'un train d'ondeInterféromètre de Michelson en lame d'air et facteur de visibilité des franges.
5Partie V : Largeur Doppler d'une raie d'émissionEffet Doppler et distribution des vitesses dans un gaz parfait unidimensionnel confiné.
Difficile. Le rapport conclut qu'il a été difficile aux candidats de finir le sujet, même si toutes les parties ont généralement été abordées.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : document officiel du concours, épreuve du 3 mai 2019. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
5 erreurs relevées
Confusion entre force de rappel et force centrifuge · Résolution en coordonnées sphériques sans maîtriser l'accélération · Optique ondulatoire mal maîtrisée
Afficher ou masquer la section
Le jury juge le sujet valorisant pour les candidats sérieux, avec des applications directes du cours mais aussi des parties qualitatives testant la compréhension physique. Il regrette une rédaction souvent minimaliste et des justifications escamotées, ainsi qu'une lecture trop linéaire du sujet qui empêche certains candidats de saisir l'objectif des parties.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Confusion entre force de rappel et force centrifugeQ5
Pour la force ressentie par l'électron, la plupart des candidats l'identifient comme une force d'inertie d'entraînement ou une force centrifuge plutôt que comme une force de rappel élastique.
2
Résolution en coordonnées sphériques sans maîtriser l'accélérationQ6
De nombreux candidats traitent le mouvement en coordonnées sphériques sans connaître l'expression de l'accélération dans cette base, alors qu'un passage en coordonnées cartésiennes suffisait.
3
Optique ondulatoire mal maîtriséeQ28-Q31
Le traitement de la partie d'optique a été jugé décevant : schémas sans légende, démonstrations de cours confuses et notion de cohérence temporelle mal comprise.
« Les schémas sont souvent parachutés sans légende ni explication, les démonstrations du cours de MP sont restituées avec beaucoup de confusion. »
4
Distinction période propre / pseudo-période non maîtriséeQ17
Très peu de candidats distinguent la période propre et la pseudo-période de l'oscillateur amorti étudié numériquement.
« Les candidats qui ont pris la peine de distinguer période propre et pseudo période sont rarissimes. »
5
Rédaction minimaliste et justifications escamotées
Les correcteurs déplorent une rédaction souvent minimaliste, voire bâclée, avec des justifications attendues qui ont souvent été omises.
Ce qui a été bien réussi
L'unique question de la partie I a été plutôt correctement traitée.
Les questions de programmation Python (Q16) ont été correctement traitées, à quelques oublis d'initialisation près.
Les questions sur le décalage Doppler (Q36 à Q39) ont été correctement traitées dans l'ensemble.
Les niveaux d'énergie dans le puits infini (Q40, Q41) ont été réussis dans l'ensemble.
Conseils du jury
Prendre le temps de lire l'énoncé dans son ensemble avant de rédiger, plutôt que de le traiter de façon strictement linéaire, pour mieux saisir l'objectif de chaque partie.
Soigner les calculs d'ordre de grandeur demandés : les candidats qui les ont sérieusement tentés ont été récompensés.
Justifier systématiquement les résultats plutôt que de les énoncer sans démonstration ni commentaire physique.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Les calculatrices sont interdites
Le sujet est composé de cinq parties indépendantes entre elles dans une large mesure : des références sont faites sur des résultats numériques établis dans des parties précédentes. De plus, certains résultats obtenus dans la partie IV peuvent être commentés dans la partie V à la lumière des nouveaux résultats numériques établis.
Pour les applications numériques, seuls les ordres de grandeurs (puissances de 10) sont attendus. Le candidat est invité à écrire explicitement le calcul en remplaçant bien toute expression littérale par les données numériques converties selon l'unité adaptée, avant de fournir l'ordre de grandeur du résultat, c'est-à-dire la puissance de 10 correspondante.
Des données comportant des valeurs numériques (déjà arrondies pour certaines) et des formules sont fournies en pages 2 et 3.
Considérations sur une raie spectrale
Données
Masse d'un électron : m_e ≈ 10^(− 30) kg
Charge élémentaire : e = 1, 6 ⋅ 10^(− 19)C
Vitesse de la lumière dans le vide : c = 3, 0 ⋅ 10^8 m ⋅ s^(− 1)
Perméabilité magnétique du vide μ_0 = 4π ⋅ 10^(− 7)H ⋅ m^(− 1)
La permittivité du vide ε_0 est telle que 1/(4πε_0) ≈ 10^(10)SI et (e^2)/(4πε_0) ≈ 2 ⋅ 10^(− 28) J ⋅ m
Constante de Planck : h = 6, 626 ⋅ 10^(− 34) J ⋅ s
Constante de Planck réduite : ℏ = h/(2π) = 1, 055 ⋅ 10^(− 34) J ⋅ s
Équation de Schrödinger indépendante du temps vérifiée par φ(x) associée à un quanton dans un état stationnaire d'énergie E, de fonction d'onde ψ(x, t) = φ(x) ⋅ e^(− i(Et)/ℏ), soumis à l'énergie potentielle V(x) : − (ℏ^2)/(2m)(d^2 φ)/(dx^2) + V(x) ⋅ φ(x) = E ⋅ φ(x)
Nous allons considérer une lampe spectrale à vapeur de mercure, généralement utilisée en Travaux Pratiques au lycée.
Document 1 - Lampe à décharge
Une lampe à décharge est une lampe électrique constituée d'un tube ou d'une ampoule en verre remplie de gaz ou de vapeur métallique, sous haute ou basse pression, au travers de laquelle on fait passer un courant électrique. Il s'ensuit une émission de photons donc d'énergie lumineuse.
Pour ces lampes, la couleur de la lumière émise par luminescence dépend du gaz utilisé : [...] Le mercure s'approche du bleu tout en produisant une quantité importante d'ultraviolet.
Principe de fonctionnement
Les molécules du gaz métallique utilisé ont la faculté de pouvoir s'ioniser lorsqu'elles sont soumises à la différence de potentiel créée entre les électrodes situées de chaque côté de la lampe. Les électrons libérés sont attirés par l'électrode positive - nommée anode - et les ions positifs par l'autre, nommée cathode. Un énorme flux d'électrons traverse l'ampoule.
Lors du passage de ce flux, se produisent de nombreuses collisions entre les électrons circulants et ceux présents dans le gaz de la lampe. Lors de ces collisions, les électrons sont chassés de leur orbite, changent de couche et y reviennent en émettant un photon, dont la longueur d'onde (sa couleur) dépend de la différence d'énergie entre les couches, mais appartient habituellement au spectre du visible et/ou de l'ultraviolet. [...]
Source : d'après des données de Wikipédia, 2018
Document 2 - Schéma d'une lampe spectrale
Source : d'après Optique Expérimentale, SEXTANT, collection Enseignement des Sciences, HERMANN
Partie I - Préambule
Q1. Déterminer la pulsation ω_0 du photon émis lors de la désexcitation d'un atome passant d'un état excité d'énergie E^∗ à un état fondamental d'énergie E_1.
Partie II - Oscillations au sein de l'atome de Thomson
Afin de donner une vision classique de l'émission d'un atome préalablement excité, nous allons étudier la réponse mécanique d'un électron à une excitation de l'atome.
Le modèle de l'atome d'hydrogène adopté ici est celui élaboré par Joseph Thomson (photo ci-contre), prix Nobel en 1906 pour avoir découvert l'électron en 1897. Il proposa en 1904 un modèle dit du «pudding aux électrons».
Il s'agit :
d'une boule de centre O et de rayon a, avec a ≈ 10^(− 10)m, uniformément chargée en volume, de densité volumique de charge (uniforme à l'intérieur de la boule) notée ρ, de charge totale + e, considérée tout d'abord immobile dans le référentiel du laboratoire,
et d'un électron ponctuel (masse m, charge − e ) libre de se déplacer sans frottement dans l'espace de la boule.
Figure 1 - Coordonnées et base sphériques
La position d'un point M de l'espace est parfois repérée par ses coordonnées cartésiennes ( x, y, z ) (sur la base (O, e⃗_x, e⃗_y, e⃗_z) ), ou par ses coordonnées sphériques ( r, θ, φ ), associées à la base (O, e⃗_r, e⃗_θ, e⃗_φ).
II. 1 - Force électrostatique ressentie par l'électron
Q2. Donner l'expression de la densité volumique de charge ρ.
Soit M un point quelconque de l'espace repéré par ses coordonnées sphériques : M(r, θ, φ).
Q3. Montrer que le champ électrostatique en M s'écrit : E⃗(M) = E_r(r)e⃗_r.
Q4. Déterminer en tout point M intérieur à la boule, le champ électrostatique E⃗(M) créé par la distribution de charge caractérisée par ρ.
L'électron se situe en un point M(r, θ, φ) intérieur à la boule. On le repère par son vecteur position r⃗ = OM^(→−) = re⃗_r. On suppose ici l'atome isolé et on néglige toute attraction gravitationnelle.
Q5. Donner la force ressentie par l'électron. Mettre cette force sous la forme F⃗ = − m_e ω_0^2 OM^(→−) où on donnera l'expression de ω_0. Commenter l'expression de cette force.
II. 2 - Oscillations libres dans le modèle de l'électron élastiquement lié
Dans une lampe à vapeur, lors d'une décharge électrique, un atome peut recevoir beaucoup d'énergie à l'issue d'un choc. On suppose qu'il se trouve alors dans un état initial d'énergie mécanique E_0. Le choc a lieu à l'instant t = 0, l'électron est alors situé sur sa position d'équilibre en O , avec une énergie cinétique initiale non nulle car sa vitesse initiale vaut v⃗(t = 0) = − V_0 e⃗_z. Pour t ≥ 0, l'atome est supposé isolé du reste de l'univers.
Q6. Écrire la relation fondamentale de la dynamique appliquée à l'électron. En déduire une équation différentielle vérifiée par r⃗ = OM^(→−) = re⃗_r, vecteur position de l'électron. En déduire le vecteur position r⃗(t) lié au mouvement de l'électron en l'exprimant avec ω_0.
Q7. Donner l'expression du moment dipolaire électrique de l'atome d'hydrogène p⃗(t) en fonction de e et r⃗. En déduire que p⃗(t) = p_z(t)e⃗_z où on exprimera p_z(t) comme une fonction sinusoïdale du temps dont on explicitera l'amplitude et la pulsation en fonction de e, V_0 et ω_0.
Q8. Déterminer l'ordre de grandeur de la longueur d'onde λ_0 du rayonnement dipolaire associé. À quelle partie du spectre électromagnétique appartient ce rayonnement?
II. 3 - Introduction d'une force de frottements fluides
Pour affiner la description du mouvement de l'électron, on modélise un éventuel amortissement (faible) par une force de type «frottement fluide»: F⃗f = − (m_e)/τV⃗, où V⃗ est la vitesse de l'électron.
Cette force sera considérée comme un terme de perturbation, c'est-à-dire entre autre que 1/τ≪ω_0 (hypothèse de faible amortissement). L'électron n'est soumis à aucune autre force. Les conditions initiales sont les mêmes que précédemment (l'atome vient juste de subir un choc avec un porteur de charge d'énergie élevée).
Q9. Donner l'origine physique d'une telle force. Quelle est la dimension de la constante τ ?
Q10. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par p⃗(t) le moment dipolaire de l'atome.
En tenant compte de l'hypothèse de faible amortissement, donner la solution approchée p⃗(t). On pourra l'écrire sous la forme p⃗(t) = p⃗_m(t)sin(Ωt + φ) avec p⃗_m(t) = p⃗_0 e^(αt) vecteur à durée caractéristique d'évolution très grande devant (2π)/Ω. On identifiera p⃗_0, α, Ω, φ en fonction des données de l'énoncé.
Pour simplifier les notations, on pose r⃗_0 = − (p⃗_0)/e.
Q11. Écrire l'énergie potentielle élastique de l'oscillateur E_p(t) en fonction de m_e, ω_0, r_0 et τ.
Q12. Exprimer l'énergie cinétique E_c(t) de l'oscillateur dans le référentiel du laboratoire et simplifier son expression en tenant compte de l'hypothèse de faible amortissement (on pourra montrer que cela revient à négliger la variation temporelle du facteur exponentiel devant celle de sin(Ωt + …) quand il s'agit de faire une dérivation temporelle).
Q13. Montrer alors que l'énergie mécanique de l'oscillateur peut s'écrire E_m(t) = (m_e)/(2e^2)ω_0^2[p_m(t)]^2. Mettre en évidence la durée caractéristique d'amortissement des oscillations.
II. 4 - Modélisation du mouvement de l'électron par une méthode numérique
La position instantanée r(t) de l'électron dans le repère défini sur la figure 1 (page 5) vérifie une équation différentielle dont la difficulté de résolution dépend de la modélisation physique choisie. Pour résoudre des équations différentielles complexes, on peut utiliser une méthode numérique. Pour illustrer cette méthode de résolution, on considère que r(t) obéit à l'équation différentielle
(d^2 r)/(dt^2) + 2λ(dr)/(dt) + ω_0^2 = 0
avec λ et ω_0^2 des constantes positives non nulles.
L'objectif est d'obtenir une représentation graphique de la fonction r(t), la plus proche possible de la réalité.
On utilise une méthode numérique simple (connue sous le nom de « méthode d'Euler explicite») que l'on programme en langage PYTHON.
Dans ce langage :
la fonction np.arange (N) renvoie une liste de nombres entiers compris entre 0 et N − 1, de type « array ».
la fonction np.zeros( N ) renvoie une liste de N valeurs toutes nulles, de type «array».
Pour des raisons de commodité, les valeurs numériques utilisées ne correspondent pas à la réalité physique ; les valeurs obtenues pour r(t) seront donc arbitraires (en revanche la forme de la courbe est réaliste).
Le programme est le suivant :
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
T=150
omega = 1.4
lamda = 0.03
def euler(N,xO,vO):
x = x0
v = v0
h = T/N
a = -2*lamda*v-omega*omega*x
tab_1 = np.zeros(N)
tab_2 = np.zeros(N)
for i in range(N):
(x,v,a) = (x+v*h,v+a*h,-2*lamda*v-omega*omega*x)
tab_1[i] = x
tab_2[i] = v
return tab_1
def temps (N):
h=T/N
t = np.arange(N)*h
return t
plt.figure ('graphique')
plt.plot(temps(15000), euler(15000,0,1), 'b')
plt.title("représentation graphique de r en fonction de t")
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("r")
plt.grid()
plt.show()
L'exécution de ce programme permet d'obtenir la courbe r(t) (page 9) (les échelles sont arbitraires).
Q14. Décrire, en détaillant les étapes, comment l'algorithme utilisé permet, connaissant les valeurs de la fonction r(t_n) et de sa dérivée (dr)/(dt)(t_n) à une date t_n, de calculer ces mêmes valeurs à une date notée t_(n + 1).
Quelle approximation est faite ?
représentation graphique de r en fonction de t
Q15. Afin de tester la fonction euler, nous exécutons l'instruction « euler( 3, 0, 1 )». Que retourne cette instruction?
Q16. Les lignes 16 à 19 contiennent une boucle itérative dans laquelle la commande «for» est utilisée. Modifier ces lignes de façon à utiliser la commande «while» en créant une boucle conditionnelle. La partie de programme écrite avec la boucle «while» doit produire exactement les mêmes résultats que la portion de code qu'elle remplace.
Afin de tester la méthode d'Euler, on rajoute les lignes de code suivantes, qui permettent de tracer la courbe donnant la solution exacte de la solution de l'équation différentielle.
Le programme modifié est donné ci-après (à partir de la ligne 27).
Les lignes 1 à 26 ne sont pas modifiées.
omega = # à compléter (voir Q17)
def vraie(N,vO):
x=0
v=v0
h=T/N
tab_3=temps(N)
for i in range(N):
tab_3[i]=np.sin(np.sqrt(omega*omega-lamda*lamda)*h*i)
*np.exp(-lamda*h*i)*v/(np.sqrt(omega*omega-lamda*lamda))
return tab_3
plt.figure ('graphique')
plt.plot(temps(15000),vraie(15000,1),'b')
plt.title("représentation graphique de r en fonction de t")
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("r")
plt.grid()
plt.show()
L'exécution de ce programme donne la courbe r(t) ci-dessous (les échelles sont arbitraires) :
Q17. En exploitant la courbe, déterminer la valeur de la variable «omega» masquée à la ligne 27.
Q18. La méthode d'Euler donne-t-elle une solution satisfaisante?
Partie III - Rayonnement de l'atome de Thomson excité et largeur spectrale de la raie d'émission
Dans cette partie, nous allons tenter de proposer une justification de l'amortissement évoqué précédemment. Pour cela nous relierons la perte d'énergie de l'oscillateur à l'énergie électromagnétique rayonnée par l'atome excité à l'aide d'un modèle classique qui, tout simpliste qu'il soit, permet de rendre compte de certains résultats expérimentaux.
III. 1 - Puissance rayonnée par un atome excité
Figure 2 - Position du dipôle
Les oscillations effectuées par l'électron, décrites en partie I sont à l'origine d'un rayonnement électromagnétique. Pour décrire l'onde rayonnée par l'atome, on utilise un système de coordonnées sphériques centré sur O, représenté sur la figure 2 (page 10).
Il s'agit maintenant de déterminer la puissance rayonnée par l'atome en le modélisant par un dipôle électrique oscillant (à la pulsation ω_0 ) de moment dipolaire p⃗(t) = p_z(t)e⃗_z avec p_z(t) = p_m sin(ω_0 t).
L'onde sinusoïdale rayonnée, de longueur d'onde notée λ, sera étudiée en un point M(r, θ, φ) dans la «zone de rayonnement». On rappelle que dans ces conditions, l'onde rayonnée a localement la structure d'une onde plane progressant dans le sens de e⃗_r.
Q19. Formuler les approximations faites sur la hiérarchie des distances caractéristiques du problème dans la zone de rayonnement. Commenter physiquement les inégalités écrites.
Q20. Identifier parmi les quatre expressions suivantes, celle représentant le champ magnétique B⃗(M, t), puis celle représentant le champ électrique E⃗(M, t), champs associés à l'onde émise par le dipôle oscillant. On justifiera la réponse notamment par des arguments d'analyse dimensionnelle et des considérations de symétrie.
Q21. Établir l'expression du vecteur de Poynting en un point M(r, θ, φ) de la zone de rayonnement. En déduire sa moyenne temporelle que l'on exprimera en fonction de μ_0, c, p_m, ω_0, θ et r.
Q22. Déterminer alors l'expression de la puissance moyenne rayonnée Φ_(ray) par l'atome à travers une sphère de rayon R en fonction de ε_0, c, p_m et ω_0.
Q23. À l'aide de l'expression établie en Q13 (page 7) montrer que Φ_(ray) = γ ⋅ E_m où E_m est l'énergie mécanique de l'oscillateur et γ une constante que l'on exprimera en fonction de ε_0, c, e, ω_0 et m_e.
III. 2 - Amortissement des oscillations
Q24. Estimation qualitative grossière : rappeler l'expression de l'énergie totale rayonnée lors de l'émission d'un photon de pulsation ω_0, de longueur d'onde dans le vide λ_0 correspondant au domaine visible.
Relier simplement l'ordre de grandeur de la puissance moyenne rayonnée, la quantité d'énergie totale rayonnée et la durée caractéristique de l'émission. Estimer, par un calcul simple, l'ordre de grandeur de la durée du train d'onde correspondant à l'émission en utilisant la formule trouvée en question Q22 (page 11) pour Φ_(ray) (il appartient au candidat d'estimer les données numériques éventuellement utiles). Quel commentaire peut-on faire à propos de la durée trouvée?
On essaie par la suite d'affiner le calcul en utilisant le travail de la partie II. On estime que la puissance électromagnétique rayonnée par l'atome excité est puisée dans l'énergie mécanique de l'oscillateur. On suppose que l'amortissement qui en résulte peut être traité comme une perturbation du mouvement. On fait ainsi l'hypothèse (qui devra être vérifiée par la suite) que la décroissance de l'énergie mécanique de l'oscillateur est suffisamment lente pour qu'on puisse utiliser à chaque instant la formule établie en question Q23 (page 11). On appelle τ la durée caractéristique d'évolution de l'énergie mécanique E_m(t).
Q25. Écrire, en fonction de Φ_(ray), l'expression de la variation de l'énergie mécanique de l'atome entre t et t + δt, où δt est une durée infinitésimale très faible devant τ et néanmoins grande devant la pseudo période, c'est-à-dire τ≫δt≫(2π)/(ω_0).
Q26. En déduire l'équation différentielle vérifiée par E_m(t) et mettre en évidence la durée caractéristique τ. Donner l'ordre de grandeur de τ quand l'onde émise est dans le domaine du visible. Vérifier l'hypothèse préalable à l'étude effectuée dans cette partie.
Q27. Estimer alors la durée du train d'onde émis. Donner un ordre de grandeur de la largeur spectrale (en fréquence) qualifiée de «naturelle» du rayonnement émis.
Partie IV - Mesure interférométrique de la durée d'un train d'onde
On cherche dans cette partie à faire une mesure de la largeur spectrale (donc de la durée moyenne du train d'onde τ_0 ) de la raie λ_0 ≈ 500 nm du mercure ( Hg ). Pour cela on utilise un interféromètre de Michelson et ce afin de réaliser une mesure interférométrique par division d'amplitude.
IV. 1 - Description de l'interféromètre de Michelson idéal
On considère en figure 3 (page 13) l'interféromètre de Michelson dans sa représentation «idéale», constitué par une lame semi-réfléchissante infiniment fine séparatrice [Sp], dont les facteurs de transmission et de réflexion valent 0,5 et par deux miroirs plans [M1] et [M2]. Les miroirs [M1] et [M2] sont réglés orthogonalement l'un à l'autre, de façon à observer des franges d'égale inclinaison.
Figure 3 - Représentation simplifiée et «idéale» de l'interféromètre de Michelson
Le miroir [M1] est situé à une distance L_0 de la séparatrice.
Le miroir [M2] est situé à une distance L_0 + e_(lame) de la séparatrice.
L'écran est placé dans le plan focal image d'une lentille mince convergente ( L ) de distance focale f^′ ≈ 1m, de centre C, utilisée dans les conditions de Gauss. Le tout est plongé dans l'air d'indice assimilé à l'indice du vide : n_(air) = n_(vide) = 1.
On éclaire l'interféromètre avec une source spatialement étendue, considérée ici monochromatique de longueur d'onde λ_0 = 500 nm.
Q28. Par un schéma équivalent du montage interférentiel, expliquer pourquoi on appelle cette configuration le montage en «lame d'air». Représenter sur votre schéma deux rayons qui interfèrent en un point M de l'écran, caractérisé par l'inclinaison angulaire i_((M)) = (CF^′^(→−), CM^(→−)).
Q29. Montrer que la différence de marche δ entre les deux ondes qui interfèrent en M (par division d'amplitude) est donnée par δ = 2e_(lame)cos(i). Donner l'expression de l'intensité lumineuse au point M. Quel est l'aspect de la figure d'interférence observée sur l'écran ?
IV. 2 - Largeur spectrale d'une raie d'émission
La transition radiative d'un atome conduit à l'émission d'un train d'onde de durée finie τ_0. La raie spectrale correspondante n'est donc pas strictement monochromatique. On a alors une raie spectrale centrée sur v_0 = (ω_0)/(2π), de largeur caractéristique à mi-hauteur Δv = 1/(τ_0)≪v_0. L'intensité émise au
niveau de la source appartenant au domaine spectral [v; v + dv] s'écrit alors dI_0 = I_v(v)dv où I_v(v) est l'intensité spectrale, fonction qui caractérise le spectre fréquentiel d'émission.
On modélise l'intensité spectrale I_v(v) de la raie verte du mercure par un profil rectangulaire comme sur la figure 4.
Dans notre modèle de raie rectangulaire, l'intensité totale de la source est donc donnée par :
On éclaire l'interféromètre de Michelson de la figure 3 (page 13) avec une lampe à vapeur de mercure dont on a isolé la raie verte de fréquence centrale v_0 = c/(λ_0) avec λ_0 = 500 nm.
On observe les interférences à la fois sur l'écran et au moyen d'un détecteur ponctuel supplémentaire que l'on place au foyer image F ' de la lentille de projection (L).
Profil spectral de la raie d'émission
Modélisation par un profil spectral rectangulaire
Figure 4 - Profils de raie
Q30. Expliquer pourquoi on pourrait observer des brouillages. Exprimer la différence Δp d'ordre d'interférence en M entre une radiation de fréquence v_0 et une autre de fréquence v_0 + (Δv)/2. On suppose qu'on a réglé l'interféromètre au contact optique et qu'on «chariote» (déplace en translation) le miroir [M2].
Q31. Par un raisonnement semi-quantitatif, exprimer la valeur e_(lim) de la distance e_(lame) correspondant à la frontière entre une vision en F^′ d'anneaux bien contrastés et une perte de contraste au centre de ceux-ci.
Calcul de l'intensité observée en F '
Q32. Déterminer l'intensité dI(F^′) donnée sur l'écran par une petite bande du spectre de largeur spectrale dv en fonction, entre autre, de τ(F^′) = (δ(F^′))/c. À quoi correspond physiquement τ(F^′)?
Exprimer p(F^′, v), l'ordre d'interférence en F^′ pour une radiation de fréquence v en fonction de τ(F^′).
Q33. Calculer alors l'intensité totale I = I(F^′) donnée sur l'écran par la totalité du spectre de la source de lumière (en fonction de τ(F^′) ) ; mettre le résultat sous la forme :
où Γ(τ(F^′)) est une fonction de τ(F^′) à «variation lente» appelée «facteur de visibilité».
Q34. Tracer le graphe de l'intensité I(τ(F^′)) en fonction de τ(F^′). Quelle est la valeur de τ(F^′) correspondant à la première annulation de contraste ? Comparer avec la durée du train d'onde et commenter.
Un moteur permet de translater le miroir mobile [M2] à la vitesse constante V_0 à partir de la position du contact optique.
Q35. On arrête la translation de [M2] à la valeur de 15, 00 mm (à partir du contact optique) lorsque la première annulation de contraste est observée à l'écran. Déterminer la valeur expérimentale Δv_(exp) de Δv. Conclure sur la durée du train d'onde.
Document 3 - Raies spectrales
En pratique, les raies n'ont pas une fréquence parfaitement déterminée mais s'étalent sur une bande de fréquence. Les raisons de cet élargissement sont multiples :
élargissement naturel : le principe d'incertitude relie la durée de vie ΔT d'un état excité et la précision de son niveau énergétique ΔE, ainsi le même niveau excité a des énergies légèrement différentes dans différents atomes. Cet effet est assez faible (typiquement quelques MHz ), environ 100 MHz pour les fréquences optiques;
élargissement Doppler : l'effet Doppler provoque un décalage vers le rouge ou vers le bleu du rayonnement selon que la source s'éloigne ou se rapproche de l'observateur. Dans un gaz, toutes les particules sont en mouvement dans toutes les directions, ce qui provoque un élargissement des raies spectrales. La vitesse des particules dépend de leur température : plus la température du gaz est élevée, plus les différences de vitesses sont grandes et plus les raies sont larges. Cet effet est typiquement 100 fois plus intense que l'élargissement naturel ;
élargissement collisionnel : la collision entre particules (atomes ou molécules) modifie légèrement leurs niveaux énergétiques, d'où l'élargissement des raies. La grandeur de cet effet dépend de la densité du gaz.
Source : d'après des données de Wikipédia, 2018
Partie V - Largeur Doppler d'une raie d'émission
Dans une lampe spectrale à gaz, les atomes sont animés d'un mouvement d'agitation thermique. Ainsi, la fréquence du rayonnement émis par un atome est sensiblement différente de la fréquence de ce rayonnement mesurée par un observateur lié au référentiel du laboratoire. Ce décalage fréquentiel est appelé effet Doppler. La distribution des vitesses au sein du gaz induit donc, pour un rayonnement émis à la fréquence v_0, une distribution des fréquences mesurées centrée sur la fréquence v_0. Pour évaluer l'élargissement spectral lié au rayonnement mesuré, on utilise un modèle simple. L'ensemble des atomes de gaz forme un gaz parfait à 1 dimension, où chaque atome se déplace uniquement sur la direction de vecteur unitaire e⃗_x.
Quand un atome O ' en mouvement dans le référentiel du laboratoire se rapproche de l'observateur à une (faible) vitesse V⃗ = V_x e⃗_x (avec V_x≪c ) et émet un rayonnement de fréquence v_0, l'observateur (lié au référentiel du laboratoire) perçoit une fréquence v ≈ v_0(1 + (V_x)/c). La situation est représentée en figure 5.
La sous-partie V. 1 a pour seul objectif de montrer la relation v ≈ v_0(1 + (V_x)/c) dans le cadre de petites vitesses de déplacement. La suite de la partie V peut être traitée en utilisant cette relation.
V. 1 - Décalage Doppler
Supposons pour simplifier l'émission d'un signal périodique par l'atome que la durée entre deux émissions successives d'un maximum est T_0 = 1/(v_0). À l'instant initial t = 0, la source est en x = 0 (O' coïncide avec O ) et émet un maximum, le récepteur (observateur) est en x = d. Le signal se propage dans l'air assimilé à du vide.
Q36. À quel instant de date t_1 le récepteur reçoit-il ce premier maximum, émis à t = 0 ?
Q37. À quel instant est émis le deuxième maximum ? Quelle distance sépare l'émetteur du récepteur à cet instant? En déduire la date t_2 de réception du deuxième maximum.
Q38. Retrouver la relation liant la fréquence v_0 du signal émis par l'atome et la fréquence v du signal reçu par l'observateur.
V. 2 - Distribution des vitesses dans un gaz parfait unidimensionnel
Le gaz atomique (vapeur de mercure Hg ) contenu dans l'ampoule est un gaz supposé parfait formé de N atomes de mercure de masse individuelle m^∗, indépendants, ne pouvant se déplacer que le long de l'axe ( Ox ). Ils sont confinés dans un puits de potentiel infini limité par les plans d'abscisses x = 0 et x = L. On prendra l'origine des énergies potentielles V = 0 à l'intérieur du puits (pour 0 < x < L ). L'énergie potentielle est donc infinie à l'extérieur du puits (pour x ≤ 0 et x ≥ L ).
La température du gaz dans l'enceinte est notée T_(gaz).
Données numériques
Température du gaz dans la lampe : T_(gaz) = 1000 K
Largeur de l'enceinte : L = 10 cm
Fonction d'onde d'un atome dans un état stationnaire
On recherche les fonctions d'onde associées aux états stationnaires d'énergie E des atomes confinés dans un puits infini de largeur L, sous la forme ψ(x, t) = φ(x)e^(− i(Et)/ℏ).
Q39. Le spectre énergétique (ensemble des états énergétiques accessibles) d'un atome est-il continu ou discret ? Donner un ordre de grandeur de la masse m^∗ d'un atome de mercure Hg .
Q40. Écrire l'équation différentielle vérifiée par φ(x) pour x ∈ ]0, L. Écrire sans démonstration les conditions aux limites φ(x = 0) et φ(x = L). On rappelle que la fonction d'onde est continue.
Q41. En déduire l'expression des niveaux d'énergie des atomes dans le puits sous la forme E_n = n^2 × E_1 où n est un entier supérieur ou égal à 1 et où on exprimera E_1 en fonction de ℏ, m^∗ et L. Évaluer numériquement E_1.
Énergie moyenne d'un atome
Q42. Évaluer l'ordre de grandeur du nombre quantique n_1 tel que E_(n_1) = k_B T_(gaz). Évaluer l'ordre de grandeur du rapport (E_(n_1 + 1) − E_(n_1))/(E_(n_1)). En déduire que le spectre des énergies accessibles à un atome dans l'enceinte de la lampe peut être considéré approximativement continu pour les énergies dans le cadre de notre étude.
On se place dans le cadre de cette approximation.
Q43. Donner la relation n(E) donnant l'expression du nombre quantique n en fonction de l'énergie E de l'atome et de l'énergie de l'état fondamental E_1.
Q44. Exprimer dn le nombre d'états quantiques différents d'énergie comprise entre E et E + dE. On écrira le résultat sous la forme dn = ρ(E) ⋅ dE où ρ(E) est appelé densité des niveaux d'énergie.
On suppose que la distribution des vitesses des atomes est régie par la statistique de Boltzmann.
Q45. Exprimer, à un facteur multiplicatif près, la probabilité pour un atome d'être dans un état d'énergie E.
Q46. Exprimer la probabilité dP(E) pour un atome d'avoir une énergie comprise dans l'intervalle [E; E + dE] en fonction de dn et de la probabilité écrite au-dessus. Exprimer, à une constante multiplicative près, la densité de probabilité f(E) définie par dP(E) = f(E) ⋅ dE.
Q47. Quelle est la signification de la relation ∫_(E = 0)^(+ ∞)dP(E) = 1 ? À partir de cette relation, exprimer complètement f(E) en fonction de E et de β = 1/(k_B T_(gaz)).
Q48. Établir l'expression de la valeur moyenne de l'énergie ⟨E⟩. Énoncer le théorème dont le résultat précédent n'est qu'un cas particulier. Exprimer la vitesse quadratique moyenne u = √(⟨V_x^2⟩). Évaluer l'ordre de grandeur de u dans les conditions du problème.
V. 3 - Élargissement spectral par effet Doppler
Pour les applications numériques, on considère la raie verte du mercure de longueur d'onde dans le vide λ_0 ≈ 500 nm.
Q49. Exprimer la fréquence v_+du rayonnement reçu par l'observateur, émis par un atome de vitesse V_x = + u. Exprimer de même v_−, fréquence du rayonnement reçu par l'observateur, émis par un atome de vitesse V_x = − u. Exprimer Δv_(DOP) = v_+ − v_−. Évaluer l'ordre de grandeur de Δv_(DOP) = v_+ − v_−. Comparer à l'ordre de grandeur de Δv_(exp) mesuré en Q27 et conclure.
FIN
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de physique MP du CCINP 2019 ?
Afficher ou masquer la section
Sur quels chapitres porte le sujet de physique MP du CCINP 2019 ?
+
Il porte sur la largeur des raies spectrales : mécanique de l'oscillateur amorti, électrostatique, rayonnement dipolaire, optique interférométrique (Michelson), physique quantique et physique statistique.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées dans ce sujet CCINP physique MP 2019 ?
+
Une rédaction souvent minimaliste, des justifications escamotées, une partie d'optique ondulatoire mal maîtrisée et une confusion entre force de rappel élastique et force centrifuge.
Ce sujet de physique MP CCINP 2019 est-il difficile ?
+
Le jury indique qu'il a été difficile aux candidats de finir le sujet dans le temps imparti, même si toutes les parties ont généralement été abordées.
Le sujet CCINP physique MP 2019 nécessite-t-il une calculatrice ?
+
Non, la calculatrice est interdite ; seuls des calculs d'ordre de grandeur sont demandés.
Pas de description pour le moment
Commentaires• CCINP Physique MP 2019
Connectez-vous pour participer aux discussions
Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté
Même chapitre : Physique quantique (particule… (+1)X ENS Physique MP 2024X-ENS · 2024Corrigé
Même chapitre : Physique quantique (particule… (+1)Mines Physique 2 MP 2023Mines · 2023Corrigé
.jpg)
.jpg)
.jpg)
.jpg)
