Mines Physique 2 MP 2019Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Optique ondulatoire : interféromètre de Michelson, anneaux d'égale inclinaison
Modèle de l'électron élastiquement lié
Filtrage linéaire : fonction de transfert, facteur de qualité, diagramme de Bode
Équations de Maxwell et propagation dans un milieu
Dipôle magnétique : moment magnétique, couple, énergie potentielle
Statistique de Boltzmann
Thermodynamique : fonctions d'état, dérivées partielles, transformations isentropiques

Explorer les annales

BanqueMines Année2019 FilièreMP MatièrePhysique

Annales Mines MP Physique Mines MP 2019 MP Physique Physique 2019

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé sur Discord

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Présentation du sujet

Difficulté moyenne

L'indice et le froid : loi de Gladstone-Dale pour l'air et refroidissement par désaimantation adiabatique

Le sujet comporte deux parties indépendantes et de poids voisin. La première vérifie la loi de Gladstone-Dale pour l'air avec un interféromètre de Michelson, puis l'explique par le modèle de l'électron élastiquement lié et la propagation dans un milieu polarisable. La seconde étudie un sel paramagnétique et le refroidissement par désaimantation adiabatique, à l'aide de la statistique de Boltzmann et de la thermodynamique. La calculatrice est interdite.

1Partie I : vérification de la loi de Gladstone-DaleInterféromètre de Michelson en anneaux, défilement de franges avec une cuve d'air sous pression, modèle de l'électron élastiquement lié, filtre associé, équations de Maxwell et indice du milieu.
2Partie II : refroidissement par désaimantation adiabatiqueMoment magnétique et équilibre d'une spire dans un champ, modèle de Bohr, distribution de Boltzmann et fonction de partition, loi de Curie, fonction de Brillouin et bilan thermodynamique de la désaimantation.

Difficulté moyenne. Le jury juge le problème progressif et bien calibré en longueur, avec des questions très accessibles dans les deux parties, mais plusieurs questions ont été très mal réussies (Q7, Q19, Q20).

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Rayon des anneaux et ordre d'interférence · Double traversée de la cuve oubliée · Approximations non justifiées par les forces

Les deux parties représentaient respectivement 53 % et 47 % des points. Le problème, progressif et jalonné de questions accessibles, a permis d'aborder une grande partie des questions malgré l'absence de calculatrice. Le jury relève cependant des lacunes sur des notions de cours et de TP (Michelson, filtres) et sur la manipulation des dérivées partielles.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Rayon des anneaux et ordre d'interférenceQ2
Seule une minorité redémontre la formule du rayon des anneaux ; beaucoup ignorent que l'ordre diminue quand on s'éloigne du centre. Le rôle de la lentille d'entrée est mal compris.
« seule une minorité d'étudiants arrivent à redémontrer la formule donnant le rayon des anneaux »
2
Double traversée de la cuve oubliéeQ3
Près de la moitié des copies oublie le facteur 2 dû au double passage de la lumière dans la cuve.
3
Approximations non justifiées par les forcesQ5, Q6
Dire que B vaut E/c, ou que le noyau est plus lourd que l'électron, ne suffit pas : il faut comparer les forces subies.
« Si on ne met pas en regard les forces subies, on n'a rien démontré du tout. »
4
Filtre non reconnu et diagramme de Bode fauxQ7
Le type de filtre est rarement identifié et seuls 3 % des candidats tracent un diagramme de Bode correct ; le rôle du facteur de qualité est ignoré.
« Cette question a été massacrée. »
5
Applications numériques aberrantesQ4, Q10
Peu de valeurs justes en Q4 et Q10, avec parfois des pulsations absurdes laissées sans commentaire. Pour l'exploitation informatique en Q4, la régression linéaire était attendue.
6
Dérivées partielles et fonctions d'étatQ19, Q20
La notion de fonction d'état n'est pas invoquée, les manipulations de dérivées partielles sont fantaisistes et isenthalpique est confondu avec isentropique.
« Il y a souvent eu confusion entre isenthalpique et isentropique. »

Ce qui a été bien réussi

La question 1 est bien traitée dans l'ensemble.
Le tracé des rayons dans le Michelson est en général bien fait et la lentille de sortie est bien placée.
Les équations de Maxwell dans le milieu (Q8) sont plutôt bien traitées.
La question 11 et les questions calculatoires 14 et 15 sont bien réussies.

Conseils du jury

Connaître le montage du Michelson et savoir redémontrer la différence de marche et le rayon des anneaux.
Justifier une approximation en comparant les ordres de grandeur des forces en présence.
Savoir reconnaître un filtre du deuxième ordre et tracer son diagramme de Bode en tenant compte du facteur de qualité.
Exprimer une proportionnalité en introduisant une constante et éviter d'utiliser une même notation pour deux grandeurs.
Rester vigilant face à l'énoncé : en Q18, une incohérence sur h est signalée par le jury.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

A2019 - PHYSIQUE II MP

Concours commun
Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2019

DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve :

3

heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Abstract

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'indice et le froid

Ce sujet comporte deux parties totalement indépendantes. Au sein de chaque partie, de nombreuses questions sont également indépendantes. La première partie concerne la loi de GladstoneDale relative à la variation de l'indice de l'air en fonction de la pression et la température. La deuxième partie est consacrée à l'obtention de température extrêmement basse par désaimantation adiabatique.
Les vecteurs sont surmontés d'une flèche (

E⃗

) ou d'un chapeau s'ils sont unitaires (

uˆ

). Par défaut, la norme d'un vecteur

‖E⃗‖

est notée simplement

E

. La mesure algébrique d'un vecteur sur un axe est indicée par le paramètre représentant l'axe, nous notons ainsi

E_z = E⃗ \cdot u_z ˆ

.
Les valeurs des constantes fondamentales nécessaires à la résolution du problème sont regroupées dans une annexe à la fin de l'énoncé. Vous y trouverez également un rappel de quelques fonctions de trigonométrie hyperbolique et du théorème de Schwarz.
Sauf indication contraire, les applications numériques seront des ordres de grandeur qui comporteront toujours deux chiffres significatifs. Le nombre complexe

i

est tel que

i^2 = - 1

I. - Vérification de la loi de Gladstone-Dale

Après avoir étudié les propriétés optiques de différents liquides dans le domaine du visible, Gladstone et Dale ont proposé en 1858 une loi empirique relative à l'indice de réfraction, noté

n

, indiquant que

n - 1

est proportionnel à la masse volumique du liquide. Cette loi a ensuite été étendue au cas du fluide diélectrique homogène et isotrope, comme le sont les gaz et les mélanges de gaz. Cette partie du sujet propose une vérification expérimentale de cette loi pour l'air, et une explication théorique rudimentaire.
Nous notons

n_0

l'indice de l'air à la pression

p_0

et à la température

T_0

ambiantes dans le laboratoire. Nous rappelons que l'indice de réfraction d'un milieu est défini par le rapport de la vitesse

c

de la lumière dans le vide sur la vitesse de phase

v

de la lumière dans le milieu considéré, soit

n = c/v

, cet indice est généralement plus grand que 1 .

1- Montrez que, sous réserve d'une approximation usuelle que vous préciserez, la loi de Gladstone-Dale, pour l'air, conduit à écrire que

n - 1

est proportionnel au rapport de la pression sur la température de l'air. En travaillant à température constante, montrez que la variation d'indice

n - n_0

est proportionnelle à la variation de pression.

Nous posons par la suite

n - n_0 = a/(T_0)(p - p_0)

où

a

est une constante qui dépend de la composition de l'air (humidité, taux de

CO_2, \dots

2 - La variation de l'indice de l'air avec la pression est très faible, mais parfaitement mesurable avec un instrument très sensible comme l'interféromètre de Michelson. L'interféromètre est éclairé par une source étendue monochromatique de longueur d'onde $λ$ dans le vide, et réglé de façon à observer des anneaux sur un écran. Représentez, sur un schéma symbolique, un interféromètre de Michelson en précisant la position de la source lumineuse et de l'écran. Des lentilles minces dont vous préciserez le rôle sont à utiliser. La lame séparatrice sera représentée par un simple trait. Quelle est la position relative des miroirs? Nous notons $f^'$ la distance focale de la lentille de projection. Déduisez-en la différence de marche $δ$ induite par l'interféromètre dans cette configuration en précisant vos notations. En supposant que le centre de la figure d'interférence est un point brillant d'éclairement maximal, donnez le rayon du $è k^(ième)$ anneau brillant en fonction de $k, f^', λ$ et $δ_0$ la différence de marche au centre de la figure. On supposera les angles des rayons lumineux par rapport à l'axe optique de la lentille suffisamment petits pour en négliger l'ordre 3 devant les précédents.

Une cuve est introduite entre un miroir de l'interféromètre et la lame séparatrice. Cette cuve contient de l'air dont on peut faire varier la pression par une simple pompe à main. Un manomètre permet de mesurer la pression relative atteinte. En gonflant lentement, l'air de la cuve reste sensiblement à température ambiante. Une microfuite permet ensuite de ramener très lentement la pression de la cuve à

p_0

. Dans votre analyse, la cuve sera idéalisée et vous êtes invités à négliger le rôle des parois du dispositif.
Une photodiode est placée à la place de l'écran au centre de la figure d'interférence et permet de décompter le nombre de franges brillantes

N

qui défilent lentement lors de la diminution de la pression dans la cuve. La longueur de la cuve traversée par les rayons lumineux est

L = 4 cm

3 - Reliez la différence de marche supplémentaire due à la présence de la cuve à la variation d'indice $n - n_0$ , puis au nombre de franges $N$ , sur la frange centrale éclairant la photodiode. Déduisez-en l'expression de $N$ en fonction notamment de $a$ et de la variation de pression $p - p_0$ dans la cuve.
4 - Pour $T_0 = 300 K$ et $λ = 530 nm$ , le tableau suivant donne le nombre de franges $N$ pour quelques valeurs de surpression $p - p_0$ exprimées en bar :

$p - p_0$	0	0,5	0,7	1	1,3	1,5	1.8	2	2,3	2,5
$N$	0	17	26	40	56	68	82	92	102	111

Calculez numériquement le coefficient

a

en détaillant votre démarche. Si vous aviez disposé d'un outil d'analyse numérique (calculatrice, ordinateur + python, etc

\dots

), comment aurait-on pu exploiter ces données?

Nous utilisons par la suite la valeur en ordre de grandeur de

a = 1, 0 \times 10^(- 6) K \cdot Pa^(- 1)

La loi empirique de Gladstone-Dale pour l'air peut être expliquée dans le cadre du modèle de l'électron élastiquement lié. Nous assimilons une molécule d'un gaz composant l'air à un noyau et deux électrons optiquement actifs. Nous notons

r⃗(t)

le vecteur position d'un électron par rapport au noyau,

v⃗(t)

sa vitesse,

m_e

la masse de l'électron et

- e

sa charge électrique. L'interaction entre le noyau et l'électron est modélisée par deux forces s'exerçant sur l'électron : une force de rappel élastique

- m_e ω_0^2 r⃗

et une force de frottement fluide

- m_e Γv⃗

. L'électron est soumis au champ électrique de l'onde plane que nous considérons localement identique à

E⃗(r⃗, t) = E⃗_0 e^(iωt)

5 - Établir l'équation différentielle régissant l'évolution de la position de l'électron. Pourquoi n'avons nous pas pris en compte l'effet du champ magnétique de l'onde sur l'électron? Nous nous intéressons à la solution en régime forcé de cette équation. En utilisant la notation complexe, donnez l'expression de la vitesse $v⃗$ d'un électron en fonction du champ électrique.
6 - Pourquoi ne prenons-nous pas en compte le mouvement des noyaux des molécules induit par le champ électrique de l'onde plane? Montrez alors que le vecteur densité de courant électronique total peut s'écrire :

j⃗ = γE⃗ avec γ = (κn^* e^2)/(m_e)(iω)/(ω_0^2 - ω^2 + iΓω)

où

κ

est un facteur numérique que l'on déterminera et

n^*

est le nombre volumique, c'est-à-dire le nombre de molécules par unité de volume du gaz.

7 - À quel type de filtre correspond $γ$ ? Soit $γ_0$ le maximum du module de $γ$ , déterminez l'expression de $γ_0$ . Nous définissons la fonction de transfert $H(ω) = γ/(γ_0)$ , exprimez cette fonction de transfert et préciser l'expression de son facteur de qualité $Q$ . Représentez le gain de ce filtre dans un diagramme de Bode pour un facteur de qualité de l'ordre de la centaine.
8 - L'air est assimilé à un milieu neutre électriquement mais polarisable : une onde électromagnétique dans le domaine du visible induit un mouvement des électrons qui se traduit par l'apparition d'un vecteur densité de courant selon la question précédente. Donnez alors les équations de Maxwell dans ce milieu. Montrer qu'en introduisant une permittivité relative $ε_r$ complexe que l'on identifiera, on peut écrire l'équation de propagation pour le champ électrique sous la forme $ΔE⃗ = μ_0 ε_0 ε_r(\partial^2 E⃗)/(\partialt^2)$ .
$◻9$ - On néglige les frottements fluides et on suppose que la pulsation de l'onde $ω$ est très inférieure à $ω_0$ , montrez alors que cette permittivité relative se simplifie en :

ε_r = 1 + (κe^2 n^*)/(m_e ε_0 ω_0^2)

Quelle est la relation entre la permittivité relative et l'indice

n

? En remarquant que

n^2 - 1≪1

, donnez l'expression de l'indice en fonction de

n^*, e, m_e, ε_0

ω_0

10- Reliez le nombre volumique

n^*

à la pression et la température de l'air. Déduisez-en l'expression de l'indice en fonction de la pression, de la température et des autres constantes. Exprimez alors le coefficient

a

en fonction de

e, m_e, ε_0, k_B

ω_0

. Calculez la valeur numérique de

ω_0

et commentez le résultat obtenu.

FIN DE LA PARTIE I

II. - Refroidissement par désaimantation adiabatique

Le refroidissement par désaimantation magnétique est une technique assez ancienne puisque les premières expériences ont été présentées en 1933, découlant de théorie proposée par Debye (1926) et Giauque (1927). Elle connaît actuellement un regain d'intérêt dans le domaine spatial. L'atténuation du bruit thermique sur les capteurs des satellites nécessite en effet des températures extrêmement basses qui doivent être obtenues dans un milieu en apesanteur et avec un dispositif le plus léger possible. La technique de refroidissement par effet magnétocalorique ne nécessite pas de compresseur, elle est donc compatible avec l'absence de pesanteur. La capacité thermique importante permet de réduire la masse du dispositif. La température de refroidissement attendue est de l'ordre de 50 mK .
L'aimantation, notée

M⃗

, est une grandeur intensive définie comme la densité volumique de moment dipolaire magnétique. Il s'agit donc du moment dipolaire magnétique moyen par unité de volume.

Le dispositif de refroidissement comporte un premier étage de refroidissement à adsorption qui amène l'étage de désaimantation magnétique à la température de 350 mK . Le réfrigérant utilisé pour la désaimantation est un sel d'alun de chrome de formule

KCr(SO_4)_2

qui est paramagnétique. Les ions présentent un moment magnétique orbital principalement d'origine électronique. En présence d'un champ extérieur, le sel présente une aimantation que l'on cherche à exprimer.

11 - Considérons une spire de courant circulaire, traversée par l'intensité $I$ , dont la surface est notée $S$ . Son vecteur surface $S⃗$ est orienté par $uˆ$ vecteur unitaire normal. Le moment magnétique associé est défini par $μ⃗ = IS⃗$ avec $S⃗ = Suˆ$ . Plongé dans un champ magnétique extérieur $B⃗$ , le circuit subit une action qui tend à aligner le moment magnétique avec le champ magnétique. Cette action se traduit par un couple de force $μ⃗ \land B⃗$ . Montrez qu'il existe deux positions d'équilibre et indiquer leur stabilité. Tracez succinctement le graphe de l'énergie potentielle magnétique $E_m = - μ⃗ \cdot B⃗$ en fonction de l'angle entre les deux vecteurs qui la définissent. Retrouvons-nous les positions d'équilibre et leur stabilité?

Dans le cadre du modèle semi-classique de Bohr, nous considérons un électron, de masse

m

et de charge

q = - e

, en orbite circulaire uniforme de rayon

r

autour d'un noyau. Le moment cinétique de cet électron

L⃗ = r⃗ \land m_e v⃗

est quantifié, sa norme valant

L = pℏ

où

ℏ

est la constante de Planck réduite et

p \in ℕ^*

12-Exprimez la norme du moment cinétique en fonction notamment des normes de

r⃗

v⃗

. En remarquant que l'électron effectue un tour en une période

τ

, exprimez l'intensité électrique correspondant à ce circuit élémentaire en fonction de

e

et des normes de

r⃗

v⃗

. Déduisez-en l'expression du moment magnétique. Montrez alors que le moment magnétique est colinéaire au moment cinétique. Déduisez-en que sa norme

μ

est aussi quantifiée

μ = pμ_B

et exprimez la constante

μ_B

appelée magnéton de Bohr en fonction de

e, m_e

ℏ

. Calculez avec un seul chiffre significatif la valeur numérique de

μ_B

Les sels ioniques d'alun présentent un moment magnétique permanent dont l'orientation est aléatoire. En présence d'un champ magnétique extérieur, ce moment magnétique tend à s'orienter selon le champ. Notons

Oz

l'axe du champ magnétique, soit

B⃗ = Buˆ_z

. L'énergie potentielle fait intervenir la projection du moment magnétique selon

Oz

qui est elle-même quantifiée. Ainsi l'état quantique du nuage électronique d'un ion dans un champ magnétique est défini par 4 nombres quantiques (

n, ℓ, m, k

Le nombre

k

est entier si

m

est entier ou demi-entier si

m

est demi-entier. Il peut prendre l'une quelconque des valeurs de l'ensemble

𝕄

tel que

k \in 𝕄 = [{ - m, - m + 1, \dots, - 1, 0, 1, \dots, m - 1, m} si m est entier; { - m, - m + 1, \dots, - 1/2, 1/2, \dots, m - 1, m} si m est demi-entier

L'énergie potentielle associée à cet état s'écrit

E_k = - kgμ_B B

où

g

est un facteur numérique, appelé facteur de Landé. Contrairement au ferromagnétisme, l'interaction entre les ions est négligeable. Nous considérons

n^*

ions du sel d'alun par unité de volume dont nous cherchons à exprimer l'aimantation.

13 - En utilisant la distribution de probabilité de Boltzmann, montrez que la proportion $P_k$ d'ions dans l'état $E_k$ peut s'écrire sous la forme $P_k = (exp(kx))/Z$ où la quantité $Z$ permet de normaliser la distribution, et dans laquelle on exprimera $x$ en fonction de $g, μ_B, B, k_B$ et $T$ .

14-Exprimez

Z

en fonction de

x

et des

k

. Montrez que

Z

peut s'écrire comme la somme des premiers termes d'une suite géométrique. Déduisez-en l'expression de

Z

sous la forme d'un rapport de deux sinus hyperboliques. La fonction

Z

est appelée fonction de partition.

◻15

- La projection du moment magnétique selon l'axe

Oz

vaut

μ_z = kgμ_B

, exprimez sa moyenne

⟨μ_z⟩

dans la distribution dipolaire en fonction de

g, μ_B

et des proportions

P_k

, puis en fonction de la dérivée

d/(dx)[ln(Z)] = 1/Z(dZ)/(dx)

. Comme les composantes du moment magnétique selon les autres axes sont nulles en moyenne (pas de direction privilégiée), montrez que l'aimantation totale

M

des

n^*

ions par unité de volume a pour expression

M = M_∞{(m + 1/2)/(th[(m + 1/2)x]) − 1/(2th(x/2))}

où l'on exprimera

M_\infty

en fonction de

n^*, g

μ_B

. Ce modèle a été proposé par le physicien français Léon Brillouin en 1927.

16 - Dans le régime $x≪1$ , on constate expérimentalement que l'aimantation suit la loi de Curie $M = γB/T$ où $γ$ est une constante spécifique du sel d'alun considéré. Exprimez, dans le cadre du modèle obtenu, $γ$ en fonction de $n^*, g, μ_B$ , du facteur $m(m + 1)$ et de $k_B$ .

17- Nous prenons ici

m = 3/2

. On définit la fonction de Brillouin

f(x) = (M(x))/(M_\infty)

. Pour quelles raisons physiques fondamentales observe-t-on, d'une part que

lim_(x \to 0)f(x) = 0

, et d'autre part que le graphe de

f(x)

présente une asymptote horizontale? Tracer l'allure de

f(x)

pour

x \geq 0

. Expérimentalement, la susceptibilité magnétique

χ = (μ_0 M)/B

de ce sel d'alun est voisine de

χ = 1, 0 \times 10^(- 4)

pour

n^*

proche du millier de moles par

m^3

, à la température de 300 K . Retrouvez-vous cet ordre de grandeur avec

g = 2

Le sel d'alun utilisé dans la désaimantation suit la loi de Curie

M = γB/T

.
Lorsqu'un champ magnétique extérieur est appliqué, les moments magnétiques tendent à s'aligner selon le champ extérieur. Cet alignement est exothermique. Le sel d'alun est relié au premier étage de refroidissement qui évacue l'énergie thermique produite. Le sel est ensuite isolé thermiquement, et le champ magnétique est lentement diminué. Cette transformation est considérée comme adiabatique réversible.

18-L'énergie interne volumique

u

des

n^*

ions d'alun par unité de volume est une fonction d'état de ce système. Sa variation est donnée par

du = T ds + B dM

où

s = s(T, B)

est l'entropie volumique du système. Quelle serait l'équivalent du terme

B dM

pour un gaz soumis à des forces de pression? Le sel est un solide, nous introduisons, à l'aide de l'approche des multiplicateurs de Lagrange, la fonction enthalpie volumique

h = u - BM

. Exprimez la différentielle de

h

. Dans le cadre du modèle utilisé,

h

ne dépend que de

T

, nous définissons

c_B

la capacité thermique du système par

dh = c_B dT

. Déterminez la variation

ds

de l'entropie en fonction de

c_B, γ, B, T

et des variations de température

dT

et de champ magnétique

dB

19-Montrer que

((\partialc_B)/(\partialB))_T = - η(γB)/(T^2)

où l'on déterminera la constante

η

. Dans la gamme de température considérée, la capacité thermique d'un sel paramagnétique non soumis à un champ magnétique extérieur est celle d'un système chaud à deux états, i.e proportionnelle à l'inverse du carré de la température

c_B(T, B = 0) = α/(T^2)

où

α

est une constante caractéristique du sel considéré. En déduire l'expression de

c_B

en fonction de

γ, α

et des variables

T

B

◻20

- Le réfrigérant est soumis à un champ magnétique de

B_i = 20mT

et refroidi à une température

T_i = 350mK

avant d'être isolé thermiquement. Le champ magnétique est lentement abaissé jusqu'à une valeur résiduelle de

B_f = 2, 0mT

. Déterminez l'expression de la température finale

T_f

en fonction de

γ, α, B_f, B_i

T_i

. Dans les conditions de l'expérience, nous pouvons annuler le paramètre

α

, déduisez-en l'expression simplifiée de

T_f

en fonction de

B_f, B_i

T_i

puis sa valeur numérique.

FIN DE LA PARTIE II

Constantes et valeurs numériques

Constante de Boltzmann : $k_B = 1, 4 \times 10^(- 23) J \cdot K^(- 1)$
Nombre d'Avogadro : $N_A = 6, 0 \times 10^(23) mol^(- 1)$
Constante des gaz parfaits : $R = k_B N_A = 8, 3 J \cdot K^(- 1) \cdot mol^(- 1)$
Constante de Planck : $h = 6, 6 \times 10^(- 34) J \cdot s$
Constante de Planck réduite : $ℏ = h/(2π) = 1, 1 \times 10^(- 34) J \cdot s$
Permittivité du vide : $ε_0 = 8, 9 \times 10^(- 12) F \cdot m^(- 1)$
Perméabilité du vide : $μ_0 = 1, 3 \times 10^(- 6)H \cdot m^(- 1)$
Charge élémentaire : $e = 1, 6 \times 10^(- 19)C$
Masse de l'électron : $m_e = 9, 1 \times 10^(- 31) kg$

Formulaire de trigonométrie hyperbolique

On appelle sinus et cosinus hyperbolique de la variable réelle

t

, les fonctions :

sh(t) = (e^t - e^(- t))/2 et ch(t) = (e^t + e^(- t))/2

La fonction tangente hyperbolique de la variable réelle

t

est définie par le rapport

th(t) = (sh(t))/(ch(t))

.
Au voisinage de

t = 0

, le développement de Taylor de la tangente hyperbolique s'écrit :

th(t) = t - 1/3t^3 + o(t^3)

On rappelle également que

d/(dt)(sh(t)) = ch(t)

d/(dt)(ch(t)) = sh(t)

Théorème de Schwarz, ou de Young

Soit

f(x, y)

une fonction à valeurs réelles définie sur un ouvert de

ℝ^2

et au moins deux fois dérivable. Elle vérifie :

\partial/(\partialy)((\partialf)/(\partialx)) = \partial/(\partialx)((\partialf)/(\partialy))

Identité entre opérateurs différentiels

Soit

u⃗

un vecteur de

ℝ^3

, on a

rot^(\to-)rot^(\to-)u⃗ = graddivu⃗ - Δu⃗

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de physique 2 Mines-Ponts MP 2019 ?

Sur la loi de Gladstone-Dale reliant l'indice de l'air à sa masse volumique, étudiée au Michelson puis avec l'électron élastiquement lié, et sur le refroidissement par désaimantation adiabatique d'un sel paramagnétique.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en physique II Mines MP 2019 ?

Le Michelson confondu avec les fentes d'Young, le facteur 2 oublié pour la cuve, des diagrammes de Bode faux (3 % de corrects), des dérivées partielles mal manipulées et une confusion entre isenthalpique et isentropique.

Le sujet Mines physique 2 MP 2019 était-il long ?

Selon le jury, le problème était bien calibré en longueur malgré l'interdiction de la calculatrice, et ses questions accessibles ont permis d'aborder une grande partie du sujet.

Quels chapitres réviser pour Mines-Ponts physique II MP 2019 ?

L'interféromètre de Michelson, le filtrage et les diagrammes de Bode, les équations de Maxwell dans un milieu, le dipôle magnétique, la statistique de Boltzmann et la thermodynamique des fonctions d'état.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Mines Physique 2 MP 2019

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...