Mines Physique 2 MP 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Oscillateur harmonique
Théorème d'équipartition de l'énergie
Gaz parfait diatomique
Oscillateur harmonique quantique
Analyse dimensionnelle

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BanqueMines Année2017 FilièreMP MatièrePhysique

Annales Mines MP Physique Mines MP 2017 MP Physique Physique 2017

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La capacité thermique des gaz : de l'oscillateur harmonique à la physique quantique

Le sujet aborde la capacité thermique des gaz à travers quatre parties, de la modélisation de la liaison chimique par un oscillateur harmonique jusqu'à une expression quantique de la capacité thermique. Il couvre la mécanique classique du point matériel, la thermodynamique et la physique quantique, en confrontant régulièrement les modèles à des résultats expérimentaux.

1I. De la molécule à l'oscillateur harmoniqueModélisation classique de la liaison chimique par un oscillateur harmonique.
2II. Capacité thermique d'un gaz parfait diatomiqueDénombrement des degrés de liberté de la molécule et confrontation du théorème d'équipartition à des résultats expérimentaux.
3III. L'oscillateur harmonique en physique quantiqueQuestions de cours et applications directes sur l'oscillateur harmonique quantique, sollicitant les capacités calculatoires.
4IV. Capacité thermique et quantificationObtention d'une expression quantique de la capacité thermique et confrontation à la réalité expérimentale.

Accessible. Le rapport indique un sujet très proche du cours, permettant aux candidats bien préparés d'obtenir un résultat très convenable, avec des excellentes copies qui ne sont pas rares.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Ordres de grandeur trop approximatifs · Analyse de résultats expérimentaux réduite à des banalités · Confusion entre vitesse et volume

Le sujet couvrait la mécanique classique du point matériel, la thermodynamique et la physique quantique, en mobilisant l'ensemble des compétences de la démarche scientifique. Très proche du cours, il devait permettre aux candidats bien préparés d'obtenir un résultat convenable, et les excellentes copies n'étaient pas rares.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Ordres de grandeur trop approximatifs
Les ordres de grandeur proposés pour l'énergie de liaison covalente étaient souvent inacceptables au vu de la réalité physique.
« si l’énergie de liaison covalente était de l’ordre de 1 ou 10 kJ, nous n’existerions pas »
2
Analyse de résultats expérimentaux réduite à des banalitésII
L'analyse des résultats expérimentaux se limite trop souvent à des observations sans contenu physique, sans confronter le modèle aux résultats.
« on remarque que la courbe monte, puis est constante »
3
Confusion entre vitesse et volume
Certains candidats confondent la vitesse v et le volume dans la loi des gaz parfaits PV = nRT, une confusion révélatrice d'un manque d'application numérique.
« certains candidats vont jusqu’à confondre la vitesse v et le volume dans PV=nRT »
4
Analyse dimensionnelle insuffisamment maîtriséeIII
L'analyse dimensionnelle pose encore des difficultés insurmontables à de nombreux candidats, avec des combinaisons d'unités improbables proposées.
5
Vocabulaire approximatif dans les questions de cours
Le jury insiste sur la nécessaire rigueur de la rédaction des questions de cours, un vocabulaire approximatif n'étant pas acceptable dans une restitution de connaissances.
« un vocabulaire approximatif n’est pas acceptable dans une restitution de connaissances »

Ce qui a été bien réussi

Les questions de la partie III, très proches du cours, ont été abordées quasiment systématiquement.
L'expression usuelle Cv=5/2 nR pour un gaz parfait diatomique était connue de nombreux candidats.

Conseils du jury

Citer complètement les théorèmes utilisés, comme le théorème d'équipartition, avec la rigueur nécessaire.
Confronter systématiquement un modèle aux résultats expérimentaux en s'interrogeant sur ce que prévoit le modèle et sur l'origine des différences observées.
Vérifier les ordres de grandeur obtenus pour s'assurer qu'ils sont physiquement raisonnables.
Faire les applications numériques demandées plutôt que de se limiter à des expressions littérales.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

A2017 - PHYSIQUE II MP

CONCOURS MINES COMMUN PONTS

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne), ENSAE PARISTECH.

Concours Centrale-Supelec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2017

DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve :

3

heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

La capacité thermique des gaz

La capacité thermique des gaz est une grandeur thermodynamique assez facile à mesurer expérimentalement. Elle a joué un grand rôle dans la compréhension de la nature microscopique des gaz et de la matière en général. Elle a également été un point de questionnement fondamental au moment de la construction de la physique quantique. Dans cette épreuve, on se propose d'expliquer à l'aide de différents modèles théoriques les valeurs mesurées de la capacité thermique de différents gaz parfaits diatomiques à différentes températures.
Hormis le nombre

i

tel que

i^2 = - 1

, les nombres complexes sont soulignés :

z \in ℂ

. Les vecteurs seront traditionnellement surmontés d'une flèche, par exemple

v⃗

pour une vitesse; sauf s'ils sont unitaires et seront alors surmontés d'un chapeau, par exemple

uˆ

tel que

‖uˆ‖ = 1

I. - De la molécule à l'oscillateur harmonique

On considère une molécule diatomique dont les deux atomes

A

B

sont liés par une liaison covalente : l'énergie potentielle d'interaction entre les deux atomes est attractive à longue portée et répulsive à courte portée. L'étude est menée dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. On suppose la molécule isolée et on néglige l'interaction gravitationnelle entre les deux atomes devant l'interaction conduisant à la liaison covalente.

1 - Tracer l'allure du profil d'énergie potentielle $E_p$ de cette molécule en fonction de la longueur $ℓ = AB$ de la liaison. On y fera figurer la longueur d'équilibre $ℓ_e$ de la liaison et l'énergie de liaison $E_ℓ$ .
2 - Donner un ordre de grandeur de $ℓ_e$ en nm et de $E_ℓ$ en $kJ \cdot mol^(- 1)$ .
3 - Compte tenu de l'allure de la courbe de la question 1, et moyennant une hypothèse à préciser, justifier que l'on peut assimiler la liaison covalente à un ressort dont on exprimera la constante de raideur $k$ en fonction d'une dérivée de $E_p$ .
On suppose cette approximation valide dans toute la suite.
4 - Exprimer l'énergie cinétique de la molécule en fonction des vitesses $v⃗_A, v⃗_B$ et des masses $m_A, m_B$ des atomes $A$ et $B$ dans le référentiel du laboratoire.
5 - Calculer un ordre de grandeur de la vitesse caractéristique des molécules dans l'air à 300 K et sous une pression de 1 atm . On prendra $R = (25)/3 J \cdot mol^(- 1) \cdot K^(- 1)$ pour valeur de la constante des gaz parfait et $M_a = 30 \times 10^(- 3) kg \cdot mol^(- 1)$ pour la masse molaire de l'air.
6 - Exprimer l'énergie mécanique $E_m$ de la molécule dans le référentiel du laboratoire, en fonction de $E_ℓ, ℓ, ℓ_e, k, v⃗_A$ et $v⃗_B$ .
7 - On note $G$ le barycentre de la molécule tel que $m_A GA^(\to-) + m_B GB^(\to-) = 0\to$ et $v⃗_G$ sa vitesse dans le référentiel du laboratoire. On appelle référentiel barycentrique, le référentiel ayant les mêmes vecteurs de base que le référentiel du laboratoire mais d'origine $G$ . Ce référentiel est-il galiléen? On justifiera sa réponse.
$◻8$ - On note $v⃗ = (dAB^(\to-))/(dt)$ , établir la relation $E_m - E_ℓ = 1/2(m‖v⃗_G‖^2 + μ‖v⃗‖^2 + kr^2)$ dans laquelle on exprimera les constantes $m$ et $μ$ en fonction des masses $m_A, m_B$ et la variable $r$ en fonction de $ℓ$ et $ℓ_e$ .
$◻9$ - En écrivant $AB^(\to-) = ℓ(t)eˆ_r$ avec $eˆ_r = (AB^(\to-))/(‖AB^(\to-)‖)$ , décomposer $E_m$ en la somme de trois termes que l'on supposera indépendants dans ce problème et qui représentent respectivement la translation $E_(tra)$ , la vibration $E_(vib)$ et la rotation $E_(rot)$ de la molécule. On explicitera chacun de ces termes en fonction des grandeurs les plus adaptées.

FIN DE LA PARTIE I

II. - Capacité thermique d'un gaz parfait diatomique

On s'intéresse maintenant à un gaz parfait de

N

molécules diatomiques identiques. On cherche à déterminer l'expression de la capacité thermique de ce gaz en exploitant le modèle développé dans la partie précédente.

10 - Exprimer l'énergie interne $U$ de cet ensemble de particules en fonction de $N$ et $⟨E_m⟩$ , où $⟨E_m⟩$ est l'énergie moyenne d'une molécule de cet ensemble de molécules.
11 - Énoncer le théorème d'équipartition de l'énergie.
12 - Montrer que dans le modèle classique développé dans la partie I la capacité thermique molaire $c_(V, m)$ du gaz est une constante que l'on exprimera en fonction de $R$ .

La figure 1 présente les relevés expérimentaux de la capacité thermique molaire du dichlore

Cl_2

gazeux et du dihydrogène

H_2

gazeux à diverses températures.

Figure 1 - Mesures de la capacité thermique molaire du dichlore (

Cl_2

) et du dihydrogène (

H_2

) gazeux en fonction de la température.

13 - Commenter les deux courbes de la figure 1 au vu des prédictions théoriques obtenues précédemment.

FIN DE LA PARTIE II

III. - L'oscillateur harmonique en physique quantique

On envisage dans cette partie un traitement quantique de l'oscillateur harmonique étudié dans les parties précédentes. L'objectif est d'obtenir l'expression quantifiée des valeurs possibles de l'énergie de cet oscillateur harmonique dans cette théorie.
On note

Ψ(x, t)

la fonction d'onde du système décrivant l'oscillateur harmonique associé à la molécule diatomique considérée. Ce système est un point matériel

M

dont la masse est le paramètre

μ

introduit à la question 8 . Ce point évolue évolue le long d'un axe (

O, uˆ_x

), la distance

x = OM

représente l'élongation du ressort de raideur

k

modélisant la liaison chimique entre les deux atomes à travers le potentiel

V(x) = 1/2kx^2

. Il s'agit donc d'un problème unidimensionnel. Le système est de plus stationnaire, on peut donc séparer la fonction d'onde en deux parties sous la forme

Ψ_-(x, t) = f(x)e^(- (iE)/ℏt)

où

E

représente les valeurs de l'énergie accessibles à ce système. Pour l'oscillateur harmonique, on montre que ces valeurs de

E

doivent être positives. La fonction

Ψ_-(x, t)

est une solution de norme unité de l'équation de Schrödinger

- (ℏ^2)/(2μ)(\partial^2 Ψ_-(x, t))/(\partialx^2) + V(x)Ψ_-(x, t) = iℏ(\partialΨ_-(x, t))/(\partialt)

14-Ecrire l'équation différentielle vérifiée par la fonction

f(x)

en fonction des paramètres

k, μ, ℏ

E

.
On effectue le changement de variable

α = x((μk)/(ℏ^2))^(1/4)

et l'on pose

γ = ((4μE^2)/(ℏ^2 k))^(1/2)

◻15

- Quelles sont les dimensions de

α

et de

γ

16 - Ecrire l'équation différentielle vérifiée par la fonction $f(α)$ en fonction du seul paramètre $γ$ .
17-Vérifier que dans le régime $α \to \pm \infty$ , on peut écrire $f(α) \sim e^(\pm 1/2α^2)$
18 - Justifier succinctement que seule la solution $α \mapsto e^(- 1/2α^2)$ est physiquement acceptable.

Dès lors que nous connaissons le comportement asymptotique de la solution recherchée, nous pouvons l'extraire de celle-ci en effectuant le changement de fonction

f(α) = g(α)e^(- 1/2α^2)

19 - Déterminer l'équation différentielle vérifiée par la fonction $α \mapsto g(α)$ ?

Pour résoudre cette équation, on effectue un développement en série entière de la fonction

g

g(α) = \sum_(p = 0)^(+ \infty)b_p α^p

◻20

- Exprimer le coefficient

b_(p + 2)

en fonction du coefficient

b_p

, de l'entier

p

et de

γ

.
Si l'on conserve tous les termes de la série, on montre que le comportement asymptotique de la fonction

α \mapsto g(α)

l'emporte sur

exp(- α^2/2)

\pm \infty

ce qui ne permet pas de construire de solution physiquement acceptable. La seule possibilité est de tronquer la série en imposant l'existence d'un entier

n

tel que si

p \geq n

alors

b_(p + 2) = 0

$21$ - En déduire que les énergies accessibles à un oscillateur harmonique en régime quantique sont de la forme

E_n = (n + 1/2)ℏω avec n \in ℕ

où

ω

est une grandeur que l'on exprimera en fonction de

μ

k

IV. - Capacité thermique et quantification

Comme dans la partie II, on s'intéresse à un ensemble de

N

molécules diatomiques identiques. Ce gaz est à l'équilibre thermique à la température

T

. La probabilité

π(E)

qu'une molécule de ce gaz se trouve dans un état d'énergie

E_n

s'écrit

π(E_n) = Aexp(- βE_n)

où

β

est une fonction de

k_B

et de

T

uniquement.

22 - Par analyse dimensionnelle, exprimer $β$ en fonction de $k_B$ et de $T$ .

Contrairement à la partie II où l'on avait utilisé l'expression classique de l'énergie, on utilise maintenant l'expression de l'énergie de l'oscillateur harmonique obtenue dans le modèle quantique à la question 21. C'est Albert Einstein qui eût cette idée le premier en 1907 afin de tenter de régler certains problèmes de la physique classique dans le traitement du comportement des solides à basse température. L'idée est ici la même, mais rend compte de la vibration des molécules diatomiques.

23 - Exprimer la constante $A$ en fonction de $ℏ, ω, β$ .
24 - En déduire l'expression de l'énergie moyenne $⟨E⟩$ de l'ensemble de ces $N$ particules en fonction de $ℏ, ω, β$ et $N$ .
25 - Montrer que la capacité thermique molaire à volume constant $c_(V, m)$ de ce gaz s'écrit

c_(V, m) = R(ξ^2)/(sinh^2(ξ)) avec ξ = 1/2βℏω

Figure 2 - Graphe de

χ(u)

On désigne par

T_v

la température, dite de vibration, caractéristique des vibrations de la molécule qui est telle que

T_v = (ℏω)/(k_B)

$26$ - Réécrire l'expression de $c_(V, m)$ en fonction de $T_v$ et $T$ .

La figure 2 représente l'allure de la fonction

χ(u) = u^(- 2)/sinh^2(u^(- 1))

27 - La table ci-dessous fournit la température de vibration de quelques molécules diatomiques. Quelle partie des mesures présentées sur la figure 1 le modèle est-il censé représenter? La théorie est-elle en accord avec l'expérience?

Molécule	$^1 H_2$	$^2 H_2$	$^1 H - ^2 H$	$Cl_2$	$Br_2$	HCl	HBr
$T_v[ K]$	6220	4390	5380	808	463	4230	3790

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique 2 Mines MP 2017 ?

Le sujet porte sur l'oscillateur harmonique, le théorème d'équipartition, la capacité thermique du gaz parfait diatomique et l'oscillateur harmonique en physique quantique.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées ?

Des ordres de grandeur trop approximatifs, une analyse des résultats expérimentaux réduite à des banalités, des confusions entre vitesse et volume, et une analyse dimensionnelle souvent mal maîtrisée.

Ce sujet de physique 2 Mines MP 2017 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme très proche du cours, permettant aux candidats bien préparés d'obtenir un résultat convenable, avec des excellentes copies qui ne sont pas rares.

Ce sujet de physique 2 Mines MP 2017 nécessite-t-il de bien connaître son cours ?

Oui, le rapport souligne que plusieurs parties restent très proches du cours et que les théorèmes classiques, comme le théorème d'équipartition, doivent être cités complètement et avec rigueur.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Mines Physique 2 MP 2017

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