Mines Mathématiques 2 MP 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Sous-groupes compacts du groupe linéaire : le groupe orthogonal est maximal

Le sujet montre que tout sous-groupe compact de GLn(R) contenant le groupe orthogonal lui est égal. Il combine des préliminaires sur les matrices symétriques définies positives, des propriétés de la compacité en dimension finie et le théorème du point fixe de Markov-Kakutani. En 22 questions, il mobilise surtout l'algèbre linéaire et plusieurs questions de topologie.

1Partie A : préliminaires sur les matrices symétriquesCaractérisation spectrale des matrices symétriques définies positives, écriture sous la forme R^T R et convexité de l'ensemble de ces matrices.
2Partie B : autres préliminairesCompacité de l'enveloppe convexe d'un compact, endomorphismes conservant l'orthogonalité et compacité du groupe orthogonal.
3Partie C : quelques propriétés de la compacitéSuites sans valeur d'adhérence, recouvrement d'un compact par un nombre fini de boules ou d'ouverts, intersection finie de fermés.
4Partie D : théorème du point fixe de Markov-KakutaniConstruction d'une norme invariante par un sous-groupe compact et existence d'un point fixe commun dans un convexe compact stable.
5Partie E : sous-groupes compacts de GLn(R)Tout sous-groupe compact est conjugué à un sous-groupe du groupe orthogonal, puis maximalité du groupe orthogonal.

Difficulté moyenne. Selon le jury, les meilleurs candidats ont traité presque tout le sujet sans faute et beaucoup ont obtenu une note honorable, mais plusieurs questions de topologie ont été peu réussies.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Théorème spectral mal utilisé · Compacité affirmée sans justification · Fausses caractérisations du groupe orthogonal

L'étalement des notes montre que l'épreuve a bien joué son rôle. Beaucoup de candidats ont abordé plusieurs questions avec profit. Le jury déplore toutefois la présentation de nombreuses copies et des successions de calculs sans explication de la méthode ni citation des théorèmes.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Théorème spectral mal utiliséQ1, Q2
Pour prouver la suffisance en Q1, il faut diagonaliser dans une base orthonormée ; de nombreuses approximations sur les vecteurs propres ou sur la non-nullité de X ont été relevées.
« on oublie de préciser que X est non nul, ou même qu'il est propre »
2
Compacité affirmée sans justificationQ4, Q11
La continuité doit être justifiée et la compacité de l'ensemble des coefficients démontrée ; invoquer les opérations usuelles ne suffit pas.
3
Fausses caractérisations du groupe orthogonalQ6
Le groupe orthogonal n'est pas l'ensemble des matrices de déterminant ±1, et l'image réciproque d'un compact par une application continue n'est pas toujours compacte.
4
Quantificateurs et raisonnement par l'absurdeQ7, Q8, Q9
Des raisonnements confus aboutissent à des erreurs sur les quantificateurs ; le raisonnement par l'absurde doit être constructif.
« le raisonnement par l'absurde se doit d'être constructif »
5
Notions hors programme sans justificationQ8, Q11
Le recours aux suites de Cauchy ou à la norme d'opérateur a été sanctionné sans définition et démonstration.
6
Notion de limite mal compriseQ13
Certains considèrent que les termes d'une suite convergente sont égaux à la limite à partir d'un certain rang, ou oublient d'extraire une suite convergente.
« cette absence de compréhension de la notion de limite est pour nous un phénomène alarmant »

Ce qui a été bien réussi

Les meilleurs candidats ont traité la totalité du sujet presque sans faute.
Un grand nombre de candidats a pensé au raisonnement classique de Q2 via le théorème spectral.
En Q6, beaucoup ont correctement obtenu le caractère fermé du groupe orthogonal comme image réciproque par l'application A associée à A^T A.
En Q3, la majorité a distingué correctement les cas selon la valeur du paramètre.

Conseils du jury

Expliquer la méthode employée, citer le théorème appliqué et justifier chaque étape de calcul.
Conclure explicitement chaque question et mettre les résultats en valeur.
Limiter les ratures et insertions qui gênent la lecture.
Utiliser les résultats des questions précédentes au lieu de refaire leur raisonnement.
Démontrer l'injectivité d'une application linéaire à l'aide du noyau.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne), ENSAE PARISTECH.

Concours Centrale-Supelec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2017

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Abstract

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Sous-groupes compacts du groupe linéaire

Soit

E

un espace vectoriel euclidien de dimension

n > 0

dont le produit scalaire est noté

⟨

é é ⟩etlanormeeuclidienneassociéeestnotée‖‖

. On note

L(E)

l'espace vectoriel des endomorphismes de

E

GL(E)

le groupe des automorphismes de

E

. Pour tout endomorphisme

u

E

, on note

u^i

l'endomorphisme

u \circ u \circ \dots \circ u(i

fois) avec la convention

u^0 = Id_E

(identité). L'ensemble vide est noté

\emptyset

On rappelle qu'un sous-ensemble

C

E

est convexe si pour tous

x, y

dans

C

et tout

λ \in [0, 1]

, on a

λx + (1 - λ)y \in C

. De plus, pour toute famille

a_1, \dots, a_p

d'éléments de

C

convexe et tous nombres réels positifs ou nuls

λ_1, \dots., λ_p

dont la somme égale 1 , on a

\sum_(i = 1)^p λ_i a_i \in C

F

est un sous-ensemble quelconque de

E

, on appelle enveloppe convexe de

F

, et on note

Conv(F)

, le plus petit sous-ensemble convexe de

E

(au sens de l'inclusion) contenant

F

. On note

H

l'ensemble des

(λ_1, \dots, λ_(n + 1)) \in (ℝ^+)^(n + 1)

tels que

\sum_(i = 1)^(n + 1)λ_i = 1

et on admet que

Conv(F)

est l'ensemble des combinaisons linéaires de la forme

\sum_(i = 1)^(n + 1)λ_i x_i

où

x_1, \dots, x_(n + 1) \in F

(λ_1, \dots, λ_(n + 1)) \in H

L'espace vectoriel des matrices à coefficients réels ayant

n

lignes et

m

colonnes est noté

M_(n, m)(ℝ)

. On notera en particulier

M_n(ℝ) = M_(n, n)(ℝ)

. La matrice transposée d'une matrice

A

à coefficients réels est notée

A^T

. La trace de

A \in M_n(ℝ)

est notée

Tr(A)

On note

GL_n(ℝ)

le groupe linéaire des matrices de

M_n(ℝ)

inversibles et

O_n(ℝ)

le groupe orthogonal d'ordre

n

Les parties

A, B

C

sont indépendantes.

A Préliminaires sur les matrices symétriques

On note

S_n(ℝ)

le sous-espace vectoriel de

M_n(ℝ)

formé des matrices symétriques. Une matrice

S \in S_n(ℝ)

est dite définie positive si et seulement si pour tout

X \in M_(n, 1)(ℝ)

non nul, on a

X^T SX > 0

. On note

S_n^(+ +)(ℝ)

l'ensemble des matrices symétriques définies positives.

Montrer qu'une matrice symétrique $S \in S_n(ℝ)$ est définie positive si et seulement si son spectre est contenu dans $ℝ^(* +)$ .
En déduire que pour tout $S \in S_n^(+ +)(ℝ)$ , il existe $R \in GL_n(ℝ)$ tel que $S = R^T R$ . Réciproquement montrer que pour tout $R \in GL_n(ℝ), R^T R \in S_n^(+ +)(ℝ)$ .
Montrer que l'ensemble $S_n^(+ +)(ℝ)$ est convexe.

B Autres préliminaires

Les trois questions de cette partie sont mutuellement indépendantes.
4. Soit

K

un sous-ensemble compact de

E

Conv(K)

son enveloppe convexe. On rappelle que

H

est l'ensemble des

(λ_1, \dots, λ_(n + 1)) \in (ℝ^+)^(n + 1)

tels que

\sum_(i = 1)^(n + 1)λ_i = 1

. Définir une application

φ

ℝ^(n + 1) \times E^(n + 1)

dans

E

telle que

Conv(K) = φ(H \times K^(n + 1))

. En déduire que

Conv(K)

est un sous-ensemble compact de

E

.
5. On désigne par

g

un endomorphisme de

E

tel que pour tous

x, y

dans

E

⟨x, y⟩ = 0

implique

⟨g(x), g(y)⟩ = 0

Montrer qu'il existe un nombre réel positif

k

tel que pour tout

x \in E

‖g(x)‖ = k‖x‖

. (On pourra utiliser une base orthonormée

(e_1, e_2, \dots, e_n)

E

et considérer les vecteurs

e_1 + e_i

e_1 - e_i

pour

i \in {2, \dots, n}

En déduire que

g

est la composée d'une homothétie et d'un endomorphisme orthogonal.
6. On se place dans l'espace vectoriel euclidien

M_n(ℝ)

muni du produit scalaire défini par

⟨A, B⟩ = Tr(A^T B)

. (On ne demande pas de vérifier que c'est bien un produit scalaire.)

Montrer que le groupe orthogonal

O_n(ℝ)

est un sous-groupe compact du groupe linéaire

GL_n(ℝ)

C Quelques propriétés de la compacité

Soit

(x_n)_(n \in ℕ)

une suite d'éléments de

E

pour laquelle il existe un réel

ε > 0

tel que pour tous entiers naturels

n \neq p

, on ait

‖x_n - x_p‖ ⩾ ε

.
7. Montrer que cette suite n'admet aucune suite extraite convergente.

Soit

K

un sous-ensemble compact de

E

. On note

B(x, r)

la boule ouverte de centre

x \in E

et de rayon

r

.
8. Montrer que pour tout réel

ε > 0

, il existe un entier

p > 0

x_1, \dots, x_p

éléments de

E

tels que

K \subseteq ⋃_(i = 1)^p B(x_i, ε)

. (On pourra raisonner par l'absurde.)

On considère une famille

(Ω_i)_(i \in I)

de sous-ensembles ouverts de

E, I

étant un en-
semble quelconque, telle que

K \subseteq ⋃_(i \in I)Ω_i

.
9. Montrer qu'il existe un réel

α > 0

tel que pour tout

x \in K

, il existe

i \in I

tel que

B(x, α)

soit contenue dans l'ouvert

Ω_i

. (On pourra raisonner par l'absurde pour construire une suite d'éléments de

K

n'ayant aucune suite extraite convergente.) En déduire qu'il existe une sous-famille finie (

Ω_(i_1), \dots.Ω_(i_p)

) de la famille

(Ω_i)_(i \in I)

telle que

K \subseteq ⋃_(k = 1)^p Ω_(i_k)

Soit

(F_i)_(i \in I)

une famille de fermés de

E

contenus dans

K

et d'intersection vide :

⋂_(i \in I)F_i = \emptyset

.
10. Montrer qu'il existe une sous-famille finie (

F_(i_1), \dots., F_(i_p)

) de la famille

(F_i)_(i \in I)

telle que

⋂_(k = 1)^p F_(i_k) = \emptyset

D Théorème du point fixe de Markov-Kakutani

Soit

G

un sous-groupe compact de

GL(E)

K

un sous-ensemble non vide, compact et convexe de

E

. Pour tout

x \in E

, on pose

N_G(x) = sup_(u \in G)‖u(x)‖

.
11. Montrer que

N_G

est bien définie, et que c'est une norme sur

E

.
12. Montrer en outre que

N_G

vérifie les deux propriétés suivantes:

pour tous $u \in G$ et $x \in E, N_G(u(x)) = N_G(x)$ ;
pour tous $x, y$ dans $E$ avec $x$ non nul, $N_G(x + y) = N_G(x) + N_G(y)$ si et seulement si $λx = y$ où $λ \in ℝ^+$ .

Pour la deuxième propriété on pourra utiliser le fait que si

z \in E

, l'application qui à

u \in G

associe

‖u(z)‖

est continue.

On considère un élément

u

L(E)

et on suppose que

K

est stable par

u

, c'est-à-dire que

u(K)

est inclus dans

K

. Pour tout

x \in K

n \in ℕ^*

, on pose

x_n = 1/n\sum_(i = 0)^(n - 1)u^i(x)

. Enfin, on appelle diamètre de

K

le nombre réel

δ(K) = sup_(x, y \in K)‖x - y‖

qui est bien défini car

K

est borné.
13. Montrer que la suite

(x_n)_(n \in ℕ^*)

est à valeurs dans

K

et en déduire qu'il en existe une suite extraite convergente vers un élément

a

K

. Montrer par ailleurs que pour tout

n \in ℕ^*, ‖u(x_n) - x_n‖ ⩽ (δ(K))/n

. En déduire que l'élément

a

K

est un point fixe de

u

On suppose maintenant que le compact non vide convexe

K

est stable par tous les éléments de

G

. Soit

r

un entier

⩾ 1, u_1, u_2, \dots., u_r

des éléments de

G

u = 1/r\sum_(i = 1)^r u_i

.
14. Montrer que

K

est stable par

u

et en déduire l'existence d'un élément

a \in K

tel que

u(a) = a

.
15. Montrer que

N_G(1/r\sum_(i = 1)^r u_i(a)) = 1/r\sum_(i = 1)^r N_G(u_i(a))

. En déduire que pour tout

j \in {1, \dots, r}

, on a

N_G(u_j(a) + \sum_(i = 1; i \neq j)^r u_i(a)) = N_G(u_j(a)) + N_G(\sum_(i = 1; i \neq j)^r u_i(a))

.
16. En déduire, pour tout

j \in {1, \dots, r}

, l'existence d'un nombre réel

λ_j ⩾ 0

tel que

u(a) = (λ_j + 1)/ru_j(a)

.
17. Déduire de la question précédente que

a

est un point fixe de tous les endomorphismes

u_i

où

i \in {1, \dots, r}

.
18. En utilisant le résultat de la question 10 , montrer qu'il existe

a \in K

tel que pour tout

u \in G, u(a) = a

E Sous-groupes compacts de $GL_n(ℝ)$

On se place à nouveau dans l'espace vectoriel euclidien

M_n(ℝ)

muni du produit scalaire défini par

⟨A, B⟩ = Tr(A^T B)

. On rappelle que

GL_n(ℝ)

désigne le groupe linéaire et

O_n(ℝ)

le groupe orthogonal d'ordre

n

Soit

G

un sous-groupe compact de

GL_n(ℝ)

. Si

A \in G

, on définit l'application

ρ_A

M_n(ℝ)

dans lui-même par la formule

ρ_A(M) = A^T MA

. On vérifie facilement, et on l'admet, que pour tout

M \in M_n(ℝ)

, l'application qui à

A \in G

associe

ρ_A(M)

est continue.

On note

H = {ρ_A|A ∈ G}, Δ = {A^T A|A ∈ G}

K = Conv(Δ)

.
19. Montrer que

ρ_A \in GL(M_n(ℝ))

et que

H

est un sous-groupe compact de

GL(M_n(ℝ))

.
20. Montrer que

Δ

est un compact contenu dans

S_n^(+ +)

et que

K

est un sousensemble compact de

S_n^(+ +)(ℝ)

qui est stable par tous les éléments de

H

.
21. Montrer qu'il existe

M \in K

tel que pour tout

A \in G, ρ_A(M) = M

. En déduire l'existence de

N \in GL_n(ℝ)

tel que pour tout

A \in G, NAN^(- 1) \in O_n(ℝ)

. En déduire enfin qu'il existe un sous-groupe

G_1

O_n(ℝ)

tel que

G = N^(− 1)G_1 N = {N^(− 1)BN; B ∈ G_1}

Soit

K

un sous-groupe compact de

GL_n(ℝ)

qui contient

O_n(ℝ)

, et

N \in GL_n(ℝ)

tel que

NKN^(- 1) \subseteq O_n(ℝ)

. On désigne par

g

l'automorphisme de

ℝ^n

de matrice

N

dans la base canonique de

ℝ^n

, par

P

un hyperplan de

ℝ^n

et par

σ_P

la symétrie orthogonale par rapport à

P

.
22. Montrer que

g \circ σ_p \circ g^(- 1)

est une symétrie, puis que c'est un endomorphisme orthogonal de

ℝ^n

. En déduire que

g \circ σ_P \circ g^(- 1) = σ_(g(P))

. Montrer que

g

conserve l'orthogonalité et en déduire

K

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet Mines maths 2 MP 2017 ?

Il établit que le groupe orthogonal est le plus gros sous-groupe compact du groupe des matrices inversibles, en passant par les matrices symétriques définies positives, la compacité et le théorème du point fixe de Markov-Kakutani.

Quels chapitres réviser pour Mines maths 2 MP 2017 ?

Le sujet utilise principalement l'algèbre linéaire (théorème spectral, groupe orthogonal) ainsi que la topologie en dimension finie, notamment la compacité et la continuité.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines maths 2 MP 2017 ?

Un usage approximatif du théorème spectral, des compacités affirmées sans preuve, des erreurs de quantificateurs dans les raisonnements par l'absurde et une mauvaise compréhension de la notion de limite.

Les parties du sujet Mines maths 2 MP 2017 sont-elles indépendantes ?

Selon l'énoncé, les parties A, B et C sont indépendantes. Les parties D et E s'appuient sur les résultats précédents, par exemple la question 10 pour la question 18.

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Les erreurs les plus sanctionnées

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CONCOURS 2017

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Abstract

Sous-groupes compacts du groupe linéaire

A Préliminaires sur les matrices symétriques

B Autres préliminaires

C Quelques propriétés de la compacité

D Théorème du point fixe de Markov-Kakutani

E Sous-groupes compacts de GL_n(ℝ)

Questions fréquentes

Sur quoi porte le sujet Mines maths 2 MP 2017 ?

Quels chapitres réviser pour Mines maths 2 MP 2017 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines maths 2 MP 2017 ?

Les parties du sujet Mines maths 2 MP 2017 sont-elles indépendantes ?

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E Sous-groupes compacts de $GL_n(ℝ)$