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CCINP Mathématiques 1 MP 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Calcul différentiel sur une fonction de deux variables, familles sommables, puis un problème sur les séries trigonométriques en tant que séries de fonctions
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Le sujet comporte deux exercices indépendants et un problème de 18 questions. Le premier exercice porte sur le calcul différentiel d'une fonction de deux variables. Le second porte sur les familles sommables. Le problème étudie les séries trigonométriques en tant que séries de fonctions, avec des exemples, des conditions de convergence uniforme et simple, la continuité de la somme, et des applications au calcul de sommes de séries numériques.

  1. 1Exercice 1 : différentiabilité d'une fonction de deux variablesÉtude de la jacobienne et de la différentielle d'une fonction f de deux variables réelles.
  2. 2Exercice 2 : familles sommablesQuestion sur les familles sommables nécessitant l'utilisation d'une partition d'un ensemble.
  3. 3Problème, partie I : exemples de séries trigonométriquesÉtude d'exemples de séries trigonométriques et de leur convergence normale, uniforme ou simple.
  4. 4Problème, partie II : propriétés des séries trigonométriquesConditions suffisante et nécessaire de convergence, continuité de la somme, calcul de sommes de séries numériques, interversion série-intégrale.

Difficulté moyenne. Le rapport qualifie le sujet de longueur raisonnable, bien construit, progressif et sans erreur, avec une moyenne de 10,28 sur 20, et note que l'épreuve permet parfaitement de classer les candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,28 / 20 · écart-type 4,18 · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,28/ 20
Écart-type
4,18
moyenne 10,2805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Différentiabilité déduite à tort de l'existence des dérivées partielles · Majoration par le terme général d'une série divergente · Implication de convergence inversée
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Le jury constate que les deux exercices portent sur des notions pleinement dans le programme mais souvent peu prisées par les étudiants, d'où un manque de maîtrise marqué. Le sujet a permis de bien classer les candidats et récompense souvent les candidats moyens mais travailleurs et rigoureux, même si les notions de convergence uniforme restent insuffisamment maîtrisées.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Différentiabilité déduite à tort de l'existence des dérivées partielles1

    De nombreux candidats déduisent la différentiabilité sur R² de l'existence de dérivées partielles, alors que cette condition n'assure même pas toujours la continuité.

  2. 2
    Majoration par le terme général d'une série divergente8

    L'erreur la plus classique consiste à majorer |sin(nx)| par 1, ce qui majore par le terme général d'une série divergente sans que l'on puisse en conclure quoi que ce soit.

  3. 3
    Implication de convergence inversée7

    Certains candidats montrent qu'il n'y a pas convergence normale et en déduisent à tort qu'il n'y a pas convergence simple.

  4. 4
    Interversion intégrale-somme non justifiée20

    La plupart des candidats invoquent à tort le seul fait qu'une fonction soit développable en série entière pour intervertir intégrale et somme, sans justifier correctement cette interversion.

  5. 5
    Confusion sur la partie réelle de l'inverse d'un complexe5

    Une confusion fréquente consiste à penser que la partie réelle de 1/z est l'inverse de la partie réelle de z.

    « la partie réelle de 1/ z n’est pas l’inverse de la »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 3 de l'exercice 2 est souvent réussie.
  • La question 6 du problème est souvent bien traitée.
  • La question 13 du problème est plutôt réussie.
  • La question 17 est une de celles qui a le plus inspiré les candidats.

Conseils du jury

  • Citer tous les théorèmes utilisés et rappeler toutes les hypothèses utiles, même si elles figurent quelques lignes plus haut.
  • Éviter les étapes intermédiaires inutiles quand une réponse peut tenir en une ou deux lignes.
  • Soigner les majorations, en particulier la place des valeurs absolues.
  • Réutiliser les résultats déjà établis dans les questions précédentes plutôt que de repartir de zéro.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Mardi 2 mai : 14 h - 18 h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.

EXERCICE 1

On définit deux fonctions :
  • la fonction f de ℝ^2 dans ℝ par f(x, y) = sin(x^2 − y^2),
  • la fonction g de ℝ^2 dans ℝ^2 par g(x, y) = (x + y, x − y).
Q1. Justifier que les fonctions f et g sont différentiables en tout vecteur (x, y) ∈ ℝ^2 et écrire la matrice jacobienne de f puis de g en (x, y).
Q2. Pour (x, y) ∈ ℝ^2, déterminer l'image d'un vecteur (u, v) ∈ ℝ^2 par l'application linéaire d(f ∘ g)((x, y)) en utilisant les deux méthodes suivantes :
  1. en calculant f ∘ g;
  2. en utilisant le produit de deux matrices jacobiennes.

EXERCICE 2

On admet que ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^2) = (π^2)/6 et on pose A = ℕ^∗ × ℕ^∗.
Q3. Démontrer que la famille (1/(p^2 q^2))_((p, q) ∈ A) est sommable et calculer sa somme.
Q4. Démontrer que la famille (1/(p^2 + q^2))_((p, q) ∈ A) n'est pas sommable.

PROBLÈME Séries trigonométriques

Il est utile en physique, notamment pour étudier des spectres d'énergie ou pour décomposer un signal périodique en harmoniques, de pouvoir écrire une fonction périodique en somme d'une série de fonctions trigonométriques.
Nous allons nous intéresser à l'aspect mathématique de cette décomposition pour les fonctions de période 2π.
Dans ce qui suit, on appelle "série trigonométrique" une série de fonctions du type :
∑[a_n cos(nx) + b_n sin(nx)] où (a_n) et (b_n) sont deux suites de réels.
Dans la première partie, on étudie quelques exemples. Dans la deuxième partie, on s'intéresse plus particulièrement aux séries trigonométriques qui convergent normalement sur ℝ.
On notera C_(2π) l'espace vectoriel des fonctions continues et 2π-périodiques de ℝ dans ℝ.
Pour une fonction f élément de C_(2π), on notera, pour tout entier naturel n :
α_n(f) = 1/π∫_(− π)^π f(x)cos(nx)dx et β_n(f) = 1/π∫_(− π)^π f(x)sin(nx)dx.

Partie I - Exemples

Q5. Démontrer que la série trigonométrique ∑[1/(2^n)cos(nx) + 1/(3^n)sin(nx)] converge normalement sur ℝ. Pour tout entier p ≥ 2, déterminer la somme de la série ∑_(n ≥ 0)((e^(ix))/p)^n puis en déduire la valeur de ∑_(n = 0)^(+ ∞)[1/(2^n)cos(nx) + 1/(3^n)sin(nx)] (il n'est pas utile de réduire au même dénominateur).
Q6. Écrire la fonction φ : x ↦ exp(cosx)cos(sinx) comme la somme d'une série trigonométrique. On pourra écrire la fonction x ↦ exp(e^(ix)) comme la somme d'une série de fonctions.
Q7. Donner un exemple de suite (a_n) de limite nulle, telle que la série trigonométrique ∑a_n cos(nx) ne converge pas simplement sur ℝ.
Q8. On admet que la série trigonométrique ∑_(n ≥ 1)1/(√n)sin(nx) converge simplement sur ℝ. Converge-t-elle normalement sur ℝ ?

Partie II - Propriétés

Une condition suffisante

Q9. Démontrer que si les séries ∑a_n et ∑b_n sont absolument convergentes, alors la série trigonométrique ∑[a_n cos(nx) + b_n sin(nx)] converge normalement sur ℝ.

Une condition nécessaire

Q10. Soient a et b deux réels quelconques.
Démontrer que le maximun sur ℝ de la fonction x ↦ |acosx + bsinx| est √(a^2 + b^2).
Q11. Démontrer que si la série trigonométrique ∑[a_n cos(nx) + b_n sin(nx)] converge normalement sur ℝ, alors les suites (a_n) et (b_n) convergent vers 0 et les séries ∑a_n et ∑b_n sont absolument convergentes.

Autres propriétés

Q12. On note f la somme d'une série trigonométrique ∑[a_n cos(nx) + b_n sin(nx)] qui converge normalement sur ℝ. Justifier que f ∈ C_(2π).
Q13. Calculer ∫_(− π)^π cos^2(nx)dx pour n ≠ 0 et donner la valeur de ∫_(− π)^π sin(kx)cos(nx)dx pour k ≠ n.
Q14. On note f la somme d'une série trigonométrique ∑[a_n cos(nx) + b_n sin(nx)] qui converge normalement sur ℝ : pour tout réel x, f(x) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)[a_k cos(kx) + b_k sin(kx)]. Démontrer que pour tout
entier naturel n non nul α_n(f) = a_n puis exprimer α_0(f) en fonction de a_0. On pourra utiliser sans démonstration que pour k ≠ n : ∫_(− π)^π cos(kx)cos(nx)dx = 0.
On admettra, pour la suite du problème, que pour tout entier naturel n non nul β_n(f) = b_n et β_0(f) = 0 (la démonstration n'est pas demandée).
Q15. Soit f ∈ C_(2π). Pour tout réel x, on pose u_0(x) = (α_0(f))/2. Pour tout entier n ⩾ 1, on pose u_n(x) = α_n(f)cos(nx) + β_n(f)sin(nx). On suppose ici que la série trigonométrique ∑u_n(x) converge normalement sur ℝ vers une fonction notée g :
pour tout réel x, g(x) = (α_0(f))/2 + ∑_(k = 1)^(+ ∞)[α_k(f)cos(kx) + β_k(f)sin(kx)].
Quelles relations a-t-on dans ce cas entre α_n(g) et α_n(f) ? β_n(g) et β_n(f) ?
Q16. Il est admis que si une fonction h ∈ C_(2π) vérifie, pour tout entier naturel n : α_n(h) = β_n(h) = 0, alors h est la fonction nulle. Démontrer que pour tout réel x, g(x) = f(x).
En résumé, lorsque la série trigonométrique ∑[α_n(f)cos(nx) + β_n(f)sin(nx)] d'une fonction f ∈ C_(2π) converge normalement sur ℝ, pour tout réel x, on a :
f(x) = (α_0(f))/2 + ∑_(n = 1)^(+ ∞)[α_n(f)cos(nx) + β_n(f)sin(nx)].
Q17. Si f ∈ C_(2π) est une fonction paire, que vaut β_n(f) ? Exprimer, sans démonstration, α_n(f) en fonction de l'intégrale ∫_0^π f(x)cos(nx)dx.
Q18. Exemple. Soit f ∈ C_(2π) définie ainsi : pour tout x ∈ [ − π, π], f(x) = x^2 et f est 2π-périodique sur ℝ. Construire la courbe de cette fonction paire f sur l'intervalle [ − 3π, 3π] puis déterminer, pour tout entier naturel, les coefficients α_n(f) et β_n(f). Donner une série trigonométrique qui converge normalement sur ℝ vers f.
Q19. En déduire les sommes: ∑_(n = 1)^(+ ∞)((− 1)^n)/(n^2) et ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^2). Déduire alors de ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^2) la somme ∑_(n = 0)^(+ ∞)1/((2n + 1)^2).
Q20. Application. Justifier que la fonction x ↦ (ln(1 + x))/x est intégrable sur l'intervalle ]0, 1[ puis démontrer que ∫_0^1(ln(1 + x))/x dx = (π^2)/(12).
Q21. La somme d'une série trigonométrique qui converge normalement sur ℝ est-elle nécessairement une fonction dérivable sur ℝ ?
Proposer une condition suffisante sur les séries ∑na_n et ∑nb_n pour que la somme de la série trigonométrique ∑[a_n cos(nx) + b_n sin(nx)], qui converge normalement sur ℝ, soit une fonction dérivable sur ℝ.
Q22. Déterminer la somme de la série trigonométrique ∑n/(3^n)cos(nx).

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 CCINP MP 2017 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 CCINP MP 2017 ?

Le sujet couvre le calcul différentiel, les familles sommables, et les séries trigonométriques en tant que séries de fonctions, avec convergence normale, uniforme et simple, continuité de la somme et interversion série-intégrale.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur l'épreuve de mathématiques 1 CCINP MP 2017 ?

Le jury relève une différentiabilité déduite à tort de l'existence des dérivées partielles, une majoration inutile par le terme général d'une série divergente, et des interversions série-intégrale ou intégrale-somme mal justifiées.

Le sujet de mathématiques 1 CCINP MP 2017 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme de longueur raisonnable, bien construit et progressif, avec une moyenne de 10,28 sur 20, ce qui en fait un sujet de difficulté moyenne mais sélectif.

Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques 1 CCINP MP 2017 ?

La moyenne de l'épreuve est de 10,28 sur 20, avec un écart-type de 4,18, d'après le rapport du jury.

Pas de description pour le moment