CCINP Mathématiques 1 MP 2016Sujet, corrigé et rapport du jury

Mardi 3 mai : 14 h − 18 h
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.

On considère l'équation différentielle (E) : x^2 y^(′′) + (x^2 − x)y^′ + 2y = 0.
I.1. Existe-t-il des solutions non nulles de l'équation ( E ) développables en série entière sur un intervalle ] − r, r[(r > 0) de ℝ ?

II.1. Démontrer que la famille ((i + j)/(2^(i + j)))_((i, j) ∈ ℕ^2) est sommable et calculer sa somme.
II.2. Soit X et Y deux variables aléatoires sur un même espace probabilisé à valeurs dans ℕ. On suppose que la loi conjointe du couple ( X, Y ) vérifie :

II.2.a. Vérifier que la relation ci-dessus définit bien une loi conjointe.
II.2.b. Démontrer que les variables aléatoires X et Y suivent une même loi.
II.2.c. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes?

III.1.a. Soit x ∈ ]0, + ∞[, démontrer que la fonction t ↦ e^(− t)t^(x − 1) est intégrable sur ]0, + ∞[.
III.1.b. On note, pour tout x ∈ ]0, + ∞[, Γ(x) = ∫_0^(+ ∞)e^(− t)t^(x − 1) dt (fonction Gamma d'Euler).

Démontrer que pour tout x ∈ ]0, + ∞[, Γ(x) > 0.
III.1.c. Démontrer que la fonction Γ est dérivable sur ]0, + ∞[ puis exprimer Γ^′(x) sous forme d'intégrale.
III.2. Pour tout entier n ≥ 2, on pose u_n = ∫_(n − 1)^n 1/t dt − 1/n.
III.2.a. Utiliser un théorème du cours pour justifier simplement que la série ∑_(n ≥ 2)u_n converge.
III.2.b. Pour tout entier n ≥ 1, on pose H_n = ∑_(k = 1)^n 1/k − ln(n).

Démontrer que la suite (H_n)_(n ≥ 1) converge.

La limite de la suite (H_n)_(n ≥ 1) sera notée γ dans tout le sujet ( γ est appelée la constante d'Euler). Dans la suite de ce problème, on définit pour tout x ∈ ]0, + ∞[, ψ(x) = (Γ^′(x))/(Γ(x)) appelée fonction Digamma.

III.3. Pour x ∈ ]0, + ∞[ et pour tout entier n ≥ 1, on définit la fonction f_n sur ]0, + ∞[ telle que : pour tout t ∈ ]0, n], f_n(t) = (1 − t/n)^n t^(x − 1) et pour tout t ∈ ]n, + ∞[, f_n(t) = 0.
III.3.a. Démontrer que pour tout x < 1, ln(1 − x) ≤ − x.

En déduire que pour tout entier n ≥ 1, pour tout x ∈ ]0, + ∞[ et tout t ∈ ]0, + ∞[, 0 ≤ f_n(t) ≤ e^(− t)t^(x − 1).
III.3.b. En utilisant le théorème de convergence dominée, démontrer que pour tout x ∈ ]0, + ∞[, Γ(x) = lim_(n → + ∞)∫_0^n(1 − t/n)^n t^(x − 1) dt.
III.4. On pose, pour n entier naturel et pour x ∈ ]0, + ∞[, I_n(x) = ∫_0^1(1 − u)^n u^(x − 1) du.
III.4.a. Après avoir justifié l'existence de l'intégrale I_n(x), déterminer, pour x > 0 et pour n ≥ 1, une relation entre I_n(x) et I_(n − 1)(x + 1).
III.4.b. En déduire, pour n entier naturel et pour x ∈ ]0, + ∞[ une expression de I_n(x).
III.4.c. Démontrer que, pour tout x ∈ ]0, + ∞[, Γ(x) = lim_(n → + ∞)(n!n^x)/(∏_(k = 0)^n(x + k)) (formule de Gauss).
III.5. Pour tout entier n ≥ 1, on note toujours H_n = ∑_(k = 1)^n 1/k − ln(n).

En remarquant que pour n ≥ 1 et x ∈ ]0, + ∞[, 1/(n^x)∏_(k = 1)^n(1 + x/k) = e^(xH_n)∏_(k = 1)^n[(1 + x/k)e^((− x)/k)], démontrer que pour tout x ∈ ]0, + ∞[1/(Γ(x)) = xe^(γx)lim_(n → + ∞)∏_(k = 1)^n[(1 + x/k)e^((− x)/k)] (formule de Weierstrass).

III.6.a. En déduire que la série ∑_(k ≥ 1)[ln(1 + x/k) − x/k] converge simplement sur ]0, + ∞[.
III.6.b. On pose, pour tout x ∈ ]0, + ∞[, g(x) = ∑_(k = 1)^(+ ∞)[ln(1 + x/k) − x/k]. Démontrer que l'application g est de classe C^1 sur ]0, + ∞[ et exprimer g^′(x) comme somme d'une série de fonctions.
III.6.c. En déduire que, pour tout x ∈ ]0, + ∞[, ψ(x) = (− 1)/x − γ + ∑_(k = 1)^(+ ∞)(1/k − 1/(k + x)). On rappelle que pour tout x ∈ ]0, + ∞[, ψ(x) = (Γ^′(x))/(Γ(x)).

III.7.a. Que vaut ψ(1) ? En déduire la valeur de l'intégrale ∫_0^(+ ∞)e^(− t)ln(t)dt.
III.7.b. Calculer, pour tout x ∈ ]0, + ∞[, ψ(x + 1) − ψ(x) puis démontrer que, pour tout entier n ≥ 2, ψ(n) = − γ + ∑_(k = 1)^(n − 1)1/k.
III.7.c. On pose, pour tout (x, y) ∈ ]0, + ∞[2 et k entier naturel, j_k(y) = 1/(k + y + 1) − 1/(k + y + x).

Démontrer que la série ∑_(k ≥ 0)j_k converge uniformément sur ]0, + ∞[.
En déduire lim_(n → + ∞)(ψ(x + n) − ψ(1 + n)).
III.8. Déterminer l'ensemble des applications f définies sur ]0, + ∞[ et à valeurs réelles vérifiant les trois conditions:

III.9. Une urne contient n boules numérotées de 1 à n.

On effectue un premier tirage d'un boule dans l'urne et on adopte le protocole suivant:
si on a tiré la boule numéro k, on la remet alors dans l'urne avec k nouvelles boules toutes numérotées k.
Par exemple, si on a tiré la boule numéro 3 , on remet quatre boules de numéro 3 dans l'urne (la boule tirée plus 3 nouvelles boules numéro 3 ).

On effectue ensuite un deuxième tirage d'une boule.
On note X (respectivement Y ) la variable aléatoire égale au numéro de la boule choisie au premier tirage (respectivement au deuxième tirage).
III.9.a. Déterminer la loi de la variable aléatoire X ainsi que son espérance E(X).
III.9.b. Déterminer la loi de la variable aléatoire Y et vérifier que pour tout entier naturel non nulk, P(Y = k) = 1/n(ψ(2n + 1) − ψ(n + 1) + k/(n + k)).
III.9.c. Calculer l'espérance E(Y). On pourra utiliser, sans démonstration, que