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CCINP Mathématiques 1 MP 2015Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Fonction génératrice, intégration terme à terme et théorème d'approximation de Weierstrass
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L'épreuve comporte deux exercices puis un problème. Le premier exercice utilise la fonction génératrice de la loi de Poisson pour en déduire l'espérance et la variance. Le second illustre l'importance d'une hypothèse dans un théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions. Le problème étudie différentes démonstrations du théorème d'approximation de Weierstrass, dont une approche probabiliste.

  1. 1Exercice IUtilise la fonction génératrice de la loi de Poisson pour en déduire l'espérance et la variance.
  2. 2Exercice IIMontre l'importance d'une hypothèse dans un théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions.
  3. 3Problème : théorème d'approximation de WeierstrassÉtudie le théorème de Weierstrass à travers des exemples et contre-exemples, une application à un théorème des moments, un exemple via le théorème de Dini, puis une démonstration probabiliste du théorème.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que la moyenne de l'épreuve est de 10,88 avec un écart type de 4,12, que ce sujet a permis de bien classer les candidats, et que la moyenne est très convenable avec des notes bien étalées.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,88 / 20 · écart-type 4,12 · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,88/ 20
Écart-type
4,12
moyenne 10,8805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Fonction génératrice laissée sous forme de série · Intégrabilité d'une fonction non positive mal établie · Argument erroné sur la continuité de h en 0
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L'énoncé était clair et les questions, de difficulté variée, ont permis à tous les candidats, même faibles, de s'exprimer. Les contre-exemples proposés ont permis de bien distinguer les candidats inventifs de ceux qui reproduisent des raisonnements stéréotypés. Globalement, les candidats ont balayé l'ensemble du sujet.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Fonction génératrice laissée sous forme de sérieExercice I

    Plusieurs candidats ne simplifient pas la fonction génératrice et la laissent sous forme de série, ce qui ne rapporte pas de point.

    « Plusieurs candidats laissent la fonction génératrice sous forme de série »
  2. 2
    Intégrabilité d'une fonction non positive mal établieExercice II.1

    De nombreux candidats oublient la valeur absolue ou la continuité préalable de la fonction pour établir son intégrabilité.

    « On constate une grande difficulté pour établir l’intégrabilité d’une fonction non positive »
  3. 3
    Argument erroné sur la continuité de h en 0Problème 1

    L'argument de la non-continuité de h en 0 est souvent évoqué à tort, alors que h n'est même pas définie en ce point.

    « L’argument de la non continuité de h en 0 a souvent été évoqué, à tort car h n’est pas définie en 0 »
  4. 4
    Argument de fermeture en dimension finie non exploitéProblème 2

    Trop peu de candidats pensent à utiliser le fait qu'un espace vectoriel de dimension finie est fermé.

    « Trop peu de candidats pensent à utiliser le fait qu’un espace vectoriel de dimension finie est fermé »
  5. 5
    Confusion sur la dimension pour une somme directeProblème 5

    Certaines copies utilisent des arguments de dimension finie pour établir une somme directe alors que l'espace est de dimension infinie.

    « On rencontre des copies utilisant des notions de dimension pour établir une somme directe mais l’espace ici est de dimension infinie »

Ce qui a été bien réussi

  • Le premier exercice a été assez bien traité, de niveau assez simple pour ne pas défavoriser les candidats en 5/2.
  • Un effort a été fait cette année en ce qui concerne le soin apporté aux copies.
  • La question 9 du problème a été assez bien traitée, les candidats faisant le lien avec la question 7.

Conseils du jury

  • Traiter les questions simples avec rigueur : elles cachent souvent des pièges classiques.
  • Bien lire l'énoncé : ne pas redémontrer un résultat donné comme admis, et respecter les consignes comme « sans aucun calcul ».
  • Chercher en premier à répondre « non » à une question du type « a-t-on… ».

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.

EXERCICE I.

I.1. Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0. Déterminer sa fonction génératrice, puis en déduire son espérance et sa variance.

EXERCICE II.

On note I = ]0, + ∞[ et on définit pour n entier naturel non nul et pour x ∈ I, f_n(x) = e^(− nx) − 2e^(− 2nx).
II.1. Justifier que pour tout entier naturel non nuln, les fonctions f_n sont intégrables sur I et calculer ∫_0^(+ ∞)f_n(x)dx. Que vaut alors la somme ∑_(n = 1)^(+ ∞)(∫_0^(+ ∞)f_n(x)dx) ?
II.2. Démontrer que la série de fonctions ∑_(n ≥ 1)f_n converge simplement sur I. Déterminer sa fonction somme S et démontrer que S est intégrable sur I. Que vaut alors ∫_0^(+ ∞)(∑_(n = 1)^(+ ∞)f_n(x))dx ?
II.3. Donner, sans aucun calcul, la nature de la série ∑_(n ≥ 1)(∫_0^(+ ∞)|f_n(x)|dx).

PROBLEME.

Toutes les fonctions étudiées dans ce problème sont à valeurs réelles. On pourra identifier un polynôme et la fonction polynomiale associée.
On rappelle le théorème d'approximation de Weierstrass pour une fonction continue sur [a, b] : si f est une fonction continue sur [a, b], il existe une suite de fonctions polynômes ( P_n ) qui converge uniformément vers la fonction f sur [a, b].
Le problème aborde un certain nombre de situations en lien avec ce théorème qui sera démontré dans la dernière partie.

Partie 1. Exemples et contre-exemples

III.1. Soit h la fonction définie sur l'intervalle ]0, 1] par : ∀x ∈ ]0, 1], x ↦ 1/x.
Expliquer pourquoi h ne peut être uniformément approchée sur l'intervalle ]0, 1] par une suite de fonctions polynômes. Analyser ce résultat par rapport au théorème de Weierstrass.
III.2. Soit N entier naturel non nul, on note 𝒫_N l'espace vectoriel des fonctions polynômiales sur [a, b], de degré inférieur ou égal à N. Justifier que 𝒫_N est une partie fermée de l'espace des applications continues de [a, b] dans ℝ muni de la norme de la convergence uniforme.
Que peut-on dire d'une fonction qui est limite uniforme sur [a, b] d'une suite de polynômes de degré inférieur ou égal à un entier donné?
III.3. Cette question illustre la dépendance d'une limite vis-à-vis de la norme choisie.
Soit ℝ[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Soient N_1 et N_2 deux applications définies sur ℝ[X] ainsi:
pour tout polynôme P de ℝ[X], N_1(P) = sup_(x ∈ [ − 2, − 1])|P(x)| et N_2(P) = sup_(x ∈ [1, 2])|P(x)|.
III.3.a. Vérifier que N_1 est une norme sur ℝ[X]. On admettra que N_2 en est également une.
III.3.b. On note f la fonction définie sur l'intervalle [ − 2, 2] ainsi :
pour tout x ∈ [ − 2, − 1], f(x) = x^2, pour tout x ∈ [ − 1, 1], f(x) = 1 et pour tout x ∈ [1, 2], f(x) = x^3.
Représenter graphiquement la fonction f sur l'intervalle [ − 2, 2] et justifier l'existence d'une suite de fonctions polynômes (P_n) qui converge uniformément vers la fonction f sur [ − 2, 2].
Démontrer que cette suite de polynômes (P_n) converge dans ℝ[X] muni de la norme N_1 vers X^2 et étudier sa convergence dans ℝ[X] muni de la norme N_2.

Partie 2. Application : un théorème des moments

III.4. Soit f une fonction continue sur [a, b]. On suppose que pour tout entier naturel k, ∫_a^b x^k f(x)dx = 0 (∫_a^b x^k f(x)dx est le moment d'ordre k de f sur [a, b]).
III.4.a. Si P est une fonction polynôme, que vaut l'intégrale ∫_a^b P(x)f(x)dx ?
III.4.b. Démontrer, en utilisant le théorème de Weierstrass, que nécessairement f est la fonction nulle. On pourra utiliser sans le démontrer le résultat suivant: si (g_n) est une suite de fonctions qui converge uniformément vers une fonction g sur une partie I de ℝ et si f est une fonction bornée sur I, alors la suite de fonctions ( f.g_n ) converge uniformément sur I vers la fonction f.g.

III.5. Application

Soit E l'espace vectoriel des applications continues de [a, b] dans ℝ muni du produit scalaire défini pour tout couple (f, g) d'éléments de E par (f|g) = ∫_a^b f(x)g(x)dx.
On note F le sous-espace vectoriel de E formé des fonctions polynômes définies sur [a, b] et F^⊥ l'orthogonal de F. Déterminer F^⊥. A-t-on E = F ⊕ F^⊥ ?

III.6.

III.6.a. Pour tout entier naturel n, on pose I_n = ∫_0^(+ ∞)x^n e^(− (1 − i)x) dx. Après avoir démontré l'existence de ces intégrales, établir une relation entre I_(n + 1) et I_n et démontrer que, pour tout n non nul, I_n = (n!)/((1 − i)^(n + 1)).
III.6.b. En déduire que, pour tout entier naturel k, ∫_0^(+ ∞)x^(4k)e^(− x)x^3 sinx dx = 0.
III.6.c. Proposer une fonction f continue sur [0, + ∞[, non nulle et vérifiant :
pour tout entier naturel k, ∫_0^(+ ∞)u^k f(u)du = 0.
III.6.d. Expliquer pourquoi la fonction f proposée à la question précédente ne peut être uniformément approchée sur [0, + ∞[ par une suite de polynômes.

Partie 3. Exemple via un théorème de Dini

III.7. Question préliminaire

Soit x ∈ [0, 1], on note I = ] − ∞, √x] et on pose, pour tout t ∈ I, g_x(t) = t + 1/2(x − t^2). On définit la suite (u_n) par u_0 = 0 et la relation de récurrence valable pour tout entier naturel n par:
u_(n + 1) = u_n + 1/2(x − (u_n)^2) = g_x(u_n).
Démontrer que la suite ( u_n ) converge et déterminer, en fonction du réel x, sa limite.
III.8. Proposer un exemple de suite (f_n) de fonctions continues sur [a, b] qui converge simplement mais non uniformément sur [a, b] vers une fonction f qui est continue. Il sera possible de s'appuyer sur une représentation graphique sans nécessairement donner f_n sous forme analytique.
Pour traiter la suite de cette partie, on pourra admettre le résultat suivant. Soit ( f_n ) une suite de fonctions continues sur [a, b] qui converge simplement vers une fonction f elle même continue sur [a, b]. Si la suite (f_n) est croissante, c'est-à-dire: pour tout entier naturel n et pour tout t ∈ [a, b], f_n(t) ≤ f_(n + 1)(t), alors la suite (f_n) converge uniformément vers la fonction f sur [a, b].

III.9. Application

Soit (P_n) la suite de fonctions polynômes définie par:
P_0(x) = 0 et pour tout entier naturel n, P_(n + 1)(x) = P_n(x) + 1/2(x − (P_n(x))^2)
III.9.a. Justifier que la suite (P_n) converge simplement vers la fonction x ↦ √x sur l'intervalle [0, 1] :
III.9.b. Démontrer que la suite (P_n) converge uniformément vers la fonction x ↦ √x sur l'intervalle [0, 1].

Partie 4. Démonstration du théorème d'approximation de Weierstrass

On propose dans cette partie une démonstration probabiliste du théorème d'approximation de Weierstrass pour une fonction continue sur [0, 1].
Dans toute cette partie, f : [0, 1] → ℝ est une fonction continue, n un entier naturel non nul et x ∈ [0, 1]. On pose: B_n(f)(x) = ∑_(k = 0)^n(n/k)f(k/n)x^k(1 − x)^(n − k) (polynôme de Bernstein).
III.10. Soit S_n une variable aléatoire réelle suivant une loi binomiale ℬ(n, x).
III.10.a. Démontrer que, pour tout réel α > 0, P(|S_n − nx| > nα) ≤ 1/(4nα^2).
III.10.b. Soit la variable aléatoire f((S_n)/n), démontrer que son espérance vérifie:
E[f((S_n)/n)] = B_n(f)(x)

III.11.

III.11.a. Soit ε > 0, justifier simplement qu'il existe α > 0 tel que pour tout couple (a, b) ∈ [0, 1]^2, |a − b| ≤ α entraîne |f(a) − f(b)| < ε, puis majorer |f(k/n) − f(x)|, pour tout entier k entre 0 et n vérifiant |k/n − x| ≤ α.
III.11.b. Justifier que |∑_(|k/n − x| > α)(f(k/n) − f(x))P(S_n = k)| ≤ 2‖f‖_∞P(|(S_n)/n − x| > α).
III.11.c. Démontrer qu'il existe un entier naturel n_0 tel que pour tout n ≥ n_0 et tout réel x ∈ [0, 1], |B_n(f)(x) − f(x)| ≤ 2ε, puis conclure.

Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 1 CCINP MP 2015 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 1 CCINP MP 2015 ?

Le sujet porte sur la fonction génératrice et la loi de Poisson, l'intégration terme à terme d'une série de fonctions, les normes sur un espace vectoriel et le théorème d'approximation de Weierstrass.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Mathématiques 1 CCINP MP 2015 ?

Une intégrabilité mal établie pour une fonction non positive, un argument erroné sur la continuité en un point non défini, et une confusion entre dimension finie et infinie pour une somme directe.

Le sujet Mathématiques 1 CCINP MP 2015 est-il difficile ?

Le rapport indique une moyenne de 10,88 sur 20 avec un écart type de 4,12, qualifiée de très convenable, avec des notes bien étalées.

Quelle est la moyenne au sujet Mathématiques 1 CCINP MP 2015 ?

La moyenne est de 10,88 sur 20, avec un écart-type de 4,12.

Pas de description pour le moment