Sujet X ENS Mathématiques A MP 2015

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X ENS Mathématiques A MP 2015

Conjugaison des matrices symétriques réelles par des matrices orthogonales : spectres enlacés et diagonales

Le sujet étudie ce que devient une matrice symétrique réelle quand on la conjugue par une matrice orthogonale. Les deux premières parties caractérisent les spectres possibles de la matrice extraite de taille n : ce sont les n-uplets enlacés avec le spectre de départ. Les deux dernières parties décrivent l'ensemble des diagonales possibles, en dimension deux puis en dimension trois pour une trace nulle.

1Questions préliminairesGroupe orthogonal (sous-groupe, compacité), matrices symétriques de même polynôme caractéristique et manipulation de n-uplets enlacés.
2Première partie : polynômes et enlacementBase de polynômes, décomposition d'un polynôme unitaire, localisation de ses racines par le théorème des valeurs intermédiaires et calcul de pgcd.
3Deuxième partie : spectre d'une matrice extraiteDéterminant par blocs, polynôme caractéristique d'une matrice symétrique bordée et description de l'ensemble des spectres des matrices extraites.
4Troisième partie : diagonales des matrices conjuguéesCas de la dimension 2, puis inégalités entre sommes des coefficients diagonaux et sommes des plus grandes valeurs propres, par récurrence.
5Quatrième partie : dimension trois et trace nulleSymétries orthogonales du plan, isomorphisme avec un plan de R3 et description de l'ensemble des diagonales comme un hexagone.

Difficile

Le rapport souligne que l'étendue des notions mobilisées a posé de nombreuses difficultés et que plusieurs questions de fin de partie n'ont été traitées complètement par aucun candidat.

L'épreuve en chiffres

Moyenne: 9,06 / 20
Écart-type: 3
Copies corrigées: 1 525

Où je me situe ?

Entrez la note sur 20 obtenue à ce sujet en conditions de concours.

Estimation à partir de la moyenne (9,06) et de l'écart-type (3) officiels, en supposant une répartition des notes proche d'une loi normale.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant).

Ce qu'a observé le jury

Le sujet mobilisait de l'arithmétique des polynômes, de l'algèbre linéaire, de la géométrie plane et de l'analyse réelle, ce qui a mis beaucoup de candidats en difficulté. Le jury juge le traitement souvent approximatif, même sur des questions simples, et la rédaction généralement médiocre. Des erreurs classiques révèlent un recul insuffisant sur le programme.

Les erreurs les plus sanctionnées

1.Vérifications de structure bâcléesQ1-a
Pour un sous-groupe, il faut vérifier inclusion, non-vacuité, stabilité par produit et par inverse. La transposée d'un produit inverse l'ordre des facteurs.
« Que cela soit facile ne dispense en aucun cas de le faire correctement »
2.Erreurs de topologieQ1-b
L'image réciproque d'un compact par une application continue n'est pas compacte en général, et un déterminant égal à ±1 ne caractérise pas les matrices orthogonales.
3.Analyse-synthèse incomplèteQ8
Déduire les valeurs de U et V d'une relation supposée ne suffit pas : il faut vérifier qu'elles conviennent. Les formules de déterminant par blocs inventées sont fausses.
« ne répond pas à la question »
4.Confusions sur les polynômesQ4-a, Q5-a, Q6
Il faut distinguer un polynôme de sa valeur en un point, et les polynômes de degré k de ceux de degré au plus k. Les irréductibles de R[X] ne sont pas tous de degré 1.
« Il s’agit de ne pas confondre les polynômes de degré k et les polynômes de degré au plus k »
5.Spectre d'une matrice extraiteQ10, Q13
Le spectre d'une matrice extraite n'est pas en général une partie du spectre de la matrice, et le spectre ne dépend pas linéairement de la matrice.
6.Récurrences et démonstrations à reboursQ13-c, Q14-b
Une récurrence doit être rédigée avec une hypothèse quantifiée, une initialisation et une hérédité. Partir de la conclusion fournie par l'énoncé est pénalisé.
« Ce comportement a été pénalisé »

Ce qui a été bien réussi

Les questions préliminaires ont été traitées par la grande majorité des candidats.
La question 4-b a été abondamment traitée.
Presque tous les candidats trouvent les matrices U et V de la question 8.
La question 13-a a été fréquemment traitée.
Certains candidats ont traité la difficile question 10 de façon pleinement satisfaisante, ce qui a été récompensé.

Conseils du jury

Laisser une trace écrite de chaque hypothèse et de chaque argument à l'endroit où il intervient.
Chercher à concilier précision et concision.
Citer explicitement les théorèmes utilisés, comme le théorème des valeurs intermédiaires ou le théorème spectral avec son hypothèse de symétrie.
Reconnaître honnêtement un argument manquant plutôt que de le masquer : le jury a récompensé cette honnêteté en question 10.
Viser les questions difficiles avec soin, car leur coefficient est plus élevé.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Questions fréquentes

Sur quoi porte le sujet X-ENS maths A MP 2015 ?

Sur la conjugaison des matrices symétriques réelles par des matrices orthogonales : spectre de la matrice extraite, qui est enlacé avec le spectre initial, puis ensemble des diagonales possibles en dimension 2 et 3.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths A MP à l'X en 2015 ?

Pour les 1525 copies des candidats français de l'École polytechnique, la note moyenne est de 9,06 avec un écart-type de 3. Seules 33 copies ont obtenu 16 ou plus.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en X-ENS maths A MP 2015 ?

Des vérifications de sous-groupe incomplètes, des erreurs de topologie sur les compacts, des analyses-synthèses sans synthèse en question 8, des confusions sur les polynômes et l'idée fausse que le spectre d'une matrice extraite est une partie du spectre.

Quels chapitres réviser avant de travailler le sujet X maths A MP 2015 ?

L'arithmétique des polynômes, l'algèbre linéaire et les déterminants, le théorème spectral et le groupe orthogonal, la compacité, et le théorème des valeurs intermédiaires.

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Sujet en PDF

ÉCOLE POLYTECHNIQUE - ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - A - (XLCR)

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Pour

n \geq 1

, l'espace des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à

n

est noté

ℝ_n[X]

. Étant donnés deux polynômes non nuls

P

Q

à coefficients réels, leur plus grand commun diviseur (pgcd) unitaire est noté

P \land Q

r ⩾ 1

est un second entier,

M_(r, n)(ℝ)

désigne l'espace vectoriel des matrices à

r

lignes et

n

colonnes à coefficients complexes. La notation

M = (m_(ij))

signifie que le coefficient à la ligne

i

et colonne

j

de la matrice

M

est

m_(ij)

. On note plus simplement

M_n(ℝ) = M_(n, n)(ℝ)

, dont la matrice identité est

I_n \in M_n(ℝ)

. Le polynôme caractéristique

χ_M

M \in M_n(ℝ)

est défini par

χ_M(X) = det(XI_n - M)

Le polynôme caractéristique est donc unitaire.
Pour

M \in M_(r, n)(ℝ), ^t M \in M_(n, r)(ℝ)

désigne la matrice transposée. On rappelle qu'une matrice carrée

M \in M_n(ℝ)

est symétrique si

^t M = M

, orthogonale si

^t MM = I_n

. On notera

S_n(ℝ)

(respectivement

O_n(ℝ)

) l'ensemble des matrices symétriques (resp. orthogonales) de taille

n

. Étant donné un

n

-uplet

(a_1, \dots, a_n)

de nombres réels,

Δ(a_1, \dots, a_n) = (a_1; ⋱; a_n)

désigne la matrice diagonale associée.
Si

M \in S_n(ℝ)

, son spectre est réel. On convient de ranger ses valeurs propres (comptées avec leurs ordres de multiplicité) dans l'ordre décroissant

λ_1 ⩾ \dots ⩾ λ_n

. On note alors

Sp(M) = (λ_1, \dots, λ_n)

, qui est donc un

n

-uplet ordonné.

n + 1

-uplet

λˆ = (λ_1 ⩾ \dots ⩾ λ_(n + 1)) \in ℝ^(n + 1)

et un

n

-uplet

μˆ = (μ_1 ⩾ \dots ⩾ μ_n) \in ℝ^n

, ordonnés, sont dit enlacés si

λ_j ⩾ μ_j ⩾ λ_(j + 1)

pour tout

j \in {1, \dots, n}

. Ils sont strictement enlacés si

λ_j > μ_j > λ_(j + 1)

pour tout

j

. Par exemple,

(4, 3, 2, 1)

(π, e, \sqrt2)

sont strictement enlacés.

Questions préliminaires

(a) Montrer que $O_n(ℝ)$ est un sous-groupe du groupe $GL_n(ℝ)$ des matrices inversibles.
(b) Montrer que $O_n(ℝ)$ est une partie compacte de $M_n(ℝ)$ .
Soit $M$ et $N$ dans $S_n(ℝ)$ . Montrer qu'il existe $U \in O_n(ℝ)$ tel que $N = UMU^(- 1)$ , si et seulement si $χ_M = χ_N$ .
Soit $λ^ = (λ_1 ⩾ \dots ⩾ λ_(n + 1)) \in ℝ^(n + 1)$ et $μ^ = (μ_1 ⩾ \dots ⩾ μ_n) \in ℝ^n$ . Soit $x \in ℝ$ . Formons

λˆ^' = (λ_1 ⩾ \dots ⩾ λ_i ⩾ x > λ_(i + 1) ⩾ \dots ⩾ λ_(n + 1))

en choisissant l'entier

i \in {0, \dots, n + 1}

convenablement. Si

x > λ_1

, on a donc

i = 0

, tandis que si

x ⩽ λ_(n + 1)

, on a

i = n + 1

. On forme de même

μˆ^' = (μ_1 ⩾ \dots ⩾ μ_j ⩾ x > μ_(j + 1) ⩾ \dots ⩾ μ_n).

On suppose que

λˆ

μˆ

sont enlacés. Montrer que

j ⩽ i ⩽ j + 1

. En examinant chacun des deux cas

j = i

i - 1

, montrer que

λˆ^'

μˆ^'

sont enlacés.

1 Première Partie

Soit

μˆ = (μ_1 > \dots > μ_n) \in ℝ^n

.
4. On définit les polynômes

Q_0 = ∏_(k = 1)^n(X − μ_k) et ∀j ∈ {1, …, n}, P_j = (Q_0)/((X − μ_j))

(a) Montrer que la famille

(Q_0, P_1, P_2, \dots, P_n)

est une base de

ℝ_n[X]

.
(b) Soit

j \in {1, \dots, n}

. Vérifier que

(- 1)^(j - 1)P_j(μ_j) > 0

.
5. Soit

P \in ℝ[X]

un polynôme unitaire de degré

n + 1

.
(a) Montrer qu'il existe un unique vecteur

(a, α_1, α_2, \dots, α_n) \in ℝ^(n + 1)

tel que

P = (X - a)Q_0 - \sum_(j = 1)^n α_j P_j

(b) On suppose que les nombres réels

α_1, \dots, α_n

sont tous strictement positifs. Montrer que

P

n + 1

racines réelles distinctes

λ_1 > \dots > λ_(n + 1)

, et que

λˆ = (λ_1 > \dots > λ_(n + 1))

μˆ

sont strictement enlacés.
(c) Réciproquement, on suppose que

P

n + 1

racines réelles distinctes

λ_1 > \dots > λ_(n + 1)

, et que

λˆ = (λ_1 > \dots > λ_(n + 1))

μˆ

sont strictement enlacés. Montrer que, pour tout

j ∈ {1, …, n}, α_j > 0

.
6. On se donne des entiers

m_k ⩾ 1

pour

k = 1, \dots, n

. On pose

Q_1 = \prod_(k = 1)^n(X - μ_k)^(m_k) et, cette fois-ci, P_j = (Q_1)/(X - μ_j).

Montrer que

Q_1 \land Q_1^' = \prod_(k = 1)^n(X - μ_k)^(m_k - 1).

Soit $(a, α_1, α_2, \dots, α_n) \in ℝ^(n + 1)$ et soit $P \in ℝ[X]$ défini par la formule

P = (X - a)Q_1 - \sum_(j = 1)^n α_j P_j

(a) Donner une expression de

P \land Q_1

en fonction des

μ_j

, des

m_j

et de l'ensemble

Jdes

indices pour lesquels

α_j = 0

.
(b) On suppose que les nombres

α_1, \dots, α_n

sont positifs ou nuls.

Montrer que les racines de

P

sont toutes réelles.
On admettra par la suite que, dans ce cas le plus général, le

(N + 1)

-uplet des racines de

P

et le

N

-uplet des racines de

Q_1

sont enlacés.

2 Deuxième Partie

Soit $r$ et $s$ deux entiers naturels non nuls. Soit $A \in M_r(ℝ), B \in M_(r, s)(ℝ), C \in M_(s, r)(ℝ)$ et $D \in M_s(ℝ)$ . On suppose de plus que $A$ est inversible. On considère la matrice $M \in M_(r + s)(ℝ)$ ayant la forme par blocs suivante

M = [A, B; C, D]

Trouver deux matrices

U \in M_(r, s)(ℝ)

V \in M_s(ℝ)

telles que

M = [A, 0; C, I_s] \cdot [I_r, U; 0, V]

et en déduire que

det(M) = det(A) \cdot det(D - CA^(- 1)B)

On pourra admettre par la suite que cette formule reste vraie lorsque

M

et ses blocs

A, \dots, D

sont à coefficients dans le corps

ℝ(X)

des fractions rationnelles.
9. Soit

M \in S_(n + 1)(ℝ)

une matrice symétrique. On écrit

M

sous la forme par blocs

M = [A, y; t_y, a]

avec

a \in ℝ, y \in M_(n, 1)(ℝ)

A \in S_n(ℝ)

.
(a) Si le spectre de

A

est

Sp(A) = (μ_1 ⩾ \dots ⩾ μ_n)

, montrer qu'il existe

U \in O_(n + 1)(ℝ)

z \in M_(n, 1)(ℝ)

tels que

UM^t U = [Δ(μ_1, \dots, μ_n), z; t_z, a]

(b) En déduire qu'il existe des nombres réels positifs ou nuls

α_j

(pour

j = 1, \dots, n

) tels que

ù χ_M = (X - a)Q_0 - \sum_(j = 1)^n α_j(Q_0)/((X - μ_j)), où Q_0 = \prod_(k = 1)^n(X - μ_k)

Sp(M)

Sp(A)

sont enlacés.
10. Pour

T = (t_(ij)) \in M_(n + 1)(ℝ)

, on note

T_(⩽ n)

la matrice extraite de taille

n

dont les coefficients sont les

t_(ij)

pour

1 ⩽ i, j ⩽ n

. Soit

M \in S_(n + 1)(ℝ)

. Montrer que l'ensemble

{Sp((UMU^(− 1))_(⩽ n)) ∈ ℝ^n, pour U parcourant O_(n + 1)(ℝ)}

noté

C_M

, est une partie compacte de

ℝ^n

.
11. On suppose de plus que les valeurs propres de

M

sont distinctes. On a donc

Sp(M) = (λ_1 > \dots > λ_(n + 1))

.
(a) Soit

μˆ = (μ_1 > \dots > μ_n)

tel que

Sp(M)

μˆ

soient strictement enlacés. Montrer que

μˆ

appartient à

C_M

.
(b) Montrer que

éC_M = {μˆ = (μ_1 ⩾ ⋯ ⩾ μ_n), tels que Sp(M) et μˆ soient enlacés }.

3 Troisième Partie

On considère l'application

Diag_n :, S_n(ℝ), ⟶, ℝ^n; M = (m_(ij)), ⟼, (m_(11), m_(22), \dots, m_(nn)).

Soit

M \in S_n(ℝ)

. Dans cette partie, on se propose d'étudier l'ensemble suivant

D_M = {Diag_n(UMU^(− 1)), pour U parcourant O_n(ℝ)}

On étudie d'abord le cas $n = 2$ . On note alors $Sp(M) = (λ_1 ⩾ λ_2)$ .

Montrer que

D_M

est le segment de

ℝ^2

dont les extrémités sont (

λ_1, λ_2

) et (

λ_2, λ_1

).
13. Soit

M = (m_(ij)) \in S_n(ℝ)

. On note

Sp(M) = (λ_1 ⩾ \dots ⩾ λ_n) \in ℝ^n

. On se propose de démontrer que, pour tout

s \in {1, \dots, n}

, on a :

\sum_(i = 1)^s m_(ii) ⩽ \sum_(i = 1)^s λ_i

(a) Que pensez-vous du cas

s = n

?
(b) Exprimer

\sum_(i = 1)^(n - 1)m_(ii)

au moyen des valeurs propres de la matrice

M_(⩽ n - 1)

obtenue en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne de

M

. En déduire l'inégalité (3) lorsque

s = n - 1

.
(c) En procédant par récurrence sur

n

, montrer l'inégalité ( 3 ), pour tout

s \in {1, \dots, n}

4 Quatrième Partie

On note $E$ l'espace vectoriel $ℝ^2$ muni du produit scalaire standard et de la base canonique $B = {e_1, e_2}$ . On définit une base $C = {ω_1, ω_2}$ de $E$ par $ω_1 = e_1$ et $ω_2 = 1/2(e_1 + \sqrt3e_2)$ .
(a) Soit $s_1 : E ⟶ E$ la symétrie orthogonale par rapport à la droite $ℝω_1$ . Montrer que la matrice de $s_1$ dans la base $C$ est $(1, 1; 0, - 1)$ .
(b) Soit $s_2 : E ⟶ E$ la symétrie orthogonale par rapport à la droite $ℝω_2$ . Montrer que la matrice de $s_2$ dans la base $C$ est $(- 1, 0; 1, 1)$ .
Soit $H$ l'ensemble des vecteurs $(m_1, m_2, m_3) \in ℝ^3$ tels que $m_1 + m_2 + m_3 = 0$ . On note $H^+$ le sous-ensemble des $(m_1, m_2, m_3) \in H$ tels que $m_1 ⩾ m_2 ⩾ m_3$ . On considère l'application

φ : H, ⟶, E; (m_1, m_2, m_3), ⟼(m_1 - m_2)ω_1 + (m_2 - m_3)ω_2.

(a) Montrer que

φ

est un isomorphisme linéaire. Décrire

φ(H^+)

.
(b) Montrer que, pour tout

(m_1, m_2, m_3) \in H

, on a

s_1 \circ φ(m_1, m_2, m_3) = φ(m_1, m_3, m_2) et s_2 \circ φ(m_1, m_2, m_3) = φ(m_2, m_1, m_3)

λ^ = (λ_1, λ_2, λ_3) \in H

tel que

λ_1 > λ_2 > λ_3

. On note

Q_(λˆ)

l'ensemble des

(m_1, m_2, m_3) \in H^+

tels que

m_1 ⩽ λ_1

m_1 + m_2 ⩽ λ_1 + λ_2

. Montrer que

φ(Q_(λˆ))

est un quadrilatère dont on décrira les sommets.
16. Soit

M \in S_3(ℝ)

une matrice de trace nulle. On note

Sp(M) = (λ_1 ⩾ λ_2 ⩾ λ_3)

. On se propose de décrire

φ(D_M)

.
(a) Soit

(m_1, m_2, m_3) \in H

. Soit

σ

une permutation de

{1, 2, 3}

. Montrer que

(m_1, m_2, m_3) \in D_M

si et seulement si

(m_(σ(1)), m_(σ(2)), m_(σ(3))) \in D_M

.
(b) En utilisant la question 13, montrer que l'intersection

H^+ \cap D_M

est incluse dans

Q_(λˆ)

.
(c) Soit

(m_1, m_2, m_3) \in D_M

. Montrer que le segment de

H

dont les sommets sont (

m_1, m_2, m_3

) et (

m_2, m_1, m_3

) est inclus dans

D_M

. On pourra utiliser la question 12.
De même, montrer que le segment de

H

dont les sommets sont

(m_1, m_2, m_3)

(m_1, m_3, m_2)

est inclus dans

D_M

.
(d) Montrer que

D_M

contient

Q_(λˆ)

.
(e) Montrer que si

λ_1 > λ_2 > λ_3

alors

φ(D_M)

est un hexagone, dont on déterminera les sommets.

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