X ENS Mathématiques A MP 2018Sujet, corrigé et rapport du jury

Q: Sur quoi porte le sujet X-ENS Maths A MP 2018 ?

Il étudie l'ensemble des matrices réelles rectangulaires de rang fixé : norme de Frobenius, décomposition en valeurs singulières, boule de matrices de rang minoré, continuité d'une projection et espace tangent.

Q: Quelle est la moyenne de l'épreuve de Maths A X-ENS MP 2018 ?

Selon le rapport, la note moyenne des 1500 candidats français est de 8,97 avec un écart-type de 4,01.

Q: Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en Maths A X-ENS MP 2018 ?

L'oubli du caractère rectangulaire des matrices, des vecteurs propres non supposés non nuls, l'inégalité de Bessel non repérée, des projecteurs mal exploités et une semi-continuité du rang incomprise.

Q: Quelle partie du sujet Maths A X-ENS MP 2018 était la plus difficile ?

Le jury indique que la deuxième partie était de loin la plus ardue. La quatrième partie était plus abordable pour qui maîtrisait les notations, mais les questions 15 à 19 ont été très peu tentées.

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Présentation du sujet

Difficile

Géométrie de l'ensemble des matrices réelles de taille et de rang fixés : décomposition en valeurs singulières et espace tangent

Le sujet étudie l'ensemble des matrices rectangulaires réelles de rang donné, vues comme des familles de vecteurs d'un espace euclidien. Après la sous-multiplicativité de la norme de Frobenius, il établit la décomposition en valeurs singulières, construit une boule de matrices de rang minoré, étudie la continuité d'une application de projection, puis décrit l'espace tangent et son orthogonal.

1Préliminaire : norme de FrobeniusExpression du produit scalaire de Frobenius et sous-multiplicativité de la norme associée par l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
2Première partie : décomposition en valeurs singulièresÉcriture d'une matrice de rang k comme produit de trois matrices, grâce au théorème spectral appliqué à des matrices symétriques.
3Deuxième partie : boule de matrices de rang minoréSous une hypothèse sur les valeurs singulières, construction d'une boule ouverte de rayon explicite formée de matrices de rang supérieur à l + 1, et étude du cas limite.
4Troisième partie : projections et continuitéProjection sur un sous-espace parallèlement à l'espace engendré par une famille de vecteurs, description explicite sur un ouvert et continuité.
5Quatrième partie : espace tangentDescription de l'espace tangent à l'ensemble des matrices de rang k en un point et de son orthogonal.

Difficile. Le jury qualifie la deuxième partie de loin la plus ardue ; plusieurs questions n'ont été réussies que dans de rares copies et les questions 15 à 19 n'ont été tentées que par une infime proportion de candidats, pour une moyenne de 8,97.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,97 / 20 · écart-type 4,01 · 1 500 copies · où vous situez-vous ?

Moyenne: 8,97/ 20
Écart-type: 4,01
Copies: 1 500

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Oublier que les matrices sont rectangulaires · Vecteur propre et signe non vérifiés · Inégalité de Bessel non repérée

Le sujet mobilisait dès le début le calcul matriciel et les outils des espaces euclidiens, puis un peu de topologie et de géométrie. Le caractère rectangulaire des matrices et la notion de projecteur ont posé des difficultés inattendues. Le jury insiste sur une rédaction rigoureuse et rappelle que viser uniquement les questions élémentaires ne permet pas d'obtenir une bonne note.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Oublier que les matrices sont rectangulaires6c, 7
Comme U est rectangulaire, U^T U est l'identité mais pas U U^T, et U^T n'est pas un inverse de U. Il fallait justifier l'identité U U^T A = A à l'aide de la question 6b.
« comme U est rectangulaire, U UT n'est pas la matrice identité »
2
Vecteur propre et signe non vérifiés5a, 5b
Pour déduire la positivité d'une valeur propre, il faut préciser que le vecteur est non nul. L'égalité des rangs de A et de S n'a été bien justifiée que dans un quart des copies.
3
Inégalité de Bessel non repérée9a, 9b
Les questions de la deuxième partie reposaient sur l'inégalité de Bessel et son cas d'égalité, que peu de candidats ont identifiés.
« L'inégalité de Bessel et la condition d'égalité étaient les points clés et n'ont été vus que par les meilleures copies. »
4
Projecteurs mal exploités10a, 10c
Une projection est caractérisée par ses restrictions à l'image et au noyau, ce qui rendait inutile le calcul de son carré en 10c. En 10a, le calcul du noyau était plus simple que la recherche d'un inverse.
« si sa matrice, dans une base orthonormée, est symétrique ne semble pas connu de tous les candidats »
5
Continuité et semi-continuité du rang12, 13a, 13b
La continuité de l'application clé de la question 12 a rarement été vue, et l'argument sur injectivité et surjectivité par composition en 13b n'a presque jamais été donné.
« La semi-continuité du rang n'est pas comprise de l'immense majorité des candidats. »
6
Inégalités multipliées sans précaution
La majorité des candidats multiplient une inégalité par un scalaire sans vérifier qu'il est positif.

Ce qui a été bien réussi

Le calcul matriciel élémentaire de la question 1 a été bien réalisé dans la majorité des copies.
La plupart des candidats ont vu qu'il fallait appliquer le théorème spectral en 6a.
Les questions 10b, 11 (question de cours) et 13c ont été bien traitées dans l'ensemble.

Conseils du jury

Choisir la stratégie la plus économique : pour des sous-espaces supplémentaires, deux des trois propriétés (dimension, somme, intersection) suffisent ; pour l'inversibilité, déterminant, rang, noyau ou image.
Préférer des arguments élémentaires aux résultats avancés du cours quand ils suffisent, comme en question 4.
Mettre en évidence les justifications clés dans les chaînes d'égalités et d'inégalités.
Rédiger complètement même les résultats élémentaires : traiter un maximum de questions sans rédaction correcte ne rapporte pas.
S'approprier les notations introduites, ce qui rendait la quatrième partie plus abordable.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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COMPOSITION DE MATHEMATIQUES - A - (XLCR)

(Durée : 4 heures)

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Pour tous entiers

l, m \in ℕ^*

, on notera

ℳ_(l, m)(ℝ)

l'ensemble des matrices à coefficients réels ayant

l

lignes et

m

colonnes. Lorsque

l = m

, on notera

ℳ_l(ℝ)

l'ensemble des matrices carrées de taille

l \times l

. Par ailleurs :

Pour toute matrice $A \in ℳ_(l, m)(ℝ)$ , on notera $A^T$ la transposée de $A$ .
On notera $O_(l, m)$ la matrice nulle de $ℳ_(l, m)(ℝ)$ dont tous les coefficients sont nuls. Lorsque $l = m, O_l$ désignera la matrice nulle et $I_l$ la matrice identité de $ℳ_l(ℝ)$ .
Pour toute famille $(a_i)_(1 ⩽ i ⩽ l)$ de réels, on notera $diag(a_1, \dots, a_l)$ la matrice diagonale de $ℳ_l(ℝ)$ dont les coefficients diagonaux sont $a_1, a_2, \dots, a_l$ .
Pour tous $A, B \in ℳ_(l, m)(ℝ)$ , on notera $⟨A, B⟩_F = tr(A^T B)$ où $tr(M)$ désigne la trace de $M$ pour toute matrice carrée à coefficients dans $ℝ$ et $‖A‖_F = \sqrt(⟨A, A⟩_F)$ . On pourra utiliser sans démonstration que $⟨, ⟩_F$ définit un produit scalaire sur $ℳ_(l, m)(ℝ)$ et que $ℳ_(l, m)(ℝ)$ muni de la norme $‖‖_F$ est un espace vectoriel normé de dimension $lm$ .
Pour toute matrice $A \in ℳ_(l, m)(ℝ)$ , on notera $rg(A)$ le rang de la matrice $A$ c'est-à-dire la dimension de l'image de $A$ . On rappelle que $rg(A^T) = rg(A)$ .
Pour tout $k \in ℕ$ , on note $ℳ_(l, m)^k(ℝ)$ l'ensemble des matrices $A \in ℳ_(l, m)(ℝ)$ telles que $rg(A) = k$ .

Pour

p \in ℕ^*

, on munit

ℝ^p

de sa structure euclidienne canonique et pour tout vecteur

x \in ℝ^p

, on notera

‖x‖_2

la norme euclidienne de

x

Préliminaire

Soient

n, p, q \in ℕ^*

trois entiers strictement positifs. Soient

A, B \in ℳ_(n, p)(ℝ)

C \in ℳ_(p, q)(ℝ)

Donner l'expression de $⟨A, B⟩_F$ en fonction des coefficients de $A$ et $B$ .
Soit $u \in ℝ^p$ . Montrer que $‖Au‖_2 ⩽ ‖A‖_F‖u‖_2$ .
Montrer que $‖AC‖_F ⩽ ‖A‖_F‖C‖_F$ .

Première partie

On considère trois entiers

n, p

k

strictement positifs tels que

ℳ_(n, p)^k(ℝ)

soit non vide. Soit

A

une matrice de

ℳ_(n, p)^k(ℝ)

.
4. Montrer que

k ⩽ min(n, p)

et que pour tout

λ \in ℝ^*, λA \in ℳ_(n, p)^k(ℝ)

.
5. Soient

S = AA^T

S~ = A^T A

.
(a) Vérifier que

S

est une matrice symétrique qui n'admet que des valeurs propres positives puis montrer que

Im(A) = Im(S)

.
(b) Soit

u \in ℝ^n

un vecteur propre de

S

pour une valeur propre

λ > 0

et soit

v = A^T u/\sqrtλ \in ℝ^p

. Montrer que

v

est un vecteur propre de

S~

pour la valeur propre

λ

‖v‖_2 = ‖u‖_2

.
6. (a) Montrer qu'il existe

U \in ℳ_(n, k)(ℝ)

Λ = diag(λ_1, \dots, λ_k) \in ℳ_k(ℝ)

telles que

S = UΛU^T

avec

λ_1 ⩾ \dots ⩾ λ_k > 0

U^T U = I_k

.
(b) Montrer que

Im(S) = Im(U)

et que

UU^T

est la matrice de la projection orthogonale sur

Im(U)

dans

ℝ^n

.
(c) En posant

V = A^T UD \in ℳ_(p, k)(ℝ)

où

D = diag(1/\sqrt(λ_1), \dots, 1/\sqrt(λ_k)) \in ℳ_k(ℝ)

, montrer que

V^T V = I_k

S~ = VΛV^T

.
7. En déduire que

A = UΣV^T,

avecΣ = diag(\sqrt(λ_1), \dots, \sqrtλ_k)

Deuxième partie

Dans cette partie, on s'intéresse à la meilleure approximation, pour la norme

‖ \cdot ‖_F

, d'une matrice de rang

k

par une matrice de rang fixé. Cette partie est indépendante des parties suivantes.

Soit

A \in ℳ_(n, p)^k(ℝ)

une matrice de rang

k

où

n, p

k

sont des entiers strictement positifs,

k ⩽ min(n, p)

. On considère la décomposition

A = UΣV^T

construite dans la première partie. Soient

l \in ℕ^*

V˜ \in ℳ_(p, l)(ℝ)

tels que

l < k

V˜^T V˜ = I_l

. On note

(v~_1, \dots, v~_l) \in (ℝ^p)^l

la famille des colonnes de

V˜

(v_1, \dots, v_k) \in (ℝ^p)^k

celle des colonnes de

V

.
8. (a) Vérifier que

‖A - AV˜V˜^T‖_F^2 = ‖A‖_F^2 - ‖AV˜V˜^T‖_F^2

.
(b) Montrer que

‖AV˜V˜^T‖_F^2 = \sum_(h = 1)^k(λ_h\sum_(m = 1)^l⟨v_h, v~_m⟩_2^2)

où

⟨, ⟩_2

désigne le produit scalaire usuel sur

ℝ^p

.
9. On suppose ici que

λ_l > λ_(l + 1)

.
(a) Pour tout

l + 1 ⩽ i ⩽ k

et tout

1 ⩽ j ⩽ l

, on pose

a_i = \sum_(m = 1)^l⟨v_i, v~_m⟩_2^2

b_j = 1 - \sum_(m = 1)^l⟨v_j, v~_m⟩_2^2

.
Montrer que les

(a_i)

(b_j)

sont des réels positifs et que l'on a

\sum_(i = l + 1)^k a_i ⩽ \sum_(j = 1)^l b_j

.
(b) Montrer que

‖AV~V~^T‖_F^2 ⩽ \sum_(h = 1)^l λ_h

et que l'on a l'égalité si et seulement si on a

Vect({v_1, …, v_l}) = Im(V˜)

où

Vect(X)

désigne le sous-espace vectoriel engendré

parX \subset ℝ^p

.
(c) Soit

M \in ℳ_(n, p)^l(ℝ)

. Montrer que

‖M - A‖_F^2 ⩾ \sum_(h = l + 1)^k λ_h

avec égalité si et seulement si

M = U_* Σ_* V_*^T

où

Σ_* = diag(\sqrt(λ_1), \dots, \sqrt(λ_l)), U_*

(resp.

V_*

) est la matrice formée des

l

premières colonnes de

U

(resp. de

V

Troisième partie

Soient

p, k

deux entiers strictement positifs et

V \in ℳ_(p, k)(ℝ)

tel que

V^T V = I_k

. Pour tout

W \in ℳ_(p, k)(ℝ)

, on note

M_(V, W)

la matrice de

ℳ_(p + k)(ℝ)

définie par blocs par

M_(V, W) = (V, I_p; O_k, W^T)

On suppose ici que $W^T V$ est une matrice inversible.
(a) Montrer que $M_(V, W)$ est inversible. On notera son inverse $M_(V, W)^(- 1)$ .
(b) Montrer que l'orthogonal $Im(W)^⊥$ de $Im(W)$ et $Im(V)$ sont deux sous-espaces supplémentaires dans $ℝ^p$ i.e. $Im(W)^⊥ \oplus Im(V) = ℝ^p$ .
Indication : On pourra commencer par vérifier que pour $z \in ℝ^p$ , si $z \in Im(W)^⊥$ alors $W^T z = 0$ .
(c) On définit la matrice

P_(V, W) = (V, O_p)M_(V, W)^(- 1)((I_p)/(O_(k, p)))

Montrer que

P_(V, W)

est la matrice de la projection sur

Im(V)

parallèlement à

Im(W)^⊥

.
11. Soit

q \in ℕ^*

. Montrer que l'ensemble des matrices inversibles de

ℳ_q(ℝ)

est un ouvert et que l'application

M \mapsto M^(- 1)

est continue sur cet ouvert.
12. Montrer qu'il existe un voisinage

𝒱

V

dans

ℳ_(p, k)(ℝ)

tel que

W^T V

est inversible pour tout

W \in 𝒱

et l'application

W \mapsto P_(V, W)

est continue de

𝒱

dans

ℳ_p(ℝ)

Quatrième partie

Soient

n, p

k

trois entiers strictement positifs tels que

k ⩽ min(n, p)

. On définit pour toute la suite l'espace vectoriel

ℰ = ℳ_(n, k)(ℝ) \times ℳ_k(ℝ) \times ℳ_(p, k)(ℝ)

Soient

A \in ℳ_(n, p)^k(ℝ)

une matrice de rang

k

(U, Σ, V) \in ℰ

tels que

A = UΣV^T, U^T U = V^T V = I_k

Σ

diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs (l'existence de (

U, Σ, V

) a été montrée dans la première partie).
13. Soient

(U¯, Σ¯, V¯) \in ℰ

. On considère la courbe

γ : ℝ \to ℳ_(n, p)(ℝ)

définie par

γ(t) = (U + tU¯)(Σ + tΣ¯)(V + tV¯)^T

.
(a) Montrer que les fonctions

t \mapsto rg(U + tU¯), t \mapsto rg(Σ + tΣ¯)

t \mapsto rg(V + tV¯)

sont constantes au voisinage de

t = 0

.
(b) En déduire que

γ(t) \in ℳ_(n, p)^k(ℝ)

au voisinage de

t = 0

.
(c) Montrer que

γ

est indéfiniment dérivable sur

ℝ

et donner l'expression de la dérivée

γ^'(0)

γ

en 0.
14. On note

T_A = {U¯ΣV^T + UΣ¯V^T + UΣV¯^T|(U¯, Σ¯, V¯) ∈ ℰ, U¯^T U = V¯^T V = O_k}

.
(a) Vérifier que tous les éléments de

T_A

sont des vecteurs tangents à

ℳ_(n, p)^k(ℝ)

A

et que

T_A

est un sous-espace vectoriel de

ℳ_(n, p)(ℝ)

dont on donnera la dimension.
(b) Soit

N_A = {N¯ ∈ ℳ_(n, p)(ℝ)|N¯^T U = O_(p, k), N¯V = O_(n, k)}

. Montrer que

N_A

est le sous-espace orthogonal à

T_A

dans

ℳ_(n, p)(ℝ)

pour le produit scalaire

⟨, ⟩_F

.
15. Soit

A~ \in ℳ_(n, p)(ℝ)

. On dit que

A~

vérifie la condition (C) si

(C) Im(A~VV^T) = Im(A~) et Im(A~^T UU^T) = Im(A~^T)

(a) Montrer que si

A~

vérifie la condition (C) alors

rg(A~) ⩽ k

Im(A~^T UU^T)^⊥ = ker(A~)

(b) Montrer qu'il existe

ε > 0

tel que pour tout

A~ \in ℳ_(n, p)^k(ℝ)

, la matrice

A~

vérifie la condition (C) dès que

‖A~ - A‖_F ⩽ ε

.
16. Soit

φ : ℳ_(n, p)(ℝ) \to ℳ_(n, p)(ℝ) \times ℳ_(p, n)(ℝ)

définie

parφ(A~) = (A~VV^T, A~^T UU^T)

pour tout

A~ \in ℳ_(n, p)(ℝ)

.
(a) Identifier

ker(φ)

en fonction de

N_A

introduit à la question (14b).
(b) On note

π_A : ℳ_(n, p)(ℝ) \to ℳ_(n, p)(ℝ)

la projection orthogonale sur

T_A

dans

ℳ_(n, p)(ℝ)

. Montrer que

φ = φ \circ π_A

.
(c) Soit

A~ \in ℳ_(n, p)^k(ℝ)

vérifiant la condition (C). On note

W = A~^T UU^T

. Montrer que si

P_(V, W)

est la matrice de la projection sur

Im(V)

parallèlement à

Im(W)^⊥

alors

A~ = A~VV^T P_(V, W)

En déduire qu'il existe $ε > 0$ tel que la restriction de $π_A$ à $ℳ_(n, p)^k(ℝ) \cap B(A, ε)$ est injective où $B(A, ε) = {A~ ∈ ℳ_(n, p)(ℝ)|‖A~ − A‖_F < ε}$ est la boule ouverte de $ℳ_(n, p)(ℝ)$ centrée en $A$ et de rayon $ε$ .
Soit $ρ_A$ la projection orthogonale sur $N_A$ dans $ℳ_(n, p)(ℝ)$ .
(a) Montrer pour tout $A~ \in ℳ_(n, p)(ℝ)$ , on a $ρ_A(A~) = (I_n - UU^T)A~(I_p - VV^T)$ .
(b) Montrer que $ρ_A(AB) = 0$ pour tout $B \in ℳ_p(ℝ)$ .

Soit

A~ \in ℳ_(n, p)^k(ℝ)

vérifiant la condition (C).
(c) Montrer que si

W = A~^T UU^T

ρ_A(A~) = (I_n - UU^T)(A~ - A)VV^T(P_(V, W) - P_(V, V))(I_p - VV^T).

(d) En déduire que

‖ρ_A(A~)‖_F ⩽ \sqrt((n - k)k(p - k))‖A~ - A‖_F‖P_(V, W) - P_(V, V)‖_F

.
19. Montrer que

T_A

est exactement l'ensemble des vecteurs tangents à

ℳ_(n, p)^k(ℝ)

A

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet X-ENS Maths A MP 2018 ?

Il étudie l'ensemble des matrices réelles rectangulaires de rang fixé : norme de Frobenius, décomposition en valeurs singulières, boule de matrices de rang minoré, continuité d'une projection et espace tangent.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de Maths A X-ENS MP 2018 ?

Selon le rapport, la note moyenne des 1500 candidats français est de 8,97 avec un écart-type de 4,01.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en Maths A X-ENS MP 2018 ?

L'oubli du caractère rectangulaire des matrices, des vecteurs propres non supposés non nuls, l'inégalité de Bessel non repérée, des projecteurs mal exploités et une semi-continuité du rang incomprise.

Quelle partie du sujet Maths A X-ENS MP 2018 était la plus difficile ?

Le jury indique que la deuxième partie était de loin la plus ardue. La quatrième partie était plus abordable pour qui maîtrisait les notations, mais les questions 15 à 19 ont été très peu tentées.

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