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X ENS Mathématiques B MP 2018Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Minimisation de l'intégrale d'un polynôme positif sur [-1, 1] et polynômes de Legendre
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Le problème cherche le minimum de l'intégrale sur [-1, 1] parmi les polynômes de degré au plus N, positifs sur [-1, 1] et valant 1 en -1 et 1. Après des préliminaires de topologie en dimension finie, il étudie les polynômes de Legendre, localise les racines d'un minimiseur pair par des arguments de géométrie complexe, puis montre que ce minimiseur est un carré pour conclure par des méthodes hilbertiennes.

  1. 1Questions préliminairesConvexité, norme intégrale, fermeture de l'ensemble admissible, existence d'un minimiseur par compacité et existence d'un minimiseur pair.
  2. 2Première partie : polynômes de LegendreDegré, parité et valeurs en ±1, orthogonalité par intégrations par parties, calcul des normes via une intégrale de type Wallis et bases des polynômes pairs et impairs.
  3. 3Deuxième partie : racines d'un minimiseur pairFactorisation dans C, remplacement successif des racines imaginaires pures, des racines réelles hors de [-1, 1] puis des racines non réelles, à l'aide d'un cercle du plan complexe.
  4. 4Troisième partie : calcul du minimumLe minimiseur est le carré d'un polynôme pair ou impair, ce qui ramène à une minimisation en norme L2 résolue dans la base de Legendre ; on obtient la valeur du minimum et le minimiseur explicite.

Difficulté moyenne. Le jury estime que le sujet comportait moins de questions très difficiles que les années précédentes et que davantage de candidats l'ont traité en entier, tout en séparant bien les candidats admissibles.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,13 / 20 · écart-type 4,51 · 1 727 copies · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,13/ 20
Écart-type
4,51
Copies
1 727
moyenne 10,1305101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Définition d'une norme incomplète · Topologie de dimension finie mal maîtrisée · Image réciproque mal écrite
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Le sujet couvrait de nombreux points du programme de MP, pour la plupart déjà vus en MPSI. Le jury s'inquiète de lacunes en topologie de dimension finie et en calcul, et note que la réussite aux calculs des questions 4 et 5 est corrélée à la réussite globale. La moyenne est plus élevée d'environ 2,5 points que les années précédentes, ce que le jury attribue au report de l'épreuve (moins de copies très faibles) et à un sujet plus abordable.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Définition d'une norme incomplèteQ1b

    L'homogénéité est souvent oubliée, et une inégalité sur λP + Q ne prouve pas l'homogénéité, qui est une égalité.

    « Trop de candidats oublient l'une des conditions pour qu'une application d'un R-espace vectoriel E dans R+ soit une norme, souvent l'homogénéité. »
  2. 2
    Topologie de dimension finie mal maîtriséeQ1c, Q2a

    Il fallait invoquer l'équivalence des normes pour la fermeture, et un argument de compacité d'une boule fermée pour l'existence du minimum ; l'ensemble admissible n'est pas borné.

    « Bien entendu, AN n'est pas bornée. »
  3. 3
    Image réciproque mal écriteQ2b

    L'ensemble des minimiseurs est fermé comme intersection de deux fermés, pas comme simple image réciproque d'un singleton.

    « Il est faux que BN est l'image réciproque du singleton {aN}, mais c'est l'intersection de cette image réciproque avec AN. »
  4. 4
    Calculs d'intégrales non aboutisQ4, Q5

    Les intégrations par parties sur les polynômes de Legendre et le calcul des normes ont été peu réussis ; seuls 16 % obtiennent la norme des polynômes de Legendre.

    « Cette question n'a été réussie que par 32% des candidats et la question précédente que par 29%, ce qui montre une certaine faiblesse technique »
  5. 5
    Dimension de l'espace des polynômesQ6a

    Pour conclure qu'une famille libre est une base, il faut comparer son cardinal à la dimension, qui vaut n + 1.

    « la dimension de Rn[X] (qui est n + 1 et non pas n comme on le lit dans encore trop de copies...) »
  6. 6
    Équation d'un cercle en complexeQ10a, Q10b

    Beaucoup ne savent pas passer de l'égalité de modules à l'équation canonique d'un cercle, et l'analyse-synthèse pour le point d'intersection est rarement menée ; un dessin aidait.

    « Il est très inquiétant de constater que seuls 30% des candidats ont su démontrer proprement qu'il s'agissait là de l'équation d'un cercle »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 1a a été réussie par 89 % des candidats.
  • La question 7, purement algébrique, a été plutôt bien réussie : 42 % des candidats ont obtenu tous les points.
  • La convexité de l'ensemble des minimiseurs est presque toujours bien démontrée.
  • Les candidats arrivés à la troisième partie ont montré une assez bonne maîtrise des méthodes hilbertiennes.

Conseils du jury

  • Savoir que l'équivalence des normes est propre à la dimension finie et l'invoquer explicitement.
  • Ne pas négliger les questions calculatoires : une bonne technique en analyse comme en algèbre est indispensable.
  • Faire des dessins, en géométrie comme en analyse ou en topologie.
  • Lire le sujet en entier avant de commencer pour comprendre ce qui est attendu à chaque question.
  • Rédiger précisément les questions analogues à une précédente au lieu de renvoyer à celle-ci.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES B

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Samedi 5 mai 2018, 9 h00-13h00
Pour des raisons qui apparaîtront dans la Troisième Partie, on utilise deux entiers naturels distincts n (minuscule) et N (majuscule). Les candidats sont priés de respecter les notations de l'énoncé.
On désigne par ℝ_n[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à n. Le sous-espace de ℝ_n[X] formé des polynômes pairs (c'est-à-dire vérifiant P(− X) = P(X) ) est noté Π_n, et celui des polynômes impairs (c'est-à-dire vérifiant P(− X) = − P(X) ) est noté J_n.
On définit l'ensemble A_N formé des P ∈ ℝ_N[X], tels que P(− 1) = P(1) = 1, qui satisfont de plus P(x) ⩾ 0 pour tout x dans l'intervalle [ − 1, 1]. On définit sur ℝ_N[X] une forme linéaire L par
L(P) = ∫_(− 1)^1 P(x)dx
L'objet du problème est l'étude de sa borne inférieure a_N sur le sous-ensemble A_N :
a_N = inf{L(P)|P ∈ A_N}.

Questions préliminaires

  1. (a) Vérifier que A_N est une partie convexe de ℝ_N[X].
    (b) Montrer que l'expression
‖P‖_1 = ∫_(− 1)^1|P(x)|dx
définit une norme sur ℝ_N[X].
(c) Montrer que A_N est fermé dans l'espace vectoriel normé ( ℝ_N[X], ‖ ⋅ ‖_1 ).
2. (a) Montrer que la borne inférieure de L sur A_N est atteinte.
Dans la suite, on notera B_N l'ensemble des P ∈ A_N tels que L(P) = a_N.
(b) Montrer que B_N est une partie convexe compacte.
(c) Vérifier que B_N contient un polynôme pair.

Première Partie

On munit ℝ_n[X] du produit scalaire défini par
⟨P, Q⟩ = ∫_(− 1)^1 P(x)Q(x)dx
et de la norme associée
‖P‖_2 = √(⟨P, P⟩)
(on ne demande pas de vérifier qu'il s'agit bien d'un produit scalaire et d'une norme).
Pour j ∈ ℕ, on définit le polynôme
P_j(X) = 1/(2^j j!)(d^j)/(dX^j)[(X^2 − 1)^j]
Par convention, P_0 = 1.
3. (a) Quel est le degré de P_j ?
(b) Montrer que P_j est un polynôme pair ou impair, selon la valeur de j.
(c) Montrer que P_j(1) = 1 et P_j(− 1) = (− 1)^j.
4. Au moyen de l'intégration par parties, montrer que la famille (P_j)_(0 ⩽ j ⩽ n) est orthogonale dans ℝ_n[X].
5. On note
g_j = ∫_(− 1)^1 P_j(x)^2 dx, I_j = ∫_(− 1)^1(1 − x^2)^j dx
(a) Établir une relation entre g_j et I_j.
(b) Trouver une relation entre I_j et I_(j − 1) − I_j, et en déduire une relation de récurrence pour la suite (I_j)_(j ∈ ℕ).
(c) En déduire la valeur de I_j, puis celle de g_j.
6. (a) Montrer que la famille (P_j)_(0 ⩽ j ⩽ n) est une base de ℝ_n[X].
(b) En déduire que la famille (P_(2j))_(0 ⩽ j ⩽ n/2) est une base de Π_n, tandis que la famille (P_(2j + 1))_(0 ⩽ j ⩽ (n − 1)/2) est une base de J_n.

Deuxième Partie

On choisit un polynôme pair dans B_N (voir la question 2.c), et on le note R_N.
7. Montrer qu'il existe des nombres entiers r, s, t ⩾ 0, des nombres réels c_1, …, c_r différents de ± 1, des réels non nuls ρ_1, …, ρ_s et des nombres complexes w_1, …, w_t qui ne sont ni réels ni imaginaires purs, tels que
R_N(X) = ∏_(j = 1)^r(X^2 − c_j^2)/(1 − c_j^2)∏_(k = 1)^s(X^2 + ρ_k^2)/(1 + ρ_k^2)∏_(ℓ = 1)^t(X^2 − w_ℓ^2)/(1 − w_ℓ^2) ⋅ (X^2 − w_ℓ^–^2)/(1 − w_ℓ^–^2).
  1. On décide de remplacer tous les ρ_k par des zéros. On remplace donc les facteurs correspondants de R_N,
(X^2 + ρ_k^2)/(1 + ρ_k^2)
par des facteurs X^2. On obtient ainsi un nouveau polynôme S_N de même degré que R_N.
Montrer que 0 ⩽ S_N(x) ⩽ R_N(x) pour tout x ∈ [ − 1, 1], puis que S_N ∈ B_N.
9. De même, dans la liste des c_j, on décide de remplacer ceux qui n'appartiennent pas à [ − 1, 1] par des zéros. On remplace donc les facteurs correspondants de S_N,
(X^2 − c_j^2)/(1 − c_j^2),
par des facteurs X^2. On obtient ainsi un nouveau polynôme T_N.
Montrer que 0 ⩽ T_N(x) ⩽ S_N(x) pour tout x ∈ [ − 1, 1], puis que T_N ∈ B_N.
10. Soit w ∈ ℂ un nombre qui n'est ni réel ni imaginaire pur.
(a) Montrer que l'équation
|(z − 1)/(z + 1)| = |(w − 1)/(w + 1)|
définit un cercle dans le plan complexe, qui passe par w. Vérifier que l'intervalle ] - 1,1 [ coupe ce cercle en un point unique ; on notera y ce point. On exprimera y en fonction du nombre
λ = |(w − 1)/(w + 1)|
(b) Montrer l'inégalité
|(1 − w)/(1 − y)| > 1.
(c) Montrer que l'équation
|(z − w)/(z − y)| = |(1 − w)/(1 − y)|
définit un cercle dans le plan complexe, qui passe par 1 et par -1 .
En déduire que, pour tout x ∈ [ − 1, 1]∖{y}, on a
|(w − x)/(y − x)| ⩾ |(w − 1)/(y − 1)| = |(w + 1)/(y + 1)|
  1. Conclure que R_N a toutes ses racines dans l'intervalle [ − 1, 1].

Troisième Partie

On note n la partie entière de N/2. On poursuit l'étude du polynôme R_N.
12. Montrer que degR_N = 2n.
13. Montrer que R_N est le carré d'un polynôme : R_N(X) = U_N(X)^2 où U_N(1) = 1 et U_N(− 1) = ± 1. Que peut-on dire de la parité de U_N ?
14. On suppose dans cette question que U_N est pair ; on a donc U_N ∈ Π_n. Dans Π_n, l'équation P(1) = 1 définit un sous-espace affine noté H_n.
(a) Montrer que
‖U_N‖_2 = min{‖P‖_2|P ∈ H_n}.
(b) En déduire qu'il existe un nombre réel μ tel que pour tout entier 0 ⩽ j ⩽ n/2, on a ⟨U_N, P_(2j)⟩ = μ. (On pourra considérer des polynômes P ∈ H_n de la forme U_N + t(P_(2j) − P_(2k)) avec t ∈ ℝ.)
(c) Exprimer U_N dans la base des P_(2j). En déduire que
1/μ = ∑_(0 ⩽ j ⩽ n/2)1/(g_(2j)).
(d) Établir dans ce cas la formule
a_N = (∑_(0 ⩽ j ⩽ n/2)1/(g_(2j)))^(− 1).
  1. On suppose maintenant que U_N est impair. Exprimer encore a_N en fonction des g_ℓ.
  2. Discuter, en fonction de la parité de n, la valeur de a_N. On en donnera la valeur explicite.
  3. Donner la formule explicite de R_N, en fonction des polynômes P_j.

Questions fréquentes

4 questions
Quelle est la moyenne de l'épreuve X-ENS Maths B MP 2018 ?
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Quelle est la moyenne de l'épreuve X-ENS Maths B MP 2018 ?

Le rapport indique une moyenne de 10.13 sur 1727 copies, avec un écart-type de 4.51. Pour les 1354 candidats français, la moyenne est de 10,55.

Sur quels chapitres porte le sujet X Maths B MP 2018 ?

Sur la topologie des espaces normés de dimension finie, les polynômes (factorisation, racines), l'intégration par parties, les espaces préhilbertiens avec les polynômes de Legendre et la géométrie dans le plan complexe.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en X Maths B MP 2018 ?

Une définition incomplète de la norme, un usage flou de l'équivalence des normes et de la compacité, des calculs d'intégrales non aboutis et l'incapacité à reconnaître l'équation d'un cercle.

Le sujet X Maths B MP 2018 est-il faisable en première année ?

Le jury indique que la plupart des points abordés sont déjà vus en MPSI, mais les préliminaires demandent la topologie des espaces normés de dimension finie.

Pas de description pour le moment