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X ENS Mathématiques B MP 2019Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Sur-différentiel, sous-différentiel et sur- et sous-solutions d'une équation de Hamilton-Jacobi
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Le sujet étudie un problème de Dirichlet pour une équation différentielle non linéaire du type Hamilton-Jacobi, u + |u'| = 0 sur [-1, 1], qui n'admet pas de solution de classe C1. Il introduit le sur-différentiel et le sous-différentiel d'une fonction continue, en établit les propriétés, puis définit les sur- et sous-solutions et prouve un principe de comparaison. Il en déduit l'unicité d'une fonction à la fois sur- et sous-solution, puis l'approche par un problème perturbé du second ordre.

  1. 1Partie I : absence de solution classiquePreuve que l'équation n'a pas de solution C1 et étude de deux fonctions continues qui la vérifient sauf en 0.
  2. 2Partie II : sur-différentiel d'une fonction continueLien avec la dérivée, densité des points où il est non vide, caractérisation par une limite supérieure de taux de variation, structure d'intervalle fermé et cas des fonctions concaves.
  3. 3Partie III : sur- et sous-solutionsPrincipe de comparaison entre une sous-solution et une sur-solution, par un argument de maximum sur un compact et l'uniforme continuité.
  4. 4Partie IV : retour au problème de DirichletUnicité de la fonction à la fois sur- et sous-solution, puis problème perturbé d'ordre 2 dont la solution converge uniformément quand le paramètre tend vers 0.

Difficile. Le jury indique que la difficulté franchit un palier à la question 7a et que de nombreuses questions des parties II à IV ont été réussies par moins de 10 % des candidats ; la moyenne est de 8.75.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,75 / 20 · écart-type 3,9 · 1 960 copies · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,75/ 20
Écart-type
3,9
Copies
1 960
moyenne 8,7505101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Limites écrites avant d'en prouver l'existence · Mauvais usage du théorème des gendarmes · Double inclusion oubliée
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Le sujet porte essentiellement sur des notions de MPSI : continuité, dérivée, borne supérieure et limite monotone. Il a révélé des bases d'analyse réelle fragiles chez trop de candidats. La partie I a été bien réussie sauf la question 1b, et la question 7 a marqué un coup d'arrêt pour la plupart.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Limites écrites avant d'en prouver l'existence1b, 5b, 7a

    Erreur fréquente aux questions 1b, 5b et 7a. En 5b, encadrer un taux de variation ne prouve sa convergence que si les deux bornes ont la même limite.

    « On n’écrit pas de limite avant d’avoir prouvé son existence. »
  2. 2
    Mauvais usage du théorème des gendarmes5b

    Une fonction ou une suite bornée ne converge pas forcément, et ne pas converger ne signifie pas tendre vers l'infini.

    « La principale erreur constatée est un mauvais emploi du théorème des gendarmes. »
  3. 3
    Double inclusion oubliée4, 8

    Environ 25 % des candidats ne traitent qu'une inclusion, en croyant nécessaire et suffisante l'annulation de la dérivée en un extremum.

    « Pour une telle question, il est indispensable de raisonner par double inclusion. »
  4. 4
    Dérivation en un point fixé1a, 1b

    Beaucoup dérivent une relation vraie seulement en un point y, sans justifier qu'elle vaut au voisinage de y.

  5. 5
    Manipulation des bornes supérieures7a, 7b, 7c

    Le sup n'est pas linéaire. La continuité de la fonction définie par un sup en 7c n'a été bien traitée que par 4 % des candidats.

  6. 6
    Inégalités multipliées sans vérifier le signe

    Multiplier ou diviser une inégalité par une constante impose de contrôler son signe.

    « il faut veiller au signe de celle-ci »

Ce qui a été bien réussi

  • La partie I a été bien réussie par la majorité des candidats, hormis la question 1b.
  • La question 3 a été réussie par 86 % des candidats et la question 1a par 75 %.
  • La question 5a a été bien traitée par près de 75 % des candidats et la question 4 par 60 %.

Conseils du jury

  • Traiter correctement plusieurs questions consécutives, dont des questions plus difficiles, plutôt que grappiller des points faciles : le barème pénalise cette stratégie.
  • Réussir une question comme la 7a donnait la clé des questions suivantes de la partie II.
  • Il est permis d'admettre un résultat pour l'utiliser plus loin, en vérifiant toutes ses hypothèses.
  • Utiliser un brouillon et ne présenter que les étapes essentielles, sans calculs qui n'aboutissent pas.
  • Signaler explicitement la partie d'une question que l'on admet.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D’ADMISSION 2019

VENDREDI 19 AVRIL 2019-8h00-12h00 FILIERE MP - Epreuve n^∘3

MATHEMATIQUES B
(X)

Notations

Si n ∈ ℕ est un entier naturel et I un intervalle de ℝ, on note 𝒞^n(I) l'espace vectoriel des fonctions sur I, à valeurs réelles, de classe 𝒞^n, c'est à dire n fois dérivables sur I et dont la n-ième dérivée est continue sur I.
On munit 𝒞^0([ − 1, 1]) de la norme ‖ ⋅ ‖_∞ définie par :
‖f‖_∞ = sup_(t ∈ [ − 1, 1])|f(t)|
Soit y ∈ I. On dira qu'une fonction u : I → ℝ est de classe 𝒞^n au voisinage de y s'il existe un intervalle J ouvert non vide tel que y ∈ J et u ∈ 𝒞^n(I ∩ J).
Soit (x, p) ↦ H(x, p) une fonction continue sur [ − 1, 1] × ℝ à valeurs réelles. Le but de ce problème est d'étudier certaines fonctions u vérifiant l'équation fonctionnelle
∀x ∈ [ − 1, 1], u(x) + H(x, u^′(x)) = 0.

Partie I

On suppose dans cette partie qu'il existe une fonction u ∈ 𝒞^1([ − 1, 1]) vérifiant
{u(x) + |u^′(x)| = 0 pour tout x ∈ [ − 1, 1]; u(− 1) = u(1) = − 1
1a. Justifier que l'application x ↦ |u^′(x)| est une fonction de 𝒞^1([ − 1, 1]) et en déduire que u est de classe 𝒞^2 au voisinage de tout point y ∈ [ − 1, 1] tel que u^′(y) ≠ 0. Calculer l'expression de u^(′′)(y) en fonction de u^′(y) en de tels points.
1b. Montrer que si y ∈ [ − 1, 1] est tel que u^′(y) = 0, alors u^′ est dérivable en y et u^(′′)(y) = 0.
2. En déduire que u est une fonction de 𝒞^2([ − 1, 1]), qu'elle vérifie sur [ − 1, 1] l'équation différentielle
u^(′′) = u
et conclure qu'une telle fonction u n'existe pas.
3. Montrer que les fonctions u_0 et u_1 définies par u_0(x) = − e^(− 1 + |x|) et u_1(x) = − e^(1 − |x|) sur [ − 1, 1] sont des fonctions de 𝒞^0([ − 1, 1]) et vérifient
{u(x) + |u^′(x)| = 0, pour tout x ∈ [ − 1, 1]∖{0}; u(− 1) = u(1) = − 1

Partie II

Soit u ∈ 𝒞^0([ − 1, 1]).
On définit le sur-différentiel de u en x ∈ ] − 1, 1 [ comme l'ensemble des p ∈ ℝ pour lesquels il existe une fonction φ de classe 𝒞^1 au voisinage de x, avec φ^′(x) = p et telle que u − φ admet un maximum local en x. On note cet ensemble D^+u(x).
On définit le sous-différentiel de u en x ∈ ] − 1, 1 [ comme l'ensemble des p ∈ ℝ pour lesquels il existe une fonction φ de classe 𝒞^1 au voisinage de x, avec φ^′(x) = p et telle que u − φ admet un minimum local en x. On note cet ensemble D^−u(x).
4. Soit x_0 ∈ ] − 1, 1[. Montrer que si u est de classe 𝒞^1 au voisinage de x_0 alors
D^+u(x_0) = D^−u(x_0) = {u^′(x_0)}.
  1. Soit x_0 ∈ ] − 1, 1[. On suppose que D^+u(x_0) et D^−u(x_0) sont non vides.
5a. Prouver qu'il existe φ_1, φ_2 de classe 𝒞^1 au voisinage de x_0 et δ > 0 tels que
u(x_0) = φ_1(x_0) = φ_2(x_0)
et pour tout |x − x_0| < δ,
φ_1(x) ⩽ u(x) ⩽ φ_2(x)
5b. En déduire que u est dérivable en x_0. Déterminer D^+u(x_0) et D^−u(x_0).
6a. Soit x_0 ∈ ] − 1, 1[. Soit 0 < r < min(|1 − x_0|, |1 + x_0|). En considérant la fonction définie parφ_(x_0, r)(x) = 1/(r^2 − |x − x_0|^2) sur l'intervalle ouvert I_(x_0)(r) = ]x_0 − r, x_0 + r[, montrer qu'il existe y ∈ I_(x_0)(r) tel que D^+u(y) ≠ ∅.
6b. Démontrer que l'ensemble {y ∈ ] − 1, 1[, D^+u(y) ≠ ∅} est dense dans ] − 1, 1[.
7a. Soit x_0 ∈ ] − 1, 1[ tel que D^+u(x_0) ≠ ∅. Soit p ∈ D^+u(x_0). Montrer que
lim_(ε → 0^+)sup_(y ∈ [x_0 − ε, x_0 + ε] ∩ [ − 1, 1]; y ≠ x_0)(u(y) − u(x_0) − p(y − x_0))/(|y − x_0|) ⩽ 0.
Dans les sous-questions 7 b à 7 e , on considère x_0 ∈ ] − 1, 1[ et p ∈ ℝ satisfaisant (3). Le but est de montrer qu'alors réciproquement p ∈ D^+u(x_0).
7b. On pose, pour r > 0,
φ(r) = max{0, sup_(y ∈ [x_0 − r, x_0 + r] ∩ [ − 1, 1]; y ≠ x_0)(u(y) − u(x_0) − p(y − x_0))/(|y − x_0|)}}}{{
et φ(0) = 0. Justifier que, pour tout r > 0, φ(r) est un nombre réel bien défini, puis que, pour tout x ∈ ] − 1, 1[,
u(x) ⩽ u(x_0) + p(x − x_0) + φ(|x − x_0|)|x − x_0|.
7c. Montrer que la fonction ρ définie sur [0, + ∞[parρ(r) = ∫_0^r φ(s)ds appartient à 𝒞^1([0, + ∞[) et vérifie
ρ(0) = ρ^′(0) = 0
7d. Prouver que
∀r ⩾ 0, ρ(2r) ⩾ φ(r)r
7e. Conclure que p ∈ D^+u(x_0) et que, pour tout x_0 ∈ ] − 1, 1[,
D^+u(x_0) = {p ∈ ℝ, lim_(ε → 0^+)sup_(y ∈ [x_0 − ε, x_0 + ε] ∩ [ − 1, 1]; y ≠ x_0)(u(y) − u(x_0) − p(y − x_0))/(|y − x_0|) ⩽ 0}}}{{
On peut montrer de même (mais on ne demande pas de le vérifier) que pour tout x_0 ∈ ] − 1, 1[,
D^−u(x_0) = {p ∈ ℝ, lim_(ε → 0^+)inf_(y ∈ [x_0 − ε, x_0 + ε] ∩ [ − 1, 1]; y ≠ x_0)(u(y) − u(x_0) − p(y − x_0))/(|y − x_0|) ⩾ 0}}}{{
  1. Soit x_0 ∈ ] − 1, 1[. Montrer que le résultat de la question 4 est toujours valable en supposant uniquement u dérivable en x_0.
  2. Soit x_0 ∈ ] − 1, 1[ tel que D^+u(x_0) ≠ ∅. Démontrer que D^+u(x_0) est un intervalle fermé.
  3. On suppose dans cette question que u est concave sur [ − 1, 1]. Soit x_0 ∈ ] − 1, 1[.
10a. Soient y_1, y_2 ∈ [ − 1, 1]∖{x_0} avec y_1 < y_2. Prouver que
(u(y_1) − u(x_0))/(y_1 − x_0) ⩾ (u(y_2) − u(x_0))/(y_2 − x_0)
10b. Montrer que
lim_(y → x_0^−)(u(y) − u(x_0))/(y − x_0)=:ℓ^−et lim_(y → x_0^+)(u(y) − u(x_0))/(y − x_0)=:ℓ^+
sont bien définies et que D^+u(x_0) = [ℓ^+, ℓ^−].
10c. Démontrer que
D^+u(x_0) = {p ∈ ℝ, ∀x ∈ [ − 1, 1], u(x) ⩽ u(x_0) + p(x − x_0)}
En déduire que u admet un maximum en x_0 si et seulement si 0 ∈ D^+u(x_0).

Partie III

Soit (x, p) ↦ H(x, p) une fonction continue sur [ − 1, 1] × ℝ à valeurs réelles. On suppose qu'il existe une fonction continue croissante ω : ℝ^+ → ℝ^+, vérifiant ω(0) = 0, telle que, pour tous x, y ∈ [ − 1, 1], et pour tout p ∈ ℝ,
|H(x, p) − H(y, p)| ⩽ ω(|x − y|(1 + |p|))
On dit que u ∈ 𝒞^0([ − 1, 1]) est une sur-solution de (1) si pour tout x ∈ ] − 1, 1[, pour tout p ∈ D^−u(x),
u(x) + H(x, p) ⩾ 0
On dit que u ∈ 𝒞^0([ − 1, 1]) est une sous-solution de (1) si pour tout x ∈ ] − 1, 1[, pour tout p ∈ D^+u(x),
u(x) + H(x, p) ⩽ 0.
11a. Montrer que si u ∈ 𝒞^1([ − 1, 1]) vérifie
∀x ∈ ] − 1, 1[, u(x) + H(x, u^′(x)) = 0
alors u est sur-solution et sous-solution de (1).
11b. Montrer que si u est à la fois sur-solution et sous-solution de (1), alors en tout point x ∈ ] − 1, 1[ au voisinage duquel u est de classe 𝒞^1, on a
u(x) + H(x, u^′(x)) = 0.
On souhaite démontrer que si u est une sous-solution et v une sur-solution de (1) telles que
u(y) ⩽ v(y) pour y ∈ { − 1, 1}
alors
u ⩽ v sur[ − 1, 1].
Dans les questions 12 à 15. on suppose par l'absurde qu'il existe y_0 ∈ [ − 1, 1] pour lequel u(y_0) > v(y_0).
12. Montrer que la fonction u − v atteint son maximum sur [ − 1, 1] en un point x_0 ∈ ] − 1, 1[ et M:=max_(x ∈ [ − 1, 1])(u(x) − v(x)) > 0. Montrer qu'il existe η > 0 tel que pour tout (x, y) ∈ [ − 1, 1]^2 vérifiant
|x − y| ⩽ √(2(‖u‖_∞ + ‖v‖_∞)η),
on a
|u(x) − u(y)| + |v(x) − v(y)| < M/2
et
ω(|x − y| + 2|v(x) − v(y)|) < M/2,
où ω est la fonction intervenant en (4).
Pour un paramètre η obtenu grâce à la question précédente, on considère la fonction Φ_η : [ − 1, 1]^2 → ℝ, définie par
Φ_η(x, y) = u(x) − v(y) − (|x − y|^2)/(2η).
  1. Démontrer que Φ atteint son maximum sur [ − 1, 1]^2 en un point (x_η, y_η) ∈ [ − 1, 1]^2 tel que Φ_η(x_η, y_η) ⩾ M.
14a. Montrer que
|x_η − y_η| ⩽ √(2(‖u‖_∞ + ‖v‖_∞)η)
14b. En déduire que |x_η| ≠ 1 et |y_η| ≠ 1.
14c. Conclure que
(x_η − y_η)/η ∈ D^+u(x_η) ∩ D^−v(y_η).
  1. Prouver que
u(x_η) − v(y_η) ⩽ ω(|x_η − y_η| + 2|v(x_η) − v(y_η)|)
et obtenir une contradiction. Conclure.

Partie IV

16a. Calculer le sur-différentiel et le sous-différentiel de la fonction u_0 de la question 3 pour tout x ∈ ] − 1, 1[∖{0}.
16b. Montrer que
D^+u_0(0) = [ − e^(− 1), e^(− 1)] et D^−u_0(0) = ∅
16c. Vérifier que u_0 est sur-solution et sous-solution de (1) pour H(x, p) = |p|.
16d. Qu'en est-il de u_1 ?
16e. En déduire que u_0 est l'unique fonction continue vérifiant u_0(− 1) = u_0(1) = − 1 et qui soit sur-solution et sous-solution de (1) pour H(x, p) = |p|.
Soit ε ∈ ]0, 1[. On pose
λ_ε^± = (− 1 ± √(1 + 4ε))/(2ε)
et on définit la fonction u_ε : [ − 1, 1] → ℝ par la formule
u_ε(x) = (− λ_ε^−e^(λ_ε^+|x|) + λ_ε^+e^(λ_ε^−|x|))/(λ_ε^−e^(λ_ε^+) − λ_ε^+e^(λ_ε^−))
  1. Montrer que u_ε est de classe 𝒞^2 sur [ − 1, 1] et vérifie
{u_ε(x) + |u_ε^′(x)| − εu_ε^(′′)(x) = 0 pour tout x ∈ [ − 1, 1]; u_ε(− 1) = u_ε(1) = − 1
18a. Montrer que u_ε est l'unique solution de classe 𝒞^2 sur [ − 1, 1] à (5).
18b. Soit (ε_n)_(n ∈ ℕ) une suite de ]0, 1[ tendant vers 0 . Prouver que (u_(ε_n))_(n ∈ ℕ) converge uniformément sur [ − 1, 1] lorsque n → + ∞ vers une fonction que l'on déterminera.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths B X MP 2019 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths B X MP 2019 ?

Selon le jury, il porte essentiellement sur le programme de MPSI : continuité, dérivée, borne supérieure et limite monotone. S'y ajoutent les fonctions concaves, les fonctions continues sur un compact et, en fin de sujet, une équation différentielle du second ordre et la convergence uniforme.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths B X MP 2019 ?

Des limites écrites avant d'en prouver l'existence, un mauvais usage du théorème des gendarmes, l'oubli de la double inclusion et des manipulations incorrectes de bornes supérieures.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths B X MP 2019 ?

Sur 1960 copies, la moyenne est de 8.75 avec un écart-type de 3.90. Pour les 1512 candidats français, elle est de 9.12.

Quelle note fallait-il en maths B X MP 2019 pour être dans les 400 premiers ?

Le rapport indique que 12/20 sépare les 400 premiers candidats des autres. Cette note était atteignable en traitant correctement tout jusqu'à la question 6b puis quelques questions simples des parties III et IV.

Pas de description pour le moment