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Présentation du sujet

Difficile
Grandes déviations pour une marche aléatoire simple, méthode de Laplace, formule de Stirling et intégrales oscillantes
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Le sujet comporte trois parties indépendantes. La première démontre un principe de grandes déviations pour une variable aléatoire prenant les valeurs 1 et -1 avec probabilité 1/2. La deuxième étudie le comportement asymptotique d'une intégrale de Laplace et en déduit la formule de Stirling. La troisième traite l'asymptotique d'une intégrale oscillante, en s'appuyant sur les intégrales de sin(x²) et cos(x²).

  1. 1Partie I : principe de grandes déviationspremière annéeInégalité de grande déviation, étude d'une fonction m définie par une espérance, majorations d'espérances puis version asymptotique du principe pour la moyenne empirique Sn.
  2. 2Partie II : intégrale de Laplace et formule de Stirlingpremière annéeÉquivalent quand t tend vers l'infini d'une intégrale de la forme ∫ e^{tf(x)} dx autour d'un maximum de f, puis application à la formule de Stirling.
  3. 3Partie III : intégrales oscillantespremière annéeConvergence et valeur des intégrales de sin(x²) et cos(x²), développement asymptotique, puis comportement de ∫ g(x) sin(tf(x)) dx quand t tend vers l'infini.

Difficile. Le rapport donne des taux de réussite très bas sur les questions centrales : 2 à 3 % pour la question 8b et 1 % pour les questions 17, 19 et 20, pour une moyenne de 9,47.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,47 / 20 · écart-type 3,81 · 1 580 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,47/ 20
Écart-type
3,81
Présents
1 580
moyenne 9,4705101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Formule de transfert oubliée · Inégalités ponctuelles non exploitées · Passage à la limite sans existence
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Les premières questions de chaque partie ont été traitées par un grand nombre de candidats, mais les questions 5a et 5b ont marqué un coup d'arrêt dans la partie I. Les erreurs relevées en analyse (équivalents, limites, intégrales impropres) révèlent des bases fragiles sur des notions de première année. Le jury déconseille de grappiller des points sur les questions faciles.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Formule de transfert oubliéeQ1 à Q5b

    Les calculs des questions 1 à 5b se font aisément avec la formule de transfert, que beaucoup n'évoquent pas ou n'appliquent pas. Le théorème des valeurs intermédiaires est aussi cité sans mentionner la continuité.

  2. 2
    Inégalités ponctuelles non exploitéesQ6, Q7

    Il fallait majorer une indicatrice point par point puis prendre l'espérance ; peu de candidats y ont pensé.

    « Bien des candidats n'ont pas su utiliser cette astuce »
  3. 3
    Passage à la limite sans existenceQ8b

    La question 8b, sans doute la plus difficile du sujet, ne découle pas mécaniquement des questions 4 et 7 : l'existence de la limite est le cœur de la question.

  4. 4
    Hypothèse de régularité négligéeQ9

    L'hypothèse (H) seule ne suffit pas : il faut utiliser la régularité de f. Environ un tiers des candidats invoquent des propriétés imaginaires des maxima.

  5. 5
    Équivalents et intégrales impropresQ10, Q13

    La définition de l'équivalence n'est pas vérifiée correctement. La fonction sin(x²) n'est pas périodique, et la limite nulle d'une fonction en l'infini n'équivaut pas à la convergence de son intégrale.

    « Toutes ces erreurs montrent de la part de trop nombreux candidats des bases en Analyse »
  6. 6
    Passage au bord de l'intervalle de convergenceQ14, Q15, Q16

    On ne peut pas déduire la question 15 de la question 14 en faisant tendre le paramètre vers l'infini : il fallait une intégration par parties.

Ce qui a été bien réussi

  • La question 1 a été traitée correctement par 90 % des candidats, les questions 3 et 4 par 80 %.
  • La question 12a, standard, a été réussie par 85 % des candidats.
  • La question 14, sur l'intégration terme à terme d'une série entière, a été bien traitée par 78 % des candidats.

Conseils du jury

  • Traiter correctement plusieurs questions consécutives, y compris difficiles, plutôt que survoler le sujet.
  • S'investir sur les questions clés comme 5a et 5b, qui ouvraient la suite de la partie I.
  • Vérifier toutes les hypothèses avant d'utiliser le résultat d'une question admise.
  • Utiliser un brouillon pour ne présenter que les étapes essentielles et correctes du raisonnement.
  • Signaler clairement ce que l'on admet quand on ne traite qu'une partie de la question.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2020

MARDI 21 AVRIL 2020-8h00-12h00 FILIERE MP - Epreuve n^∘3

MATHEMATIQUES B
(X)

Les trois parties sont indépendantes.

Notations

Dans tout le sujet, (Ω, 𝒜, P) désigne un espace probabilisé sur lequel seront définies les différentes variables aléatoires. On notera P[A] la probabilité d'un événement A ⊂ Ω et E[X] l'espérance d'une variable aléatoire X sur ( Ω, 𝒜, P ) à valeurs réelles.
On pourra utiliser sans démonstration le résultat suivant :
Si Y_1, …, Y_n sont des variables aléatoires réelles discrètes mutuellement indépendantes et intégrables, alors
E[Y_1⋯Y_n] = E[Y_1]⋯E[Y_n]
On note log la fonction logarithme népérien. Par convention, on pose log0 = − ∞.

Première partie

Soit n ⩾ 1 un entier naturel, et soient ( X_1, …, X_n ) des variables aléatoires réelles discrètes mutuellement indépendantes telles que, pour tout k ∈ {1, …, n},
P[X_k = 1] = P[X_k = − 1] = 1/2
On définit
S_n = 1/n∑_(k = 1)^n X_k
ainsi que, pour tout λ ∈ ℝ,
ψ(λ) = log(1/2e^λ + 1/2e^(− λ))
  1. Soit Z une variable aléatoire réelle discrète telle que exp(λZ) est d'espérance finie pour tout λ > 0. Montrer que pour tout λ > 0 et t ∈ ℝ,
P[Z ⩾ t] ⩽ exp(− λt)E[exp(λZ)].
  1. Montrer que P[S_n ⩾ 0] ⩾ 1/2.
  2. Montrer que pour tout t ∈ ℝ, on a
1/nlogP[S_n ⩾ t] ⩽ inf_(λ ⩾ 0)(ψ(λ) − λt)
Pour chaque λ ⩾ 0, on pose
m(λ) = (E[X_1 exp(λX_1)])/(E[exp(λX_1)])
ainsi que
D_n(λ) = exp(λnS_n − nψ(λ)).
  1. Montrer que la fonction m est strictement croissante sur ℝ_+, et que pour tout t ∈ [0, 1[, il existe un unique λ ⩾ 0 tel que m(λ) = t.
5a. Pour n ⩾ 2 et λ ⩾ 0, montrer que
E[(X_1 − m(λ))(X_2 − m(λ))D_n(λ)] = 0
5b. En déduire que, pour n ⩾ 1 et λ ⩾ 0,
E[(S_n − m(λ))^2 D_n(λ)] ⩽ 4/n
Pour tous n ⩾ 1, λ ⩾ 0 et ε > 0, on note I_n(λ, ε) la variable aléatoire définie par
I_n(λ, ε) = {1, si |S_n − m(λ)| ⩽ ε; 0, sinon
  1. Montrer que
P[|S_n − m(λ)| ⩽ ε] ⩾ E[I_n(λ, ε)exp(λn(S_n − m(λ) − ε)]
  1. Montrer que
E[I_n(λ, ε)D_n(λ)] ⩾ 1 − 4/(nε^2)
8a. En déduire, pour chaque λ ⩾ 0 et ε > 0, l'existence d'une suite (u_n(ε))_(n ⩾ 1) qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini et telle que
1/nlogP[S_n ⩾ m(λ) − ε] ⩾ ψ(λ) − λm(λ) − λε + u_n(ε)
8b. Conclure que pour tout t ∈ [0, 1[,
lim_(n → ∞)1/nlogP[S_n ⩾ t] = inf_(λ ⩾ 0)(ψ(λ) − λt)
8c. La formule précédente est-elle encore valide pour t = 1 ?

Deuxième partie

On admet l'identité
∫_(− ∞)^(+ ∞)exp(− x^2)dx = √π
Soient a < b deux réels et f : [a, b] → ℝ une fonction infiniment dérivable. Appelons (H) l'hypothèse suivante : il existe un unique point x_0 ∈ [a, b] où f atteint son maximum, on a a < x_0 < b, et f^(′′)(x_0) ≠ 0.
9. Montrer que sous l'hypothèse (H), on a f^(′′)(x_0) < 0.
10. Sous l'hypothèse (H), montrer que pour tout δ > 0 tel que δ < min(x_0 − a, b − x_0), on a l'équivalent, quand t → + ∞,
∫_a^b e^(tf(x))dx ∼ ∫_(x_0 − δ)^(x_0 + δ)e^(tf(x))dx
  1. Sous l'hypothèse (H), montrer l'équivalent, quand t → + ∞,
∫_a^b e^(tf(x))dx ∼ e^(tf(x_0))√((2π)/(t|f^(′′)(x_0)|))
12a. Montrer que pour tout entier n ∈ ℕ, on a
n! = ∫_0^(+ ∞)e^(− t)t^n dt
12b. En utilisant les résultats précédents, retrouver la formule de Stirling donnant un équivalent asymptotique de n!.

Troisième partie

  1. Montrer que
lim_(a → + ∞)∫_0^a|sin(x^2)|dx = + ∞
  1. Montrer que pour tout a ∈ ℝ,
∫_0^a sin(x^2)dx = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(− 1)^n(a^(4n + 3))/((2n + 1)!(4n + 3))
  1. Montrer que les limites
lim_(a → + ∞)∫_0^a sin(x^2)dx et lim_(a → + ∞)∫_0^a cos(x^2)dx
existent et sont finies.
On admet les identités :
lim_(a → + ∞)∫_0^a sin(x^2)dx = lim_(a → + ∞)∫_0^a cos(x^2)dx = (√(2π))/4
  1. Montrer qu'il existe des nombres réels c, c^′ ∈ ℝ tels que, pour a → + ∞, on a
∫_0^a sin(x^2)dx = (√(2π))/4 + c/acos(a^2) + (c^′)/(a^3)sin(a^2) + O(1/(a^5)).
On admettra qu'il existe des nombres réels d, d^′ ∈ ℝ tels que, pour a → + ∞, on a
∫_0^a cos(x^2)dx = (√(2π))/4 + d/asin(a^2) + (d^′)/(a^3)cos(a^2) + O(1/(a^5))
À partir de maintenant et jusqu'à la fin de l'énoncé, f désigne une fonction infiniment dérivable de [0, 1] dans ℝ. On suppose qu'il existe un unique point x_0 ∈ [0, 1[ où f^′ s'annule. On suppose également que f^(′′)(x_0) > 0. On se donne également une fonction g : [0, 1] → ℝ infiniment dérivable.
17. Montrer qu'on a, pour t → + ∞,
∫_(x_0)^1 g(x)sin(tf(x))dx = g(x_0)∫_(x_0)^1 sin(tf(x))dx + O(1/t)
Pour tout x ∈ [x_0, 1], on définit
h(x) = √(|f(x) − f(x_0)|)
18a. Montrer que la fonction h définit une bijection de [x_0, 1] sur [0, h(1)].
18b. Montrer que l'application h est dérivable en x_0 à droite, et que h^′(x_0) = √((f^(′′)(x_0))/2). On admet que la bijection
h : {[x_0, 1], →, [0, h(1)]; x, ↦, h(x)
admet une application réciproque h^(− 1) : [0, h(1)] → [x_0, 1] qui est infiniment dérivable.
19. Montrer que, pour t → + ∞,
∫_(x_0)^1 sin(tf(x))dx = sin(tf(x_0) + π/4)√(π/(2tf^(′′)(x_0))) + O(1/t)
  1. On suppose que x_0 ∈ ]0, 1[. Montrer que, pour t → + ∞,
∫_0^1 g(x)sin(tf(x))dx = g(x_0)sin(tf(x_0) + π/4)√((2π)/(tf^(′′)(x_0))) + O(1/t)

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet X-ENS Maths B MP 2020 ?
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Sur quoi porte le sujet X-ENS Maths B MP 2020 ?

Il comprend trois parties indépendantes : un principe de grandes déviations en probabilités, l'asymptotique d'une intégrale de Laplace avec la formule de Stirling, et l'asymptotique d'une intégrale oscillante.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de Maths B X MP 2020 ?

Selon le rapport, la note moyenne est de 9,47 sur 1580 copies, avec un écart-type de 3,81.

Le sujet X-ENS Maths B MP 2020 est-il faisable en première année ?

Le rapport indique que la partie I repose sur les probabilités du programme de MPSI et que les parties II et III font appel à l'analyse classique de MPSI. Les questions les plus avancées restent très sélectives.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en Maths B X-ENS MP 2020 ?

L'oubli de la formule de transfert, des limites écrites sans preuve d'existence, des équivalents mal vérifiés, la croyance que sin(x²) est périodique et des interversions somme-intégrale non justifiées au bord de l'intervalle de convergence.

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