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Centrale Mathématiques 1 MP 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Fonctions arithmétiques multiplicatives, matrices de permutation et matrice de Redheffer
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Ce problème d'algèbre comporte trois parties largement indépendantes. La première munit les fonctions arithmétiques du produit de convolution, retrouve des résultats sur la fonction de Möbius et l'indicatrice d'Euler, puis relie ce produit aux séries de Dirichlet. La deuxième étudie les matrices et endomorphismes de permutation, et la troisième calcule le polynôme caractéristique de la matrice de Redheffer.

  1. 1Partie I : quelques résultats utilesStructure d'anneau des fonctions arithmétiques pour la convolution, groupe des fonctions multiplicatives, fonction de Möbius, déterminant de Smith et séries de Dirichlet.
  2. 2Partie II : matrices et endomorphismes de permutationSimilitude de matrices de permutation par la décomposition en cycles et le polynôme caractéristique, puis caractérisation des endomorphismes de permutation.
  3. 3Partie III : valeurs propres de la matrice de RedhefferExpression du polynôme caractéristique de la matrice de Redheffer et multiplicité de la valeur propre 1, à l'aide des résultats de la partie I.

Difficile. Le jury souligne la longueur du sujet : la partie III n'a été significativement traitée que dans quelques copies et la fin de la partie I a rarement été réussie.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 6,48 / 20 · écart-type 4,14 · 5 191 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
6,48/ 20
Écart-type
4,14
Présents
5 191
Coefficient
17
Durée
4 h
1er quartile
3,4
Médiane
5,7
3e quartile
8,8
moyenne 6,4805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 27 juin 2020. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Égalités entre sommes non justifiées · Axiomes des structures algébriques incomplets · Raisonnements arithmétiques faux
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Les parties I et II, jusqu'à la question 30 environ, sont abordées dans presque toutes les copies, mais la partie III l'a rarement été à cause de la longueur du sujet. Le jury déplore de nombreuses affirmations sans justification, notamment en II.A, et des théorèmes cités sans vérification de leurs hypothèses. Des raisonnements de qualité en arithmétique existent, mais pas dans la majorité des copies.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Égalités entre sommes non justifiéesQ3, Q4

    Les premières questions manquent de rigueur et aboutissent parfois à des égalités incohérentes entre parties de ℕ² et de ℕ³ ; une suite d'égalités sans argument ne suffit pas.

  2. 2
    Axiomes des structures algébriques incompletsQ5, Q10

    Affirmer qu'un ensemble est un groupe sans vérifier tous les axiomes n'est pas accepté, surtout quand c'est l'objet de la sous-partie.

    « On note de grosses lacunes sur les structures algébriques. »
  3. 3
    Raisonnements arithmétiques fauxQ7

    Des candidats utilisent un noyau sans structure adaptée ou affirment à tort qu'un diviseur de nm, avec m et n premiers entre eux, divise m ou n.

  4. 4
    Séries de Dirichlet mal maîtriséesQ17 à Q19

    Confusions entre minimum et borne inférieure, tentatives vaines avec un produit de Cauchy et théorème de sommation par paquets rarement bien utilisé.

    « On a très rarement vu le théorème de sommation par paquets correctement utilisé pour la question 19. »
  5. 5
    Produit de matrices de permutation flouQ20 à Q22

    La réduction de la somme à un seul terme est souvent confuse, un terme étant confondu avec la somme complète ; le comportement de la permutation hors du support du cycle est rarement explicité.

  6. 6
    Calcul de déterminant imprécisQ24

    Pour le polynôme caractéristique d'une matrice compagnon, les puissances de -1 dans les développements devaient être exactes pour obtenir tous les points.

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 12 et 13, exercices classiques d'arithmétique, ont été assez souvent traitées correctement.
  • La question 24, sur le polynôme caractéristique d'une matrice compagnon, est souvent traitée.

Conseils du jury

  • Privilégier la précision et la rigueur plutôt que le nombre de questions abordées sur un sujet long.
  • Vérifier toutes les hypothèses d'un théorème au lieu de citer seulement son nom.
  • Ne négliger aucune partie du programme, y compris l'arithmétique.
  • Justifier chaque réponse : recopier la question ou écrire que c'est évident ne rapporte aucun point.
  • Travailler dans le cadre proposé par l'énoncé, ici l'anneau des fonctions arithmétiques, pour gagner du temps.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Mathématiques 1

Fonctions arithmétiques multiplicatives et applications

La première partie établit des résultats utiles dans les parties suivantes, qui sont indépendantes entre elles.

Notations

On note ⌊x⌋ la partie entière du nombre réel x, c'est-à-dire le plus grand nombre entier inférieur ou égal à x.
On note P l'ensemble des nombres premiers.
On note m ∧ n le plus grand commun diviseur (pgcd) des entiers naturels m et n.
Si a et b sont deux nombres entiers relatifs, on note [ [a, b] ] = {k ∈ ℤ|a ⩽ k ⩽ b}.
L'ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients dans ℂ est noté M_n(ℂ).
La matrice identité de M_n(ℂ) est notée I_n.
Le terme d'indice (i, j) d'une matrice M ∈ M_n(ℂ) est noté m_(ij) et on note M = (m_(ij))_((i, j) ∈ [ [1, n] ]^2), ou plus simplement M = (m_(ij)) lorsque la taille de M est implicite.
Pour n ∈ ℕ^∗, on note D_n l'ensemble des nombres entiers naturels divisant n et on écrit ∑_(d|n) = ∑_(d ∈ D_n) la somme sur tous les nombres entiers naturels d divisant n.
Une fonction arithmétique est une fonction f : ℕ^∗ → ℂ. L'ensemble des fonctions arithmétiques est noté 𝔸. On dit qu'une fonction arithmétique f ∈ 𝔸 est multiplicative si
{f(1) ≠ 0,; ∀(m, n) ∈ (ℕ^∗)^2 m ∧ n = 1 ⟹ f(mn) = f(m)f(n).
On note M l'ensemble des fonctions arithmétiques multiplicatives.
On note 1, δ et I les fonctions arithmétiques
1 : ℕ^∗ → ℂ; n ↦ 1 δ : | ℕ^∗ → ℂ; n ↦ {1, si n = 1; 0, si n ⩾ 2 I : | ℕ^∗ → ℂ; n ↦ n
On remarque que ces trois fonctions arithmétiques sont multiplicatives.
Si f et g sont deux fonctions arithmétiques, le produit de convolution de f et g est la fonction arithmétique notée f∗g définie par
∀n ∈ ℕ^∗, (f∗g)(n) = ∑_(d|n)f(d)g(n/d)

I Quelques résultats utiles

I.A - Propriétés générales de la loi *

Q 1. Vérifier que δ est un élément neutre pour la loi *.
Pour tout n ∈ ℕ^∗, on note C_n = {(d_1, d_2) ∈ (ℕ^∗)^2|d_1 d_2 = n}.
Q 2. Justifier que, pour tout n ∈ ℕ^∗,
(f∗g)(n) = ∑_((d_1, d_2) ∈ C_n)f(d_1)g(d_2).
Q 3. En déduire que ∗ est commutative.
Q 4. De même, en exploitant l'ensemble C_n^′ = {(d_1, d_2, d_3) ∈ (ℕ^∗)^3|d_1 d_2 d_3 = n}, montrer que * est associative.
Q 5. Que peut-on dire de (𝔸, +, ∗) ?

I.B - Groupe des fonctions multiplicatives

Q 6. Soient f et g deux fonctions multiplicatives. Montrer que si
∀p ∈ P, ∀k ∈ ℕ^∗, f(p^k) = g(p^k),
alors f = g.
Q 7. Soient m et n deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Montrer que l'application
π : | D_n × D_m → D_(mn); (d_1, d_2) ↦ d_1 d_2
est bien définie et réalise une bijection entre D_n × D_m et D_(mn).
Q 8. En déduire que si f et g sont deux fonctions multiplicatives, alors f∗g est encore multiplicative.
Q 9. Soit f une fonction multiplicative. Montrer qu'il existe une fonction multiplicative g telle que, pour tout p ∈ P et tout k ∈ ℕ^∗,
g(p^k) = − ∑_(i = 1)^k f(p^i)g(p^(k − i))
et qu'elle vérifie f∗g = δ.
Q 10. Que dire de l'ensemble M muni de la loi *?

I. C − La fonction de Möbius

Soit μ la fonction arithmétique définie par
μ(n) = {1, si n = 1; (− 1)^r, si n est le produit de r nombres premiers distincts; 0, sinon
Q 11. Montrer que μ est multiplicative.
Q 12. Montrer que μ∗1 = δ.
Q 13. Soit f ∈ 𝔸, et soit F ∈ 𝔸 telle que, pour tout n ∈ ℕ^∗, F(n) = ∑_(d|n)f(d). Montrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗,
f(n) = ∑_(d|n)μ(d)F(n/d).
On note φ la fonction indicatrice d'Euler, définie par :
∀n ∈ ℕ^∗, φ(n) = card{k ∈ [ [1, n] ]|k ∧ n = 1}.
Q 14. Démontrer que φ = μ∗I.

I.D - Déterminant de Smith

Soient f une fonction arithmétique, n ∈ ℕ^∗ et g = f∗μ. On note M = (m_(ij)) la matrice de M_n(ℂ) de terme général m_(ij) = f(i ∧ j). On définit aussi la matrice des diviseurs D = (d_(ij)) par :
d_(ij) = {1, si j divise i,; 0, sinon.
Soit M^′ la matrice de terme général m_(ij)^′ = {g(j), si j divise i,; 0, sinon.
Q 15. Montrer que M = M^′ D^⊤, où D^⊤ est la transposée de D.
Q 16. En déduire que le déterminant de M vaut
detM = ∏_(k = 1)^n g(k).

I.E - Séries de Dirichlet

Soit f une fonction arithmétique. On définit, pour tout réel s tel que la série converge,
L_f(s) = ∑_(k = 1)^∞(f(k))/(k^s).
On appelle abscisse de convergence de L_f
A_c(f) = inf{s ∈ ℝ| la série ∑(f(k))/(k^s) converge absolument }.
On convient que A_c(f) = + ∞ s'il n'existe pas de réel s tel que la série ∑(f(k))/(k^s) converge absolument.
Q 17. Montrer que si s > A_c(f), alors la série ∑(f(k))/(k^s) converge absolument.
Q 18. Soient f et g deux fonctions arithmétiques d'abscisses de convergence finies. Montrer que si, pour tout s > max(A_c(f), A_c(g)), L_f(s) = L_g(s), alors f = g.
Q 19. Soient f et g deux fonctions multiplicatives d'abscisses de convergence finies. Montrer que, pour tout s > max(A_c(f), A_c(g)),
L_(f∗g)(s) = L_f(s)L_g(s)

II Matrices et endomorphismes de permutation

Dans cette partie n est un entier naturel non nul.
On note 𝔖_n le groupe des permutations de [ [1, n] ]. On notera la composition des permutations de manière multiplicative ; par exemple, si γ et σ sont deux permutations de 𝔖_n, γ^3 σ^2 = γ ∘ γ ∘ γ ∘ σ ∘ σ.
On dit que deux permutations σ et τ de 𝔖_n sont conjuguées s'il existe une permutation ρ ∈ 𝔖_n telle que τ = ρσρ^(− 1).
Pour ℓ ∈ [ [2, n] ], on rappelle que, dans 𝔖_n, un cycle de longueur ℓ est une permutation γ ∈ 𝔖_n pour laquelle il existe ℓ éléments deux à deux distincts a_1, …, a_ℓ de [ [1, n] ] tels que
γ(x) = {x, si x ∉ {a_1, …, a_ℓ},; a_(i + 1), si x = a_i pour i ⩽ ℓ − 1,; a_1, si x = a_ℓ.
L'ensemble Supp(γ) = {a_1, …, a_ℓ} est appelé support du cycle γ et on note γ = (a_1 a_2⋯a_ℓ). On rappelle le résultat suivant qui pourra être utilisé sans démonstration.
Toute permutation σ ∈ 𝔖_n se décompose de manière unique (à l'ordre des facteurs près) en produit de cycles γ_1, …, γ_r à supports disjoints : σ = γ_1⋯γ_r.
À toute permutation σ ∈ 𝔖_n, on associe la matrice de permutation P_σ = (a_(ij)) ∈ M_n(ℂ) où
a_(ij) = {1, si i = σ(j),; 0, sinon.

II.A - Similitude de deux matrices de permutation

L'objectif de cette sous-partie est de démontrer la propriété ( S ) suivante.
Les matrices de permutations P_σ et P_τ sont semblables si et seulement si les permutations σ et τ sont conjuguées.
Q 20. Pour toutes permutations ρ, ρ^′ ∈ 𝔖_n, montrer que P_(ρρ^′) = P_ρ P_(ρ^′). En déduire que, pour toutes permutations σ, τ ∈ 𝔖_n, si σ et τ sont conjuguées alors P_σ et P_τ sont semblables.
Q 21. On considère, dans cette question uniquement, n = 7 et les cycles γ_1 = (1, 3; 7) et γ_2 = (2, 64). On considère également une permutation ρ ∈ 𝔖_7 telle que ρ(1) = 2, ρ(3) = 6 et ρ(7) = 4. Vérifier que ργ_1 ρ^(− 1) = γ_2.
Q 22. Plus généralement, montrer que, dans 𝔖_n, deux cycles de même longueur sont conjugués.
Pour σ ∈ 𝔖_n et ℓ ∈ [ [2, n] ], on note c_ℓ(σ) le nombre de cycles de longueur ℓ dans la décomposition de σ en cycles à supports disjoints. On note c_1(σ) le nombre de points fixes de σ :
c_1(σ) = Card{j ∈ [ [1, n] ], σ(j) = j}.
Q 23. Montrer que σ ∈ 𝔖_n et τ ∈ 𝔖_n sont conjugués si et seulement si, pour tout ℓ ∈ [ [1, n] ], c_ℓ(σ) = c_ℓ(τ). La matrice-ligne T_σ = (c_1(σ)c_2(σ)…c_n(σ)) s'appelle le type cyclique de σ. On vient donc de démontrer que deux permutations sont conjuguées si et seulement si elles ont le même type cyclique.
Pour tout σ ∈ 𝔖_n, on note χ_σ le polynôme caractéristique de la matrice P_σ : χ_σ(X) = det(XI_n − P_σ).
Q 24. Soit ℓ ∈ [ [2, n] ] et soit γ ∈ 𝔖_ℓ un cycle de longueur ℓ. Montrer que χ_γ(X) = X^ℓ − 1.
On pourra se ramener au cas γ = (12⋯ℓ) et considérer la matrice
Γ_ℓ = (0, ⋯, ⋯, ⋯, 0, 1; 1, 0, ⋯, ⋯, 0, 0; 0, 1, ⋱, ⋮, 0; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, ⋮, ⋮; ⋮, ⋱, 1, 0, 0; 0, ⋯, ⋯, 0, 1, 0) ∈ M_ℓ(ℂ)
Q 25. Montrer que si σ ∈ 𝔖_n, alors χ_σ(X) = ∏_(ℓ = 1)^n(X^ℓ − 1)^(c_ℓ(σ)).
On pourra justifier que P_σ est semblable à une matrice diagonale par blocs dont les blocs sont des matrices de la forme Γ_ℓ(ℓ ⩾ 1), où Γ_ℓ est définie ci-dessus si ℓ ⩾ 2 et où Γ_ℓ = (1) si ℓ = 1.
Q 26. En raisonnant sur la multiplicité des racines de χ_σ et de χ_τ, montrer que si P_σ et P_τ sont semblables, alors, pour tout q ∈ [ [1, n] ],
∑_(ℓ = 1; q|ℓ)^n c_ℓ(σ) = ∑_(ℓ = 1; q|ℓ)^n c_ℓ(τ)
(On somme sur les valeurs de ℓ multiples de q et appartenant à [ [1, n] ].)
Q 27. En déduire la propriété (S).
On pourra calculer T_σ D où T_σ est le type cyclique de σ et D est la matrice des diviseurs définies au I.D.

II.B - Endomorphismes de permutation

Dans cette sous-partie, E est un ℂ-espace vectoriel de dimension n ⩾ 1. On dit qu'un endomorphisme u de E est un endomorphisme de permutation s'il existe une base ( e_1, …, e_n ) de E et une permutation σ ∈ 𝔖_n telles que u(e_j) = e_(σ(j)) pour tout j ∈ [ [1, n] ].
On note Id_E l'identité de E.
On note Tr(u) la trace d'un endomorphisme u de E et χ_u son polynôme caractéristique.
Q 28. Montrer que u est un endomorphisme de permutation si et seulement s'il existe une base dans laquelle sa matrice est une matrice de permutation.
Q 29. Soit u un endomorphisme de permutation de E. Montrer que u est diagonalisable et que sa trace appartient à [ [0, n] ].
Q 30. Soient A, B deux matrices diagonalisables de M_n(ℂ). Montrer que A et B sont semblables si et seulement si elles ont même polynôme caractéristique.
Q 31. Soit u un endomorphisme de E tel que u^2 = Id_E. Montrer que u est un endomorphisme de permutation si et seulement si Tr(u) est un entier naturel.
Q 32. Étudier si l'équivalence de la question précédente subsiste lorsqu'on remplace l'hypothèse u^2 = Id_E par u^k = Id_E pour k = 3, puis pour k = 4.
Q 33. Soit u un endomorphisme de E. Montrer que u est un endomorphisme de permutation si et seulement s'il vérifie les deux conditions suivantes :
(a) il existe des entiers naturels c_1, …, c_n tels que χ_u = ∏_(ℓ = 1)^n(X^ℓ − 1)^(c_ℓ);
(b) il existe N tel que u^N = Id_E.
Q 34. Soient u et v deux endomorphismes de E tels que, pour tout k ∈ ℕ, Tr(u^k) = Tr(v^k). Montrer que u et v ont même polynôme caractéristique.
Q 35. Soit u un endomorphisme diagonalisable de E. Montrer que u est un endomorphisme de permutation si et seulement s'il existe des entiers naturels c_1, …, c_n tels que, pour tout k ∈ ℕ,
Tr(u^k) = ∑_(ℓ = 1; ℓ|k)^n ℓc_ℓ
(On somme sur les valeurs de ℓ divisant k et appartenant à [ [1, n] ].)

III Valeurs propres de la matrice de Redheffer

On définit la matrice de Redheffer par H_n = (h_(ij))_((i, j) ∈ [ [1, n] ]^2) où
h_(ij) = {1, si j = 1; 1, si i divise j et j ≠ 1; 0, sinon.
On définit également la fonction de Mertens M, en posant, pour tout n ∈ ℕ^∗, M(n) = ∑_(k = 1)^n μ(k) où μ est la fonction de Möbius définie au I.C.
Q 36. Soient A_n = (a_(ij))_((i, j) ∈ [ [1, n] ]^2) la matrice de terme général
a_(ij) = {μ(j), si i = 1; 1, si i = j; 0, sinon
et C_n = A_n H_n. En calculant les coefficients de C_n, montrer que detH_n = M(n).
Pour le calcul du terme d'indice ( i, j ) de C_n, on pourra distinguer le cas i = j = 1, le cas i > 1, j = 1 et le cas i > 1, j > 1.
On note χ_n le polynôme caractéristique de H_n, de sorte que χ_n(λ) = det(λI_n − H_n) pour tout réel λ.
Pour λ réel distinct de 1 , on définit par récurrence la fonction arithmétique b, en posant b(1) = 1 et, pour tout entier naturel j ⩾ 2,
b(j) = 1/(λ − 1)∑_(d|j, d ≠ j)b(d).
On définit également la matrice B_n(λ) = (b_(ij))_((i, j) ∈ [ [1, n] ]^2) de terme général
b_(ij) = {b(j), si i = 1; 1, si i = j; 0, sinon.
Q 37. En calculant le produit B_n(λ)(λI_n − H_n), montrer que
χ_n(λ) = (λ − 1)^n − (λ − 1)^(n − 1)∑_(j = 2)^n b(j)
Dans toute la suite du problème, on suppose que λ est un réel distinct de 1 et on pose w = 1/(λ − 1).
On pose de plus f = (1 + w)δ − w1.
Q 38. Montrer que f∗b = δ.
Q 39. En utilisant les notations des séries de Dirichlet données dans la sous-partie I.E, exprimer, pour des valeurs du réel s à préciser, L_f(s) en fonction de w et L_1(s).
On note log_2 la fonction logarithme en base 2 , définie par log_2(x) = (ln(x))/(ln(2)) pour tout réel x > 0.
Q 40. Montrer que, pour s réel suffisamment grand,
1/(L_f(s)) = 1 + ∑_(m = 2)^∞m^(− s)∑_(k = 1)^(⌊log_2 m⌋)w^k D_k(m)
où D_k(m) est le nombre de manières de décomposer l'entier m en un produit de k facteurs supérieurs ou égaux à 2 , l'ordre de ces facteurs étant important.
Q 41. Pour n ⩾ 1, on pose S_k(n) = ∑_(m = 2)^n D_k(m). Déduire de la question précédente que
χ_n(λ) = (λ − 1)^n − ∑_(k = 1)^(⌊log_2 n⌋)(λ − 1)^(n − k − 1)S_k(n).
Q 42. Montrer enfin que H_n possède 1 comme valeur propre et que sa multiplicité est exactement
n − ⌊log_2 n⌋ − 1.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 1 MP 2020 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 1 MP 2020 ?

Le sujet porte en grande partie sur l'arithmétique, avec des structures algébriques, le groupe symétrique, la réduction des endomorphismes, les déterminants et les séries de Dirichlet.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale maths 1 MP 2020 ?

Le jury relève des égalités entre sommes non justifiées, des axiomes de structures algébriques oubliés, des raisonnements arithmétiques faux et une mauvaise utilisation de la sommation par paquets pour les séries de Dirichlet.

Peut-on avoir une bonne note en Centrale maths 1 MP 2020 sans finir le sujet ?

Oui. Le jury indique qu'il est tout à fait possible d'obtenir une bonne note en répondant correctement aux questions de la première partie.

La partie III de Centrale maths 1 MP 2020 a-t-elle été traitée ?

Rarement. En raison de la longueur du sujet, la partie III sur la matrice de Redheffer n'a été significativement abordée que dans quelques copies.

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