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Centrale Mathématiques 2 MP 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

Espaces à noyau reproduisant

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Espaces à noyau reproduisant : opérateur intégral, valeurs propres et espaces préhilbertiens de fonctions
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Le sujet étudie des espaces préhilbertiens de fonctions où la convergence pour la norme du produit scalaire entraîne la convergence simple, appelés espaces à noyau reproduisant. Il montre d'abord qu'un endomorphisme symétrique admet, sous hypothèses, un vecteur propre, puis étudie en détail un opérateur intégral sur les fonctions continues. Il donne ensuite des exemples et un contre-exemple de tels espaces, et termine par des propriétés générales et une construction abstraite du noyau.

  1. 1Partie I : préliminairesExistence d'un vecteur propre pour un endomorphisme symétrique d'un espace préhilbertien, par l'étude d'une fonction sur un cercle.
  2. 2Partie II : étude d'un opérateurOpérateur intégral sur les fonctions continues de [0,1] : continuité, injectivité, image, valeurs propres par une équation différentielle et développement sur une famille orthonormale.
  3. 3Partie III : exemples d'espaces à noyau reproduisantFonctions de classe C1 par morceaux, contre-exemple des fonctions continues et fonctions développables en série entière.
  4. 4Partie IV : quelques résultats sur les espaces à noyau reproduisantContinuité des fonctions de l'espace et construction d'un espace à noyau reproduisant à partir d'un opérateur.

Difficulté moyenne. Le rapport juge le sujet de longueur habituelle et les trois premières parties abordables hormis quelques questions difficiles, mais plusieurs questions de la partie II ont été réussies par moins de 10 % des candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 6,58 / 20 · écart-type 4,15 · 5 070 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
6,58/ 20
Écart-type
4,15
Présents
5 070
Coefficient
17
Durée
4 h
1er quartile
3,7
Médiane
5,6
3e quartile
8,5
moyenne 6,5805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 1 juillet 2020. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Continuités confondues · Dimension finie supposée · Équation différentielle mal résolue
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La plupart des copies étudient les trois premières parties, la quatrième étant rarement abordée. Les meilleures copies montrent une bonne maîtrise du programme, mais le jury relève des confusions entre différentes notions de continuité, des résultats de dimension finie étendus à tort et des calculs élémentaires fautifs. Beaucoup de copies sont mal rédigées.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Continuités confonduesQ7, Q8, Q27, Q32

    La continuité partielle n'entraîne pas la continuité globale. La continuité de l'application linéaire T se distingue de celle de la fonction T(f), et celle de l'évaluation f ↦ f(x) de celle de f.

    « confusion entre continuité partielle et globale »
  2. 2
    Dimension finie supposéeQ14

    En dimension infinie, un endomorphisme injectif n'est pas forcément surjectif. Moins de 10 % des candidats déterminent correctement l'image de T.

    « une certaine confusion, dans certaines copies, avec la dimension finie »
  3. 3
    Équation différentielle mal résolueQ15, Q16

    Il faut rappeler que 0 n'est pas valeur propre, distinguer solutions réelles de l'équation et racines réelles de l'équation caractéristique, et discuter le signe de λ.

  4. 4
    Théorèmes appliqués sans hypothèsesQ12, Q17

    On ne dérive pas deux fois sous l'intégrale un intégrande qui n'est pas de classe C2 : il faut découper l'intégrale. Le théorème de Fubini est hors programme et n'est pas valorisé.

  5. 5
    Calculs trigonométriques et calculatriceQ19

    Une formule fausse pour 2 sin(a) sin(b) est souvent utilisée. Un calcul demandé ne peut pas être remplacé par la calculatrice ou par « en faisant le calcul, on trouve ».

    « les correcteurs lisent tous les calculs et ont pénalisé des erreurs de signe »
  6. 6
    Règle de d'Alembert mal utiliséeQ29

    La suite des coefficients peut avoir une infinité de termes nuls, et le quotient n'a aucune raison de converger. La valeur absolue doit être un réflexe.

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 1 et 11 sont très bien traitées dans la quasi-totalité des copies.
  • Le graphique de Q6 et le calcul de Q9 sont réussis dans environ deux tiers des copies.
  • La question 22 est globalement réussie lorsqu'elle est abordée.
  • L'inégalité de Cauchy-Schwarz est en général bien utilisée en Q24.

Conseils du jury

  • Tester un résultat de calcul sur des valeurs simples et vérifier sa cohérence avec les questions voisines.
  • Tracer les graphiques avec des axes identifiés et les coordonnées des points importants.
  • Rappeler les propriétés utilisées, par exemple la linéarité avant d'étudier un noyau.
  • Ne pas utiliser de résultats hors programme : toute question se traite avec le programme.
  • Écrire tous les arguments indispensables, car le correcteur ne peut pas interroger le candidat.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Espaces à noyau reproduisant

Les espaces à noyau reproduisant ont des applications dans divers domaines comme l'apprentissage statistique ou la résolution d'équations aux dérivées partielles.
Ce problème présente en partie III quelques exemples d'espaces à noyau reproduisant, l'un de ces exemples étant obtenu à partir de l'étude préalable dans la partie II d'un opérateur intégral. La partie IV propose quelques résultats sur les espaces à noyau reproduisant.
L'attention du candidat est attirée sur le fait que l'espace préhilbertien étudié n'est pas le même dans les différentes parties du problème.

Définitions

Soit I un intervalle de ℝ et soit ( E, ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ ) un espace préhilbertien réel muni de la norme ‖ ⋅ ‖ associée au produit scalaire. On dit que E est un espace à noyau reproduisant sur I lorsqu'il vérifie les trois propriétés suivantes :
  1. l'espace E est un sous-espace vectoriel de l'espace F(I, ℝ) des fonctions définies sur I et à valeurs dans ℝ;
  2. pour tout x ∈ I, l'application V_x : (E, ‖ ⋅ ‖) → ℝ définie par V_x(f) = f(x) est continue ;
  3. pour tout x ∈ I, il existe une application k_x ∈ E vérifiant,
∀f ∈ E, f(x) = ⟨k_x, f⟩.
On appelle alors noyau reproduisant l'application K définie par
∀(x, t) ∈ I^2, K(x, t) = k_x(t).
Soit [a, b] un segment de ℝ. On dit qu'une fonction f : [a, b] → ℝ est de classe C^1 par morceaux s'il existe une subdivision (x_i)_(0 ⩽ i ⩽ p) de [a, b] telle que, pour tout i ∈ [ [1, p] ], la restriction de f à ]x_(i − 1), x_i [ se prolonge en une fonction de classe C^1 sur [x_(i − 1), x_i].

I Préliminaires

Soit ( E, ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ ) un espace préhilbertien réel, de norme associée ‖ ⋅ ‖. Soit u un endomorphisme de E vérifiant,
∀(x, y) ∈ E^2, ⟨u(x), y⟩ = ⟨x, u(y)⟩.
Q 1. Soit F un sous-espace vectoriel de E stable par u. Montrer que l'orthogonal F^⊥ de F est stable par u. On suppose qu'il existe un vecteur unitaire x_0 ∈ F vérifiant
⟨u(x_0), x_0⟩ = sup_(x ∈ F, ‖x‖ = 1)⟨u(x), x⟩.
Pour tout vecteur unitaire y ∈ F orthogonal à x_0, on pose, pour tout réel t,
γ(t) = x_0 cost + ysint; φ(t) = ⟨u ∘ γ(t), γ(t)⟩
Q 2. Montrer que φ est de classe C^1.
Q 3. Calculer ‖γ(t)‖ puis justifier que φ^′(0) = 0.
Q 4. En déduire que u(x_0) est orthogonal à y.
Q 5. Montrer que x_0 est vecteur propre de u.

II Étude d'un opérateur

Dans cette partie, E désigne l'espace vectoriel des fonctions f : [0, 1] → ℝ continues, muni du produit scalaire défini par,
∀(f, g) ∈ E^2, ⟨f, g⟩ = ∫_0^1 f(t)g(t)dt
On note ‖ ⋅ ‖ la norme associée au produit scalaire.
Pour tout s ∈ [0, 1], on définit la fonction k_s par,
∀t ∈ [0, 1], k_s(t) = {t(1 − s), si t < s; s(1 − t), si t ⩾ s
On note également, pour tout (s, t) ∈ [0, 1]^2, K(s, t) = k_s(t).
Q 6. Soit s ∈ ]0, 1[. Tracer la courbe représentative de k_s sur [0, 1].
Q 7. Montrer que K est continue sur [0, 1] × [0, 1].
Pour tout f ∈ E, on pose,
∀s ∈ [0, 1], T(f)(s) = ∫_0^1 k_s(t)f(t)dt
Q 8. Montrer que T est un endomorphisme continu de E.
Soit F le sous-espace vectoriel de E formé des fonctions polynomiales. Pour k ∈ ℕ, on note p_k la fonction définie parp_k(x) = x^k.
Q 9. Pour tout k ∈ ℕ, calculer T(p_k). En déduire que F est stable par T.
Q 10. En déduire (T(p))^(′′) pour tout p ∈ F.
Q 11. Soit f ∈ E. Calculer T(f)(0) et T(f)(1).
Q 12. Pour tout f ∈ E, montrer que T(f) est de classe C^2 puis que T(f)^(′′) = − f.
Q 13. Montrer que T est injectif.
Q 14. Déterminer l'image de T.
Q 15. Soit λ ∈ ℝ une valeur propre non nulle de T et f un vecteur propre associé. Montrer que f est solution de l'équation différentielle λf^(′′) = − f.
Q 16. Déterminer les valeurs propres de T et montrer que les sous-espaces propres associés sont de dimension 1.
Pour tout k ∈ ℕ^∗, on pose g_k(x) = √2sin(kπx). On note G = Vect((g_k)_(k ∈ ℕ^∗)) et H = G^⊥.
Q 17. Justifier que, pour tout (f, g) ∈ E^2, on a
⟨T(f), g⟩ = ⟨f, T(g)⟩
On pourra utiliser la question 12.
On admet que,
H ≠ {0} ⟹ ∃f ∈ H telle que {‖f‖ = 1,; ⟨T(f), f⟩ = sup_(h ∈ H, ‖h‖ = 1)⟨T(h), h⟩
Q 18. En déduire que H = {0}.
Q 19. Montrer que la famille de vecteurs (g_k)_(k ∈ ℕ^∗) est orthonormale.
On admet pour la suite que (g_k)_(k ∈ ℕ^∗) est une suite totale.
Pour tout f ∈ E, on pose,
∀x ∈ [0, 1], Φ(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(k^2 π^2)⟨f, g_k⟩g_k(x)
Q 20. Montrer que Φ est continue.
Pour tout N ∈ ℕ, on pose f_N = ∑_(k = 1)^N⟨f, g_k⟩g_k.
Q 21. Montrer que
lim_(N → + ∞)‖T(f_N) − Φ‖ = 0
Q 22. En déduire T(f) = Φ.

III Exemples d'espaces à noyau reproduisant

Dans cette partie, E_1 désigne l'espace vectoriel des fonctions f : [0, 1] → ℝ continues, de classe C^1 par morceaux, et vérifiant f(0) = f(1) = 0.

III.A - Un exemple

Q 23. Montrer que l'on définit un produit scalaire sur E_1 en posant
∀(f, g) ∈ (E_1)^2, (f|g) = ∫_0^1 f^′(t)g^′(t)dt
Dans la suite de cette partie, on désigne par N la norme associée à ce produit scalaire.
Q 24. Montrer que, pour toute fonction f : [0, 1] → ℝ de classe C^1 telle que f(0) = 0, on a
∀x ∈ [0, 1] |f(x)| ⩽ √(x∫_0^x(f^′(t))^2 dt)
On pose, pour tout f ∈ E_1,
U(f)(s) = ∫_0^1 k_s^′(t)f^′(t)dt
où k_s a été défini dans la partie précédente.
Q 25. Soit f ∈ E_1 de classe C^2. Montrer que U(f) = − T(f^(′′)). En déduire que U(f) = f.
Q 26. Montrer que U est l'application identité de E_1.
Q 27. Démontrer que l'espace préhilbertien (E_1, (⋅ | ⋅)) est un espace à noyau reproduisant et que son noyau reproduisant est l'application K définie dans la partie précédente.

III.B - Un contre-exemple

On considère à nouveau l'espace E des fonctions continues de [0, 1] dans ℝ, muni du produit scalaire défini par
⟨f, g⟩ = ∫_0^1 f(t)g(t)dt
Q 28. Montrer que ( E, ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ ) n'est pas un espace à noyau reproduisant.

III.C - Fonctions développables en série entière

Q 29. Soit (a_n)_n ∈ ℝ^ℕ une suite de réels telle que la série ∑(a_n)^2 soit convergente.
Montrer que le rayon de convergence de la série entière ∑a_n t^n est supérieur ou égal à 1 .
Dans la suite de cette sous-partie, on considère l'ensemble E_2 des fonctions de ] − 1, 1[ dans ℝ de la forme
t ↦ ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n t^n
où (a_n)_n ∈ ℝ^ℕ et ∑(a_n)^2 convergente. Pour f, g ∈ E_2, on pose
⟨f, g⟩ = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n b_n où f : t ↦ ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n t^n et g : t ↦ ∑_(n = 0)^(+ ∞)b_n t^n.
Q 30. Montrer que E_2 muni de ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ est un espace préhilbertien réel.
Q 31. Soit x ∈ ] − 1, 1[. Déterminer g_x ∈ E_2 tel que, pour tout f ∈ E_2,
f(x) = ⟨g_x, f⟩
Q 32. En déduire que E_2 est un espace à noyau reproduisant et préciser son noyau.

III.D - Autre exemple parmi les fonctions de classe C^1 par morceaux

On se donne dans cette sous-partie un réel a > 0.
On considère l'espace E_3 des fonctions f : [0, a] → ℝ, continues et de classe C^1 par morceaux sur [0, a], et vérifiant f(0) = 0. On munit E_3 du produit scalaire défini, pour f, g ∈ E_3, par
(f|g) = ∫_0^a f^′(t)g^′(t)dt
Q 33. Montrer que la fonction (x, y) ↦ min(x, y) est un noyau reproduisant sur (E_3, (⋅ | ⋅)).
Soit E_4 l'espace des fonctions continues sur [0, a], à valeurs dans ℝ, de classe C^1 par morceaux et vérifiant de plus f(a) = 0. Soit φ : [0, a] → ℝ de classe C^1 vérifiant φ(a) = 0 et, pour tout x ∈ [0, a], φ^′(x) < 0.
Q 34. Déterminer un produit scalaire sur E_4 tel que la fonction (x, y) ↦ min(φ(x), φ(y)) soit un noyau reproduisant sur l'espace préhilbertien E_4.

IV Quelques résultats sur les espaces à noyau reproduisant

IV.A - Continuité

Soit (E, ⟨ ⋅, ⋅ ⟩) un espace à noyau reproduisant sur un intervalle I, de noyau reproduisant K. Pour tout (x, y) ∈ I^2, on pose k_x(y) = K(x, y).
Soit x ∈ I et V_x définie sur E par V_x(f) = f(x). On pose
N(V_x) = sup_(‖f‖ = 1)|f(x)|.
Q 35. Démontrer que
N(V_x) = √(⟨k_x, k_x⟩).
On suppose que K est continue sur I × I.
Q 36. Démontrer que toutes les fonctions de E sont continues.

IV.B - Construction d'un espace à noyau reproduisant

On note ici E l'espace vectoriel des fonctions continues définies sur [0, 1] et à valeurs dans ℝ muni du produit scalaire défini par
⟨f, g⟩ = ∫_0^1 f(t)g(t)dt.
On considère une fonction A : [0, 1] × [0, 1] → ℝ continue. On s'intéresse à l'application T : E → E définie par
T(f)(x) = ∫_0^1 A(x, t)f(t)dt
On suppose que kerT est de dimension finie.
Q 37. Justifier que T induit un isomorphisme de (kerT)^⊥ sur ImT.
On note désormais S la bijection réciproque de cet isomorphisme.
On définit le produit scalaire φ sur ImT en posant, pour tout (f, g) ∈ (ImT)^2,
φ(f, g) = ⟨S(f), S(g)⟩
On considère l'application K définie sur [0, 1]^2 par
K(x, y) = ∫_0^1 A(x, t)A(y, t)dt
Q 38. Montrer que ( ImT, φ ) est un espace à noyau reproduisant, de noyau K.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet Centrale maths 2 MP 2020 ?
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Sur quoi porte le sujet Centrale maths 2 MP 2020 ?

Sur les espaces à noyau reproduisant : espaces préhilbertiens de fonctions où la convergence en norme entraîne la convergence simple. Le cœur du sujet est l'étude d'un opérateur intégral sur les fonctions continues de [0,1].

Quels chapitres réviser pour Centrale maths 2 MP 2020 ?

Les espaces préhilbertiens, les endomorphismes symétriques, la continuité dans les espaces vectoriels normés, les intégrales à paramètre, les équations différentielles du second ordre, la convergence normale et les séries entières. Le rapport note l'absence de probabilités cette année.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en Centrale maths 2 MP 2020 ?

Des confusions entre notions de continuité (Q7, Q8, Q27), l'extension de résultats de dimension finie (Q14), des équations différentielles mal résolues (Q16) et des formules trigonométriques fausses (Q19).

Faut-il traiter tout le sujet Centrale maths 2 MP 2020 ?

Non : le jury n'attend pas la résolution de toutes les questions. La quatrième partie a été très peu abordée et la question 34 est jugée la plus difficile.

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