WikiPrépaLivrets

Centrale Mathématiques 2 MP 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

Inégalités de Bernstein

Pas encore noté
Faisable en Sup
Logo concours Centrale

Explorer les annales

BanqueCentraleAnnée2021FilièreMPMatièreMathématiques
Annales Centrale MP MathématiquesCentrale MP 2021MP MathématiquesMathématiques 2021

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Corrigé 2
Corrigé 3
Corrigé 4
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Inégalités de Bernstein : polynômes trigonométriques, inégalité de Markov et transformée de Fourier
Afficher ou masquer la section

Le sujet étudie les inégalités de Bernstein sous deux formes indépendantes. La partie I part des polynômes de Tchebychev, établit l'inégalité de Bernstein pour les polynômes trigonométriques grâce à une formule d'interpolation, puis en déduit l'inégalité de Markov pour les polynômes algébriques. La partie II démontre une version pour des fonctions localisées en fréquence, à l'aide de la transformée de Fourier, du produit de convolution et d'une fonction plateau.

  1. 1Partie I : inégalité polynomiale de Bernstein et applicationsPolynômes de Tchebychev, formule d'interpolation, racines 2n-ièmes de −1, inégalité de Bernstein puis de Markov (Q1 à Q19).
  2. 2Partie II : inégalités de Bernstein et transformée de FourierTransformée de Fourier, produit de convolution, fonction plateau de classe C∞ et inégalités de Bernstein pour des fonctions localisées en fréquence (Q20 à Q34).

Difficulté moyenne. Le jury juge le sujet long mais ses questions très abordables, à l'exception de quelques questions difficiles (Q14, Q27) voire très difficiles (Q30).

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,03 / 20 · écart-type 4,19 · 4 917 présents · où vous situez-vous ?
Afficher ou masquer la section
Moyenne
9,03/ 20
Écart-type
4,19
Présents
4 917
Coefficient
17
Durée
4 h
1er quartile
6
Médiane
8,7
3e quartile
12
moyenne 9,0305101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 23 avril 2021. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Récurrence mal posée · Dérivée d'une composée · Factorisation de X^{2n} + 1
Afficher ou masquer la section

Le sujet, long et nettement orienté analyse, couvrait une large part du programme. La plupart des candidats ont compris les questions et fait des tentatives raisonnables, mais la seconde partie a été beaucoup moins traitée que la première. Environ un dixième des copies a subi un malus de présentation.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Récurrence mal poséeQ1

    La nature de la récurrence (simple, double ou forte), l'hypothèse et l'initialisation doivent être explicites ; la formule du degré d'une somme n'est vraie que pour des degrés distincts.

  2. 2
    Dérivée d'une composéeQ5 et Q15

    Beaucoup confondent la dérivée de θ ↦ T_n(cos θ) avec T_n'(cos θ), ce qui donne une formule fausse.

  3. 3
    Factorisation de X^{2n} + 1Q9

    Les racines 2n-ièmes de −1 sont celles de X^{2n} + 1, pas de X^{2n} − 1 ; l'exponentielle n'est pas injective sur C.

    « Les racines2n-ièmes de−1 sont les racines du polynôme »
  4. 4
    Symbole somme et indicesQ12

    Plus de la moitié des copies ont des difficultés de rédaction liées à la gestion des indices dans les sommes finies.

  5. 5
    Intégrabilité mal justifiéeQ20 à Q23

    Le produit de deux fonctions intégrables n'est pas intégrable en général ; un nombre complexe ne se majore pas sans passer au module.

    « il a été trop souvent affirmé que le produit de deux fonctions intégrables sur »
  6. 6
    Classe C^k en 0 non justifiéeQ27

    Montrer que la dérivée k-ième tend vers 0 ne prouve pas la continuité en 0 ; il faut citer le théorème de la limite de la dérivée ou le théorème C^k par prolongement.

    « Cela ne prouve pas (encore) la continuité de »

Ce qui a été bien réussi

  • La sous-partie sur les polynômes de Tchebychev (Q1 à Q4) est globalement bien réussie.
  • Les questions Q7, Q8, Q10, Q11 et Q15 sont globalement bien traitées.
  • La formule de trigonométrie de Q13 est gérée de façon très satisfaisante dans la plupart des copies.
  • Le jury salue l'usage des formules d'Euler (Q2, Q5) et des représentations graphiques non demandées (Q29, Q30).

Conseils du jury

  • Rédiger une récurrence en précisant sa nature, l'hypothèse, l'initialisation et l'hérédité.
  • Distinguer une application f et le nombre f(x), ainsi que f et sa transformée de Fourier.
  • Énoncer toutes les hypothèses des théorèmes sur les intégrales à paramètre, notamment la domination.
  • Tracer des allures de courbes et lire chaque question en entier, indications comprises.
  • Parcourir les questions suivantes ; une réponse fait rarement une ligne.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

Inégalités de Bernstein

Le but de ce problème est d'étudier les inégalités dites de Bernstein dans deux cadres différents.
La première partie s'intéresse à la démonstration de l'inégalité de Bernstein pour les polynômes et à certaines applications. La deuxième partie introduit la notion de transformée de Fourier et permet d'établir une inégalité de Bernstein pour des fonctions dont la transformée de Fourier vérifie certaines propriétés.
Les deux parties de ce sujet sont complètement indépendantes et peuvent être traitées dans l'ordre désiré.

I Inégalité polynomiale de Bernstein et applications

Dans cette partie,
  • si n ∈ ℕ, on note ℂ_n[X] le ℂ-espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à n;
  • si n ∈ ℕ^∗, on note S_n le ℂ-espace vectoriel des fonctions f : ℝ → ℂ vérifiant
∃(a_0, …, a_n) ∈ ℂ^(n + 1), ∃(b_1, …, b_n) ∈ ℂ^n, ∀t ∈ ℝ, f(t) = a_0 + ∑_(k = 1)^n(a_k cos(kt) + b_k sin(kt)).
On remarque que les éléments de S_n sont des fonctions bornées;
  • si I est un intervalle non vide de ℝ et si f est une fonction bornée de I dans ℂ, on note
‖f‖_(L^∞(I)) = sup_(x ∈ I)|f(x)|.
On admet que f ↦ ‖f‖_(L^∞(I)) définit une norme sur le ℂ-espace vectoriel des fonctions bornées de I dans ℂ.

I.A - Polynômes de Tchebychev

On définit la suite de polynômes (T_n)_(n ∈ ℕ) par T_0 = 1, T_1 = X et ∀n ∈ ℕ, T_(n + 2) = 2XT_(n + 1) − T_n.
Q 1. Pour tout n dans ℕ, déterminer le degré de T_n, puis montrer que (T_k)_(0 ⩽ k ⩽ n) est une base de ℂ_n[X].
Q 2. Montrer que, pour tous n ∈ ℕ et θ ∈ ℝ, T_n(cosθ) = cos(nθ).
Q 3. En déduire que, pour tous n ∈ ℕ et P ∈ ℂ_n[X], la fonction de ℝ dans ℂ, θ ↦ P(cosθ) est dans S_n.
Q 4. Pour n ∈ ℕ, calculer ‖T_n‖_(L^∞([ − 1, 1])).
Q 5. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, ‖T_n^′‖_(L^∞([ − 1, 1])) = n^2.
On pourra commencer par établir que, pour tous n ∈ ℕ et θ ∈ ℝ, |sin(nθ)| ⩽ n|sinθ|.

I.B - Inégalité de Bernstein

Soit n un entier naturel non nul.
Q 6. Soit A ∈ ℂ_(2n)[X], scindé à racines simples, et ( α_1, …, α_(2n) ) ses racines. Montrer que
∀B ∈ ℂ_(2n − 1)[X], B(X) = ∑_(k = 1)^(2n)B(α_k)(A(X))/((X − α_k)A^′(α_k)).
Soit P dans ℂ_(2n)[X], et, pour tout λ ∈ ℂ, P_λ(X) = P(λX) − P(λ).
Q 7. Si λ ∈ ℂ, vérifier que X − 1 divise P_λ.
Pour tout λ dans ℂ, on note Q_λ le quotient de P_λ par X − 1 :
Q_λ(X) = (P(λX) − P(λ))/(X − 1) ∈ ℂ_(2n − 1)[X].
Q 8. Montrer que, pour tout λ dans ℂ, Q_λ(1) = λP^′(λ).
On considère le polynôme R(X) = X^(2n) + 1. Pour k dans [ [1, 2n] ], on note φ_k = π/(2n) + (kπ)/n et ω_k = e^(iφ_k).
Q 9. Montrer que
R(X) = ∏_(k = 1)^(2n)(X − ω_k)
Q 10. À l'aide de la formule (I.1), montrer que
∀λ ∈ ℂ, Q_λ(X) = − 1/(2n)∑_(k = 1)^(2n)(P(λω_k) − P(λ))/(ω_k − 1)(X^(2n) + 1)/(X − ω_k)ω_k
puis en déduire que
∀λ ∈ ℂ, λP^′(λ) = 1/(2n)∑_(k = 1)^(2n)P(λω_k)(2ω_k)/((1 − ω_k)^2) − (P(λ))/(2n)∑_(k = 1)^(2n)(2ω_k)/((1 − ω_k)^2)
Q 11. Montrer que
∀λ ∈ ℂ, λP^′(λ) = 1/(2n)∑_(k = 1)^(2n)P(λω_k)(2ω_k)/((1 − ω_k)^2) + nP(λ)
On pourra appliquer l'égalité (I.2) au polynôme X^(2n).
Soit maintenant f dans S_n.
Q 12. Montrer qu'il existe U ∈ ℂ_(2n)[X] tel que, pour tout θ ∈ ℝ, f(θ) = e^(− inθ)U(e^(iθ)).
Q 13. Vérifier que, pour tout k ∈ [ [1, 2n] ], (2ω_k)/((1 − ω_k)^2) = (− 1)/(2sin(φ_k/2)^2) et déduire des questions 11 et 12 que
∀θ ∈ ℝ, f^′(θ) = 1/(2n)∑_(k = 1)^(2n)f(θ + φ_k)((− 1)^k)/(2sin(φ_k/2)^2)
Q 14. En déduire que
∀θ ∈ ℝ, |f^′(θ)| ⩽ n‖f‖_(L^∞(ℝ))

I.C - Quelques conséquences de l'inégalité (I.4)

Soit n un entier naturel non nul.
Q 15. Déduire des questions 3 et 14 que
∀P ∈ ℂ_n[X], ∀x ∈ [ − 1, 1], |P^′(x)√(1 − x^2)| ⩽ n‖P‖_(L^∞([ − 1, 1]))
Q 16. Montrer que
∀Q ∈ ℂ_(n − 1)[X], |Q(1)| ⩽ nsup_(− 1 ⩽ x ⩽ 1)|Q(x)√(1 − x^2)|
On pourra considérer f : θ ↦ Q(cosθ)sinθ et vérifier que f ∈ S_n.
Q 17. Soit R ∈ ℂ_(n − 1)[X] et t ∈ [ − 1, 1]. Montrer que
|R(t)| ⩽ nsup_(− 1 ⩽ x ⩽ 1)|R(x)√(1 − x^2)|
On pourra considérer le polynôme S_t(X) = R(tX).
Q 18. En déduire que, pour tout P dans ℂ_n[X],
‖P^′‖_(L^∞([ − 1, 1])) ⩽ n^2‖P‖_(L^∞([ − 1, 1]))
Q 19. Peut-il y avoir égalité dans l'inégalité précédente ?

II Inégalités de Bernstein et transformée de Fourier

Dans cette partie,
  • pour k ∈ ℕ, on dit qu'une fonction f de ℝ dans ℂ est de classe C^k si elle est k fois dérivable sur ℝ, de dérivée k-ième continue sur ℝ (si k = 0, f est continue) ; on dit que f est C^∞ si f est C^k pour tout k ∈ ℕ. On note C^k(ℝ) (respectivement C^∞(ℝ) ) l'ensemble des fonctions de classe C^k (respectivement C^∞ ) sur ℝ;
  • on note L^1(ℝ) l'ensemble des fonctions de ℝ dans ℂ continues et intégrables sur ℝ;
  • pour f ∈ L^1(ℝ), on note ‖f‖_1 = ∫_(− ∞)^(+ ∞)|f(t)|dt;
  • on note L^∞(ℝ) l'ensemble des fonctions de ℝ dans ℂ continues et bornées sur ℝ;
  • pour f ∈ L^∞(ℝ), on note ‖f‖_∞ = sup_(x ∈ ℝ)|f(x)|.
On admet que L^1(ℝ), L^∞(ℝ) et C^k(ℝ)(k ∈ ℕ) sont des sous-espaces vectoriels de ℂ^ℝ. On admet également que f ↦ ‖f‖_1 définit une norme sur L^1(ℝ) et que f ↦ ‖f‖_∞ définit une norme sur L^∞(ℝ). On dispose ainsi des espaces vectoriels normés ( L^1(ℝ), ‖ ⋅ ‖_1 ) et ( L^∞(ℝ), ‖ ⋅ ‖_∞ ).

II.A - Transformée de Fourier d'une fonction

Soit f ∈ L^1(ℝ). On appelle transformée de Fourier de f et on note f^ la fonction de ℝ dans ℂ telle que
∀ξ ∈ ℝ, f^(ξ) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x)e^(− ixξ) dx
Q 20. Montrer que, pour toute fonction f ∈ L^1(ℝ), f^ est définie et continue sur ℝ.
Q 21. Montrer que l'application f ↦ f^ est une application linéaire continue de l'espace vectoriel normé ( L^1(ℝ), ‖ ⋅ ‖_1 ) dans l'espace vectoriel normé ( L^∞(ℝ), ‖ ⋅ ‖_∞ ).
Q 22. Soit f ∈ L^1(ℝ), λ ∈ ℝ_+^∗ et soit g la fonction de ℝ dans ℂ telle que g(x) = f(λx) pour tout réel x. Montrer que g ∈ L^1(ℝ) et, pour tout réel ξ, exprimer g^(ξ) à l'aide de f^, de ξ et de λ.

II.B - Produit de convolution

Si f et g sont deux fonctions continues de ℝ dans ℂ telles que, pour tout x ∈ ℝ, la fonction t ↦ f(t)g(x − t) soit intégrable sur ℝ, on appelle produit de convolution de f et g, et on note f∗g, la fonction de ℝ dans ℂ telle que
∀x ∈ ℝ, (f∗g)(x) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(t)g(x − t)dt
On suppose désormais et jusqu'à la fin de la sous-partie II.B que f ∈ L^1(ℝ) et g ∈ L^∞(ℝ).
Q 23. Montrer que f∗g est définie sur ℝ et que
∀x ∈ ℝ, (f∗g)(x) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x − t)g(t)dt = (g∗f)(x)
Q 24. Montrer que f∗g est bornée et que ‖f∗g‖_∞ ⩽ ‖f‖_1‖g‖_∞.
Q 25. Soit k ∈ ℕ. Montrer que, si g est de classe C^k et si les fonctions g^((j)) sont bornées pour j ∈ [ [0, k] ], alors f∗g est de classe C^k et (f∗g)^((k)) = f∗(g^((k))).
Q 26. On suppose toujours que f ∈ L^1(ℝ) et g ∈ L^∞(ℝ) et on suppose de plus que g ∈ L^1(ℝ) et f∗g ∈ L^1(ℝ). En admettant que, pour tout ξ réel,
∫_(− ∞)^(+ ∞)(∫_(− ∞)^(+ ∞)e^(− ixξ)f(t)g(x − t)dt)dx et ∫_(− ∞)^(+ ∞)(∫_(− ∞)^(+ ∞)e^(− ixξ)f(t)g(x − t)dx)dt
existent et sont égales, montrer que f∗gˆ = f^g^.

II.C - Introduction d'une fonction plateau

On cherche dans cette sous-partie à construire une fonction réelle positive ρ, définie et de classe C^∞ sur ℝ, telle que ρ(t) = 1 pour tout t ∈ [ − 1, 1] et ρ(t) = 0 pour tout t ∈ ℝ∖[ − 2, 2].
Soit φ la fonction définie sur ℝ par
∀t ∈ ℝ, φ(t) = {0, si t ⩽ 0; e^(− 1/t), sinon
Q 27. Montrer que φ est de classe C^∞ sur ℝ.
On pourra montrer que: ∀k ∈ ℕ, ∃P_k ∈ ℝ[X], ∀t > 0, φ^((k))(t) = P_k(1/t)e^(− 1/t).
Soit ψ la fonction définie sur ℝ par
∀t ∈ ℝ, ψ(t) = {0, si t ∉ ] − 1, 1[; e^(1/(t^2 − 1)), sinon.
Q 28. Montrer, en l'exprimant à l'aide de φ, que ψ est de classe C^∞.
Q 29. Soit θ l'unique primitive de ψ s'annulant en 0 . Montrer que θ est de classe C^∞, constante sur ] − ∞, − 1] (on note A cette constante) et constante sur [1, + ∞[ (on note B cette constante). Vérifier que A ≠ B.
Q 30. Construire alors une fonction ρ ∈ C^∞(ℝ), constante égale à 1 sur [ − 1, 1] et constante égale à 0 sur ℝ∖[ − 2, 2].

II.D - Inégalités de Bernstein

On admet les formules suivantes, dites formules d'inversion de Fourier :
  • si f ∈ L^1(ℝ) et si f^ ∈ L^1(ℝ), alors, pour tout x ∈ ℝ, f(x) = 1/(2π)∫_(− ∞)^(+ ∞)e^(ixξ)f^(ξ)dξ;
    — si α ∈ L^1(ℝ), si a est la fonction de ℝ dans ℂ : x ↦ 1/(2π)∫_(− ∞)^(+ ∞)e^(ixξ)α(ξ)dξ, et si a ∈ L^1(ℝ), alors α = a^.
    On remarque que ces résultats permettent d'affirmer que, si f et g sont deux fonctions continues telles que f, g, f^ et g^ sont intégrables et si f^ = g^, alors f = g.
    On considère toujours la fonction ρ définie à la question 30 .
    Soit r la fonction de ℝ dans ℂ telle que, pour tout réel x,
r(x) = 1/(2π)∫_(− ∞)^(+ ∞)e^(ixξ)ρ(ξ)dξ
Q 31. Montrer que r est dérivable sur ℝ et donner une expression de sa fonction dérivée (faisant éventuellement intervenir une intégrale).
Q 32. Montrer que x ↦ x^2 r(x) est bornée sur ℝ et en déduire que r est intégrable et bornée sur ℝ.
On admet qu'en utilisant la même méthode, on montre que r^′ est intégrable et bornée sur ℝ.
Soit λ > 0 et soit f ∈ L^1(ℝ) ∩ C^1(ℝ) telle que f^ ∈ L^1(ℝ) et telle que f^ soit nulle en dehors du segment [ − λ, λ]. On note r_λ la fonction de ℝ dans ℂ telle que r_λ(x) = r(λx) pour tout réel x.
Q 33. On admet que f∗r_λ est intégrable. Montrer que f = λf∗r_λ.
Q 34. En déduire que, si f ∈ L^∞(ℝ), il existe une constante C ∈ ℝ_+^⋆, indépendante de λ et de f, telle que
‖f^′‖_∞ ⩽ Cλ‖f‖_∞

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet Centrale Maths 2 MP 2021 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quoi porte le sujet Centrale Maths 2 MP 2021 ?

Sur les inégalités de Bernstein : polynômes de Tchebychev et polynômes trigonométriques en partie I, puis transformée de Fourier, convolution et fonctions localisées en fréquence en partie II.

Le sujet Centrale Maths 2 MP 2021 est-il difficile ?

Il est long mais ses questions sont jugées très abordables par le jury. Les questions Q14 et Q27 sont difficiles et Q30 est la plus difficile, réussie dans environ 200 copies.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en Maths 2 Centrale MP 2021 ?

Récurrences mal rédigées, confusion dans la dérivée d'une composée, mauvaise factorisation de X^{2n} + 1, mauvaise gestion des indices et des modules, et intégrabilité mal justifiée.

Quelle partie a été la moins traitée en Centrale Maths 2 MP 2021 ?

La partie II, sur la transformée de Fourier, bien que de longueur équivalente à la première. Les trois dernières questions ont été réussies dans une centaine de copies environ.

Pas de description pour le moment