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Mines Mathématiques 2 MP MPI 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

Fonction de Wallis

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
La fonction de Wallis : régularité, asymptotique, développement en série entière et caractérisation par convexité logarithmique
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Le sujet étudie la fonction de Wallis sous de nombreux aspects : domaine de définition, régularité, variations, convexité, développement en série entière, puis caractérisation par une relation fonctionnelle. Il mobilise presque tout le programme d'analyse de première et deuxième année, avec une longueur et une difficulté jugées raisonnables par le jury.

  1. 1Partie 1 : calcul de σ(1)première et deuxième annéeÉtude d'une série entière utile pour la suite et calcul de ζ(2) par une méthode classique.
  2. 2Partie 2 : équivalentsdeuxième annéeDomaine de définition, variations et comportement asymptotique de f à l'aide des corollaires de la convergence dominée, puis tracé de sa courbe.
  3. 3Partie 3 : développement en série entièredeuxième annéeÉquivalent simple des dérivées successives de f en 0 et développement de f en série entière au voisinage de 0.
  4. 4Partie 4 : convergence de suite de fonctionsdeuxième annéeCalcul précis de f''(0), plus technique, via la formule de Parseval non nommée et la convergence dominée.
  5. 5Partie 5 : convexité logarithmiquepremière et deuxième annéeUnicité de la fonction log-convexe vérifiant une relation fonctionnelle, grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale, puis une généralisation.

Difficulté moyenne. Le jury qualifie la difficulté et la longueur de raisonnables, avec des techniques conformes au programme ; les parties 4 et 5, plus techniques, ont été peu abordées.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 11,71 / 20 · écart-type 4,02 · 5 091 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
11,71/ 20
Écart-type
4,02
Présents
5 091
Coefficient
5
Durée
4 h
moyenne 11,7105101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 3 mai 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Raccordement C1 mal justifié · Intégrabilité et intégrales impropres · Fonction de deux variables confondue avec ses fonctions partielles
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Beaucoup de copies montrent une méconnaissance du cours, un vocabulaire mal maîtrisé et un manque de rigueur (inégalités strictes et larges, quantificateurs absents). La présentation est souvent insuffisante et a été pénalisée. Un certain nombre de candidats tirent toutefois leur épingle du jeu grâce à la variété des questions.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Raccordement C1 mal justifiéQ3

    Prolonger par continuité une fonction ne suffit pas à établir sa classe C1 sans travail substantiel.

    « On ne peut pas se contenter de prolonger la dérivée de la fonction pour décréter »
  2. 2
    Intégrabilité et intégrales impropresQ4

    Intégrabilité et convergence de l'intégrale ne sont pas équivalentes a priori, et une intégration par parties sur un intervalle non borné exige des précautions.

    « une intégration par partie portant sur des intégrales impropres exige certaines précautions, très largement négligées ici »
  3. 3
    Fonction de deux variables confondue avec ses fonctions partiellesQ5

    Q5, première question délicate, a souffert d'hypothèses de positivité omises et d'arguments hors programme (critère de Bertrand).

    « La formule « par croissance comparée » est souvent bien trop laconique. »
  4. 4
    Développabilité en série entièreQ11

    Une série de Taylor de rayon non nul ne suffit pas ; une intégration terme à terme permettait de conclure.

    « le fait que sa série de Taylor ait un rayon de convergence strictement positif n’implique pas a priori que f est développable en série entière »
  5. 5
    Cauchy-Schwarz hors de son cadreQ16

    Le programme ne l'énonce que pour des intégrales sur un segment : il fallait passer à la limite. La stricte positivité de f est souvent éludée.

    « l’argument fallacieux rencontré ici : « intégrable car produit de deux fonctions intégrables »
  6. 6
    Convexité invoquée sans précisionQ18

    Les intervalles d'application doivent être indiqués, une figure explicative est appréciée.

    « Les correcteurs ne peuvent se contenter ici d’une simple phrase comme « par convexité » ou « d’après l’inégalité des trois pentes »

Ce qui a été bien réussi

  • Le calcul de f'(0), suggéré par l'énoncé, a été mené à bien par un nombre non négligeable de candidats (Q9).
  • Un nombre non négligeable de candidats a rédigé le raisonnement par récurrence de Q17.
  • Beaucoup de candidats pressentent la nécessité d'une intégration par parties en Q4.

Conseils du jury

  • Utiliser un brouillon et rendre une copie lisible, sans abréviations ni ratures.
  • Écrire les quantificateurs et distinguer inégalités strictes et larges.
  • Mentionner explicitement tout changement de variable, même sur un segment.
  • Vérifier les hypothèses des théorèmes et ne pas utiliser de résultats hors programme sans preuve.
  • Ne pas conclure sur un résultat de l'énoncé après des calculs erronés : le correcteur n'est jamais dupe.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2023

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Fonction de Wallis

Préliminaires

Dans tout le sujet, l'intervalle ] − 1, + ∞[ de R est appelé I et σ et f sont les fonctions, de R dans R, définies par :
σ(x) = ∑_(k = 1)^(+ ∞)(x^k)/(k^2)
et
f(x) = ∫_0^(π/2)(sin(t))^x dt
On se propose, dans cette épreuve, d'étudier f (domaine de définition, régularité, variations, convexité, développement éventuel en série entière,...) puis, dans la dernière partie, de montrer qu'elle est la seule fonction numérique à vérifier certaines propriétés.

1 Calcul de σ(1)

1▹ Déterminer le domaine de définition de σ puis justifier que σ est continue sur celui-ci.
2▹ Exhiber deux nombres réels α et β tels que :
∀n ∈ N^∗, ∫_0^π(αt^2 + βt)cos(nt)dt = 1/(n^2)
puis vérifier que si t ∈ ]0, π], alors :
∀n ∈ N^∗, ∑_(k = 1)^n cos(kt) = (sin(((2n + 1)t)/2))/(2sin(t/2)) − 1/2
3▹ Justifier que, si φ est une application de classe C^1 de [0, π] dans R, alors
lim_(x → + ∞)∫_0^π φ(t)sin(xt)dt = 0
et en conclure que
σ(1) = (π^2)/6

2 Équivalents

4▹ Déterminer le domaine de définition de f puis vérifier que
∀x ∈ I, (x + 1)f(x) = (x + 2)f(x + 2).
5- Justifier que f est de classe C^2, décroissante et convexe sur I.
6▹ Donner un équivalent simple de f(x) lorsque x tend vers -1 .
7▹ Montrer que pour tout entier naturel n,
f(n)f(n + 1) = π/(2(n + 1))
puis que :
f(x) ∼ _(x → + ∞)√(π/(2x))
8▹ Représenter graphiquement f en exploitant au mieux les résultats précédents.

3 Développement en série entière

Si n ∈ N, on note D_n l'intégrale généralisée ∫_0^(π/2)(ln(sin(t)))^n dt.
9▹ Justifier que, si n ∈ N, l'intégrale généralisée D_n est convergente, puis montrer que
D_1 = ∫_0^(π/2)ln(cos(t))dt
10▹ Calculer f^′(0) et f^′(1).
11▹ Vérifier que si n ∈ N^∗, alors
(− 1)^n D_n = ∫_0^(+ ∞)(u^n)/(√(e^(2u) − 1)) du
puis que
D_n ∼ _(n → + ∞)(− 1)^n n!
12▹ Démontrer que f est développable en série entière sur ] − 1, 1[.

4 Convergence de suite de fonctions

On se propose dans cette partie de calculer f^(′′)(0). Dans ce but, on considère deux nombres réels strictement positifs a et b, et on pose
ρ = (b − a)/(b + a)
On appelle Ψ l'application de R dans R définie par :
∀x ∈ R, Ψ(x) = ln(a^2 cos^2 x + b^2 sin^2 x).
13▹ Montrer que Ψ est de classe C^1 sur R, puis que pour tout x ∈ R,
Ψ^′(x) = 4∑_(k = 1)^(+ ∞)ρ^k sin(2kx)
14▹ En déduire que pour tout x ∈ R,
Ψ(x) = 2ln((a + b)/2) − 2∑_(k = 1)^(+ ∞)(cos(2kx))/kρ^k.
15▹ En conclure que
∫_0^π Ψ(x)^2 dx = 4π(ln((a + b)/2))^2 + 2πσ(ρ^2)
On définit les suites réelles (a_n)_(n ∈ N^∗) et (b_n)_(n ∈ N^∗) par
∀n ∈ N^∗, a_n = 1/(n + 1) et b_n = n/(n + 1).
16▹ Établir la convergence simple de la suite d'applications (Ψ_n)_(n ∈ N^∗), de ]0, π] dans R, définie par :
∀n ∈ N^∗, ∀t ∈ ]0, π], Ψ_n(t) = ln(a_n^2 cos^2 t + b_n^2 sin^2 t).
En déduire f^(′′)(0).

5 Convexité logarithmique

Une application h d'un intervalle non trivial J de R dans R est dite ln-convexe si, et seulement si, elle est à valeurs dans R_+^∗ et ln ∘ h est convexe sur J.
17▹ Vérifier que f est une application de I dans R ln-convexe.
On souhaite désormais déterminer toutes les applications de I dans R qui sont lnconvexes et qui vérifient la propriété (1), voir question 4.
On appelle f~ l'application de R_+dans R, définie par :
∀x ∈ R^+, f~(x) = ln(f(2x)).
18▹ Montrer que
∀p ∈ N^∗, ∀x ∈ R_+, f~(x + p) = f~(x) + ∑_(k = 0)^(p − 1)ln((2x + 2k + 1)/(2x + 2k + 2)).
19▹ On suppose ici que x ∈ R_+^∗, (n, p) ∈ (N^∗)^2 et x ⩽ p. Vérifier que
f~(n) − f~(n − 1) ⩽ (f~(n + x) − f~(n))/x ⩽ (f~(n + p) − f~(n))/p
et que (f~(n + x) − f~(n)) admet une limite lorsque n tend vers + ∞.
20▹ En conclure que f est la seule application de I dans R, qui soit ln-convexe, qui vérifie (1) et telle que
f(0) = π/2.
21▹ Plus généralement, déterminer, si T ∈ R_+^∗, toutes les applications g de ] − T, + ∞[ dans R, ln-convexes et vérifiant
∀t ∈ ] − T, + ∞[, (t + T)g(t) = (t + 2T)g(t + 2T)
22▹ Existe-t-il une application h, de R dans R et ln-convexe, vérifiant
∀t ∈ R, (t + T)h(t) = (t + 2T)h(t + 2T)?
  1. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
    Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 2 MP MPI 2023 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 2 MP MPI 2023 ?

Sur presque tout le programme d'analyse : séries entières, intégrales généralisées, intégrales à paramètre et convergence dominée, relations de comparaison, convexité et inégalité de Cauchy-Schwarz.

Quelles erreurs le jury des Mines a-t-il relevées en maths 2 MP 2023 ?

Des raccordements C1 non justifiés (Q3), des intégrations par parties impropres sans précaution (Q4), une confusion entre fonction de deux variables et fonctions partielles (Q5) et une série de Taylor prise pour un développement en série entière (Q11).

Le sujet Mines maths 2 MP 2023 est-il difficile ?

Le jury juge sa difficulté et sa longueur raisonnables. Les dernières parties, plus techniques, ont été peu abordées, et la dernière question, pourtant facile, très rarement traitée.

Le sujet Mines maths 2 MP 2023 est-il faisable en première année ?

Seulement en partie : le jury indique qu'il couvre l'analyse des deux années, et plusieurs parties reposent sur les séries entières et la convergence dominée, vues en deuxième année.

Pas de description pour le moment