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Centrale Mathématiques 2 MP MPI 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Approximation uniforme de la gaussienne, théorème central limite et inégalité de concentration
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Le sujet étudie une suite de fonctions constantes par morceaux qui converge uniformément sur R vers la densité gaussienne. Il en tire deux applications : une première version du théorème central limite pour des variables de Bernoulli et une inégalité de concentration. Les trois parties mêlent intégration, analyse asymptotique et probabilités.

  1. 1Partie I : résultats préliminairesdeuxième annéeCalcul de l'intégrale de Gauss par convergence dominée, équivalent de la queue de la gaussienne et inégalité maximale pour une somme de variables aléatoires indépendantes.
  2. 2Partie II : étude d'une suite de fonctionsdeuxième annéeConvergence uniforme sur R d'une suite de fonctions en escalier construites à partir de coefficients binomiaux vers la gaussienne.
  3. 3Partie III : applicationsdeuxième annéeSix questions établissant le théorème central limite et un critère de tension.

Difficile. Selon le jury, la partie III n'a été abordée que dans environ 33 % des copies à cause de questions délicates, et les questions probabilistes et asymptotiques ont causé beaucoup de difficultés.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,29 / 20 · écart-type 3,95 · 4 417 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,29/ 20
Écart-type
3,95
Présents
4 417
Coefficient
19
Durée
4 h
1er quartile
6,3
Médiane
9,2
3e quartile
12
moyenne 9,2905101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 12 mai 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Équivalents mal maîtrisés · Comparer l'intégrande au lieu de l'intégrale · Hypothèse de domination mal écrite
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Le sujet couvre un large spectre du programme, et le bilan est jugé globalement mitigé. Les questions élémentaires et de calcul ont été bien traitées, mais les questions probabilistes et celles de comportement asymptotique ont été moins bien maîtrisées que les années précédentes. Un malus a pénalisé les copies peu lisibles.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Équivalents mal maîtrisésQ4

    Prouver un équivalent revient presque toujours à montrer que le quotient tend vers 1 ; beaucoup de copies le reformulent à tort par une différence tendant vers 0.

    « beaucoup de lacunes sur les arguments qui concernent des comportements asymptotiques »
  2. 2
    Comparer l'intégrande au lieu de l'intégraleQ3

    Il fallait comparer une intégrale dépendant de n lorsque n tend vers l'infini, et non l'intégrande lorsque t tend vers l'infini.

    « Cela fait perdre toutes les informations de l’intégrale et ne peut pas aboutir. »
  3. 3
    Hypothèse de domination mal écriteQ8

    La domination doit être uniforme en n par une fonction intégrable fixe ; certaines copies, même très bonnes, vérifient une hypothèse plus faible. Les bornes d'intégration doivent aussi être fixées avant d'appliquer le théorème.

    « Il est plausible qu’une mauvaise maitrise des quantificateurs soit à l’origine de cette confusion. »
  4. 4
    Inégalités probabilistes affirmées sans preuveQ13, Q17

    La bonne décomposition d'un événement est souvent trouvée mais pas démontrée, et une inégalité clé est présentée comme évidente.

    « Dans de nombreuses copies, cette inégalité est considérée comme une évidence. »
  5. 5
    Parité supposée à tortQ20

    L'angle naturel consistait à invoquer la parité, mais la fonction étudiée n'est pas paire.

    « La question semble à priori très facile mais est sans doute l’une des plus difficiles du sujet »
  6. 6
    Gestion des termes en OQ22, Q23

    La partie formelle via Stirling est obtenue, mais le contrôle des restes est rarement satisfaisant ; en Q23, il fallait justifier que 1/(1+O(1/n)) = 1+O(1/n).

    « (plus difficile) est rarement écrite de façon satisfaisante. »

Ce qui a été bien réussi

  • Q1 et Q2 ont été globalement bien faites.
  • Q5, sans indication, a été très bien réussie grâce à une intégration par parties, tout comme Q7.
  • Q18, très facile, a été réussie dans la quasi-totalité des copies.
  • De nombreuses copies ont vu en Q20 que la fonction étudiée n'était pas paire, ce qui a été valorisé.

Conseils du jury

  • Travailler les relations de comparaison au-delà de leur définition : équivalents, O et développements limités simples.
  • Énoncer les hypothèses des théorèmes du cours utilisés : leur simple connaissance peut rapporter des points même si l'application est imparfaite.
  • Justifier une intégration par parties sur un intervalle non borné (bornes finies ou existence des limites du crochet).
  • Rendre une copie lisible, claire et propre pour éviter le malus.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

Notations

  • Dans tout le sujet, n désigne un entier naturel non nul.
  • Étant donnés deux entiers naturels a et b, on note [ [a, b] ] l'ensemble des entiers naturels k tels que a ⩽ k ⩽ b.
  • Pour deux suites de nombres réels (u_m)_(m ∈ ℕ) et (v_m)_(m ∈ ℕ), la notation u_m = O(v_m) signifie qu'il existe une suite bornée (M_m)_(m ∈ ℕ) telle que l'on ait
∃m_0 ∈ ℕ | ∀m ⩾ m_0, u_m = M_m v_m.
  • On pourra utiliser sans démonstration la formule suivante, qui précise la formule de Stirling lorsque n tend vers + ∞ :
n! = (n/e)^n√(2πn)(1 + O(1/n)).
Toutes les variables aléatoires considérées sont discrètes.

I Résultats préliminaires

I.A - Calcul d'une intégrale classique

Rappelons que n désigne un entier naturel non nul. On note
I_n = ∫_0^1 1/((1 + t^2)^n) dt et K_n = ∫_0^(+ ∞)1/((1 + t^2)^n) dt

I.A.1)

Q 1. Montrer que
I_n ⩾ 1/(2^n)
Q 2. Justifier l'existence de K_n et donner la valeur exacte de K_1.
Q 3. Montrer que
∫_1^(+ ∞)1/((1 + t^2)^n) dt = O(1/(n2^n))
On pourra minorer 1 + t^2 par un polynôme de degré 1 .
Q 4. En déduire que, lorsque n tend vers + ∞,
I_n ∼ K_n.
Q 5. Établir la relation de récurrence K_n = K_(n + 1) + 1/(2n)K_n.
Q 6. En déduire un équivalent simple de I_n lorsque n tend vers + ∞.

I.A.2)

Q 7. Justifier que
√nI_n = ∫_0^(√n)1/((1 + u^2/n)^n) du
Q 8. Montrer que
lim_(n → ∞)√nI_n = ∫_0^(+ ∞)e^(− u^2) du
Q 9. En déduire les valeurs de
∫_0^(+ ∞)e^(− u^2) du puis de ∫_(− ∞)^(+ ∞)e^(− u^2/2) du.
Dans toute la suite, on posera pour tout x réel
φ(x) = 1/(√(2π))e^(− x^2/2) et Φ(x) = ∫_(− ∞)^x φ(t)dt.

I.B - Comportement asymptotique de 1 − Φ

Soit x > 0.
Q 10. En écrivant que φ(t) ⩽ t/xφ(t) pour tout t ⩾ x, montrer que
∫_x^(+ ∞)φ(t)dt ⩽ (φ(x))/x.
Q 11. À l'aide de l'étude d'une fonction bien choisie, montrer que
x/(x^2 + 1)φ(x) ⩽ ∫_x^(+ ∞)φ(t)dt
Q 12. En déduire un équivalent simple de 1 − Φ(x) lorsque x tend vers + ∞.

I.C - Une inégalité maximale

Dans cette sous-partie, n est un entier naturel non nul et Z_1, …, Z_n sont des variables aléatoires discrètes indépendantes sur un espace probabilisé ( Ω, A, ℙ ).
Pour tout p ∈ [ [1, n] ], on note R_p = ∑_(i = 1)^p Z_i.
On va montrer la propriété
∀x > 0, ℙ({max_(1 ⩽ p ⩽ n)|R_p| ⩾ 3x}) ⩽ 3max_(1 ⩽ p ⩽ n)ℙ({|R_p| ⩾ x}).
On admet que les différentes fonctions intervenant dans cette inégalité sont bien des variables aléatoires discrètes.
Pour simplifier, notons A l'événement {max_(1 ⩽ p ⩽ n)|R_p| ⩾ 3x}. Ainsi,
A = {ω ∈ Ω|max_(1 ⩽ p ⩽ n)|R_p(ω)|⩾3x}.
Dans le cas où n ⩾ 2, définissons de plus les événements
A_1 = {|R_1| ⩾ 3x} et A_p = {max_(1 ⩽ i ⩽ p − 1)|R_i| < 3x} ∩ {|R_p| ⩾ 3x}
pour p ∈ [ [2, n] ].
Q 13. Exprimer l'événement A à l'aide des événements A_1, A_2, …, A_n.
Q 14. Montrer que l'on a
ℙ(A) ⩽ ℙ({|R_n| ⩾ x}) + ∑_(p = 1)^n ℙ(A_p ∩ {|R_n| < x}).
Q 15. Justifier que pour tout p ∈ [ [1, n] ], on a l'inclusion
A_p ∩ {|R_n| < x} ⊂ A_p ∩ {|R_n − R_p| > 2x}.
Q 16. En déduire que
ℙ(A) ⩽ ℙ({|R_n| ⩾ x}) + max_(1 ⩽ p ⩽ n)ℙ({|R_n − R_p| > 2x}).
Q 17. Conclure.

II Étude d'une suite de fonctions

Pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout k ∈ [ [0, n] ], on pose
x_(n, k) = − √n + (2k)/(√n).
De plus, on définit la fonction B_n : ℝ → ℝ par les conditions
∀x ∈ ] − ∞, − √n − 1/(√n)[,, B_n(x) = 0; ∀k ∈ [ [0, n] ], ∀x ∈ [x_(n, k) − 1/(√n), x_(n, k) + 1/(√n)[,, B_n(x) = (√n)/2(n/k)1/(2^n); ∀x ∈ [√n + 1/(√n), + ∞[,, B_n(x) = 0
L'objectif de cette partie est de montrer que la suite de fonctions (B_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge uniformément sur ℝ vers la fonction φ, définie dans la partie I. Autrement dit, on souhaite montrer
lim_(n → + ∞)Δ_n = 0 avec Δ_n = sup_(x ∈ ℝ)|B_n(x) − φ(x)|.
L'usage d'une figure pour appréhender la problématique de cette partie sera vivement apprécié.

II.A -

Q 18. Comparer les réels − x_(n, k) et x_(n, n − k).
Q 19. Justifier l'existence du réel Δ_n pour tout n ∈ ℕ^∗.
Q 20. Montrer que, pout tout n ∈ ℕ^∗, on a l'égalité
Δ_n = sup_(x ⩾ 0)|B_n(x) − φ(x)|.
Q 21. Pour tout n ∈ ℕ^∗, montrer que B_n est une application décroissante sur ℝ^+.
On pourra distinguer selon que n est pair ou impair.
Dans la suite de cette partie, on fixe ε > 0. La limite lim_(x → + ∞)φ(x) = 0 assure de l'existence d'un nombre ℓ ∈ ℝ^+ tel que φ(ℓ) ⩽ ε/2.
II.B - Dans cette sous-partie, on va montrer
lim_(n → + ∞)sup_(x ∈ [0, ℓ])|B_n(x) − φ(x)| = 0
On introduit pour cela l'ensemble
I_n = {k ∈ [ [0, n] ]|x_(n, k) ∈ [0, ℓ + 1]}
dont on peut vérifier que c'est un intervalle d'entiers.
Dans la suite de cette sous-partie, on suppose que n et k varient de sorte que k ∈ I_n.
Q 22. Montrer que l'on a
k!(n − k)! = 2πe^(− n)k^(k + 1/2)(n − k)^(n − k + 1/2)(1 + O(1/n))
pour n tendant vers l'infini.
On pourra utiliser la formule de Stirling rappelée en début d'énoncé.
Q 23. En déduire que, pour n tendant vers + ∞, on a
B_n(x_(n, k)) = 1/(√(2π))(1 + O(1/n))/(((2k)/n)^(k + 1/2)(2 − (2k)/n)^(n − k + 1/2))
Q 24. En déduire que
B_n(x_(n, k)) = 1/(√(2π))(1 + O(1/n))/((1 − (x_(n, k)^2)/n)^((n + 1)/2)(1 + (x_(n, k))/(√n))^((x_(n, k))/2√n)(1 − (x_(n, k))/(√n))^(− (x_(n, k))/2√n))
puis que
B_n(x_(n, k)) = 1/(√(2π))exp(− (x_(n, k)^2)/2)(1 + O(1/(√n))).
Q 25. Montrer qu'il existe un entier naturel n_1 tel que, pour tout entier n ⩾ n_1,
sup_(x ∈ [0, ℓ])|B_n(x) − φ(x)| ⩽ ε/2

II. C -

Q 26. Pour tout ℓ > 0, montrer qu'il existe un entier naturel n_2, tel que, pour tout n ⩾ n_2,
B_n(ℓ) ⩽ 2φ(ℓ).
Q 27. Conclure que la suite (Δ_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge vers 0 .

III Applications

Soit ( Ω, A, ℙ ) un espace probabilisé et X une variable aléatoire discrète sur ( Ω, A, ℙ ) telle que ℙ(X = − 1) = 1/2 et ℙ(X = 1) = 1/2. On considère une suite (X_i)_(i ∈ ℕ^∗) de variables aléatoires discrètes sur (Ω, A, ℙ), mutuellement indépendantes et de même loi que X. On définit alors
S_0 = 0 et ∀n ∈ ℕ^∗, S_n = ∑_(i = 1)^n X_i
On dit que (S_n)_(n ∈ ℕ) est une marche aléatoire symétrique sur ℤ. On admettra que pour tout n ⩾ 1, S_n est une variable aléatoire discrète sur (Ω, A, ℙ).

III.A - Théorème central limite

Soit I un intervalle de ℝ et (f_n)_(n ∈ ℕ^∗) une suite de fonctions continues par morceaux sur I qui converge uniformément sur I vers une fonction f également continue par morceaux sur I.
Q 28. Si (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) (respectivement (v_n)_(n ∈ ℕ^∗) ) est une suite de nombres réels appartenant à I qui converge vers u ∈ I (respectivement v ∈ I ), montrer que
lim_(n → + ∞)(∫_(u_n)^(v_n)f_n(x)dx) = ∫_u^v f(x)dx
On pose, pour tout i ∈ ℕ^∗, Y_i = (X_i + 1)/2 et T_n = ∑_(i = 1)^n Y_i.
Q 29. Montrer que, pour tout j ∈ [ [0, n] ],
ℙ({T_n = j}) = ∫_(x_(n, j) − 1/√n)^(x_(n, j) + 1/√n)B_n(x)dx
où x_(n, j) a été défini dans la partie II.
Considérons un couple ( u, v ) de réels tel que u < v, et notons
J_n = {j ∈ [ [0, n] ]| (n + u√n)/2 ⩽ j ⩽ (n + v√n)/2}.
Q 30. Justifier que
ℙ({u ⩽ (S_n)/(√n) ⩽ v}) = ∑_(j ∈ J_n)ℙ({T_n = j}).
Q 31. En déduire que l'on a
lim_(n → + ∞)ℙ({u ⩽ (S_n)/(√n) ⩽ v}) = ∫_u^v φ(x)dx
puis que
lim_(n → + ∞)ℙ({u ⩽ (S_n)/(√n)}) = 1 − Φ(u)
où les applications φ et Φ ont été définies dans la partie I .

III.B - Critère de tension

Dans cette dernière sous-partie, on fixe ε ∈ ]0, 1[.
Q 32. Montrer qu'il existe x_0 ⩾ 1 tel que l'on ait
∀x ⩾ x_0, ∃n_x ∈ ℕ, ∀n ⩾ n_x, x^2 ℙ({|S_n| ⩾ x√n}) ⩽ ε.
Q 33. Pour x_0 et x comme à la question précédente, on fixe N ⩾ (n_x)/ε et on choisit n ⩾ N. Montrer qu'alors
x^2 ℙ({max_(1 ⩽ p ⩽ n)|S_p| ⩾ 3x√n}) ⩽ 3ε

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 2 MP MPI 2023 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 2 MP MPI 2023 ?

Sur les intégrales généralisées, le théorème de convergence dominée, les équivalents et la formule de Stirling, la convergence uniforme des suites de fonctions et les probabilités discrètes. Il aboutit au théorème central limite.

Quelles erreurs le jury de Centrale a-t-il relevées en maths 2 MP 2023 ?

Des équivalents mal définis (Q4), une confusion entre intégrande et intégrale (Q3), une hypothèse de domination mal quantifiée (Q8), des inégalités probabilistes non prouvées (Q13, Q17) et une parité supposée à tort (Q20).

Le sujet Centrale maths 2 MP 2023 est-il difficile ?

Le début est accessible, mais la partie III n'a été abordée que dans environ 33 % des copies en raison de questions délicates. Les questions probabilistes et asymptotiques ont posé beaucoup de difficultés.

Centrale maths 2 MP 2023 : quelle partie travailler en priorité ?

La partie I, globalement bien réussie sauf sa sous-partie probabiliste I.C, puis la partie II, moyennement réussie. Elles ont été abordées dans toutes les copies.

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