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CCINP Mathématiques 2 MP MPI 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

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L'épreuve en chiffres

Moyenne 10 / 20 · écart-type 3,95 · 6 590 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10/ 20
Écart-type
3,95
Présents
6 590
Coefficient
12
Durée
4 h
moyenne 1005101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 25 avril 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.

EXERCICE 1

On note E = ℝ_2[X].
Dans cet exercice, on pourra utiliser sans démonstration que pour tout entier naturel n, la fonction x ↦ x^n e^(− x) est intégrable sur [0, + ∞[ et ∫_0^(+ ∞)x^n e^(− x) dx = n!.
Q1. Démontrer que l'on définit un produit scalaire sur E en posant, pour tout couple (P, Q) de polynômes de E, ⟨P|Q⟩ = ∫_0^(+ ∞)P(x)Q(x)e^(− x) dx. On notera ‖ || la norme euclidienne associée.
Q2. Déterminer le projeté orthogonal de X^2 sur F = ℝ_1[X] noté P_F(X^2).
Q3. Justifier que ‖x^2 − P_F(X^2)‖^2 = ‖X^2‖^2 − ‖P_F(X^2)‖^2 puis calculer le réel : inf_((a, b) ∈ ℝ^2)∫_0^(+ ∞)(x^2 − ax − b)^2 e^(− x)dx.

EXERCICE 2

Soit p ∈ ]0, 1[, q = 1 − p. Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans ℕ définies sur un même espace probabilisé et suivant la même loi définie par:
∀k ∈ ℕ, P(X = k) = P(Y = k) = pq^k
On considère les variables aléatoires Z et T définies par Z = sup(X, Y) et T = inf(X, Y).
Q4. Pour tout couple ( m, n ) d'entiers naturels, déterminer P((Z = m) ∩ (T = n)) en distinguant trois cas : m > n, m < n et m = n.
Q5. En déduire la loi de la variable aléatoire Z.

PROBLÈME

Dans ce problème, E est un ℂ-espace vectoriel de dimension finie.

Partie 1

Q6. Un exemple

Vérifier que la matrice A = (3, 2; 2, 3) est diagonalisable.
Démontrer que les matrices Π_1 = 1/2(1, − 1; − 1, 1) et Π_2 = 1/2(1, 1; 1, 1) sont des matrices de projecteur puis calculer Π_1 + 5Π_2, Π_1 + Π_2 et Π_1 Π_2.
Q7. On rappelle le lemme de décomposition des noyaux:
Si P_1, P_2, …, P_r sont des éléments de ℂ[X] deux à deux premiers entre eux de produit égal à T, si u est un endomorphisme de E alors :
Ker[T(u)] = Ker(P_1(u)) ⊕ Ker(P_2(u)) ⊕ … ⊕ Ker(P_r(u)).
L'objet de cette question est de démontrer le cas particulier r = 2.
Soit u un endomorphisme de E et soit P et Q deux polynômes premiers entre eux.
Justifier que Ker(P(u)) ⊂ Ker[(PQ)(u)] (de même, on a : Ker(Q(u)) ⊂ Ker[(PQ)(u)] ).
Démontrer que : Ker[(PQ)(u)] = Ker(P(u)) ⊕ Ker(Q(u)).
Dans la suite du problème, on pourra utiliser librement le lemme de décomposition des noyaux.
Q8. Soit u un endomorphisme de E et soit π_u son polynôme minimal.
On suppose que π_u = P_1^(k_1)P_2^(k_2) où les polynômes P_1 et P_2 sont premiers entre eux. On pose, pour tout entier i ∈ {1, 2}, Q_i = (π_u)/(P_i^(k_i)).
Justifier qu'il existe deux polynômes R_1 et R_2 de ℂ[X] tels que R_1 Q_1 + R_2 Q_2 = 1.
Pour la suite de cette partie, on notera π_u = P_1^(k_1)P_2^(k_2)…P_m^(k_m) la décomposition en facteurs premiers du polynôme minimal et on admettra que, si pour tout entier i ∈ {1, 2, …, m}, Q_i = (π_u)/(P_i^(k_i)), il existe des polynômes de ℂ[X] tels que R_1 Q_1 + R_2 Q_2 + … + R_m Q_m = 1.
Q9. On pose alors pour tout entier i ∈ {1, 2, …, m}, p_i = R_i(u) ∘ Q_i(u).
Démontrer que pour tout couple (i, j) d'entiers distincts de {1, 2, …, m}, on a les trois résultats suivants :
p_i ∘ p_j = 0; ∑_(i = 1)^m p_i = id_E
et chaque p_i est un projecteur de E.
Les p_i seront appelés projecteurs associés à u.
Q10. Soit u un endomorphisme de E et soit χ_u son polynôme caractéristique : χ_u = ∏_(i = 1)^m(X − λ_i)^(α_i) (avec les λ_i deux à deux distincts et les α_i des entiers naturels non nuls) et pour tout entier i ∈ {1, 2, …, m}, N_i = Ker(u − λ_i id_E)^(α_i) le sous-espace caractéristique associé à λ_i. Justifier que E = N_1 ⊕ N_2 ⊕ … ⊕ N_m.
Q11. Démontrer que E = Imp_1 ⊕ Imp_2 ⊕ … ⊕ Imp_m.
Q12. Démontrer que pour tout entier i ∈ {1, 2, …, m}, lmp_i = N_i.

Partie II

Dans toute cette partie, on suppose que l'endomorphisme u est diagonalisable et on note λ_1, λ_2, …, λ_m ses valeurs propres distinctes.
Q13. Quel est alors le polynôme minimal π_u de u ?
Q14. On note toujours, pour tout entier i ∈ {1, 2, …, m}, Q_i = (π_u)/(P_i) où P_i = X − λ_i, et on pose θ_i = 1/(Q_i(λ_i)).
Donner, sans détails, la décomposition en éléments simples de 1/(π_u) puis démontrer que les projecteurs associés à u sont, pour tout entier i ∈ {1, 2, …, m}, p_i = (Q_i(u))/(Q_i(λ_i)).
Q15. Démontrer que X = ∑_(i = 1)^m(λ_i Q_i(X))/(Q_i(λ_i)) puis que u = ∑_(i = 1)^m λ_i p_i (décomposition spectrale de u ).
Q16. Exemple : on considère la matrice A = (1, 1, 1, 1; 1, 1, − 1, − 1; 1, − 1, 1, − 1; 1, − 1, − 1, 1).
a) Justifier que la matrice A est diagonalisable et calculer la matrice A^2.
b) En déduire le polynôme minimal π_A de la matrice A puis la décomposition spectrale de la matrice A. On notera Π_1 et Π_2 les matrices des projecteurs associés.
c) Calculer, pour tout entier naturel q, A^q en fonction des matrices Π_1 et Π_2.
Q17. On note ℂ[v] l'algèbre des polynômes d'un endomorphisme v d'un ℂ-espace vectoriel de dimension finie.
Démontrer que la dimension de l'espace vectoriel ℂ[v] est égal au degré du polynôme minimal π_v de l'endomorphisme v.
Q18. On revient au cas u diagonalisable avec π_u = ∏_(i = 1)^m(X − λ_i).
Démontrer que la famille (p_1, p_2, …, p_m) des projecteurs associés à u est une base de l'espace vectoriel ℂ[u].
Q19. Dans le cas d'un endomorphisme u non diagonalisable, la famille ( p_1, p_2, …, p_m ) des projecteurs associés à u est-elle toujours une base de l'espace vectoriel ℂ[u] ?
Q20. Nous avons vu que si u est un endomorphisme de E diagonalisable, il existe m endomorphismes non nuls p_i de E, tels que pour tout entier q on ait u^q = ∑_(i = 1)^m λ_i^q p_i.
Nous allons étudier une « réciproque».
Soit u un endomorphisme de E, ℂ-espace vectoriel de dimension finie. On suppose qu'il existe m endomorphismes non nuls f_i de E et m complexes λ_1, λ_2, …, λ_m distincts, tels que pour tout entier naturel q on ait u^q = ∑_(i = 1)^m λ_i^q f_i.
Démontrer que u est diagonalisable.

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