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CCINP Mathématiques 1 MPI 2023Sujet et rapport du jury

Pas encore noté
  • Normes matricielles et normes subordonnées
  • Calcul différentiel à plusieurs variables (matrice hessienne, extremum)
  • Séries de fonctions et interversion de limites
  • Intégrales sur un intervalle quelconque
  • Fonction Gamma, formule des compléments, intégrale de Gauss
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Présentation du sujet

Accessible
Normes matricielles, extremum d'une fonction de deux variables et intégrales généralisées (fonction Gamma)
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Le sujet est constitué de deux exercices indépendants et d'un problème, totalisant 24 questions. Le premier exercice démontre des égalités sur les normes matricielles, notamment une norme subordonnée. Le second étudie une fonction de deux variables, son point critique et son extremum à l'aide de la matrice hessienne. Le problème porte sur le calcul d'intégrales généralisées et la convergence de séries, avec interversion de symboles, pour faire le lien avec la fonction Gamma, la formule des compléments et l'intégrale de Gauss.

  1. 1Exercice I : normes matriciellesDémonstration d'égalités sur les normes matricielles, notamment une norme subordonnée.
  2. 2Exercice II : extremum d'une fonction de deux variablesÉtude d'un point critique et de son extremum à l'aide de la matrice hessienne.
  3. 3Problème : intégrales généralisées et fonction GammaCalcul d'intégrales généralisées, convergence de séries et interversion de symboles, pour établir la formule des compléments et l'intégrale de Gauss.

Accessible. Le rapport indique explicitement que le sujet a été globalement bien compris et est accessible à tout élève ayant bien travaillé les programmes.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,4 / 20 · écart-type 4,65 · 703 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,4/ 20
Écart-type
4,65
Présents
703
Coefficient
11
Durée
4 h
moyenne 10,405101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 24 avril 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Passage au maximum mal expliqué dans l'inégalité triangulaire · Erreurs sur les valeurs absolues · Hypothèse de domination mal justifiée
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Le sujet, qui prend en compte les nouveaux programmes 2021-2022, a été globalement bien compris. La moyenne de 10,40 et l'écart type de 4,65 permettent de bien classer les candidats. La principale faiblesse relevée porte sur la notion de fonction intégrable, pas toujours bien comprise, et sur des majorations parfois hasardeuses dans les théorèmes d'interversion.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Passage au maximum mal expliqué dans l'inégalité triangulaireQ1

    La séparation de la norme est parfois oubliée dans cette première question de l'exercice I.

    « L’étape la plus importante dans cette question est l’inégalité triangulaire où le passage au maximum est souvent mal expliqué. »
  2. 2
    Erreurs sur les valeurs absoluesQ4

    Cette question a été peu réussie, avec de nombreuses erreurs sur la manipulation des valeurs absolues.

    « Question peu réussie. De nombreux candidats se trompent sur les valeurs absolues. »
  3. 3
    Hypothèse de domination mal justifiéeQ12, Q17

    L'hypothèse de domination utilisée pour intervertir des symboles est souvent fausse ou porte sur une fonction non intégrable.

    « L’hypothèse de domination est souvent fausse ou non intégrable. »
  4. 4
    Majoration non valable à l'infiniQ18

    Certains candidats tentent une majoration qui ne peut pas fonctionner sur tout segment puisque la variable tend vers l'infini.

    « La majoration ne peut pas fonctionner sur tout segment puisque x tend vers l’infini. »
  5. 5
    Limite de l'intégrale mal traitéeQ19

    La partie de la question portant sur la limite de l'intégrale n'a pas été bien traitée, avec des justifications peu nombreuses.

    « La deuxième partie concernant la limite de l’intégrale n’a pas été bien traitée et les justifications ont été peu nombreuses. »
  6. 6
    Égalité entre les deux fonctions mal justifiéeQ21

    Peu d'étudiants ont su justifier correctement cette égalité, notamment en confondant limite en l'infini et condition initiale pour invoquer l'unicité des solutions.

    « peu d’étudiants ont su bien justifier l’égalité »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 6 et 7 de l'exercice II ont été bien réussies.
  • Les questions 9, 10, 14, 20, 22 et 23 du problème ont été bien ou globalement bien traitées.
  • La majorité des candidats a su démontrer que g était bien une solution de l'équation différentielle (Q21).

Conseils du jury

  • Éviter d'essayer de « trafiquer les calculs » pour arriver au résultat attendu.
  • Utiliser chaque hypothèse d'une question et indiquer sur la copie à quel moment elle sert.
  • Citer tous les théorèmes utilisés et rappeler leurs hypothèses, même si elles figurent quelques lignes plus haut.
  • Souligner ou encadrer les résultats, une copie qui ne le fait pas est sanctionnée.
  • Commencer l'épreuve par une lecture diagonale du sujet avant de rédiger.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MPI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème.

EXERCICE I

Dans tout l'exercice, n est un entier naturel non nul.
Pour toute matrice A = (a_(i, j))_(1 ≤ i, j ≤ n) ∈ M_n(ℝ), on note :
N(A) = max_(1 ≤ i ≤ n)∑_(j = 1)^n|a_(i, j)|
Q1. Démontrer que N est une norme sur M_n(ℝ).
On munit l'espace M_(n, 1)(ℝ) de la norme ‖ ⋅ ‖_∞ définie, pour tout X = (x_1; ⋮; x_n) ∈ M_(n, 1)(ℝ), par :
‖X‖_∞ = max_(1 ≤ i ≤ n)|x_i|.
On note S la sphère unité définie par : S = {X ∈ M_(n, 1)(ℝ), ‖X‖_∞ = 1}.
Q2. Démontrer que ∀X ∈ S, ∀A ∈ M_n(ℝ), ‖AX‖_∞ ≤ N(A).
En déduire, pour toute matrice A ∈ M_n(ℝ), l'existence de sup_(X ∈ S)‖AX‖_∞.
On pose alors, pour toute matrice A ∈ M_n(ℝ), ‖A‖‖ = sup_(X ∈ S)‖AX‖_∞.
Q3. Démontrer que ∀X ∈ M_(n, 1)(ℝ), ∀A ∈ M_n(ℝ), ‖AX‖_∞ ≤ ‖A‖‖X‖_∞.
Q4. Démontrer que ∀A ∈ M_n(ℝ), ‖A‖‖ = N(A).
Q5. Application. On considère la matrice A = (2, 0, − 1; 3, − 2, 3; 5, 0, 1). Calculer ‖|A‖‖.

EXERCICE II

On définit la fonction f : (x, y) ↦ x^2 − 2xy + 2y^2 + e^(− x) sur ℝ^2.
Q6. Établir que l'équation e^(− x) = x admet une unique solution sur ℝ.
Q7. Démontrer que f possède un unique point critique (x_0, y_0) ∈ ℝ^2.
Q8. À l'aide de la matrice hessienne, démontrer que f admet un extremum local en (x_0, y_0). Est-ce un minimum ou un maximum ?

PROBLÈME

Dans tout le problème, α est un réel appartenant à l'intervalle ]0, 1[. On pose :
I(α) = ∫_0^1(x^(α − 1))/(1 + x) dx et J(α) = ∫_1^(+ ∞)(x^(α − 1))/(1 + x) dx

Partie I - Calcul d'une intégrale à l'aide d'une série

Q9. Démontrer que x ↦ (x^(α − 1))/(1 + x) est intégrable sur ]0, 1] et sur [1, + ∞[.
Q10. Démontrer que J(α) = I(1 − α).
On se propose maintenant d'écrire I(α) sous forme d'une somme de série.
Q11. 1^(re) tentative
Pour tout x ∈ ]0, 1[, on pose f_n(x) = (− 1)^n x^(n + α − 1). Montrer que:
∀x ∈ ]0, 1[, (x^(α − 1))/(1 + x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)f_n(x)
La série de fonctions ∑f_n converge-t-elle uniformément sur ]0, 1[ ?
Q12. 2_–^e tentative
Pour tout x ∈ ]0, 1[, on pose :
S_n(x) = ∑_(k = 0)^n(− 1)^k x^(k + α − 1)
À l'aide du théorème de convergence dominée, montrer que :
I(α) = lim_(n → + ∞)∫_0^1 S_n(x)dx
En déduire une expression de I(α) sous forme d'une somme de série.
Q13. En déduire que:
I(α) + J(α) = ∫_0^(+ ∞)(x^(α − 1))/(1 + x) dx = 1/α + 2α∑_(n = 1)^(+ ∞)((− 1)^n)/(α^2 − n^2)
On admet la formule suivante :
∀x ∈ ℝ, cos(αx) = (sin(πα))/π(1/α + ∑_(n = 1)^(+ ∞)(− 1)^n(2αcos(nx))/(α^2 − n^2))
Q14. Démontrer que:
∫_0^(+ ∞)(x^(α − 1))/(1 + x) dx = π/(sin(απ))

Partie II - Lien avec la fonction Gamma

Dans toute la suite, on pose:
∀x ∈ ]0, + ∞[, Γ(x) = ∫_0^(+ ∞)t^(x − 1)e^(− t) dt
et
∀x ∈ [0, + ∞[, f_α(x) = ∫_0^(+ ∞)(t^(α − 1))/(t + 1)e^(− xt) dt
Q15. Démontrer que Γ est bien définie sur ]0, + ∞[.
Q16. Démontrer que f_α est bien définie et continue sur [0, + ∞[.
Q17. Démontrer que f_α est de classe C^1 sur ]0, + ∞[ et calculer sa dérivée.
Q18. Déterminer lim_(x → + ∞)f_α(x).
Q19. Démontrer que t ↦ (e^(− t))/(t^α) est intégrable sur ]0, + ∞[. En déduire:
lim_(x → + ∞)∫_x^(+ ∞)(e^(− t))/(t^α)dt

Partie III - Vers la formule des compléments

Q20. Pour tout x ∈ ]0, + ∞[, démontrer que :
f_α(x) − f_α^′(x) = (Γ(α))/(x^α)
Q21. Pour tout x ∈ ]0, + ∞[, on pose :
g_α(x) = Γ(α)e^x∫_x^(+ ∞)(e^(− t))/(t^α)dt
Vérifier que g_α est une solution particulière de l'équation différentielle y − y^′ = (Γ(α))/(x^α). En déduire que ∀x ∈ ]0, + ∞[, f_α(x) = g_α(x).
Q22. En déduire que:
∫_0^(+ ∞)(t^(α − 1))/(t + 1) dt = Γ(α)∫_0^(+ ∞)(e^(− t))/(t^α)dt
Q23. Démontrer l'identité suivante (formule des compléments) :
Γ(α)Γ(1 − α) = π/(sin(απ))
Q24. En déduire la valeur de l'intégrale de Gauss:
∫_0^(+ ∞)e^(− t^2) dt

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte Mathématiques 1 MPI CCINP 2023 ?
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Sur quels chapitres porte Mathématiques 1 MPI CCINP 2023 ?

Le sujet porte sur les normes matricielles, l'étude d'un extremum d'une fonction de deux variables avec la matrice hessienne, et le calcul d'intégrales généralisées menant à la fonction Gamma.

Le sujet Mathématiques 1 MPI CCINP 2023 est-il difficile ?

Non, le rapport indique qu'il est globalement bien compris et accessible à tout élève ayant bien travaillé les programmes, avec une moyenne de 10,40/20.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Une notion de fonction intégrable pas toujours bien comprise, des hypothèses de domination souvent fausses, et une majoration mal justifiée à l'infini.

Ce sujet correspond-il aux nouveaux programmes de prépa ?

Oui, le rapport précise que le sujet prend en compte les nouveaux programmes mis en vigueur en 2021-2022.

Pas de description pour le moment