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Centrale Mathématiques 1 MP MPI 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

Sur le calcul ombral

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Présentation du sujet

Difficile
Calcul ombral : endomorphismes shift-invariants et endomorphismes delta sur K[X]
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Le sujet justifie les manipulations formelles du calcul ombral à l'aide d'endomorphismes de l'espace des polynômes K[X]. Il étudie d'abord quelques endomorphismes concrets (translation, intégrale sur [x, x+1], opérateur intégral à noyau exponentiel), puis les endomorphismes shift-invariants et delta, les suites de polynômes associées et une généralisation de la formule de Taylor. Il se termine par la formule de duplication des polynômes de Laguerre.

  1. 1Partie I : étude d'endomorphismes de K[X]première et deuxième annéesOn montre que la translation E_a, l'application J et l'application L sont des endomorphismes de K[X] et on étudie leur inversibilité.
  2. 2Partie II : formule de Taylor pour les endomorphismes shift-invariantspremière et deuxième annéesOn caractérise les endomorphismes shift-invariants comme des séries formelles en l'opérateur de dérivation D, puis on étudie les endomorphismes delta, leur noyau, leur spectre et leurs restrictions à K_n[X].
  3. 3Partie III : suite de polynômes associée à un endomorphisme deltapremière et deuxième annéesOn construit la suite de polynômes associée à un endomorphisme delta, on en fait une base de K_n[X] et on généralise la formule de Taylor, jusqu'à une formule de dérivation numérique.
  4. 4Partie IV : un peu de calcul ombralpremière et deuxième annéesÀ l'aide de la dérivée de Pincherle et d'opérateurs ombraux, on obtient une formule explicite et la formule de duplication des polynômes de Laguerre.

Difficile. Le jury indique qu'aucune copie n'a traité correctement la totalité ou presque du sujet, ce qu'il attribue à sa longueur, et la dernière partie n'a été abordée que par une petite minorité.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,32 / 20 · écart-type 4,17 · 4 500 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,32/ 20
Écart-type
4,17
Présents
4 500
Coefficient
19
Durée
4 h
1er quartile
6,3
Médiane
9,2
3e quartile
12
moyenne 9,3205101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 9 mai 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Inversibilité en dimension infinie · Intégrales généralisées mal justifiées · Calculs sur des sommes infinies d'endomorphismes
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Les parties I et II ont été abordées dans presque toutes les copies, la partie III dans un peu plus de la moitié et la partie IV par une petite minorité. La partie I, abordable, a bien joué son rôle et a permis de classer les candidats les plus fragiles. Le jury relève une fragilité fréquente, y compris dans les bonnes copies, qui alternent réussites et erreurs grossières.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Inversibilité en dimension infinieQ3

    Pour montrer qu'un endomorphisme de K[X] conservant le degré est inversible, l'injectivité ne suffit pas, car l'espace n'est pas de dimension finie. Il était possible de faire la preuve soigneusement une fois, par exemple en Q3, puis d'y renvoyer.

    « Par contre, K[X] n’étant pas de dimension finie, il ne suffit pas de montrer l’injectivité. »
  2. 2
    Intégrales généralisées mal justifiéesQ4

    La convergence doit commencer par l'étude de la continuité de l'intégrande sur tout l'intervalle, pas seulement en 0. Dans une intégration par parties, la convergence du crochet se vérifie avant d'écrire la relation.

    « Pour la question 4, il ne suffit pas de parler de continuité en0. »
  3. 3
    Calculs sur des sommes infinies d'endomorphismesQ9, Q11, Q12, Q21

    Une somme infinie de termes a_k D^k appliquée à un polynôme donné est une somme finie, mais pas l'endomorphisme lui-même. Beaucoup de candidats ont manipulé ces sommes infinies sans revenir à l'évaluation en un polynôme.

    « le retour aux évaluations en un polynômep sont indispensables, au moins dans cette partie. »
  4. 4
    Définition d'algèbre et contre-exemplesQ7

    La notion d'algèbre semble mal maîtrisée. Pour la stabilité des endomorphismes delta, il fallait donner des contre-exemples explicites, ce que la question précédente rendait possible.

    « Il est indispensable de fournir des contre-exemples explicites, ce qui était rendu possible par la question précédente. »
  5. 5
    Erreurs sur des questions d'algèbre linéaire élémentairesQ28, Q29

    En Q28, la vérification du cardinal de la famille a parfois été oubliée. En Q29, beaucoup de copies donnent un polynôme caractéristique de degré n pour une matrice de taille n+1.

  6. 6
    Confusion de notationsQ1

    La notation p(X+a) a parfois été lue comme un produit. Montrer qu'une application est un endomorphisme suppose de vérifier qu'elle va de E dans E et qu'elle est linéaire, l'additivité seule ne suffisant pas.

Ce qui a été bien réussi

  • Les résultats de la partie I sont globalement plutôt corrects.
  • Le jury note des efforts sur la présentation et la mise en forme des raisonnements.
  • Certaines copies montrent une très bonne compréhension des notions du programme et de celles introduites par le problème.

Conseils du jury

  • Prendre le temps de donner tous les arguments nécessaires, sans se précipiter.
  • Faire attention à la nature des objets manipulés : polynôme ou endomorphisme.
  • Ne pas utiliser de résultats hors programme sans les redémontrer ; en Q12, invoquer Fubini ou les familles sommables n'était pas pertinent.
  • Réutiliser les résultats antérieurs du sujet en vérifiant leurs hypothèses d'application.
  • Soigner l'écriture, la présentation et la numérotation des questions : un malus a été appliqué aux copies mal présentées.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Objectifs

Ce problème introduit le calcul ombral et propose d'en démontrer certains résultats.
Historiquement, ce «calcul» reposait sur un ensemble de manipulations heuristiques sur les indices qui étaient traités comme des puissances. Pour justifier ces règles, une solution consiste à utiliser des endomorphismes agissant sur des polynômes. Ce problème a pour objectif de présenter ces règles et d'en déduire des identités polynomiales non triviales.

Notations

  • 𝕂 désigne ℝ ou ℂ.
  • 𝕂[X] désigne l'ensemble des polynômes à coefficients dans 𝕂. Dans ce problème, on identifie polynômes formels et fonctions polynomiales de 𝕂 dans 𝕂 associées. On identifie de plus les éléments de 𝕂 aux polynômes constants.
  • Tout polynôme p ∈ 𝕂[X] s'écrit de manière unique
p = ∑_(k = 0)^(+ ∞)a_k X^k
où ( a_k ) est une suite à valeurs dans 𝕂 nulle à partir d'un certain rang. Si p n'est pas le polynôme nul, son degré deg(p) est le plus grand entier k tel que a_k ≠ 0. Par convention, le degré du polynôme nul est -1 (cette convention est inhabituelle).
  • Si n est un entier naturel, 𝕂_n[X] désigne le sous-espace vectoriel de 𝕂[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
  • On note L(𝕂[X]) l'algèbre des endomorphismes de l'espace vectoriel 𝕂[X].
  • On note I l'endomorphisme identité de 𝕂[X].
  • Les éléments inversibles de l'algèbre L(𝕂[X]) sont les endomorphismes bijectifs (automorphismes) de l'espace vectoriel 𝕂[X].
  • Pour T ∈ L(𝕂[X]) et p ∈ 𝕂[X], on note Tp = T(p).
  • D désigne l'endomorphisme de dérivation sur 𝕂[X] : ∀p ∈ 𝕂[X], D(p) = Dp = p^′.
  • Si T est un endomorphisme de 𝕂[X], on définit la suite d'endomorphismes ( T^k ) par récurrence : T^0 = I et, pour tout k ∈ ℕ, T^(k + 1) = T ∘ T^k = T^k ∘ T.

I Étude d'endomorphismes de 𝕂[X]

I.A − Soit a ∈ 𝕂. Pour tout p ∈ 𝕂[X], on pose E_a(p) = E_a p = p(X + a).
Q 1. Montrer que E_a est un automorphisme de 𝕂[X].
I.B - À tout p ∈ ℝ[X], on associe la fonction J(p) = Jp de ℝ dans ℝ définie par
∀x ∈ ℝ, J(p)(x) = Jp(x) = ∫_x^(x + 1)p(t)dt.
Q 2. Montrer que J est un endomorphisme de ℝ[X].
Q 3. Montrer que J conserve le degré et que J est inversible.
I. C − À tout p ∈ 𝕂[X], on associe la fonction L(p) = Lp de 𝕂 dans 𝕂 définie par
∀x ∈ 𝕂, L(p)(x) = Lp(x) = − ∫_0^(+ ∞)e^(− t)p^′(x + t)dt.
Q 4. Montrer que ∫_0^(+ ∞)e^(− t)t^k dt existe pour tout k ∈ ℕ et calculer sa valeur.
Q 5. Montrer que L est un endomorphisme de 𝕂[X]. Est-il inversible ?

II Formule de Taylor pour les endomorphismes shift-invariants de 𝕂[X]

Soit T un endomorphisme de 𝕂[X]. On dit que:
  • T est shift-invariant si, pour tout a ∈ 𝕂, E_a ∘ T = T ∘ E_a;
  • T est un endomorphisme delta si T est shift-invariant et si l'image du polynôme X par T est une constante non nulle : TX ∈ 𝕂^∗.

II.A -

Q 6. Soit a ∈ 𝕂. Vérifier que les endomorphismes I et D sont shift-invariants, ainsi que les endomorphismes E_a, J et L définis dans la partie I. Sont-ils des endomorphismes delta?
Q 7. Montrer que l'ensemble des endomorphismes shift-invariants de 𝕂[X] est une sous-algèbre de L(𝕂[X]). L'ensemble des endomorphismes delta de 𝕂[X] est-il stable par addition? par composition?

II.B -

Q 8. Soit (a_k)_(k ∈ ℕ) une suite d'éléments de 𝕂. Pour tout polynôme p ∈ 𝕂[X], montrer que l'expression
∑_(k = 0)^(+ ∞)a_k D^k p
a un sens et définit un polynôme de 𝕂[X].
On note alors ∑_(k = 0)^(+ ∞)a_k D^k l'application de 𝕂[X] qui, à un polynôme p ∈ 𝕂[X], associe le polynôme ∑_(k = 0)^(+ ∞)a_k D^k p.
Q 9. Montrer que, pour toute suite (a_k)_(k ∈ ℕ) d'éléments de 𝕂, ∑_(k = 0)^(+ ∞)a_k D^k est un endomorphisme shift-invariant.
Q 10. Soit (a_k)_(k ∈ ℕ) et (b_k)_(k ∈ ℕ) des suites d'éléments de 𝕂 telles que ∑_(k = 0)^(+ ∞)a_k D^k = ∑_(k = 0)^(+ ∞)b_k D^k.
Montrer que, pour tout k ∈ ℕ, a_k = b_k.
Pour tout n ∈ ℕ, on définit le polynôme q_n = (X^n)/(n!). On se donne T un endomorphisme de 𝕂[X].
Q 11. Montrer que T est un endomorphisme shift-invariant si, et seulement si,
T = ∑_(k = 0)^(+ ∞)(Tq_k)(0)D^k
Q 12. Montrer que deux endomorphismes shift-invariants de 𝕂[X] commutent.
II. C - Dans cette sous-partie, on applique le résultat de la question 11 aux endomorphismes de la partie I.
Q 13. Pour tout p ∈ 𝕂[X] non nul et a ∈ 𝕂, montrer, à l'aide de la question 11, que
p(X + a) = ∑_(k = 0)^(deg(p))(a^k)/(k!)p^((k))
où p^((k)) désigne la dérivée k-ième du polynôme p. Reconnaitre cette formule.
Q 14. Pour p ∈ 𝕂[X], exprimer Jp en fonction des dérivées p^((k))(k ∈ ℕ) de p.
Q 15. Démontrer que l'endomophisme D − I est inversible et exprimer L en fonction de (D − I)^(− 1).
II.D - Dans cette sous-partie, T est un endomorphisme non nul shift-invariant de 𝕂[X].
On rappelle que le degré du polynôme nul est par convention égal à -1 .
Q 16. Montrer qu'il existe un entier naturel n(T) tel que, pour tout polynôme p ∈ 𝕂[X],
deg(Tp) = max{ − 1, deg(p) − n(T)}.
Q 17. En déduire ker(T) en fonction de n(T).
Q 18. Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes:
(1) T est inversible ;
(2) T1 ≠ 0;
(3) ∀p ∈ 𝕂[X], deg(Tp) = deg(p).
Q 19. Si ces conditions sont vérifiées, montrer que T^(− 1) est encore un endomorphisme shift-invariant.
II. E - Dans cette sous-partie, T est un endomorphisme delta de 𝕂[X].
Q 20. Montrer qu'il existe une suite de scalaires (α_k)_(k ∈ ℕ) vérifiant α_0 = 0, α_1 ≠ 0 et T = ∑_(k = 1)^(+ ∞)α_k D^k.
Q 21. Montrer qu'il existe un unique endomorphisme U shift-invariant et inversible tel que T = D ∘ U. Préciser U dans le cas T = D, puis dans le cas T = L.
Q 22. Pour tout polynôme p ∈ 𝕂[X] non nul, vérifier que deg(Tp) = deg(p) − 1. En déduire ker(T) et le spectre de T.
Q 23. Pour n ∈ ℕ, on note T_n la restriction de T à 𝕂_n[X]. Montrer que T_n est un endomorphisme de 𝕂_n[X]. Est-il diagonalisable?
Q 24. Déterminer Im(T_n) en fonction de n ∈ ℕ et en déduire que T est surjectif.

III Suite de polynômes associée à un endomorphisme delta

On souhaite montrer que, pour tout endomorphisme delta Q , il existe une unique suite de polynômes (q_n)_(n ∈ ℕ) de 𝕂[X] telle que
− q_0 = 1;
− ∀n ∈ ℕ, deg(q_n) = n;
− ∀n ∈ ℕ^∗, q_n(0) = 0;
− ∀n ∈ ℕ^∗, Qq_n = q_(n − 1).
Cette suite sera appelée suite de polynômes associée à l'endomorphisme delta Q.
III.A - Soit Q un endomorphisme delta.
Q 25. Montrer l'existence et l'unicité de la suite (q_n)_(n ∈ ℕ) de polynômes associée à Q.
Q 26. Montrer que, pour tout entier naturel n,
∀(x, y) ∈ 𝕂^2, q_n(x + y) = ∑_(k = 0)^n q_k(x)q_(n − k)(y).
III. B - Réciproquement, soit (q_n)_(n ∈ ℕ) une suite de polynômes de 𝕂[X] telle que ∀n ∈ ℕ, deg(q_n) = n et
∀(x, y) ∈ 𝕂^2, q_n(x + y) = ∑_(k = 0)^n q_k(x)q_(n − k)(y).
Q 27. Montrer qu'il existe un unique endomorphisme delta Q dont (q_n)_(n ∈ ℕ) est la suite de polynômes associée.
III. C - Soit Q un endomorphisme delta, soit (q_n)_(n ∈ ℕ) la suite de polynômes associée à Q et soit n un entier naturel.
Q 28. Montrer que la famille (q_0, q_1, …, q_n) est une base de 𝕂_n[X].
Q 29. D'après la question 23, Q induit un endomorphisme de 𝕂_n[X] noté Q_n. Donner sa matrice dans la base précédente. En déduire sa trace, son déterminant et son polynôme caractéristique.
III.D - Dans cette sous-partie, on détermine la suite (q_n)_(n ∈ ℕ) de polynômes associée à certains endomorphismes.
Q 30. Pour Q = D, vérifier que
∀n ∈ ℕ, q_n = (X^n)/(n!)
Q 31. Pour Q = E_1 − I, vérifier que
∀n ∈ ℕ^∗, q_n = (X(X − 1)⋯(X − n + 1))/(n!).
III.E - Cette sous-partie propose de généraliser la formule de Taylor démontrée dans la partie II. On se donne Q un endomorphisme delta et on note (q_n)_(n ∈ ℕ) la suite de polynômes associée à Q.
Q 32. Démontrer que, pour tout p ∈ 𝕂[X], l'expression ∑_(k = 0)^(+ ∞)(Q^k p)(0)q_k a un sens et définit un polynôme de 𝕂[X], puis que
p = ∑_(k = 0)^(+ ∞)(Q^k p)(0)q_k
Q 33. En déduire que, pour tout endomorphisme shift-invariant T, on a
T = ∑_(k = 0)^(+ ∞)(Tq_k)(0)Q^k

III.F -

Q 34. En choisissant Q = E_1 − I, démontrer que, si p est un polynôme non constant, alors
p^′(X) = ∑_(k = 1)^(deg(p))1/k(∑_(j = 0)^k(− 1)^(j + 1)(k/j)p(X + j)).
C'est la formule de dérivation numérique des polynômes.

IV Un peu de calcul ombral

Si T est un endomorphisme de 𝕂[X] on définit sa dérivée de Pincherle, notée T^′, comme l'endomorphisme de 𝕂[X] tel que,
∀p ∈ 𝕂[X], T^′(p) = T(Xp) − XT(p).
IV.A - Soient S et T deux endomorphismes de 𝕂[X].
Q 35. Montrer que, s'il existe (a_n)_(n ∈ ℕ) suite de scalaires telle que T = ∑_(k = 0)^(+ ∞)a_k D^k, alors T^′ = ∑_(k = 1)^(+ ∞)ka_k D^(k − 1).
Q 36. Si T est un endomorphisme shift-invariant, montrer que T^′ est encore un endomorphisme shift-invariant.
Q 37. Si T est un endomorphisme delta, montrer que T^′ est un endomorphisme shift-invariant et inversible.
Q 38. Vérifier que (S ∘ T)^′ = S^′ ∘ T + S ∘ T^′.
IV.B - Soit Q un endomorphisme delta. On rappelle que d'après la partie II, il existe un unique endomorphisme U shift-invariant et inversible tel que Q = D ∘ U. On note (q_n)_(n ∈ ℕ) la suite de polynômes associée à Q au sens de la partie III.
Q 39. Démontrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗, on a
(Q^′ ∘ U^(− n − 1))(X^n) = XU^(− n)(X^(n − 1)).
Q 40. En déduire que, pour tout n ∈ ℕ^∗,
n!q_n(X) = XU^(− n)(X^(n − 1))
puis que
nq_n(X) = X(Q^′)^(− 1)(q_(n − 1)).
IV.C - Dans cette sous-partie, on applique les résultats de la question 40 à l'endomorphisme L étudié dans les parties I et II. On note (ℓ_n)_(n ∈ ℕ) sa suite de polynômes associée au sens de la partie III.
Q 41. Vérifier que, pour n ∈ ℕ^∗,
ℓ_n^′ = ℓ_(n − 1)^′ − ℓ_(n − 1)
et
Xℓ_n^(′′) − Xℓ_n^′ + nℓ_n = 0
et
ℓ_n(X) = ∑_(k = 1)^n(− 1)^k((n − 1)/(k − 1))(X^k)/(k!)
IV.D - Soient Q un endomorphisme delta de suite de polynômes associée notée (q_n)_(n ∈ ℕ).
Q 42. Montrer qu'il existe un unique endomorphisme inversible T tel que
∀n ∈ ℕ, Tq_n = (X^n)/(n!).
Q 43. Montrer aussi que D = T ∘ Q ∘ T^(− 1).
IV.E - On fixe α > 0 et on définit la fonction W de 𝕂[X] par
W : 𝕂[X], →, 𝕂[X]; p, ↦, p(αX)
Q 44. Montrer que W est un automorphisme de 𝕂[X].
On pose P = W ∘ L ∘ W^(− 1) où L est l'endomorphisme étudié dans les parties I et II.
Q 45. Montrer que
P = 1/αD ∘ (1/αD − I)^(− 1)
Q 46. Montrer ensuite que P est un endomorphisme delta dont la suite de polynômes associée (p_n)_(n ∈ ℕ) vérifie
∀n ∈ ℕ, p_n = ℓ_n(αX).
Q 47. Vérifier que D = L ∘ (L − I)^(− 1) puis que P = L ∘ (αI + (1 − α)L)^(− 1).
On note T l'unique automorphisme vérifiant, pour tout n ∈ ℕ, Tℓ_n = (X^n)/(n!) et on pose Q = T ∘ P ∘ T^(− 1).
Q 48. Montrer que Q = D ∘ (αI + (1 − α)D)^(− 1). En déduire que Q est un endomorphisme delta dont la suite de polynômes associée (r_n)_(n ∈ ℕ) vérifie
∀n ∈ ℕ^∗, r_n = ∑_(k = 1)^n((n − 1)/(k − 1))α^k(1 − α)^(n − k)(X^k)/(k!).
Q 49. Conclure que
∀n ∈ ℕ^∗, ℓ_n(αX) = ∑_(k = 1)^n((n − 1)/(k − 1))α^k(1 − α)^(n − k)ℓ_k(X).
Les endomorphismes W et T étudiés dans la sous-partie IV.E sont appelés opérateurs ombraux. Les polynômes (ℓ_n) associés à l'endomorphisme L sont connus sous le nom de polynômes de Laguerre (de paramètre -1 ). La dernière formule démontrée grâce aux opérateurs ombraux est leur formule de duplication.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 Centrale MP MPI 2023 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 Centrale MP MPI 2023 ?

Le sujet porte sur l'algèbre linéaire dans l'espace des polynômes K[X] (endomorphismes, inversibilité, algèbres, réduction), avec un peu de calcul intégral, notamment des intégrales généralisées. Il introduit le calcul ombral à travers les endomorphismes shift-invariants et delta.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en maths 1 Centrale MP 2023 ?

Le jury relève un manque de rigueur général, des calculs non justifiés sur des sommes infinies d'endomorphismes, une inversibilité déduite de la seule injectivité en dimension infinie et une définition d'algèbre mal connue. Il signale aussi des contre-exemples non explicites en Q7.

Le sujet de maths 1 Centrale MP MPI 2023 était-il long ?

Oui. D'après le rapport, aucune copie n'a traité correctement la quasi-totalité du sujet, et la partie IV n'a été abordée que par une petite minorité de candidats.

Quelles questions sont abordables dans Centrale maths 1 MP 2023 ?

La partie I propose des questions abordables selon le jury. La sous-partie III.C (Q28, Q29) relève d'une algèbre linéaire assez élémentaire, et Q30 et Q31 pouvaient se traiter sans difficulté en admettant Q25.

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