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E3A Mathématiques MP 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Quatre exercices indépendants : endomorphisme de polynômes, intégrale à paramètre et fonction Gamma, opérateur de moyenne intégrale, matrices aléatoires
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Le sujet comporte quatre exercices indépendants qui commencent chacun par des questions de cours. On y étudie un endomorphisme de l'espace des polynômes de degré au plus n et ses éléments propres, une intégrale à paramètre liée à la fonction Gamma, un endomorphisme de l'espace des fonctions continues défini par une intégrale, puis des variables aléatoires construites à partir de matrices semblables à une matrice diagonale de variables de Bernoulli.

  1. 1Exercice 1 : un endomorphisme de polynômesdeuxième annéeFormule de Taylor pour les polynômes, matrice d'un endomorphisme, recherche de ses éléments propres et diagonalisabilité.
  2. 2Exercice 2 : fonction Gamma et intégrale à paramètredeuxième annéePuissances réelles, développement en série entière de l'exponentielle, étude complète d'une intégrale à paramètre puis écriture comme somme d'une série.
  3. 3Exercice 3 : un opérateur intégral sur les fonctions continuesdeuxième annéePrimitive d'une fonction continue, changement de variable, injectivité et non surjectivité, éléments propres via une équation différentielle et matrice d'un endomorphisme induit.
  4. 4Exercice 4 : matrices aléatoires et projectionsdeuxième annéeTrace, rang et déterminant d'une matrice aléatoire diagonalisable, lois binomiale et de Bernoulli, probabilité d'événements sur les sous-espaces propres.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Bases d'algèbre linéaire fragiles · Domaine de définition d'une intégrale mal étudié · Domination inadaptée
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Le jury reprend presque mot pour mot ses critiques de l'année précédente : copies mal présentées, parfois illisibles, énoncé lu trop vite et bases d'algèbre linéaire et d'analyse mal maîtrisées. Il relève aussi des calculs abandonnés trop tôt, des quantificateurs mal manipulés et une confusion entre variable et paramètre. Près de 30 % des candidats n'abordent pas l'exercice de probabilités.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Bases d'algèbre linéaire fragilesExercice 1, questions 1 à 5

    Dimension de l'espace des polynômes de degré au plus n mal connue, confusion entre dimension et cardinal, loi externe oubliée pour prouver la linéarité.

    « La formule de Taylor pour les polynômes est ignorée par plus d'un candidat sur deux. »
  2. 2
    Domaine de définition d'une intégrale mal étudiéExercice 2, questions 3 et 5.1

    Le domaine de validité du développement en série entière est souvent faux, et l'existence de F est justifiée à tort par la continuité sur le segment. Il faut d'abord repérer où l'intégrande est continue.

    « Il est désolant de constater que cette question est souvent fausse en ce qui concerne le domaine de validité. »
  3. 3
    Domination inadaptéeExercice 2, question 5.5

    Une domination sur un segment ne suffit pas pour obtenir les limites en l'infini de la fonction F.

    « Noter que la domination sur un segment ne fonctionne pas dans cette question. »
  4. 4
    Dérivée d'une primitive et changement de variableExercice 3, questions 1 et 2

    Le calcul de F' est souvent fantaisiste, et le changement de variable u = xt est mal mené.

    « Réponses catastrophiques à cette question que l'on pose à peu près tous les ans »
  5. 5
    Énoncé mal luExercice 3, questions 5.1 et 8

    Des candidats prolongent par continuité une fonction déjà définie en 0, redémontrent ce qui était admis, ou traitent 8.1.1 comme le cas n = 1.

    « Question incomprise par 99% des candidats pour qui 8.1.1. est le cas n = 1. »
  6. 6
    Résultats de probabilités sans justificationExercice 4

    Réponses sans phrase d'explication, spectre faux pour une matrice diagonale de 0 et de 1, ensembles de valeurs donnés sous une forme qui n'est pas un ensemble.

Ce qui a été bien réussi

  • La première question de l'exercice 2 est traitée par tous les candidats.
  • Les questions 5.2, 5.3 et 5.4 de l'exercice 2 sont correctement traitées en général.
  • L'exercice 4 de probabilités est assez bien traité par ceux qui l'abordent.

Conseils du jury

  • Lire tout le sujet avant de commencer pour comprendre l'architecture de chaque exercice.
  • Vérifier explicitement les hypothèses de chaque théorème au lieu d'affirmer qu'elles sont vérifiées.
  • Éviter les formules comme « il est clair que » : tout ce qui est affirmé doit être démontré.
  • Admettre clairement un résultat pour avancer plutôt que de donner des arguments faux.
  • Ne pas négliger l'exercice de probabilités, qui est posé chaque année.
  • Rendre une copie propre, numérotée et ordonnée, sans essais raturés.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

EXERCICE 1

Soit n un entier naturel non nul. On note E_n = ℝ_n[X] et pour tout k ∈ [ [0, n] ], P_k = X^k.

Questions de cours

Soit α un réel.
  1. Justifier que la famille E = (1, X − α, …, (X − α)^n) est une base de E_n.
  2. Soit P un polynôme de E_n.
Donner sans démonstration la décomposition de P dans la base E à l'aide des dérivées successives du polynôme P.
3. On suppose que α est une racine d'ordre r ∈ [ [1, n] ] de P.
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de P par (X − α)^r.
À tout polynôme P de E_n, on associe le polynôme Q défini par :
Q(X) = XP(X) − 1/n(X^2 − 1)P^′(X)
et on note T l'application qui à P associe Q.
4. Soit k ∈ [ [0, n] ]. Déterminer T(P_k).
5. Montrer que T est un endomorphisme de E_n.
6. Écrire la matrice M de T dans la base ℬ = (P_0, P_1, …, P_n) de E_n.
7. On suppose que λ est une valeur propre réelle de l'endomorphisme T et soit P un polynôme unitaire, vecteur propre associé à la valeur propre λ.
7.1. Montrer que P est de degré n.
7.2. Soit z_0 une racine complexe de P d'ordre de multiplicité r ∈ ℕ^∗. Prouver que z_0^2 − 1 = 0.
7.3. En déduire une expression de P.
8. Déterminer les éléments propres de l'endomorphisme T.
L'endomorphisme T est-il diagonalisable?

EXERCICE 2

Questions de cours

  1. Soient a et b deux réels avec a > 0. Choisir sans justification l'expression correcte de a^b :
(A) : e^(bln(a)) (B) : e^(aln(b)) (C) : e^(ln(a)ln(b)).
  1. Soient x et y deux réels tels que x < y et t un réel de ]0, 1[.
Comparer t^x et t^y.
3. Donner, sans démonstration, le développement en série entière de la fonction exponentielle réelle et donner son domaine de validité.
4. On considère la fonction Γ définie par Γ(x) = ∫_0^(+ ∞)t^(x − 1)e^(− t) dt.
On admet que cette fonction est définie sur ]0, + ∞[ et que, pour tout réel x strictement positif :
Γ(x + 1) = xΓ(x)
Calculer Γ(1) et en déduire, en effectuant un raisonnement par récurrence, la valeur de Γ(n + 1) pour n ∈ ℕ.
5. Pour x ∈ ℝ, on note, lorsque cela a un sens :
F(x) = ∫_0^1 t^(t^x) dt
où, comme il est d'usage, t^(t^x) = t^(t^x).
5.1. Déterminer l'ensemble de définition de F.
5.2. Déterminer le sens de variation de F.
5.3. Démontrer que pour tout x réel positif, on a : F(x) ⩾ 1/2.
5.4. Démontrer que F est continue sur son ensemble de définition.
5.5. Déterminer lim_(x → + ∞)F(x) et lim_(x → − ∞)F(x).
Les théorèmes utilisés seront cités avec précision et on s'assurera que leurs hypothèses sont bien vérifiées.
5.6. Dresser alors avec soin le tableau de variations de F et donner une allure générale de sa courbe représentative dans un repère orthonormal. On admettra que F^′(0) = 1/4 et on tracera la tangente au point d'abscisse x = 0.
6. Soit x un réel strictement positif.
Pour tout entier naturel n, on note g_n la fonction définie sur ]0, 1] par g_n(t) = (t^(nx)ln^n(t))/(n!).
6.1. Démontrer que la série de fonctions ∑_(n ∈ ℕ)g_n converge simplement sur ]0, 1] et donner sa somme.
6.2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, ∫_0^1|g_n(t)|dt = 1/(n!)(Γ(n + 1))/((nx + 1)^(n + 1)).
6.3. Établir enfin que l'on a:
F(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)((− 1)^n)/((1 + nx)^(n + 1))

EXERCICE 3

On note E l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles continues sur ℝ_+. Pour tout élément f de E et tout x ∈ ℝ_+on pose F(x) = ∫_0^x f(u)du.
  1. Justifier que F est de classe C^1 sur ℝ_+et donner pour tout x ∈ ℝ_+l'expression de F^′(x).
Soit Ψ : f ∈ E ↦ Ψ(f) définie par: ∀x ∈ ℝ_+, Ψ(f)(x) = ∫_0^1 f(xt)dt.
2. Exprimer, pour tout réel x strictement positif, Ψ(f)(x) à l'aide de F(x).
3. Justifier que la fonction Ψ(f) est continue sur ℝ_+et donner la valeur de Ψ(f)(0).
4. Montrer que Ψ est un endomorphisme de E.
5. Surjectivité de Ψ
Soit h : x ∈ ℝ_+ ⟼ h(x) = {xsin(1/x), pour x > 0; 0, pour x = 0.
5.1. Montrer que la fonction h est continue sur ℝ_+.
5.2. La fonction h est-elle de classe C^1 sur ℝ_+?
5.3. Soit g ∈ Im(Ψ).
Montrer que la fonction x ↦ xg(x) est de classe C^1 sur ℝ_+.
5.4. A-t-on h ∈ Im(Ψ) ?
5.5. Conclure.
6. Montrer que Ψ est injective.
7. Recherche des éléments propres de Ψ
7.1. Justifier que 0 n'est pas valeur propre de Ψ.
Soit μ ∈ ℝ. On considère l'équation différentielle ( L ) sur ℝ_+^∗ :
y^′ + μ/xy = 0
7.2. Résoudre ( L ) sur ℝ_+^∗.
7.3. Déterminer les solutions de (L) prolongeables par continuité sur ℝ_+.
7.4. Déterminer alors les valeurs propres de Ψ et les sous-espaces propres associés.
8. Soit n ∈ ℕ, n > 1. Pour i ∈ [ [1, n] ], on pose :
f_i : x ∈ ℝ_+ ⟼ f_i(x) = x^i et g_i : x ∈ ℝ_+ ⟼ g_i(x) = {x^i ln(x), pour x > 0; 0, pour x = 0
On note ℬ = (f_1, …, f_n, g_1, …, g_n) et F_n le sous-espace vectoriel de E engendré par ℬ.
8.1. On veut montrer que la famille B = (f_1, …, f_n, g_1, …, g_n) est une base de F_n
Soient (α_i)_(i ∈ [ [1, n] ]) et (β_j)_(j ∈ [ [1, n] ]) des scalaires tels que ∑_(i = 1)^n α_i f_i + ∑_(j = 1)^n β_j g_j = 0.
8.1.1. Montrer que α_1 = β_1 = 0.
On pourra simplifier l'expression (*) par x lorsque x est non nul.
8.1.2. Soit p ∈ [ [1, n − 1] ]. On suppose que α_1 = ⋯ = α_p = β_1 = ⋯ = β_p = 0. Démontrer que α_(p + 1) = β_(p + 1) = 0.
8.1.3. Conclure et déterminer la dimension de l'espace vectoriel F_n.

8.2. Où l'on démontre que Ψ induit un endomorphisme sur F_n

8.2.1. Soient x > 0 et p ∈ ℕ^∗. Montrer que l'intégrale ∫_0^x t^p ln(t)dt est convergente et la calculer.
8.2.2. En déduire que Ψ induit un endomorphisme Ψ_n sur F_n.
8.3. Donner la matrice de l'application Ψ_n dans la base B.
8.4. Démontrer que Ψ_n est un automorphisme de F_n.
8.5. Soit z : x ∈ ℝ_+ ⟼ z(x) = {(x + x^2)ln(x), pour x > 0; 0, pour x = 0.
Après avoir vérifié que z ∈ F_n, déterminer Ψ_n^(− 1)(z).

EXERCICE 4

Soit n un entier naturel non nul.

Questions de cours

  1. Soit p une projection vectorielle de rang r ∈ ℕ.
    1.1. Donner, en fonction de r, une matrice W de p dans une base adaptée.
    1.2. Donner les spectres possibles de W.
    1.3. Comparer rg(W) et tr(W).
    1.4. Calculer det(W).
On considère la famille X_1, …, X_n de variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé (Ω, 𝒜, ℙ) toutes suivant la loi de Bernoulli de paramètre p ∈ ]0, 1[. Soit M une variable aléatoire discrète de Ω dans ℳ_n(ℝ) telle que pour tout ω dans Ω, M(ω) est diagonalisable et semblable à Δ(ω) = diag(X_1(ω), …, X_n(ω)).
2. On note T la variable aléatoire tr(M).
2.1. Déterminer T(Ω), c'est-à-dire l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire T.
2.2. Donner la loi de probabilité de T et l'espérance de la variable aléatoire T.
3. En déduire la loi de probabilité de la variable aléatoire R = rg(M).
4. On note D la variable aléatoire det(M).
4.1. Déterminer D(Ω).
4.2. Donner la loi de probabilité de D et calculer l'espérance de la variable aléatoire D.
5. On se propose de déterminer la probabilité de l'évènement Z :
«les sous-espaces propres de la matrice M ont tous la même dimension».
5.1. On note V l'évènement : « M ne possède qu'une seule valeur propre». Calculer ℙ(V).
5.2. On suppose n impair. Déterminer ℙ(Z).
5.3. On suppose n pair et on pose n = 2r. Calculer ℙ(T = r). En déduire ℙ(Z).
6. Pour tout ω ∈ Ω, on note U(ω) = (X_1(ω); ⋮; X_n(ω)) ∈ ℳ_(n, 1)(ℝ) et A(ω) = U(ω) × (U(ω))^⊤ = (a_(ij)(ω))_((i, j) ∈ [ [1, n] ]] ]^2).
6.1. Soit ω ∈ Ω. Déterminer, pour tout couple (i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, a_(ij)(ω).
6.2. Donner la loi de probabilité de chaque variable aléatoire a_(ij).
6.3. Montrer que tr(A) = ∑_(i = 1)^n X_i.
6.4. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire rg(A).
6.5. Pour tout ω dans Ω, donner les valeurs propres de la matrice A(ω).
6.6. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire rg(A).

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de maths e3a MP 2023 ?
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Sur quoi porte le sujet de maths e3a MP 2023 ?

Sur quatre exercices indépendants : un endomorphisme de polynômes et sa réduction, une intégrale à paramètre liée à la fonction Gamma, un opérateur intégral sur les fonctions continues, et des matrices aléatoires construites avec des lois de Bernoulli.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths e3a MP 2023 ?

Des énoncés mal lus, des hypothèses de théorèmes non vérifiées, la formule de Taylor pour les polynômes ignorée, des domaines de définition d'intégrales faux et des calculs de dérivée de primitive fantaisistes.

Faut-il faire l'exercice de probabilités au concours e3a MP ?

Oui. En 2023, près de 30 % des candidats ne l'ont pas abordé, alors que le jury rappelle qu'il pose systématiquement un exercice de probabilités et que celui-ci a été assez bien traité par ceux qui l'ont tenté.

Le sujet e3a maths MP 2023 porte-t-il sur le programme de deuxième année ?

Oui : selon le rapport, les quatre exercices parcourent les parties les plus classiques du programme de deuxième année de MP, tout en mobilisant des bases d'algèbre linéaire de première année.

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