E3A Mathématiques MP 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Explorer les annales

BanqueE3A Année2024 FilièreMP MatièreMathématiques

Annales E3A MP Mathématiques E3A MP 2024 MP Mathématiques Mathématiques 2024

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Corrigé 2

Corrigé 3

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Présentation du sujet

Difficile

Quatre exercices indépendants : variable aléatoire discrète, série entière, matrice réelle vérifiant A^T = 3A² - A - In, et convolution de deux fonctions

Le sujet comporte quatre exercices indépendants qui balayent des parties classiques du programme de deuxième année MP : une étude de variable aléatoire discrète, le calcul du rayon de convergence et de la somme d'une série entière, l'étude spectrale d'une matrice réelle vérifiant une relation avec sa transposée, et l'étude de la convolution de deux fonctions à travers des exemples simples.

1Exercice 1deuxième annéeÉtude de la variable aléatoire partie entière de (X+1)/2 à partir de la loi d'une variable aléatoire X.
2Exercice 2deuxième annéeCalcul du rayon de convergence et de la somme d'une série entière liée à la suite (cos(n)).
3Exercice 3deuxième annéeÉtude d'une matrice réelle A vérifiant A^T = 3A² - A - In : symétrie, valeurs propres, base de polynômes de Lagrange.
4Exercice 4deuxième annéeÉtude de la convolution de deux fonctions à travers des exemples simples : caractère bien défini, continuité, régularité C1.

Difficile. Le jury déplore qu'un trop grand nombre de candidats ne maîtrise pas les notions de base d'algèbre linéaire ni les théorèmes principaux d'analyse de deuxième année, et signale que près de 30% des candidats n'abordent pas l'exercice de probabilités.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Partie entière d'un nombre négatif mal maîtrisée · Loi de la variable aléatoire Y non identifiée · Lecture trop rapide de l'énoncé

Le jury reprend ses remarques habituelles sur la présentation des copies (ordre, lisibilité, orthographe) et déplore qu'un trop grand nombre de candidats ne maîtrise pas les notions de base d'algèbre linéaire de première année ni les théorèmes principaux d'analyse de deuxième année. Il signale par ailleurs que près de 30% des candidats n'abordent pas l'exercice de probabilités, alors qu'un tel exercice est systématiquement proposé.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Partie entière d'un nombre négatif mal maîtriséeExercice 1
La partie entière d'un nombre négatif pose de nombreux problèmes, alors que l'énoncé en rappelait la définition.
« La partie entière d’un nombre négatif pose beaucoup de problèmes bien que l’énoncé redonne la définition de la partie entière d’une nombre réel. »
2
Loi de la variable aléatoire Y non identifiéeExercice 1
Quasiment aucun candidat n'a reconnu la loi de la variable aléatoire Y parmi les rares qui l'ont déterminée.
« quasiment aucun des candidats n’a reconnu la loi de la variable aléatoire Y parmi les rares qui l’ont déterminée »
3
Lecture trop rapide de l'énoncéExercice 2, Q6
De nombreux candidats ne déterminent pas une expression simple de f'(x) car ils ne lisent pas correctement la question et se contentent de dériver terme à terme.
« nombre de candidats ne lisent pas correctement la question et ne déterminent pas une expression simple de f′(x) »
4
Symétrie de AA^T affirmée sans preuveExercice 3, Q1
La plupart des candidats affirment que la matrice AA^T est symétrique sans aucune démonstration.
« affirment que la matrice AA⊤ est symétrique sans aucune démonstration »
5
Majoration de l'intégrale au lieu de l'intégrandeExercice 4, Q3
Beaucoup de candidats majorent la valeur absolue de l'intégrale au lieu de majorer la fonction à intégrer.
« Trop de copies majorent la valeur absolue de l’intégrale et non la fonction à intégrer »

Ce qui a été bien réussi

Les questions 10 et 11 de l'exercice 3, portant sur les polynômes de Lagrange, ont en général été bien traitées par les candidats qui les ont abordées.
La question 9 de l'exercice 4 a été en général bien réussie par les candidats ayant lu le sujet en entier et maîtrisant leur cours sur les espaces vectoriels normés.

Conseils du jury

Lire l'intégralité du sujet avant de commencer, ce qui aide à comprendre l'architecture et la démarche de chaque exercice.
Justifier chaque affirmation, comme la symétrie d'une matrice, plutôt que de l'énoncer sans démonstration.
Admettre clairement un résultat non démontré pour poursuivre l'exercice, plutôt que de produire un argument fallacieux.
Soigner les représentations graphiques demandées, qui aident à la compréhension et sont prises en compte par le jury.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

-Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
-Ne pas utiliser de correcteur.
-Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

EXERCICE 1

Pour tout réel

x

, on rappelle que la partie entière de

x

, notée

⌊x⌋

, est l'unique entier relatif

k

vérifiant :

k ⩽ x < k + 1.

Soit

X

une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre

p

avec

p \in ]0, 1[

sur l'espace probabilisé

(Ω, 𝒜, ℙ)

.
Le but de l'exercice est de déterminer la loi de

Y

, la variable aléatoire définie par :

Y = [X + 1; 2].

1.Représenter dans un repère orthonormal la fonction $x \mapsto ⌊(x + 1)/2⌋$ sur l'intervalle [-2, 2].
2.Déterminer $Y(Ω)$ .
3.Soit $k$ un entier naturel non nul.
Écrire l'événement $(Y = k)$ à l'aide d'événements $(X = j)$ où $j$ est un entier naturel non nul.
4.Déterminer la loi de $Y$ .

EXERCICE 2

Question préliminaire
En utilisant l'égalité $cos(2θ) = 2cos^2(θ) - 1$ pour $θ \in ℝ$ , démontrer que la suite $(cos(n))_(n \in ℕ)$ ne converge pas vers 0.
On considère la série entière $\sum_(n ⩾ 1)a_n x^n$ où :

\foralln \in ℕ^*, a_n = (cos(n))/n.

On note

R

son rayon de convergence.

2.Montrer que $R ⩾ 1$ .
3.Prouver que la série de terme général $cos(n)$ diverge.
4.En déduire la valeur de $R$ .
On note alors, pour tout $x \in ] - R, R[, f(x) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)(cos(n))/nx^n$ .
5.Donner le rayon de convergence et la somme de la série entière définie par : $\sum_(n = 0)^(+ \infty)e^(in)x^n$ où i désigne le nombre complexe usuel tel que $i^2 = - 1$ .
6.En déduire une expression simple de $f^'(x)$ pour tout $x \in ] - R, R[$ .
7.Déterminer alors une expression de la somme de la série entière proposée à l'aide de fonctions usuelles.

8.En déduire le rayon de convergence et la somme $g(x)$ de la série entière $\sum_(n ⩾ 1)(cos^2(n/2))/nx^n$ .

EXERCICE 3

Soit

n

un entier naturel non nul. On considère une matrice

A

ℳ_n(ℝ)

telle que

A^⊤ = 3A^2 - A - I_n

où

A^⊤

désigne la transposée de la matrice

A

1.Démontrer que la matrice $B = 3A^3 - A^2 - A$ est symétrique réelle.
2.Montrer que les valeurs propres de $B$ sont réelles, positives ou nulles.
On pourra étudier le signe de $Y^⊤BY$ pour un vecteur $Y$ de $ℝ^n$ .
3.Montrer que l'on a: $A = 3(A^⊤)^2 - A^⊤ - I_n$ .
4.En déduire que le polynôme $P(X) = (3X^2 - X - 1)^2 - X^2$ est annulateur de la matrice $A$ .
5.Déterminer un polynôme unitaire annulateur de $A^⊤$ .
6.Factoriser $P$ en produit de polynômes irréductibles dans $ℝ[X]$ .
7.La matrice $A$ est-elle inversible?
8.Établir que la matrice $A$ est diagonalisable et préciser ses valeurs propres possibles.
9.Soit $λ$ une valeur propre de $A$ et $V$ un vecteur propre associé.
Montrer que $V$ est aussi vecteur propre de $A^⊤$ .
10.On note $α_1 = 1, α_2, α_3, α_4$ les racines du polynôme $P$ .
On appelle $ℒ = (L_1, L_2, L_3, L_4)$ la famille des polynômes de Lagrange associée à cette famille de scalaires, c'est-à-dire les polynômes $(L_i)_(i \in [ [1, 4] ])$ de $ℝ_3[X]$ , espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3 à coefficients réels, tels que :
$ù∀(i, j) ∈ [ [1, 4] ]^2, L_i(α_j) = δ_(ij) où δ_(ij) = {1 si j = i; 0 sinon (symbole de Kronecker).$
10.1.Déterminer $L_1$ sous forme d'un produit de polynômes irréductibles de $ℝ[X]$ .
10.2.Vérifier que $ℒ$ est une base de $ℝ_3[X]$ .
10.3.Soit $R \in ℝ_3[X]$ , . Déterminer les coordonnées du polynôme $R$ dans la base $ℒ$ .
11.Étude des puissances de $A$
- 11.1.Soit $k \in ℕ^*$ .
  - 11.1.1.Exprimer le reste de la division euclidienne de $X^k$ par le polynôme $P$ dans la base $ℒ$ .
  - 11.1.2.En déduire une expression de $A^k$ .
- 11.2.Démontrer que la suite $(A^k)_(k \in ℕ^*)$ converge vers une matrice de projection.
  Exprimer cette matrice à l'aide de la matrice $A$ et $des(L_i)_(i \in [ [1, 4] ])$ .

EXERCICE 4

Questions préliminaires

1.Démontrer qu'une fonction $f$ de classe $C^1$ sur un segment $J$ est lipschitzienne sur $J$ .
2.Démontrer qu'une fonction $k$ -lipschitzienne sur un intervalle $I$ est uniformément continue sur cet intervalle.

Soient

E

l'espace vectoriel des fonctions continues par morceaux bornées sur

ℝ

à valeurs dans

ℝ

F

l'espace vectoriel des fonctions continues par morceaux à valeurs dans

ℝ

et intégrables sur

ℝ

.
On rappelle que :

\forallg \in F, ‖g‖_1 = \int_ℝ|g(t)|dt

\forallf \in E, ‖f‖_\infty = Sup_(t \in ℝ)|f(t)|

définissent des normes respectivement sur les espaces

F

E

Soient

g \in F

f \in E

3.Montrer que la fonction :
$x ⟼ (f⋆g)(x) = \int_(- \infty)^(+ \infty)f(x - t)g(t)dt$
est bien définie sur $ℝ$ .
4.Démontrer que $f⋆g = g⋆f$ .
5.On pose $f_1 : x ∈ ℝ ↦ {1, si, x ∈ [ − 1/2, 1/2]; 0, sinon$
- 5.1.Représenter la fonction $f_1$ dans un repère orthonormal.
- 5.2.La fonction $f_1$ est-elle continue sur $ℝ$ ?
6.Étude de $f_1⋆g$
- 6.1.Montrer que $f_1⋆g$ est bien définie sur $ℝ$ .
- 6.2.Si $g$ est $k$ -lipschitzienne sur $ℝ$ , prouver que la fonction $f_1⋆g$ est uniformément continue sur $ℝ$ .
- 6.3.Démontrer que pour tout $x$ réel :
  $(f_1⋆g)(x) = \int_(x - 1/2)^(x + 1/2)g(u)du$
- 6.4.Si $g$ est continue sur $ℝ$ , prouver que $f_1⋆g$ est de classe $C^1$ sur $ℝ$ et calculer sa dérivée.
7.Étude de $f_1⋆f_1$
- 7.1.Justifier que $f_1⋆f_1$ existe.
- 7.2.Déterminer l'expression de $(f_1⋆f_1)(x)$ suivant les valeurs du réel $x$ .
- 7.3.Représenter la fonction $f_1⋆f_1$ dans un repère orthonormal.
- 7.4.La fonction $f_1⋆f_1$ est-elle continue sur $ℝ$ ?

8.Soit $α$ un réel strictement positif.
On note $h_α$ la fonction définie par : $\forallx \in ℝ, h_α(x) = 1/αf_1(x/α)$ .
- 8.1.Représenter graphiquement la fonction $h_2$ dans un repère orthonormal.
- 8.2.Vérifier que l'on a : $\int_(- \infty)^(+ \infty)h_α(x)dx = 1$ .
- 8.3.Soit $x_0$ un point en lequel la fonction $g$ est continue.
  Montrer que : $lim_(α \to 0)(h_α⋆g)(x_0) = g(x_0)$ .
9.Étude d'une norme subordonnée
- 9.1.Montrer que pour tout $h$ dans $E : ‖h⋆g‖_\infty ⩽ ‖g‖_1‖h‖_\infty$ .
- 9.2.Montrer que l'endomorphisme $Φ$ de $(E, ‖.‖_\infty)$ qui à tout $h$ associe $h⋆g$ est continu.
- 9.3.En déduire une majoration de $‖‖Φ‖$ (norme subordonnée de $Φ$ ).
10.On suppose dans cette question que $g$ est une fonction bornée, continue par morceaux et que $f$ vérifie la propriété :
$é \existsA > 0 tel que \forallx vérifiant |x| ⩾ A, f(x) = 0$
Montrer que $f⋆g$ est uniformément continue sur $ℝ$ .

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de maths E3A MP 2024 ?

D'après le rapport du jury, il comporte quatre exercices indépendants : une variable aléatoire discrète, une série entière liée à la suite (cos(n)), une matrice réelle vérifiant A^T = 3A² - A - In, et la convolution de deux fonctions.

Le sujet E3A maths MP 2024 est-il difficile ?

Le jury signale que de nombreux candidats ne maîtrisent pas les bases d'algèbre linéaire ni les théorèmes d'analyse de deuxième année, et que certaines questions, notamment la dernière de l'exercice sur la convolution, ont été très peu traitées.

L'exercice de probabilités du sujet E3A MP 2024 est-il bien traité par les candidats ?

Non : le rapport indique que près de 30 % des candidats n'abordent pas cet exercice, alors qu'un exercice de probabilités est systématiquement proposé.

Quelles notions sont mobilisées dans l'exercice sur les matrices du sujet E3A MP 2024 ?

L'exercice étudie une matrice réelle vérifiant A^T = 3A² - A - In, sa symétrie, ses valeurs propres et une base construite à partir de polynômes de Lagrange.

Pas de description pour le moment

Commentaires• E3A Mathématiques MP 2024

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...