E3A Mathématiques MP 2026Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Opérateur de translation sur les polynômes, intégrales et fonction zêta, transformée logarithmique d'une variable aléatoire

Le sujet se compose de trois exercices indépendants. Le premier étudie l'endomorphisme P donne P(X+1) sur les polynômes de degré au plus n-1, le deuxième exprime une intégrale à paramètre à l'aide de la fonction zêta et d'une série entière, le troisième étudie une fonction construite à partir d'une variable aléatoire finie à l'aide des développements limités.

1Exercice 1 : l'endomorphisme de translationdeuxième annéeMatrice dans la base canonique, polynôme caractéristique, diagonalisabilité, inverse et puissances, puis nilpotence de u moins l'identité et relation de récurrence à coefficients entiers.
2Exercice 2 : calculs d'intégrales et fonction zêtadeuxième annéeConvergence d'intégrales, interversion série/intégrale, développement en série entière d'une intégrale à paramètre et calcul de l'intégrale de ln(t)/(t-1) sur [0,1].
3Exercice 3 : développements limités et probabilitésQuestion de cours sur deux développements limités, puis étude d'une fonction associée à une variable aléatoire finie : prolongement dérivable, lien avec l'espérance, limites et comportement pour une somme de variables indépendantes.

Difficulté moyenne. Le jury qualifie plusieurs questions de faciles ou simples, mais la moyenne est de 7,25 et la fin des exercices 2 et 3 n'a presque pas été traitée.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7,25 / 20 · écart-type 4,11 · 2 911 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 7,25/ 20
Écart-type: 4,11
Présents: 2 911
Coefficient: 9
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 23 avril 2026. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Matrice d'un endomorphisme dans une base · Confusions sur la diagonalisabilité · Récurrences et nilpotence non démontrées

Le jury relève un manque général de rigueur : quantificateurs absents, théorèmes invoqués sans vérifier leurs hypothèses, affirmations sans démonstration. Il constate des lacunes inquiétantes en algèbre linéaire de base, une maîtrise fragile des intégrales généralisées et des théorèmes d'interversion, et des développements limités usuels mal connus. Il signale aussi un nombre croissant de copies mal présentées et annonce des points de barème consacrés à la présentation.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Matrice d'un endomorphisme dans une baseExercice 1, questions 1.2 et 1.3
Beaucoup de copies laissent des puissances de X dans la matrice ou développent mal (X+1) puissance j avec la formule du binôme.
« il est inadmissible qu’un étudiant de MP ne sache pas écrire le matrice d’un endomorphisme dans une base. »
2
Confusions sur la diagonalisabilitéExercice 1, questions 1.5 et 2.2
Des candidats confondent matrice triangulaire, diagonale, inversible et diagonalisable, ou affirment que (X-1) puissance n est scindé à racines simples.
« Beaucoup de candidats ont l’air de confondre matrice triangulaire et matrice diagonale. »
3
Récurrences et nilpotence non démontréesExercice 1, questions 1.8 et 2.1
Une récurrence dite évidente ne suffit pas pour les puissances de u, et le théorème de Cayley-Hamilton est rarement utilisé pour montrer la nilpotence.
« Trop peu de candidats pensent au théorème de Cayley Hamilton. »
4
Convergence d'intégrales sans valeur absolueExercice 2, question 2
La continuité est rarement invoquée, les équivalents sont mal utilisés et la convergence absolue est souvent oubliée.
« La valeur absolue est quasiment toujours oubliée. »
5
Théorèmes d'interversion mal justifiésExercice 2, questions 5, 7.2 et 11
Les énoncés des théorèmes d'interversion série/intégrale ou limite/série sont peu maîtrisés et leurs hypothèses rarement vérifiées.
« Quasiment aucune justification correcte de ce résultat. »
6
Développements limités usuelsExercice 3, questions 1, 2.2.2 et 3.2
Les développements limités de exp(at) et ln(1+at) en 0 sont souvent faux, et le prolongement obtenu est seulement continu au lieu d'être dérivable.

Ce qui a été bien réussi

Le polynôme caractéristique (question 1.4 de l'exercice 1) pose en général peu de difficulté.
Le calcul de M inverse (question 1.7) est bien traité par ceux qui ont trouvé l'expression de u inverse.
La question 4 de l'exercice 2 est en général bien traitée, surtout en passant par la partie imaginaire d'une exponentielle complexe.

Conseils du jury

Énoncer clairement les hypothèses d'un théorème et les vérifier avant de l'appliquer.
Utiliser les questions préliminaires et les résultats donnés par l'énoncé pour avancer, sans modifier l'énoncé (par exemple en fixant n = 2).
Relire sa copie pour éviter les contradictions entre deux lignes.
Présenter proprement la copie, dans l'ordre des questions, car des points de barème y sont consacrés.
Connaître par cœur les développements limités usuels et la somme d'une série géométrique avec son domaine de validité.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

-Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
-Ne pas utiliser de correcteur.
-Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

EXERCICE 1

Soit

n

un entier naturel supérieur ou égal à 5 .
On rappelle que

ℂ_(n - 1)[X]

est le

ℂ

-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à

n - 1

, à coefficients complexes.

Dans tout l'exercice, on confondra un polynôme et sa fonction polynomiale associée.
Pour tout endomorphisme

v

ℂ_(n - 1)[X]

et tout entier naturel

m

, on rappelle que :

v^0 =

Id où Id est l'endomorphisme identité de

ℂ_(n - 1)[X]

et lorsque

m

est non nul,

v^m = v \circ v^(m - 1)

On considère l'application

u

définie par :

ù \forallP \in ℂ_(n - 1)[X], u(P) = Q où Q(X) = P(X + 1).

Étude de $u$

1.1.Vérifier que $u$ est un endomorphisme de $ℂ_(n - 1)[X]$ .
1.2.Soit $ℬ = (P_0, P_1, \dots, P_(n - 1))$ la base canonique ordonnée de $ℂ_(n - 1)[X]$ , c'est à dire :
$\forallj \in [ [0, n - 1] ], P_j(X) = X^j.$
Pour tout $j \in [ [0, n - 1] ]$ , déterminer l'expression de $u(P_j)$ dans la base $ℬ$ .
1.3.Déterminer alors la matrice $M$ de $u$ dans la base $ℬ$ .
On fera clairement apparaître sur la copie les deux premières colonnes ainsi que la $k$ -ième colonne de la matrice $M$ pour un entier naturel $k \in [ [3, n - 2] ]$ .
1.4.Déterminer le polynôme caractéristique $χ_u$ de l'endomorphisme $u$ .
1.5.L'endomorphisme $u$ est-il diagonalisable?
1.6.Justifier que l'endomorphisme $u$ est un automorphisme de $ℂ_(n - 1)[X]$ et préciser $u^(- 1)$ .
1.7.Déterminer $M^(- 1)$ .
1.8.Soit $k \in ℕ$ . Déterminer $u^k$ .

On note $Δ = u - Id$ .

2.1.Montrer que $Δ$ est nilpotent avec : $Δ^n = 0$ .
2.2.L'endomorphisme $Δ$ est-il diagonalisable?

Démontrer qu'il existe des entiers relatifs $(a_k)_(k \in [ [0, n - 1] ]) \in ℤ^n$ , que l'on déterminera, tels que :

\forallP \in ℂ_(n - 1)[X], P(X + n) + \sum_(k = 0)^(n - 1)a_k P(X + k) = 0.

EXERCICE 2

Dans tout l'exercice,

a

désigne un nombre réel.
Pour tout réel

s > 1

, on appelle

ζ(s) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^s)

et l'on rappelle que :

ζ(2) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^2) = (π^2)/6

1.Justifier la convergence de la série de terme général $u_n = 1/(n^2 + a^2)$ .
2.Justifier l'existence de l'intégrale $\int_0^(+ \infty)(sin(at))/(e^t - 1) dt$ .
3.Prouver que, pour tout $t > 0, 1/(e^t - 1) = \sum_(k = 1)^(+ \infty)e^(- kt)$ .
4.Prouver que : $\forallk \in ℕ^*, \int_0^(+ \infty)(sin(at))e^(- kt) dt = a/(a^2 + k^2)$ .
5.Démontrer que : $\int_0^(+ \infty)(sin(at))/(e^t - 1) dt = a\sum_(k = 1)^(+ \infty)1/(a^2 + k^2)$ .
On pourra utiliser, en la démontrant, l'inégalité valable pour tout $x \in ℝ : |sin(x)| ⩽ |x|$ .
Le théorème utilisé sera cité avec précision et on s'assurera que ses hypothèses sont bien vérifiées.
6.Déterminer : $lim_(a \to 0)\sum_(k = 1)^(+ \infty)1/(a^2 + k^2)$ .
Le théorème utilisé sera cité avec précision et on s'assurera que ses hypothèses sont bien vérifiées.
7.Développement en série entière de la fonction $H : a ⟼ \int_0^(+ \infty)(sin(at))/(e^t - 1) dt$
7.1. Prouver que :
$\foralla \in ] - 1, 1[, \forallk ⩾ 1, 1/(a^2 + k^2) = 1/(k^2)\sum_(n = 0)^(+ \infty)(- 1)^n(a/k)^(2n).$
7.2.Démontrer alors que :
$\foralla \in ] - 1, 1[, H(a) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)(- 1)^n ζ(2n + 2)a^(2n + 1).$
7.3.Montrer que $H$ est de classe $C^\infty$ sur $] - 1, 1[$ .
7.4.Déterminer $H^((p))(0)$ pour tout $p \in ℕ$ .
8.Montrer que l'intégrale $\int_0^1(ln(t))/(t - 1) dt$ est convergente.
9.Montrer que : $\forallp \in ℕ$ , l'intégrale $I_p = \int_0^1 t^p ln(t)dt$ converge.
10.Soit $p \in ℕ$ . Calculer $I_p$ .
11.Prouver que :
$\int_0^1(ln(t))/(t - 1) dt = \sum_(p = 1)^(+ \infty)1/(p^2).$
Le théorème utilisé sera cité avec précision et on s'assurera que ses hypothèses sont bien vérifiées.
12.Déterminer enfin la valeur de $\int_0^1(ln(t))/(t - 1) dt$ .

EXERCICE 3

Question de cours

1.Soient $a$ un réel non nul et $n$ un entier naturel non nul, écrire le développement limité en 0 des fonctions :
- - $t \mapsto e^(at)$ à l'ordre $n$ ,
- - $t \mapsto ln(1 + at)$ à l'ordre 2.

Pour

X

une variable aléatoire discrète finie, à valeurs dans

ℝ_+

, définie sur un espace probabilisé

(Ω, 𝒜, ℙ)

, on note

(x_i)_(i \in [ [1, k] ])

avec

0 ⩽ x_1 < \dots < x_k

, où

k

est un entier naturel supérieur ou égal à 1 , les valeurs prises par la variable aléatoire

X

avec une probabilité non nulle. On pose :

\foralli \in [ [1, k] ], ℙ(X = x_i) = p_i > 0.

On définit alors l'application

Φ_X

ℝ^*

dans

ℝ

par :

\forallt \in ℝ^*, Φ_X(t) = 1/tln(\sum_(i = 1)^k p_i e^(x_i t)).

2.Étude d'exemples
- 2.1.Déterminer $Φ_X$ si $X$ est une variable aléatoire certaine à valeur dans $ℝ_+$ .
- 2.2.Soit $Z$ une variable aléatoire telle que :
  $ℙ(Z = 0) = ℙ(Z = 1) = 1/2.$
  - 2.2.1.Déterminer, pour tout $t \in ℝ^*, Φ_Z(t)$ .
  - 2.2.2.Montrer que $Φ_Z$ peut être prolongée en une fonction $Φ~_Z$ dérivable sur $ℝ$ .
3.Étude générale. On suppose pour la suite que $k ⩾ 2$ .
- - 3.1.Déterminer un développement limité de $Φ_X$ à l'ordre 1 en 0.
  - 3.2.En déduire que $Φ_X$ peut être prolongée en une fonction $Φ~_X$ dérivable sur $ℝ$ .
  - 3.3.Montrer que $Φ~_X(0)$ est égal à $𝔼(X)$ , l'espérance de la variable aléatoire $X$ .
  - 3.4.Reconnaître $Φ~_X^'(0)$ .
  - 3.5.Déterminer les limites de $Φ~_X$ en $+ \infty$ et $- \infty$ .
  - 3.6.La fonction $Φ~_X$ peut-elle être impaire ? On justifiera soigneusement la réponse proposée.
- 4.Soit $t \in ℝ^*$ . Déterminer une relation entre $Φ_X(t)$ et $𝔼(e^(tX))$ , espérance de la variable aléatoire $e^(tX)$ .
- 5.Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes finies, à valeurs dans $ℝ_+$ et indépendantes. Trouver une relation entre $Φ_(X + Y), Φ_X$ et $Φ_Y$ .

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths e3a MP 2026 ?

Il porte sur la réduction des endomorphismes (polynômes, nilpotence), les intégrales généralisées, les séries de fonctions et séries entières, les développements limités et les variables aléatoires discrètes.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths e3a MP 2026 ?

Selon le rapport du jury, la moyenne est de 7,25 avec un écart-type de 4,11, sur 2911 copies.

Quelles erreurs le jury e3a maths MP 2026 a-t-il le plus relevées ?

L'écriture de la matrice d'un endomorphisme, les confusions entre triangulaire et diagonalisable, les théorèmes d'interversion appliqués sans vérifier les hypothèses et des développements limités usuels mal connus.

Le sujet de maths e3a MP 2026 est-il faisable en première année ?

Pas entièrement : le jury précise que les exercices d'algèbre linéaire et d'analyse mobilisent le cours de deuxième année.

Pas de description pour le moment

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