E3A Mathématiques MPI 2026Sujet et rapport du jury

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MPI

MATHEMATIQUES

• -Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
• -Ne pas utiliser de correcteur.
• -Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

EXERCICE 1

Questions préliminaires

• 1.Vérifier que φ : t ↦ t^n est une fonction convexe sur ]0, 1[.
• 2.Écrire l'inégalité de convexité de Jensen pour cette fonction.
• 3.Soient p un entier naturel supérieur ou égal à 2 et J la matrice de ℳ_p(ℝ) dont tous les coefficients sont égaux à 1 . On note I_p la matrice identité de ℳ_p(ℝ).
• 3.1.Déterminer un polynôme annulateur de J de degré 2.
• 3.2.En déduire les valeurs propres possibles de I_p + J.
• 3.3.Justifier alors que la matrice I_p + J appartient à 𝒮_p^(+ +)(ℝ), c'est-à-dire que I_p + J est une matrice symétrique réelle définie positive.

• - X_j(ω) = 0 si α_j est obtenu au moins une fois à l'issue de ces n épreuves,
• - X_j(ω) = 1 sinon, c'est-à-dire si α_j n'est jamais obtenu.

• 4.Une expression de l'espérance de X
• 4.1.Soit j ∈ [ [1, r] ]. Déterminer la loi de X_j.
• 4.2.Exprimer la variable aléatoire X à l'aide des variables (X_j)_(j ∈ [ [1, r] ]).
• 4.3.Démontrer alors que l'espérance de la variable aléatoire X est : 𝔼(X) = ∑_(j = 1)^r(1 − x_j)^n.
• 5.La suite de l'exercice consiste à rechercher les valeurs des réels x_j pour lesquelles l'espérance 𝔼(X) est minimale.
  Cela revient à dire que l'on cherche un minimum pour la fonction f : (x_1, …, x_r) ∈ ℝ^r ↦ ∑_(j = 1)^r(1 − x_j)^n sous la contrainte :
  ∀k ∈ [ [1, r] ], x_k > 0 et ∑_(j = 1)^r x_j = 1.
  On pose U = {(x_1, …, x_(r − 1)) ∈ ℝ^(r − 1), ∀k ∈ [ [1, r − 1] ], x_k > 0 et ∑_(j = 1)^(r − 1)x_j < 1}.
• 5.1.Représenter graphiquement U dans le plan, c'est-à-dire dans le cas où r = 3.
• 5.2.Justifier que U est un ouvert borné de ℝ^(r − 1).

• 5.3.Déterminer une fonction h, définie sur U, des r − 1 variables (x_j)_(j ∈ [ [1, r − 1] ]), telle que :
  h(x_1, …, x_(r − 1)) = 𝔼(X).
• 5.4.Prouver que h est de classe C^2 sur U.
• 5.5.Recherche des points critiques de h
  • 5.5.1.Soient j ∈ [ [1, r − 1] ] et m = (x_1, …, x_(r − 1)) ∈ U.
    Déterminer la j-ième coordonnée du vecteur gradient de la fonction h en m.
  • 5.5.2.Déterminer l'unique point critique b de h sur U.
  • 5.6.Conclusion
  • 5.6.1.Écrire la matrice Hessienne de h en b.
  • 5.6.2.Démontrer alors que :
    𝔼(X) admet un minimum local pour x_1 = ⋯ = x_r = 1/r.
    On pourra utiliser une question préliminaire.
  • 5.6.3.En utilisant la convexité de la fonction φ définie dans la question préliminaire, démontrer que :
    𝔼(X) est minimale si, et seulement si, x_1 = ⋯ = x_r = 1/r.

EXERCICE 2

• 1.Rappeler, sans démonstration, les valeurs de x ∈ ℝ pour lesquelles la série ∑_(n ⩾ 1)1/(n^x) converge. Lorsqu'il y a convergence, on note ζ(x) sa somme.
• 2.Rappeler, sans démonstration, la somme et l'intervalle de convergence de la série entière ∑_(n ⩾ 0)t^n.
  * * * * *
  On rappelle que si f est une fonction infiniment dérivable sur une partie I de ℝ, alors, pour tout entier naturel p, f^((p)) désigne la dérivée d'ordre p de la fonction f avec la convention f^((0)) = f.
  Pour tout k ∈ ℕ^∗ et tout x ∈ ℝ∖ℤ, on note, lorsque cela existe :
  E_1(x) = 1/x + ∑_(n = 1)^(+ ∞)(1/(x − n) + 1/(x + n)) et, pour k ⩾ 2, E_k(x) = 1/(x^k) + ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/((x − n)^k) + ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/((x + n)^k)
• 3.Justifier l'existence de E_1(x) pour tout x ∈ ℝ∖ℤ.
• 4.Soient x ∈ ℝ∖ℤ et k un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
  • 4.1.Étudier la nature des séries ∑_(n ⩾ 1)1/((x − n)^k) et ∑_(n ⩾ 1)1/((x + n)^k).

• 4.2.En déduire l'existence de E_k(x) pour tout k ⩾ 2.
• 5.Soit k ∈ ℕ^∗.
• 5.1.Démontrer que la fonction E_k est 1 -périodique.
• 5.2.Étudier la parité de la fonction E_k.
• 6.Une relation de récurrence
• 6.1.Prouver que pour tout k ∈ ℕ^∗, la fonction E_k est dérivable sur ℝ∖ℤ et que l'on a :
  ∀x ∈ ℝ∖ℤ, E_k^′(x) = − kE_(k + 1)(x).
• 6.2.En déduire que pour tout k ∈ ℕ^∗, la fonction E_k est de classe C^∞ sur ℝ∖ℤ et que :
  E_k = ((− 1)^(k − 1))/((k − 1)!)E_1^((k − 1)).
• 7.Montrer que pour tout x de ] - 1, 1 [ et pour tout entier naturel non nul n, la série ∑_(k ⩾ 0)(x^k)/(n^(k + 1)) converge et calculer sa somme.
• 8.Établir que pour tout x ∈ ] − 1, 1[, on a :
  ∑_(n = 1)^(+ ∞)(1/(n − x) − 1/(n + x)) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)∑_(s = 1)^(+ ∞)2/(n^(2s))x^(2s − 1).
• 9.Montrer que pour tout x non nul de ] − 1, 1[, on a :
  E_1(x) = 1/x − 2∑_(s = 1)^(+ ∞)ζ(2s)x^(2s − 1).
  Le théorème utilisé sera cité avec précision en vérifiant ses hypothèses avec soin.
• 10.En déduire que ∀k ∈ ℕ^∗, ∀x ∈ ] − 1, 1[, x ≠ 0,
  E_k(x) = 1/(x^k) + 2(− 1)^k∑_(s = 1)^(+ ∞)((2s − 1)/(k − 1))ζ(2s)x^(2s − k),
  avec la convention (m/p) = 0 si p > m.

EXERCICE 3

• 1.Dans cette question 𝕂 = ℝ
  • 1.1.Justifier que M est diagonalisable.
  • 1.2.Déterminer le rang de la matrice M.
  • 1.3.Justifier que 0 est valeur propre et donner son ordre de multiplicité.
  • 1.4.Démontrer alors que la matrice M possède deux valeurs propres non nulles (éventuellement égales) que l'on notera λ_1 et λ_2.
  • 1.5.Déterminer une base du sous-espace propre associé à la valeur propre 0.
  • 1.6.Soit λ un réel non nul.
    En résolvant le système MX = λX où X est un vecteur non nul de ℝ^n, montrer que λ_1 et λ_2 sont solutions de l'équation :
    λ^2 − λa_n − ∑_(j = 1)^(n − 1)a_j^2 = 0.
  • 1.7.Déterminer une base des sous-espaces propres de M associés à λ_1 et λ_2.
  • 1.8.Expliciter une matrice inversible P telle que P^(− 1)MP est diagonale.
    On précisera la matrice diagonale obtenue.
• 2.Étude du cas 𝕂 = ℂ
  • 2.1.Montrer que :
    M n'est pas diagonalisable si, et seulement si, {∑_(j = 1)^(n − 1)a_j^2 = 0; ou; a_n^2 + 4∑_(j = 1)^(n − 1)a_j^2 = 0
  • 2.2.Donner un exemple de matrice M non diagonalisable dans le cas où n = 3.