Approximations probabilistes : opérateur de Chen-Stein, inégalités de concentration et applications
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Le sujet développe des méthodes d'approximation par une loi de Poisson et des inégalités de concentration autour de la moyenne. Il construit d'abord l'opérateur de Chen-Stein pour mesurer l'écart entre une somme de variables de Bernoulli et une loi de Poisson, puis établit des inégalités de concentration à partir de l'espérance conditionnelle, avant de les appliquer à des sommes de variables indépendantes, aux permutations aléatoires et au modèle de Curie-Weiss en physique statistique.
1Partie préliminaire : lois de Poisson, inégalitésOn établit des inégalités de type Chernoff pour une variable aléatoire suivant une loi de Poisson.
2Partie 1 : opérateur de Chen-Stein et approximation poissonienneOn construit l'opérateur de Chen-Stein sur les fonctions bornées puis on l'utilise pour majorer l'écart entre la loi d'une somme de variables de Bernoulli, indépendantes ou dépendantes, et une loi de Poisson.
3Partie 2 : inégalités de concentrationOn rappelle les propriétés de l'espérance conditionnelle puis on établit, pour un couple de variables échangeables, une inégalité de concentration générale à partir d'une fonction exponentielle génératrice.
4Partie 3 : applicationsOn applique l'inégalité de concentration à une somme de variables indépendantes bornées, au nombre de points fixes d'une permutation aléatoire uniforme, puis à la magnétisation dans le modèle de Curie-Weiss.
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JEUDI 16 AVRIL 2026
08h00-14h00
FILIERE MP - Epreuve n° 7
MATHEMATIQUES D
Durée : 6 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Le sujet comprend 7 pages, numérotées de 1 à 7.
Approximations probabilistes
Notations et rappels
On note ℕ = {0, 1, 2, …} l'ensemble des entiers positifs, ℝ l'ensemble des réels et ℝ_+^∗ l'ensemble des réels strictement positifs.
Dans tout le sujet, pour λ ∈ ℝ_+^∗, Z_λ désigne une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre λ sur ℕ. On rappelle que ℙ(Z_λ = n) = (λ^n)/(n!)e^(− λ) pour tout entier n ≥ 0.
Soit Y une variable aléatoire à valeurs dans un sous-ensemble dénombrable E ⊂ ℝ. Lorsque E ⊂ [0, ∞[, on note 𝔼[Y] = ∑_(y ∈ E)yℙ(Y = y) ∈ [0, ∞] l'espérance de Y. La variable aléatoire Y est dite L^1 si 𝔼[|Y|] < ∞, et dans ce cas on écrit Y ∈ L^1. Lorsque Y ∈ L^1, on rappelle que 𝔼[Y] = ∑_(y ∈ E)yℙ(Y = y) < ∞ est l'espérance de Y.
Enfin, on admet que toutes les variables aléatoires mises en jeu dans le sujet sont définies sur le même espace de probabilité (Ω, A, ℙ).
À tout moment il est possible d'admettre le résultat d'une question et de l'utiliser ultérieurement, à condition de l'indiquer clairement.
Le sujet est long et comporte des questions délicates : il est tout à fait normal de bloquer sur des questions et il est possible de réussir l'épreuve sans traiter une part substantielle du sujet.
La clarté, la concision et la précision de la rédaction seront prises en compte dans la notation.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat ou une candidate repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il ou elle le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il ou elle est amenée à prendre.
Les dépendances entre les parties sont les suivantes :
-La partie 1 est indépendante du reste du sujet.
-La partie 2.2 utilise des résultats de la partie 2.1.
-Les parties 3.1, 3.2 et 3.3 sont indépendantes entre elles, mais utilisent des notations et résultats de la partie 2.
Partie préliminaire : lois de Poisson, inégalités
Les résultats de cette partie préliminaire pourront être utiles ultérieurement dans le sujet.
Soit λ ∈ ℝ_+^∗.
(1)Calculer la fonction génératrice de Z_λ.
(2)(2a) Montrer que pour tous u, r > 0 on a ℙ(Z_λ ≥ r) ≤ e^(− ur)𝔼[e^(uZ_λ)].
(2b) Montrer pour tout r ≥ λ on a ℙ(Z_λ ≥ r) ≤ exp(− rln(r) + rln(λ) + r − λ).
(2c) Montrer que pour tout r ∈ ]0, λ] on a ℙ(Z_λ ≤ r) ≤ exp(− rln(r) + rln(λ) + r − λ).
(3)Montrer que pour tout entier k ≥ 1 on a ln(k!) ≤ (k + 1)ln(k) − k + 1.
1. Opérateur de Chen-Stein et approximation poissonienne
1.1. Opérateur de Chen-Stein
Dans toute cette partie, λ désigne un réel strictement positif. Étant donnée une fonction f : ℕ ⟶ ℝ, on définit pour tout entier n ≥ 0
ℒ_λ f(n) = λf(n + 1) − nf(n);
ainsi ℒ_λ f est une fonction définie sur ℕ à valeurs dans ℝ.
On note F l'espace vectoriel des fonctions bornées définies sur ℕ à valeurs dans ℝ muni de la norme
‖f‖_∞ = sup_(n ≥ 0)|f(n)|
pour f ∈ F.
On note G_λ l'ensemble des fonctions f : ℕ → ℝ telles que f(Z_λ) ∈ L^1, et on admet que c'est un ℝ-espace vectoriel. On munit G_λ de la norme
‖f‖_((λ)) = 𝔼[|f(Z_λ)|]
pour f ∈ G_λ.
(4)(4a) Montrer que ‖ ⋅ ‖_((λ)) définit bien une norme sur G_λ.
(4b) Montrer que ℒ_λ définit une application linéaire continue de F dans G_λ.
(4c) Montrer que si f ∈ F et si X est une variable aléatoire L^1 à valeurs dans ℕ, alors ℒ_λ f(X) ∈ L^1.
(5)(5a) Soit X une variable aléatoire L^1 à valeurs dans ℕ. Montrer que X suit une loi de Poisson de paramètre λ si et seulement si 𝔼[ℒ_λ f(X)] = 0 pour tout f ∈ F.
(5b) Soit g ∈ F. Montrer que si 𝔼[g(Z_λ)] ≠ 0 alors il n'existe pas de fonction f ∈ F telle que ℒ_λ f = g.
(6)Soit g ∈ F. Démontrer qu'il existe une unique fonction h_g : ℕ → ℝ vérifiant h_g(0) = 0 et ℒ_λ h_g = g
et montrer que pour tout k ≥ 0 on a h_g(k + 1) = 1/(λℙ(Z_λ = k))∑_(j = 0)^k ℙ(Z_λ = j)g(j).
(7)Montrer que si g ∈ F et 𝔼[g(Z_λ)] = 0 alors ‖h_g‖_∞ ≤ e‖g‖_∞. Selon l'approche choisie, il est possible qu'il soit plus naturel d'identifier une autre borne explicite (possiblement meilleure), tout résultat numérique explicite sera valorisé.
(8)Soit X une variable aléatoire à valeurs dans ℕ. Montrer que sup_(A ⊂ ℕ)|ℙ(X ∈ A) − ℙ(Z_λ ∈ A)| ≤ esup{𝔼[ℒ_λ f(X)] : f ∈ F, ‖f‖_∞ ≤ 1}.
1.2. Sommes de variables aléatoires et approximation poissonienne
Soit N ≥ 2 un entier. Dans cette partie, (X_i)_(1 ≤ i ≤ N) sont des variables aléatoires telles que pour tout 1 ≤ i ≤ N, X_i suit une loi de Bernoulli de paramètre p_i ∈ ]0, 1[. On pose
B_1 = ∑_(i = 1)^N p_i^2, λ = ∑_(i = 1)^N p_i,
et
W = ∑_(i = 1)^N X_i, W_i = ∑_(j = 1, j ≠ i)^N X_j pour 1 ≤ i ≤ N.
Dans cette partie 1.2, f désigne un élément de F.
1.2.1. Variables aléatoires indépendantes. - On suppose dans cette partie 1.2.1 que les variables aléatoires (X_i)_(1 ≤ i ≤ N) sont indépendantes.
(9b) En déduire que sup_(A ⊂ ℕ)|ℙ(W ∈ A) − ℙ(Z_λ ∈ A)| ≤ 2eB_1.
(10)Pour n ≥ 2, soit Y_n une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres (n, λ/n). Montrer que pour tout n ≥ 1 et pour tout entier k ≥ 0 on a |ℙ(Y_n = k) − (λ^k e^(− λ))/(k!)| ≤ (2eλ^2)/n.
1.2.2.Variables aléatoires dépendantes. - On ne suppose plus que les variables aléatoires (X_i)_(1 ≤ i ≤ N) sont indépendantes. Pour 1 ≤ i ≤ N, on définit l'ensemble D_i comme suit : D_i = {j ∈ {1, …, N} : j ≠ i, X_i et X_j ne sont pas indépendantes }.
On pose ensuite T_i = ∑_(j ∈ D_i)X_j, S_i = W − T_i − X_i.
On pose également p_(ij) = 𝔼[X_i X_j]
et B_2 = ∑_(i = 1)^N∑_(j ∈ D_i)p_i p_j, B_3 = ∑_(i = 1)^N∑_(j ∈ D_i)p_(ij).
(12)En déduire que sup_(A ⊂ ℕ)|ℙ(W ∈ A) − ℙ(Z_λ ∈ A)| ≤ 2e(B_1 + B_2 + B_3).
2. Inégalités de concentration
2.1. Espérance conditionnelle
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans un sous-ensemble dénombrable borné E de ℝ et soit Y une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble dénombrable F. On pose F_Y:={y ∈ F : ℙ(Y = y) > 0}. On note 𝔼[X|Y] la variable aléatoire φ(Y) où la fonction φ est définie comme suit. Pour y ∈ F,
φ(y) = {∑_(x ∈ E)xℙ(X = x|Y = y), si y ∈ F_Y; 0, sinon.
La fonction φ dépend donc de la loi jointe de X et de Y.
(13)(13a) Montrer que si X ≥ 0 presque sûrement, alors 𝔼[X|Y] ≥ 0 presque sûrement.
(13b) Justifier que 𝔼[X|Y] est L^1, et que 𝔼[𝔼[X|Y]] = 𝔼[X].
(13c) Montrer que pour toute fonction g : E → ℝ bornée on a 𝔼[g(X)|X] = g(X) presque sûrement.
(13d) Montrer que pour toute fonction h : F ⟶ ℝ bornée on a l'égalité 𝔼[h(Y)X|Y] = h(Y)𝔼[X|Y] presque sûrement.
(14)Soit Z une variable aléatoire à valeurs dans un sous-ensemble dénombrable borné E^′ de ℝ.
(14a) Montrer que si X et Y sont indépendantes, alors 𝔼[X|Y] = 𝔼[X] presque sûrement.
(14b) Montrer que si Z est indépendante de (X, Y), alors 𝔼[XZ|Y] = 𝔼[Z]𝔼[X|Y] presque sûrement.
(14c) Soit λ ∈ ℝ. Montrer que 𝔼[X + λZ|Y] = 𝔼[X|Y] + λ𝔼[Z|Y] presque sûrement.
2.2. Un énoncé abstrait
Soient W et W^′ deux variables aléatoires à valeurs dans un ensemble dénombrable E. On dit que le couple ( W, W^′ ) est échangeable si ( W, W^′ ) et ( W^′, W ) ont la même loi.
Dans toute cette partie 2.2, on suppose que le couple (W, W^′) est échangeable et on considère une fonction F : E^2 ⟶ ℝ bornée et qui vérifie F(x, y) = − F(y, x) pour tous x, y ∈ E. On note enfin φ la fonction telle que 𝔼[F(W, W^′)|W] = φ(W).
(15)Montrer que pour toute fonction h : E ⟶ ℝ bornée on a 𝔼[h(W)φ(W)] = 𝔼[h(W)F(W, W^′)] = 1/2𝔼[(h(W) − h(W^′))F(W, W^′)]
et 𝔼[φ(W)] = 0.
Dans la suite, on note Δ la fonction telle que
1/2𝔼[|(φ(W) − φ(W^′))F(W, W^′)||W] = Δ(W)
et pour θ ∈ ℝ on pose
m(θ) = 𝔼[e^(θφ(W))].
On admet qu'il existe deux constantes (déterministes) B ≥ 0 et C ≥ 0 telles que presque sûrement
Δ(W) ≤ Bφ(W) + C.
(16) (16a) Montrer que m(θ) < ∞ pour tout θ ∈ ℝ, que m est dérivable et que pour tout θ ∈ ℝ on a
(16b) Montrer que pour tout θ ≥ 0 on a m^′(θ) ≤ Bθm^′(θ) + Cθm(θ), et en déduire que pour tout θ ∈ [0, 1/B[ (avec la convention 1/0 = + ∞ lorsque B = 0 ) on a
lnm(θ) ≤ (Cθ^2)/(2(1 − Bθ))
(17) En prenant θ = t/(C + Bt), montrer que pour tout t ≥ 0 on a
ℙ(|φ(W)| ≥ t) ≤ 2e^(− (t^2)/(2C + 2Bt))
3. A_(pplications)
3.1. Sommes de variables indépendantes
Soit N ≥ 1 un entier. On considère dans cette partie des variables aléatoires (X_i)_(1 ≤ i ≤ N) indépendantes à valeurs dans un sous-ensemble dénombrable de ℝ (on ne les suppose pas forcément de même loi). On suppose qu'il existe une constante (déterministe) K > 0 telle que |X_i| ≤ K pour tout 1 ≤ i ≤ N.
On considère également des variables aléatoires (X_i^′)_(1 ≤ i ≤ N) telles que pour tout 1 ≤ i ≤ N, X_i^′ a la même loi que X_i et telles que ( X_1, …, X_N ) est indépendant de (X_1^′, …, X_N^′). Enfin, on considère I une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'ensemble {1, …, N}, indépendante de (X_1, X_2, …, X_N, X_1^′, X_2^′, …, X_N^′).
Pour tout 1 ≤ i ≤ N on pose
μ_i = 𝔼[X_i] et σ_i^2 = Var(X_i)
où Var(X) désigne la variance de la variable aléatoire réelle X. On pose également
On considère enfin pour tout 1 ≤ i ≤ N une constante (déterministe) c_i > 0 telle que
presque sûrement |X_i − μ_i| ≤ c_i.
(18) (18a) Montrer que (S_N, S_N^′) est échangeable.
(18b) Montrer que presque sûrement
𝔼[X_I|S_N] = (S_N)/N.
(19)Montrer que pour tout t ≥ 0 on a ℙ(|S_N − 𝔼[S_N]| ≥ t) ≤ 2exp(− (t^2)/(∑_(i = 1)^N(c_i^2 + σ_i^2))).
Indication. On pourra considérer la fonction F(x, y) = N(x − y).
(20)On suppose dans cette question que 0 ≤ X_i ≤ 1 pour tout 1 ≤ i ≤ N. Montrer que pour tout t ≥ 0 ℙ(|S_N − 𝔼[S_N]| ≥ t) ≤ 2exp(− (t^2)/(2𝔼[S_N] + t))
3.2. Permutations aléatoires
Soit N ≥ 1. On considère une variable aléatoire π_N à valeurs dans l'ensemble 𝒮_N des permutations de {1, 2, …, N} qui suit la loi uniforme. On considère également I et J deux variables aléatoires qui suivent la loi uniforme sur {1, …, N} telles que I, J, π_N sont indépendantes. On pose enfin π_N^′ = π_N ∘ (I, J) (où (i, j) désigne la transposition qui échange i et j pour i ≠ j et (i, i) désigne la permutation identité).
Soit (a_(i, j))_(1 ≤ i, j ≤ N) des nombres réels tels que 0 ≤ a_(i, j) ≤ 1 pour tout 1 ≤ i, j ≤ N. On pose
S_N = ∑_(i = 1)^N a_(i, π_N(i)).
(21)Montrer que (π_N, π_N^′) est un couple échangeable.
(24)Soit 1 ≤ i_0 ≤ N. Montrer que presque sûrement 𝔼[X_(i_0)|(X_j)_(1 ≤ j ≤ N, j ≠ i_0)] =tanh(βm_(i_0)(X) + βh) où on rappelle que tanh est la fonction tangente hyperbolique.
À partir de la variable aléatoire X, on construit maintenant une variable aléatoire X^′ =(X_1^′, …, X_N^′) à valeurs dans { − 1, 1}^N de la manière suivante :
-on considère un entier I ∈ {1, …, N} choisi uniformément au hasard, indépendant de X,
-pour tout j ≠ I, on pose X_j^′ = X_j,
-la loi de X_I^′ est définie comme suit : pour 1 ≤ i_0 ≤ N et (σ_1, …, σ_N) ∈ { − 1, 1}^N : ℙ(X_I^′ = 1|I = i_0, X_j = σ_j pour tout 1 ≤ j ≤ n) = 1/Cexp(βh + β/N∑_(j = 1, j ≠ i_0)^N σ_j) et
où C est une constante qui dépend de i_0, de (σ_j)_(j ≠ i_0), de β, de h et de N.
(25)(25a) Calculer la valeur de C.
(25b) Montrer que (X, X^′) est un couple échangeable.
(26)On note σ = (σ_1, …, σ_N), σ^′ = (σ_1^′, …, σ_N^′) et on pose F(σ, σ^′) = ∑_(i = 1)^N(σ_i − σ_i^′). Donner une expression de la fonction φ telle que 𝔼[F(X, X^′)|X] = φ(X).
(27)Montrer que |1/N∑_(i = 1)^N tanh(βm_i(X) + βh) − tanh(βm(X) + βh)| ≤ β/N
et en déduire que pour tout t ≥ 0 on a ℙ(|m(X) − tanh(βm(X) + βh)| ≥ β/N + t/(√N)) ≤ 2exp(− (t^2)/(4(1 + β))).
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques D MP 2026 des ENS ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques D MP 2026 des ENS ?
+
Il porte sur les probabilités discrètes, notamment la loi de Poisson, l'espérance conditionnelle et les inégalités de concentration, ainsi que sur les espaces vectoriels normés de fonctions bornées.
Les parties du sujet Maths D MP 2026 sont-elles indépendantes ?
+
La partie 1 est indépendante du reste du sujet. La partie 2.2 utilise des résultats de la partie 2.1, et les parties 3.1, 3.2 et 3.3 sont indépendantes entre elles mais utilisent les notations et résultats de la partie 2.
Ce sujet est-il purement probabiliste ou mobilise-t-il d'autres chapitres ?
+
Le sujet est essentiellement probabiliste, mais il s'appuie aussi sur des notions d'espaces vectoriels normés, de continuité d'applications linéaires et sur des inégalités de convexité classiques.
Le sujet fait-il intervenir des notions de physique ?
+
La dernière sous-partie applique les résultats probabilistes au modèle de Curie-Weiss, un modèle de physique statistique de la magnétisation, mais aucune connaissance de physique n'est nécessaire pour la traiter.
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