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Mines Mathématiques 1 MP 2007Sujet, corrigé et rapport du jury

Séries et caractères

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Caractères de Dirichlet modulo N et étude d'une série entière associée
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Le problème étudie les propriétés d'un caractère de Dirichlet χ modulo N et d'une série entière qui lui est associée. Il traite d'abord des cas particuliers simples (N=2, N=4), puis démontre la convergence de la série somme de χ(n)/n, avant d'étudier le comportement asymptotique d'une série entière construite à partir des sommes de χ(d) sur les diviseurs de n.

  1. 1I : cas particuliersDétermination de χ pour N=2, puis étude d'une série simple dans le cas N=4.
  2. 2II : convergence de la série somme de χ(n)/nMajoration des sommes partielles de χ et démonstration de la convergence de la série à l'aide du critère de Cauchy.
  3. 3III : comportement asymptotiqueÉtude de la fonction f_n, somme des χ(d) sur les diviseurs de n, et de la série entière associée.

Difficulté moyenne. Le rapport indique une moyenne de 8,67 (écart-type 4,21) et souligne que le sujet, bien adapté à la durée de l'épreuve, a permis de bien classer les candidats, la grande majorité ayant compris l'énoncé.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,67 / 20 · écart-type 4,21 · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,67/ 20
Écart-type
4,21
moyenne 8,6705101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Mauvais usage de l'hypothèse B · 0 considéré comme un nombre impair · Structure de Z/nZ et de son groupe des inversibles mal comprise
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La taille du problème était bien adaptée à la durée de l'épreuve. La très grande majorité des candidats a bien assimilé l'énoncé, et certains ont traité avec succès la quasi-totalité du problème. La rédaction est en général plus précise et mieux structurée que les années précédentes. La moyenne générale est de l'ordre de 8,67, avec un écart type de l'ordre de 4,21.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Mauvais usage de l'hypothèse BQ1

    Des erreurs de logique apparaissent dans l'utilisation de l'hypothèse B sur le caractère χ.

    « Des erreurs de logique ont été commises dans l'usage de l'hypothèse B. »
  2. 2
    0 considéré comme un nombre impairQ2

    Certains candidats ne considèrent pas 0 comme un nombre pair lors de l'étude du cas N=2.

    « Certains candidats ignorent que 0 est un nombre pair. »
  3. 3
    Structure de Z/nZ et de son groupe des inversibles mal compriseQ5

    La structure des ensembles Z/nZ et de son groupe des éléments inversibles est parfois mal comprise.

    « La structure des ensembles Z/nZ et (Z/nZ)* est parfois mal comprise. »
  4. 4
    Définition d'une suite de Cauchy mal maîtriséeQ11

    La définition d'une suite de Cauchy est souvent mal comprise lors de l'étude de la convergence de la série.

    « La définition d'une suite de Cauchy est souvent mal comprise. »
  5. 5
    Sommes partielles majorées confondues avec convergenceQ11

    Des candidats croient à tort qu'une série dont la suite des sommes partielles est majorée est nécessairement convergente.

    « Une série numérique dont la suite des sommes partielles est majorée n'est pas nécessairement convergente. »
  6. 6
    Diviseurs d'une puissance d'un nombre premier mal listésQ13

    Certains candidats ne savent pas donner la liste complète des diviseurs d'une puissance positive d'un nombre premier.

    « Certains candidats n'ont pas su donner la liste des diviseurs d'une puissance positive de p où p est un nombre premier. »

Ce qui a été bien réussi

  • La très grande majorité des candidats a bien assimilé l'énoncé et compris de quoi il retourne.
  • Certains candidats traitent avec succès la quasi-totalité du problème et impressionnent le jury.
  • La rédaction des candidats est en général plus précise et mieux structurée que lors des années précédentes.

Conseils du jury

  • Lire la totalité du sujet avant de commencer pour assimiler les notations.
  • Écrire lisiblement et encadrer les résultats obtenus.
  • Citer avec précision les théorèmes du cours et les résultats antérieurs utilisés, avec leurs numéros de question.
  • Indiquer nettement quand on admet un résultat plutôt que de rédiger de façon vague ou de bluffer.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2007

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Séries et caractères

Dans tout le problème, ℕ désigne l'ensemble des entiers, ℤ, l'ensemble des entiers relatifs et N un entier supérieur ou égal à 2 .
L'ensemble des classes d'équivalence pour la division euclidienne par N est noté ℤ/Nℤ. L'élément générique de cet anneau sera noté a¯. On note P l'ensemble des éléments de {1, ⋯, N − 1} qui sont premiers avec N. L'ensemble des éléments inversibles pour la multiplication de ℤ/Nℤ est noté (ℤ/Nℤ)^∗. On rappelle que φ, l'indicatrice d'Euler, est telle que φ(N) représente le cardinal de P. Si a divise b dans ℤ, on notera a|b.
On rappelle aussi le lemme suivant : soit ( u_k, k ∈ ℕ^∗ ) et ( α_k, k ∈ ℕ^∗ ) deux suites réelles. Si pour tout entier n ≥ 1, on pose
T_n = ∑_(k = 0)^n α_k
alors
∑_(k = n)^m α_k u_k = − u_n T_(n − 1) + ∑_(k = n)^(m − 1)T_k(u_k − u_(k − 1)) + u_m T_m,
pour n, m entiers tels que 2 ≤ n < m. On rappelle que pour tout x ∈ ] − 1, 1],
arctan(x) = ∑_(n = 0)^∞((− 1)^n)/(2n + 1)x^(2n + 1)
On suppose fixée une application χ de ℤ dans ℝ qui satisfait les propriétés suivantes:
A. χ(0) = 0 et χ non identiquement nul.
B. Pour tout a ∈ ℤ, non premier avec N,
χ(a) = 0.
C. Pour tous les entiers relatifs a et b,
χ(ab) = χ(a)χ(b).
D. χ est N-périodique :
χ(a + N) = χ(a), pour tout a ∈ ℤ.

I Cas particuliers

  1. Calculer χ(1).
  2. Lorsque N = 2, déterminer χ.
On suppose jusqu'à la fin de cette partie que N = 4.
3. Montrer que χ(3) ne peut prendre que les valeurs 1 ou -1 .
4. On suppose maintenant que χ(3) = − 1. Montrer la convergence et calculer la valeur de la série
∑_(n = 1)^∞(χ(n))/n

II Convergence de la série ∑_1^∞(χ(n))/n

Dans cette partie, a est un entier supérieur ou égal à 1 et premier avec N. Pour k ∈ {1, ⋯, N − 1}, on désigne par r_k le reste de la division de akparN.
5. En considérant le produit ∏_(k ∈ P)ak, montrer que a^(φ(N)) − 1 est divisible par N.
6. Montrer que |χ(a)| = 1.
7. Montrer que les r_k sont deux à deux distincts.
8. Établir l'identité:
∑_(k = 1)^(N − 1)χ(ak) = ∑_(k = 1)^(N − 1)χ(k)
On suppose dorénavant qu'il existe a premier avec N tel que χ(a) ≠ 1.
9. Pour chaque entier n, calculer ∑_(k = n)^(n + N − 1)χ(k). On pourra commencer par le cas n = 0.
10. Montrer, pour tout m > 0, l'inégalité
|∑_(k = 1)^m χ(k)| ≤ φ(N).
  1. Montrer que la suite (∑_(k = 1)^n(χ(k))/k, n ≥ 1) est convergente.

III Comportement asymptotique

Pour tout entier n ≥ 1, on pose
f_n = ∑_(d|n)χ(d)
  1. Soit n et m deux entiers strictement positifs, premiers entre eux. Montrer que f_(nm) = f_n f_m.
  2. Soit p un nombre premier et α ∈ ℕ^∗. Calculer f_p.
  3. Pour tout entier n ≥ 1, établir l'encadrement:
0 ≤ f_n ≤ n.
  1. Pour tout entier n ≥ 1, montrer que f_(n^2) ≥ 1.
  2. Déterminer le rayon de convergence de la série
∑_(n = 1)^∞f_n x^n
On note f(x) la somme de cette série.
17. Montrer pour tout x ∈ [1/2, 1[ :
f(x) ≥ 1/(√(− ln(x)))∫_(√(ln(2)))^(+ ∞)e^(− u^2) du
On pourra utiliser une comparaison d'une série à une intégrale.

FIN DU PROBLÈME

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de maths 1 Mines-Ponts MP 2007 ?
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Sur quoi porte le sujet de maths 1 Mines-Ponts MP 2007 ?

Il porte sur les caractères de Dirichlet modulo N et l'étude d'une série entière associée, mêlant arithmétique et analyse.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Mines-Ponts maths 1 MP 2007 ?

Des erreurs de logique sur les hypothèses du caractère, une mauvaise maîtrise de la structure de Z/nZ et de la définition d'une suite de Cauchy.

Quelle est la moyenne du sujet de maths 1 Mines-Ponts MP 2007 ?

Le rapport indique une moyenne générale de l'ordre de 8,67 sur 20, avec un écart-type de l'ordre de 4,21.

Ce sujet Mines-Ponts maths 1 MP 2007 est-il accessible en première année ?

Le rapport ne permet pas de répondre précisément à cette question ; il indique seulement que le sujet mobilise une partie du programme d'arithmétique élémentaire et d'analyse.

Pas de description pour le moment