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Centrale Mathématiques 1 MP 2007Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Comportement asymptotique de la moyenne temporelle d'un produit de fonctions périodiques : équation différentielle à coefficients périodiques, épicycloïde et problème de visibilité dans une forêt de points entiers
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Le problème unique de mathématiques 1, Centrale MP 2007, étudie dans une partie préliminaire la limite, quand t tend vers l'infini, de la moyenne temporelle du produit de deux fonctions continues périodiques de périodes différentes. Ce résultat sert ensuite de support à trois applications indépendantes : une équation différentielle à coefficients périodiques, l'étude géométrique de l'épicycloïde, et un problème de visibilité dans une forêt de points à coordonnées entières.

  1. 1Partie I : questions préliminairesQuestion de cours sur le théorème de la double limite, puis étude de la limite de la moyenne temporelle du produit de deux fonctions périodiques selon que le rapport de leurs périodes est rationnel ou non.
  2. 2Partie II : équation différentielleUtilisation du résultat préliminaire pour montrer qu'une solution périodique non nulle d'une équation différentielle à coefficients périodiques est aussi solution d'une équation à coefficients constants, moyennes des coefficients initiaux.
  3. 3Partie III : épicycloïdeÉtude géométrique de la courbe décrite par un point lié à un cercle roulant sans glisser sur un autre cercle, puis démonstration de sa densité dans une couronne lorsque le rapport des rayons est irrationnel.
  4. 4Partie IV : problème de visibilitéÀ l'aide d'une fonction créneau et de ses coefficients de Fourier, démonstration de l'existence d'un rayon de visibilité maximal dans une forêt de points entiers, puis volet algorithmique d'encadrement de ce rayon.

Difficile. Le rapport indique que le problème a dû apparaître déroutant à un grand nombre de candidats, qui devaient s'adapter à des applications variées, et qu'un grand nombre d'entre eux n'a pas été capable d'obtenir une note honorable malgré des questions parfois abordables avec un barème favorable.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Théorème de la double limite non démontré · Théorèmes sur les séries de Fourier cités mais mal exploités · Hypothèses du théorème du relèvement rarement vérifiées
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Le sujet, qui enchaînait trois applications variées d'un même résultat préliminaire, a dû apparaître déroutant à de nombreux candidats obligés de s'adapter rapidement à des domaines différents. Le texte comportait par ailleurs des questions imprécises, vides de sens ou fausses, notamment en (III,C,1) et (IV,A,4), ce qui a perturbé les candidats ayant sérieusement tenté d'établir le résultat demandé ; le barème en a tenu compte. Malgré des questions parfois élémentaires et favorablement notées, un grand nombre de candidats n'a pas obtenu une note honorable.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Théorème de la double limite non démontréI.A

    La majorité des candidats n'a pas été en mesure de démontrer le théorème de la double limite, alors que c'était la question de cours attendue ; nombreux sont ceux qui utilisent le théorème dont on demandait la preuve, ou qui manipulent les quantificateurs sans précaution.

    « nombreux sont ceux qui utilisent le théorème dont on demandait la preuve pour présenter leur démonstration »
  2. 2
    Théorèmes sur les séries de Fourier cités mais mal exploités

    Les théorèmes relatifs aux séries de Fourier sont souvent cités correctement par les candidats mais rarement utilisés de façon pertinente pour résoudre les questions.

    « Les théorèmes relatifs aux séries de FOURIER sont souvent cités correctement mais rarement utilisés de façon pertinente. »
  3. 3
    Hypothèses du théorème du relèvement rarement vérifiées

    Le théorème du relèvement est invoqué par les candidats sans que ses hypothèses soient réellement vérifiées.

    « Le théorème du relèvement est invoqué mais ses hypothèses sont rarement vérifiées. »
  4. 4
    Confusion entre fonction bornée et fonction intégrableIV.A

    De très nombreux candidats croient à tort qu'une fonction est intégrable sur un segment dès qu'elle y est bornée, notamment pour justifier les propriétés de la fonction créneau de la partie IV.

    « De très nombreux candidats croient qu'une fonction est intégrable sur un segment dès qu'elle y est bornée »
  5. 5
    Propriétés de l'épicycloïde incomplètement étudiéesPartie III

    Aucun candidat n'a été en mesure d'étudier de manière complète les propriétés demandées de l'épicycloïde ; peu trouvent son équation paramétrique et rares sont ceux qui connaissent la notion de point de rebroussement ou la formule d'aire d'un arc paramétré fermé.

    « Aucun candidat n'a été en mesure d'étudier de manière complète les propriétés de l'épicycloïde demandées. »
  6. 6
    Questions imprécises ou erronées de l'énoncéIII.C.1, IV.A.4

    Le texte proposé aux candidats comportait des questions imprécises, vides de sens ou fausses, en particulier en (III,C,1) et (IV,A,4), ce qui a perturbé un certain nombre de candidats ayant vraiment essayé d'établir le résultat demandé tel quel.

Ce qui a été bien réussi

  • L'imprécision sur le domaine des fonctions en (I,A) a été rectifiée de façon générale par les candidats.
  • Certaines questions étaient abordables, voire élémentaires, avec un barème favorable.
  • Le barème a su récompenser les quelques candidats qui ont proposé et démontré la version correcte de la question (III,C,1).

Conseils du jury

  • Connaître et comprendre la portée des notions de base plutôt que de les appliquer machinalement.
  • Maîtriser les divers outils fondamentaux du programme, en particulier les théorèmes relatifs aux séries de Fourier.
  • Ne pas se perdre dans des calculs longs et compliqués quand un raisonnement simple, appuyé sur un dessin, permet de conclure en quelques lignes (la question III.A.1 en est un bon exemple).
  • Utiliser les théorèmes de base de façon pertinente pour justifier chaque étape d'un problème.
  • Soigner le soin, la présentation et l'orthographe, qui relèvent le niveau du travail présenté même s'ils restent secondaires.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Les parties 2, 3 et 4 de ce problème sont totalement indépendantes, elles proposent trois applications du résultat démontré dans la partie préliminaire 1 .

Définitions et notations

Pour T ∈ R^(∗ +), on note C_T^0 l'ensemble des fonctions définies sur R, à valeurs complexes, continues et T-périodiques.
Pour T ∈ R^(∗ +), on appelle coefficients de Fourier complexes d'une fonction f définie sur R, continue par morceaux et T-périodique, les nombres
c_n = 1/T∫_0^T f(t)e^(− π(2int)/T) dt, n ∈ Z
On pourra utiliser la notation ω = (2π)/T.

Partie I - Questions préliminaires

I.A - Question de cours
Soit (u_n)_(n ∈ N) une suite de fonctions uniformément convergente sur un intervalle I de R et soit a ∈ I¯.
On note U = lim_(n → + ∞)u_n et on suppose que pour tout n ∈ N, lim_(x → a)u_n(x) = ℓ_n.
Démontrer que (ℓ_n)_(n ∈ N) est convergente, on note ℓ sa limite.
Montrer que U(x) ⟶ _(x → a)ℓ.
I.B - Soit g une fonction définie sur R à valeurs complexes, continue par morceaux et T-périodique et soit k ∈ Z; étudier lim_(t → + ∞)1/t∫_0^t e^(ikx)g(x)dx (on distinguera les cas kT ∈ 2πZ et kT ∉ 2πZ).
I.C - Soit f ∈ C_(2π)^0, de classe C^1 par morceaux et soit g une fonction continue par morceaux et T-périodique.
I.C.1) On suppose T/(2π) ∉ Q.
Montrer que 1/t∫_0^t f(x)g(x)dx admet une limite finie quand t → + ∞ et que cette limite vaut c_0(f)c_0(g).
I.C.2) On suppose T/(2π) ∈ Q. On pose T/(2π) = p/q irréductible.
Montrer que 1/t∫_0^t f(x)g(x)dx admet une limite quand t → + ∞ et exprimer cette limite à l'aide des coefficients de Fourier complexes de f et g.
Lorsque les coefficients de Fourier complexes de f et g sont tous des réels positifs, montrer que lim_(t → + ∞)1/t∫_0^t f(x)g(x)dx ⩾ c_0(f)c_0(g).

Partie II - Équation différentielle

II.A - Soit φ appartenant à C_T^0, et soit k ∈ Z.
On note e_k la fonction x ↦ e_k(x) = e^(− π(2ikx)/T). Comparer c_k(φ) et c_0(e_k φ).
II.B - Soient a et b deux fonctions continues, 2π-périodiques sur R.
On suppose que l'équation différentielle y^(′′) + a(x)y^′ + b(x)y = 0 possède une solution y_0 sur R, non nulle et T-périodique avec T/(2π) ∉ Q.
Prouver que y_0 est solution de l'équation différentielle y^(′′) + c_0(a)y^′ + c_0(b)y = 0.

Partie III - Épicycloïde

Soient R et r deux réels strictements positifs.
Dans le plan affine euclidien rapporté à un repère ( O; ı⃗, ȷ⃗ ) orthonormé direct, on considère le cercle ( C_0 ) de centre O et de rayon R, le cercle ( C ) de centre Ω(R + r, 0) et de rayon r et le point A(R, 0). On pose q = R/r.
Pour t ∈ R, on considère le cercle C(t), de rayon r, dont le centre, noté Ω(t), a pour affixe (R + r)e^(it).

III.A - Définition de l'épicycloïde

III.A.1) Montrer que ( C_0 ) et ( C(t) ) sont tangents et déterminer l'affixe h(t) de leur point de contact H(t).
III.A.2) Soit M(t) le point de (C(t)) tel que (Ω(t)H(t)^(→−), Ω(t)M(t)^(→−)) = qt. Déterminer l'affixe z(t) de (M(t)).
On appelle épicycloïde E l'arc paramétré décrit par M(t) lorsque t décrit R.
Remarque : l'épicycloïde E est la courbe décrite par le point A lié au cercle ( C ) lorsque le cercle ( C ) roule sans glisser sur le cercle ( C_0 ).

III.B - Propriétés de l'épicycloïde

Dans cette section, q ∈ Q.
III.B.1) Justifier l'existence d'une fonction périodique ρ à valeurs strictement positives, de classe C^∞ sur R et d'une fonction θ à valeurs réelles, de classe C^∞ sur R, telles que ∀t ∈ R, z(t) = ρ(t)e^(iθ(t)).
Préciser une période de la fonction ρ.
III.B.2) Étudier et représenter la courbe lorsque q = 5/2.
III.B.3) Montrer que l'épicycloïde est formée d'arcs isométriques (appelés arches) se rejoignant en des points de rebroussements. Déterminer les affixes de ces points.
III.B.4) Calculer la longueur d'une arche.
Lorsque q est entier, calculer la longueur totale et l'aire de l'épicycloïde en fonction de la longueur et l'aire du cercle ( C_0 ) et du nombre q.
III.C - Dans cette section q ∉ Q.
On montre que l'épicycloïde est dense dans la couronne C délimitée par le cercle ( C_0 ) et le cercle (C_1) de même centre et de rayon (R + 2r).
III.C.1) Soit m ∈ N et n ∈ N^∗, montrer que lim_(t → + ∞)1/t∫_0^t ρ^m(x)e^(inθ(x))dx = 0.
Indication : on pourra exprimer e^(iθ(x)) en fonction de z(x) et ρ(x) et utiliser la question 3 de la partie préliminaire.
Déterminer lim_(t → + ∞)1/t∫_0^t ρ^m(x)e^(inθ(x))dx = 0 pour tout (m, n) ∈ N × Z.
III.C.2) Soit P un polynôme et Q un polynôme trigonométrique, déterminer lim_(t → + ∞)1/t∫_0^t P(ρ(x))Q(θ(x))dx.
En déduire lim_(t → + ∞)1/t∫_0^t f(ρ(x))g(θ(x))dx, lorsque f est une fonction définie et continue sur [R, R + 2r] et g une fonction continue 2π-périodique.
III.C.3) Soient (ρ_0, ε) ∈ [r, R + 2r] × R^(∗ +) tels que [ρ_0 − ε, ρ_0 + ε] ⊂ [R, R + 2r] et soit (θ_0, η) ∈ R × R^(∗ +).
On considère la partie P du plan constituée des points M d'affixe z tels que |z| ∈ [ρ_0 − ε, ρ_0 + ε] et Arg(z) ∈ [θ_0 − η, θ_0 + η].
En considérant des fonctions f et g bien choisies, montrer que P ∩ E ≠ ∅.
III.C.4) En déduire que l'épicycloïde est dense dans la couronne C.

Partie IV - Problème de visibilité

Dans le plan affine euclidien rapporté à un repère ( O; ı⃗, ȷ⃗ ) orthonormé direct, on considère un observateur placé à l'origine et, en tout point M de coordonnées entières autre que l'origine, on place un arbre représenté par un carré « plein » de côté 2r ∈ ]0, 1/2[ centré en M; on appelle forêt, notée F, l'ensemble de ces carrés.
Le but de cette partie est de prouver l'existence d'un réel R > 0 tel que, dans toute direction, l'observateur voit un arbre situé à une distance inférieure ou égale à R.
IV.A -
IV.A.1) Soit h la fonction créneau, paire et 1-périodique définie sur [0,1/2] par h(x) = 1 si 0 ⩽ x ⩽ r, 0 sinon.
a) Montrer que, pour tout x ∈ R, la fonction t ↦ h(t)h(x − t) est intégrable sur [ − 1/2, 1/2].
Soit u définie sur R par u(x) = ∫_(− 1/2)^(1/2)h(t)h(x − t)dt.
b) Montrer que u est paire, 1-périodique, et que u(x) = ∫_(x − r)^(x + r)h(y)dy. En déduire que u est continue et C^1 par morceaux. Vérifier que tous ses coefficients de Fourier complexes sont positifs. Calculer c_0(u).
IV.A.2) Pour θ ∈ R, montrer que la fonction
t ↦ 1/t∫_0^t u(xcosθ)u(xsinθ)dx
admet une limite finie strictement positive notée ℓ(θ) lorsque t → + ∞.
IV.A.3) Pour t ∈ R, montrer que la fonction
θ ↦ ∫_0^t u(xcosθ)u(xsinθ)dx
IV.A.4) En déduire l'existence d'un réel R tel que, pour tout θ ∈ R,
∫_0^t u(xcosθ)u(xsinθ)dx > 1
Prouver qu'il existe x ∈ ]0, R] tel que u(xcosθ)u(xsinθ) ≠ 0 et conclure.

IV.B - Algorithmique

IV.B.1) Pour (r, θ) ∈ R^2, on note A(r, θ) le point d'affixe re^(iθ).
Soit I = {r ∈ R^(∗ +)|∀θ ∈ [0, 2π], F ∩ [O, A(r, θ)] ≠ ∅}.
Montrer que I est un intervalle non vide, on note R_0 sa borne inférieure, montrer que R_0 > 0.
L'intervalle I est-il ouvert? fermé?
IV.B.2) On suppose que l'on dispose d'une fonction tri qui prend en argument une liste de couples de réels et retourne la liste triée dans l'ordre croissant des premiers éléments des couples.
Décrire un algorithme donnant un encadrement de R_0 par deux entiers consécutifs.

IV.C - Arbres ronds

Que peut-on dire si les arbres sont représentés par des disques fermés?

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 1 Centrale MP 2007 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 1 Centrale MP 2007 ?

Le sujet porte sur la moyenne temporelle d'un produit de fonctions périodiques, appliquée à une équation différentielle à coefficients périodiques, à l'étude géométrique de l'épicycloïde, et à un problème de visibilité dans une forêt de points entiers via les coefficients de Fourier.

Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques 1 Centrale MP 2007 ?

Le rapport ne communique aucune moyenne ni écart-type chiffrés pour cette épreuve.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à cette épreuve de mathématiques 1 Centrale MP 2007 ?

Le jury relève l'incapacité à démontrer le théorème de la double limite, des théorèmes de Fourier cités mais mal utilisés, une confusion entre fonction bornée et fonction intégrable, et une étude très incomplète des propriétés de l'épicycloïde.

Cette épreuve de mathématiques 1 Centrale MP 2007 est-elle difficile ?

Le rapport la juge déroutante pour un grand nombre de candidats, qui devaient s'adapter rapidement à des applications variées ; malgré des questions parfois abordables, beaucoup n'ont pas obtenu de note honorable, d'autant que l'énoncé contenait lui-même des imprécisions.

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