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Polytechnique Mathématiques 1 MP 2007Sujet et corrigé

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X, mathématiques 1, MP 2007 : régularisation de fonctions périodiques par le noyau de Poisson
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Première composition de mathématiques de l'École polytechnique (MP, 2007), qui construit le noyau de Poisson à partir d'une série de Fourier géométrique, l'utilise pour régulariser une fonction continue par morceaux et 2 pi-périodique par convolution, puis étudie la vitesse de convergence de cette régularisation selon la régularité de la fonction, à l'aide d'espaces de fonctions définis par leurs coefficients de Fourier.

  1. 1Première partieÉtudie la convergence de la série géométrique définissant le noyau de Poisson P(t,x) et calcule ses coefficients de Fourier.
  2. 2Deuxième partieRégularise une fonction f continue par morceaux par convolution avec le noyau de Poisson et montre la convergence uniforme des dérivées de la fonction régularisée vers celles de f.
  3. 3Troisième partieIntroduit des espaces de fonctions définis par une condition sur la décroissance de leurs coefficients de Fourier, les compare aux espaces de fonctions de classe C^k, puis en déduit une vitesse de convergence de la régularisation.

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CONCOURS D'ADMISSION 2007

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Régularisation de fonctions

Ce problème présente un procédé d'approximation de fonctions par des fonctions plus régulières.
Pour tout entier k ⩾ 0 on désigne par C_(per)^k l'espace des fonctions d'une variable réelle à valeurs complexes, 2π-périodiques et de classe C^k; on note de même C_(per)^(pm) l'espace des fonctions 2π-périodiques et continues par morceaux. Pour toute fonction f de C_(per)^(pm) on définit ses coefficients de Fourier par
f^(n) = 1/(2π)∫_(− π)^π f(x)e^(− inx)dx, n ∈ Z
Étant donné une suite (α_n)_(n ∈ ℤ), on dit que la série ∑_(n ∈ ℤ)α_n est convergente si les séries ∑_(n ⩾ 0)α_n et ∑_(n ⩾ 1)α_(− n) le sont, et on pose alors
∑_(n ∈ ℤ)α_n = ∑_(n ⩾ 0)α_n + ∑_(n ⩾ 1)α_(− n)

Première partie

  1. Dire pour quelles valeurs du couple (t, x) ∈ ℝ^2 la série ∑_(n ∈ ℤ)e^(− |n|t)e^(inx) est convergente.
On suppose maintenant t > 0 et on note P(t, x) ou P_t(x) le nombre ∑_(n ∈ ℤ)e^(− |n|t)e^(inx).
2. Vérifier que P(t, x) est réel. Calculer ∫_(− π)^π P(t, x)dx.
3.a) Montrer que la fonction P, définie sur l'ensemble ℝ_+^∗ × ℝ, est indéfiniment différentiable, et écrire ses dérivées partielles (∂^(p + q))/(∂t^p∂x^q)P(t, x) sous forme de sommes de séries.
3.b) Calculer (∂^2 P)/(∂t^2) + (∂^2 P)/(∂x^2).
4. Déterminer les coefficients de Fourier de la fonction P_t.
5. Dire pour quelles valeurs du couple (t, x) ∈ ℝ^2 on a 1 − 2e^(− t)cosx + e^(− 2t) = 0.
On suppose maintenant t > 0.
6. Démontrer l'égalité
P(t, x) = (1 − e^(− 2t))/(1 − 2e^(− t)cosx + e^(− 2t))
et préciser le signe de cette expression.
7. Démontrer les assertions suivantes. On suppose x ∈ [ − π, π] et on fait tendre t vers 0 par valeurs supérieures; alors P_t(x) tend vers 0 si x ≠ 0, vers + ∞ si x = 0, et la convergence est uniforme sur tout ensemble de la forme [ − π, − a] ∪ [a, π] où a ∈ ]0, π[.

Deuxième partie

Dans cette seconde partie on se donne une fonction f de C_(per)^(pm); on suppose toujours t > 0.
8. Vérifier que la série ∑_(n ∈ ℤ)f^(n)e^(− |n|t)e^(inx) est convergente.
Sa somme sera notée Φ_f(t, x) ou Φ_(f, t)(x).
9. Montrer que la fonction Φ_f, définie sur l'ensemble ℝ_+^∗ × ℝ, est indéfiniment différentiable, et écrire ses dérivées partielles sous forme de sommes de séries.
10. Calculer Φ_(f, t)(x) − 1/(2π)∫_(− π)^π P_t(x − y)f(y)dy.
11. On suppose f ∈ C_(per)^k, k ⩾ 0. Montrer que, lorsque t → 0, Φ_(f, t)^((p)) converge uniformément vers f^((p)) pour tout p ⩽ k.

Troisième partie

  1. Étant donné un nombre réel α ⩾ 1, montrer qu'il existe un réel μ_α tel que l'on ait (1 + u)^α ⩽ μ_α(1 + u^α) pour tout u ⩾ 0.
Pour tout α ⩾ 0 on note E_α l'ensemble des fonctions f de C_(per)^(pm) satisfaisant
∑_(n ∈ ℤ)|f^(n)|^2(1 + n^2)^α < + ∞
On pourra admettre que cet ensemble est un sous-espace vectoriel de C_(per)^(pm).
13.a) Montrer que, pour tout entier k ⩾ 0, on a C_(per)^k ⊂ E_k.
13.b) A-t-on C_(per)^k = E_k ?
13.c) Montrer que E_α ⊂ C_(per)^k si k ⩾ 0 et α > k + 1/2.
[On pourra traiter d'abord le cas où k = 0].
Dans la suite du problème, on se donne un nombre réel r ⩾ 0; pour tout (t, x) ∈ ℝ_+^∗ × ℝ, on pose φ_t(x) = x^r e^(− tx).
14. Exprimer le nombre C = t^(r + 1)∫_0^(+ ∞)φ_t(x)dx à l'aide de la fonction Γ et vérifier qu'il est indépendant de t.
15. Montrer que ∑_(n ⩾ 1)n^r e^(− tn) tend vers + ∞ lorsque t → 0.
16. Étant donné un réel τ > 0, déterminer un réel C^′ tel que l'on ait
∑_(n ⩾ 1)n^r e^(− tn) ⩽ C^′ t^(− r − 1) pour tout t ∈ ]0, τ]
On se donne maintenant une fonction f ∈ E_α pour un certain α ∈ ]1/2, 1]; on désigne encore par τ un réel > 0.
17.a) Déterminer un réel C^(′′) tel que l'on ait
|∂/(∂t)Φ_f(t, x)| ⩽ C^(′′)t^(α − 3/2) pour (t, x) ∈ ]0, τ] × ℝ
17.b) Déterminer un réel C^(′′′) tel que l'on ait ‖Φ_(f, t) − f‖_∞ ⩽ C^(′′′)t^(α − 1/2) pour tout t ∈ ]0, τ], où l'on a posé, pour toute fonction g bornée sur ℝ,
‖g‖_∞ = sup_(x ∈ ℝ)|g(x)|

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 de l'X MP 2007 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 de l'X MP 2007 ?

Principalement les séries de Fourier, avec des outils d'analyse (dérivation sous le signe somme, fonction Gamma) pour étudier la régularisation de fonctions périodiques.

Le sujet de maths 1 X MP 2007 est-il un problème unique ou plusieurs parties indépendantes ?

C'est un seul problème en trois parties progressives, qui construisent puis exploitent le noyau de Poisson.

Quel est le thème central du problème de mathématiques 1, X MP 2007 ?

La régularisation de fonctions périodiques : comment approcher une fonction seulement continue par morceaux par des fonctions indéfiniment dérivables, et à quelle vitesse.

La calculatrice est-elle autorisée à l'épreuve de mathématiques 1 de l'X MP 2007 ?

Non, l'énoncé précise que l'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Pas de description pour le moment