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Polytechnique Mathématiques 1 MP 2009Sujet, corrigé et rapport du jury

Exponentielles d'endomorphismes, intégrales et séries

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Présentation du sujet

Difficile
Exponentielles d'endomorphisme, intégrales et séries : théorème de Fubini et inégalité de Markov
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Le problème comporte deux parties indépendantes. La première teste la connaissance approfondie des séries et du théorème de Fubini, à travers l'étude d'endomorphismes liés à l'exponentielle et aux séries entières. La seconde porte sur la manipulation de majorations d'intégrales, notamment via l'inégalité de Markov et le théorème de convergence dominée, autour de la convolution de fonctions.

  1. 1Première partie : exponentielles d'endomorphisme et séries entièresÉtude des endomorphismes X, D, A sur les fonctions de classe C-infini et justification du sens à donner à la formule exp(tA) = Φt, via les séries entières et le théorème de Fubini.
  2. 2Deuxième partie : majorations d'intégrales et convolutionÉtude de la convolution de fonctions et de majorations d'intégrales à l'aide de l'inégalité de Markov et du théorème de convergence dominée.

Difficile. La moyenne des candidats français n'est que de 9,19/20 (écart-type 4,29) sur 1524 copies, et plusieurs questions ont un taux d'efficacité inférieur à 20 % malgré l'absence de difficultés théoriques, ce qui montre que l'attention aux détails était cruciale.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,19 / 20 · écart-type 4,29 · 1 524 copies · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,19/ 20
Écart-type
4,29
Copies
1 524
moyenne 9,1905101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Question 5 : convergence de la série non démontrée · Question 7 mal comprise malgré son découpage en sous-questions · Question 12a : hypothèse de majoration des moments mal exploitée
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L'absence de difficultés théoriques a pu faire croire aux candidats qu'il s'agissait d'une épreuve facile, mais l'attention aux détails était cruciale : de nombreuses questions ont donné lieu à des rédactions incorrectes, en particulier les questions 5 et 12a. Le jury note que les mêmes erreurs reviennent sur la majorité des copies, ce qui montre que l'apprentissage de réflexes automatiques ne doit pas se substituer à l'analyse de la spécificité de chaque question.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Question 5 : convergence de la série non démontrée5

    Presque tous les candidats ont cru résoudre la question alors que le taux d'efficacité n'est que de 6 % : la convergence de la série demandait une vérification rigoureuse, par Fubini ou par une majoration analogue à la question 7d.

    « Ce qui étonne c’est que tous les can didats ont cru résoudre cette question. »
  2. 2
    Question 7 mal comprise malgré son découpage en sous-questions7

    Le découpage de la question 7 en six sous-questions n'a pas aidé les candidats à saisir l'objectif global de la question.

    « La question 7 a ainsi été globalement mal comprise malgré (ou à c ause ?) de son éclatement en 6 sous-questions. »
  3. 3
    Question 12a : hypothèse de majoration des moments mal exploitée12a

    La question, avec seulement 18 % d'efficacité, demandait de s'interroger sur l'hypothèse de majoration des moments d'ordre 2 pour trouver la clé de la solution.

    « qui auraient dû s’interroger sur l’hypothèse de majoration des moments d’ordre 2 pour trouver la clé de la solution. »
  4. 4
    Application précipitée du théorème de convergence dominée

    Dans la seconde partie, plusieurs candidats appliquent le théorème de convergence dominée sans vérifier l'hypothèse de domination.

    « La précipitation avec laquelle les can didats ont appliqué, en l’absence de domination, le théorème de convergence dominée dans la se conde partie »
  5. 5
    Question 13c : lien avec la question 12a non maîtrisé13c

    Cette dernière question, avec 19 % d'efficacité, ne pouvait être réussie que par les candidats ayant compris le fonctionnement de la question 12a.

    « Cette dernière question testait les candidats qui avaient c ompris le fonctionnement de la question 12a. »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 1 et 3 ont été traitées avec un taux d'efficacité de 100 % par les candidats les ayant abordées.
  • Les candidats ont montré leur aisance sur les questions qualifiées d'« algébriques » par le jury.

Conseils du jury

  • Soigner la rédaction et l'attention aux détails, en particulier sur des questions qui paraissent faciles : l'absence de difficulté théorique ne dispense pas de rigueur.
  • Vérifier systématiquement les hypothèses d'un théorème, comme la domination, avant de l'appliquer.
  • Ne pas se contenter de réflexes automatiques face à une question : analyser la spécificité de chaque énoncé plutôt qu'appliquer une méthode standard.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
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Exponentielles d'endomorphisme, intégrales et séries

Première partie

On désigne par C^∞(R) l'espace vectoriel des fonctions réelles, de classe C^∞, d'une variable réelle. On définit comme suit des endomorphismes de cet espace :
  • pour toute f ∈ C^∞(R), (Xf)(x) = xf(x), (Df)(x) = f^′(x), (Af)(x) = xf^′(x),
  • pour tout nombre réel t et pour toute f ∈ C^∞(R), (Φ_t f)(x) = f(e^t x).
  1. Vérifier que la valeur en t = 0 de la dérivée de la fonction t ↦ (Φ_t f)(x) est égale à (Af)(x).
On va maintenant étudier les puissances de A et chercher le sens à donner à la formule exp(tA) = Φ_t.
2. Vérifier que, si f est un polynôme, la série ∑_(n ⩾ 0)(t^n)/(n!)(A^n f)(x) est convergente et de somme (Φ_t f)(x).
3. Montrer que, pour tout entier n > 0, on a D^n X = XD^n + nD^(n − 1).
4. Montrer que, pour tout entier n > 0, il existe des nombres réels positifs μ_(n, k), k = 1, …, n, tels que A^n = ∑_(k = 1)^n μ_(n, k)X^k D^k, et exprimer μ_(n, k) en fonction des μ_(n − 1, p), p = 1, …, n − 1. Préciser les valeurs de μ_(n, 1) et μ_(n, n).
5. On désigne par f un polynôme d'une variable réelle. Démontrer la relation
∀t, x ∈ R f(e^t x) = f(x) + ∑_(k ⩾ 1)(∑_(n ⩾ k)(t^n)/(n!)μ_(n, k))x^k f^((k))(x).
  1. Étant donné une suite de nombres réels a_k, k ∈ N, comparer les rayons de convergence des séries entières ∑_(k ⩾ 0)a_k x^k et ∑_(k ⩾ 0)ka_k x^k.
  2. On se donne maintenant une fonction développable en série entière f(x) = ∑_(k ⩾ 0)a_k x^k de rayon de convergence R > 0. On admettra la propriété suivante :
    (P) si |x| < R, la série entière en h : ∑_(k ⩾ 0)(h^k)/(k!)f^((k))(x) a un rayon de convergence au moins égal à R − |x|, et, si |h| < R − |x|, on a ∑_(k ⩾ 0)(h^k)/(k!)f^((k))(x) = f(x + h).
    7.a) Vérifier que, si |x| < R, il existe un réel γ_x > 0 tel que
|t| < γ_x ⇒ |(e^t − 1)x| < R − |x|
7.b) Démontrer l'existence de nombres réels λ_(n, k), n, k ∈ N^∗, indépendants de f et tels que l'on ait
∀x ∈ ] − R, R[, ∀t ∈ ] − γ_x, γ_x[, f(e^t x) = f(x) + ∑_(k ⩾ 1)(∑_(n ⩾ 1)(t^n)/(n!)λ_(n, k))x^k f^((k))(x)
7.c) Vérifier que
λ_(n, k) = {μ_(n, k), si, k ⩽ n; 0, si, k > n
[On pourra utiliser le résultat de la question 5.]
7.d) Montrer que, pour 1 ⩽ k ⩽ n, on a λ_(n, k) ⩽ 2^n(n!)/((k − 1)!).
7.e) On pose Z_(n, k) = (t^n)/(n!)λ_(n, k)x^k f^((k))(x). Indiquer deux réels α > 0 et η > 0 tels que
|x| < α, |t| < η ⇒ ∑_(k ⩾ 1)(∑_(n ⩾ 1)|Z_(n, k)|) < + ∞
7.f) Montrer que, si |x| < α et |t| < η, la série ∑_(n ⩾ 0)(t^n)/(n!)(A^n f)(x) est convergente et de somme (Φ_t f)(x).

Deuxième partie

Dans cette partie, on désigne par F l'espace vectoriel des fonctions f réelles, d'une variable réelle, continues et telles que, pour tout entier k ⩾ 0, la fonction x ↦ x^k f(x) soit bornée.
8. Soit f une fonction de F. Montrer que, pour tout entier k ⩾ 0, la fonction x ↦ x^k f(x) est intégrable sur R.
On posera m_k(f) = ∫_R x^k f(x)dx.
9. Soient f et g deux fonctions de F.
9.a) Montrer que, pour tout réel x, la fonction y ↦ f(x − y)g(y) est intégrable sur R.
On notera f∗g la fonction x ↦ ∫_R f(x − y)g(y)dy.
9.b) Montrer que f∗g appartient à F et écrire une formule de la forme
m_k(f∗g) = ∑_(p = 0)^k γ_(k, p)m_p(f)m_(k − p)(g)
où les γ_(k, p) sont des coefficients à déterminer.
On admettra la commutativité et l'associativité de l'opération (f, g) ↦ f∗g.
Dans la suite du problème, on désigne par F_0 l'ensemble des fonctions f de F qui sont positives et telles que m_0(f) = 1 et m_1(f) = 0.
10. Étant donné des fonctions f_1, …, f_n de F_0, calculer m_0(f_1∗…∗f_n) et m_1(f_1∗…∗f_n) puis exprimer m_2(f_1∗…∗f_n) en fonction des m_2(f_i), i = 1, …, n.
Pour tout réel a > 0, on désigne par T_a l'endomorphisme de F défini par (T_a f)(x) = af(ax).
11. Calculer m_k(T_a f).
Dans la suite du problème on désigne par f_i, i = 1, 2, …, des fonctions de F_0, et, pour tout n, on pose F_n = f_1∗…∗f_n. On suppose que tous les m_2(f_i) sont majorés par une même constante C.
12.a) Montrer que, pour tout réel α > 0, les deux intégrales ∫_α^(+ ∞)(T_n F_n)(x)dx et ∫_(− ∞)^(− α)(T_n F_n)(x)dx tendent vers 0 lorsque n → + ∞.
12.b) Étant donné une fonction h continue bornée sur R, étudier le comportement de ∫_R h(x)(T_n F_n)(x)dx lorsque n → + ∞.
[On pourra considérer d'abord le cas où h(0) = 0.]
13.a) Établir une inégalité entre m_4(f) et m_2(f)^2 lorsque f ∈ F_0.
13.b) Démontrer la formule, pour n ⩾ 2,
m_4(F_n) = ∑_(1 ⩽ i ⩽ n)m_4(f_i) + 6∑_(1 ⩽ i < j ⩽ n)m_2(f_i)m_2(f_j)
13.c) Trouver une condition portant sur les m_4(f_i) sous laquelle on ait, pour tout α > 0,
∑_(n ⩾ 1)∫_α^(+ ∞)(T_n F_n)(x)dx < + ∞

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 MP de l'X 2009 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 MP de l'X 2009 ?

Le sujet porte sur les séries entières et le théorème de Fubini dans sa première partie, puis sur les majorations d'intégrales, la convolution de fonctions, l'inégalité de Markov et le théorème de convergence dominée dans la seconde.

Quelle est la moyenne du sujet de maths 1 MP de l'X 2009 ?

La moyenne des candidats français est de 9,19/20, avec un écart-type de 4,29, sur 1524 copies, dont 5 notes éliminatoires.

Ce sujet de maths 1 MP 2009 de l'X est-il difficile ?

Le rapport indique que le sujet paraissait facile en l'absence de difficultés théoriques, mais l'attention aux détails était cruciale : la moyenne reste faible (9,19/20) et plusieurs questions ont un taux d'efficacité inférieur à 20 %.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 1 MP 2009 ?

Le jury relève une convergence de série mal démontrée à la question 5, une application du théorème de convergence dominée sans vérifier la domination, et des rédactions imprécises sur les questions 7 et 12a.

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