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Polytechnique Mathématiques 1 MP 2010Sujet, corrigé et rapport du jury

Sur quelques questions de calcul différentiel

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Calcul différentiel : extrema sur la sphère, minimum de la norme sur SLn(R) et différentielle de l'exponentielle de matrices
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Le problème réunit plusieurs questions classiques de calcul différentiel. Après deux préliminaires de dualité sur les formes linéaires, il étudie les extrema d'une forme quadratique sur la sphère unité, montre que les matrices de SLn(R) de norme euclidienne minimale sont orthogonales, puis calcule la différentielle de l'exponentielle sur Mn(R) sous forme de série.

  1. 1Préliminaires : dualitéUne forme linéaire dont le noyau contient l'intersection des noyaux d'autres formes est combinaison linéaire de celles-ci, avec une récurrence sur leur nombre.
  2. 2Première partie : extrema sur la sphère unitéCourbes tracées sur la sphère, condition d'extremum pour une fonction de classe C1 restreinte à la sphère et application à une forme quadratique, dont les extrema sont des vecteurs propres.
  3. 3Deuxième partie : minimum de la norme sur SLn(R)Produit scalaire sur Mn(R), différentielle du déterminant via les cofacteurs, existence d'un minimum sur SLn(R) fermé non compact, puis preuve que ce minimum est atteint en une matrice orthogonale.
  4. 4Troisième partie : différentielle de l'exponentielleDérivation de produits et d'inverses de matrices, morphismes de groupes de classe C1 sur GLn(R) et formule en série pour la différentielle de l'exponentielle.

Difficulté moyenne. Le jury décrit des questions très classiques, parfois trop faciles en partie III, mais la moyenne des candidats français est de 8,3 et plusieurs questions clés (1b, 3, 8, 11) ont été peu réussies.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,3 / 20 · écart-type 4,03 · 1 564 copies · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,3/ 20
Écart-type
4,03
Copies
1 564
moyenne 8,305101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Récurrence de dualité mal conduite · Absence d'exemple construit · SLn(R) supposé compact
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Le jury qualifie le problème de très classique. Les questions de routine ont été majoritairement traitées, mais les questions demandant une initiative ou un argument topologique ont souvent échoué. La partie III montre qu'une part non négligeable des candidats maîtrise mal le calcul différentiel.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Récurrence de dualité mal conduite1b

    Peu de candidats mènent à bien la récurrence du préliminaire, dont la rédaction est souvent très confuse.

    « Assez peu de candidats ont pu mener a bien la récurrence du 1b. »
  2. 2
    Absence d'exemple construitQ3

    Seule une petite minorité de copies fournit l'exemple de courbe sur la sphère demandé ; le jury attendait davantage d'initiative.

  3. 3
    SLn(R) supposé compactQ8

    De nombreux candidats affirment à tort que SLn(R) est compact. Il fallait un argument de propreté pour obtenir le minimum sans compacité.

  4. 4
    Synthèse finale de la partie II délaisséeQ11

    La question qui conclut à l'orthogonalité de la matrice minimisante a été très peu abordée, car elle demandait de rassembler les résultats précédents.

  5. 5
    Calcul différentiel mal assimiléPartie III

    Dans la partie III, des questions sans réelle difficulté révèlent chez une forte minorité une maîtrise insuffisante du calcul différentiel.

    « La partie III était très calculatoire »

Ce qui a été bien réussi

  • La plupart des candidats ont su répondre aux questions de routine qui ouvrent la partie II.
  • Les premières questions, très faciles, de la partie III ont été majoritairement traitées.

Conseils du jury

  • Rédiger clairement les récurrences, même sur des questions préliminaires.
  • Oser construire soi-même un exemple quand l'énoncé le demande.
  • Vérifier la compacité d'un ensemble avant d'invoquer le théorème des bornes atteintes, et connaître l'alternative par propreté pour un fermé non borné.
  • Maîtriser les calculs de différentielles de produits, d'inverses et de fonctions de plusieurs variables matricielles.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

Abstract

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Sur quelques questions de calcul différentiel

Notations et conventions

Pour tout entier n > 0, on note ⟨.,. ⟩leproduitscalaireeuclidienusuelet‖. ‖lanormeassociée sur R^n, S^(n − 1) la sphère de rayon 1 dans R^n, M_n(R) l'espace des matrices réelles à n lignes et n colonnes, I_n la matrice identité dans M_n(R), GL_n(R) le sous-ensemble de M_n(R) des matrices inversibles, et SL_n(R) celui des matrices de déterminant 1. On note Tr(M) la trace d'une matrice M de M_n(R), ^t M sa transposée, M˜ la matrice de ses cofacteurs, et l'on rappelle la formule
M^t M˜ = det(M)I_n
Si M est une matrice de M_n(R), on désigne par expM son exponentielle, définie par expM = ∑_(k = 0)^(+ ∞)(M^k)/(k!). On rappelle que l'application t ↦ exp(tM) de R dans M_n(R) est de classe C^1, et que sa dérivée en 0 est M. De même, si φ est un endomorphisme d'un R-espace vectoriel de dimension finie, on note exp(φ) son exponentielle donnée par la série ∑_(k = 0)^(+ ∞)(φ^k)/(k!).
Soit U un ouvert de R^n. Si f : U → R^p est une application de classe C^1, on note df_x sa différentielle au point x, soit :
∀h ∈ R^n, df_x(h) = lim_(t → 0)1/t(f(x + th) − f(x))

Préliminaires

1a. Soient α et β deux formes linéaires sur R^n telle que kerβ ⊂ kerα. Montrer qu'il existe un réel λ tel que α = λβ.
1b. Soient α, β_1, …, β_r des formes linéaires sur R^n telles que ⋂_(i = 1)^r kerβ_i ⊂ kerα. Montrer que α est combinaison linéaire de β_1, …, β_r. (Une méthode possible est de raisonner par récurrence sur r, en considérant, pour r ≥ 2, la restriction de α et β_r à F = ⋂_(i = 1)^(r − 1)kerβ_i ).

Première partie

  1. Soit γ : ] − 1, 1[ → R^n une application de classe C^1 telle que
∀t ∈ ] − 1, 1[, ‖γ(t)‖ = 1
Montrer que pour tout t dans ] − 1, 1[, ⟨γ(t), γ^′(t)⟩ = 0.
3. Soit x ∈ R^n tel que ‖x‖ = 1 et soit v ∈ R^n, non nul, orthogonal à x. Montrer qu'il existe une application γ : ] − 1, 1[ → R^n de classe C^1 telle que ∀t ∈ ] − 1, 1[, ‖γ(t)‖ = 1, γ(0) = x et γ^′(0) = v.
4. Soit f : R^n → R une fonction de classe C^1, et soit g sa restriction à S^(n − 1). Montrer que g admet des extremums. Si x est un extremum, en considérant une application γ comme ci-dessus, montrer qu'il existe un réel λ tel que
df_x(h) = λ⟨x, h⟩, (∀h ∈ R^n)
  1. Soit A une matrice symétrique de M_n(R). On définit
f : {R^n → R; x ↦ ⟨x, Ax⟩
5a. Montrer que f est de classe C^1 et calculer sa différentielle.
5b. Soit x un extremum de la restriction de f à S^(n − 1). Montrer que x est vecteur propre de A.

Deuxième partie

Dans cette partie, on considère les fonctions suivantes :
q : {M_n(R) → R; M ↦ ∑_(1 ≤ i, j ≤ n)m_(ij)^2
où m_(ij) est le coefficient de M sur la i-ème ligne et j-ième colonne,
f : {M_n(R) → R; M ↦ det(M) − 1
ainsi que la restriction de q à SL_n(R), que l'on note g.
6a. Montrer que q(M) = Tr(^t MM).
6b. Vérifier que (A, B) ↦ Tr(^t AB) définit un produit scalaire sur M_n(R).
6c. Montrer que q est de classe C^1 et calculer sa différentielle.
7. On note E_(ij) la matrice de M_n(R) ayant pour coefficient 1 à la i-ième ligne et j-ième colonne, et 0 partout ailleurs. Soient M ∈ M_n(R) et t ∈ R. Exprimer det(M + tE_(ij)) en fonction de det(M), de t et des coefficients de la matrice M˜.
En déduire que pour tout H ∈ M_n(R), df_M(H) = Tr(^t M˜H).
8. Montrer que SL_n(R) est fermé dans M_n(R) et que la restriction g de q à SL_n(R) possède un minimum.
9. Soit M ∈ M_n(R). Montrer que det(expM) = e^(Tr(M)).
10. Soit M ∈ SL_n(R) et soit H ∈ M_n(R) tels que df_M(H) = 0. Montrer que l'application
γ : {] − 1, 1[ → M_n(R); t ↦ Mexp(tM^(− 1)H)
est à valeurs dans SL_n(R), de classe C^1 et vérifie γ(0) = M, γ^′(0) = H.
11. Soit M ∈ SL_n(R) un point où la fonction g atteint son minimum, et soit H dans M_n(R) tels que df_M(H) = 0.
11a. Montrer que dq_M(H) = 0.
11b. Déduire de ce qui précède que M est une matrice orthogonale. Que vaut alors g(M) ?

Troisième partie

Dans cette partie, on se propose de calculer la différentielle en un point quelconque de l'application exp : M_n(R) → M_n(R). On rappelle que GL_n(R) est un ouvert de M_n(R).
12a. Soient C_1, C_2 : R → M_n(R) deux applications de classe C^1. Posons B(t) = C_1(t)C_2(t). Montrer que B est de classe C^1 et que pour tout t dans R,
B^′(t) = C_1^′(t)C_2(t) + C_1(t)C_2^′(t)
12b. Soit C : R → M_n(R) une application de classe C^1. On suppose que pour tout t ∈ R, C(t) est inversible et on pose D(t) = C(t)^(− 1). Montrer que D est de classe C^1 et que pour tout t dans R,
D^′(t) = − C(t)^(− 1)C^′(t)C(t)^(− 1)
  1. Soient C_1, C_2 : R → M_n(R) des applications de classe C^2 telles que C_1(0) = C_2(0) = I_n.
13a. Soient α, β ∈ R. Trouver une application A : R → M_n(R) de classe C^1 telle que A(0) = I_n et A^′(0) = αC_1^′(0) + βC_2^′(0).
13b. Montrer qu'il existe ε > 0 tel que C_1(t) et C_2(t) soient inversibles pour tout t dans l'intervalle ] − ε, ε[.
13c. Pour tous s, t dans ] − ε, ε[, posons L(s, t) = C_1(s)C_2(t)C_1(s)^(− 1)C_2(t)^(− 1). Calculer (∂^2 L)/(∂s∂t)(0, 0) en fonction de C_1^′(0) et C_2^′(0).
14. Soit Φ : GL_n(R) → GL(M_n(R)) défini, pour tout X dans GL_n(R) par
Φ(X) : Y ↦ XYX^(− 1)
14a. Montrer que Φ est un morphisme de groupes. Montrer que les coefficients de XYX^(− 1) sont des fractions rationnelles des coefficients de X et de Y. En déduire que Φ est de classe C^1.
14b. Montrer que dΦ_(I_n) : M_n(R) → L(M_n(R)) est donné, pour tous X, Y ∈ M_n(R) par
dΦ_(I_n)(X)(Y) = XY − YX
Dans la suite du problème, on pose φ(X) = dΦ_(I_n)(X) : {M_n(R) → M_n(R); Y ↦ XY − YX.
15. Soit V un R-espace vectoriel de dimension finie et soit f : GL_n(R) → GL(V) un morphisme de groupes de classe C^1.
15a. Montrer que pour tout X ∈ GL_n(R), pour tout H ∈ M_n(R),
df_X(H) = f(X)df_(I_n)(X^(− 1)H) = df_(I_n)(HX^(− 1))f(X)
15b. On fixe X ∈ M_n(R). On considère les applications a, b : R → GL(V) définies pour tout t ∈ R par
a(t) = f(exptX), b(t) = exp(tdf_(I_n)(X)).
Montrer que a = b.
15c. Retrouver le résultat de la question 9 en utilisant le résultat de la question 7.
15d. Montrer qu'avec les notations de la question 14, Φ(expX) = exp(φ(X)), pour tout X ∈ M_n(R).
16. On fixe X, Y ∈ M_n(R). Pour tout s, t ∈ R, on pose
u(s, t) = exp(s(X + tY)), A(s, t) = exp(− sX)(∂u)/(∂t)(s, t)
16a. Montrer que A(1, 0) = exp(− X)dexp_X(Y).
16b. Déduire du calcul de (∂A)/(∂s)(s, t) que (∂A)/(∂s)(s, 0) = exp(− sφ(X))(Y).
16c. Montrer que A(s, 0) = ∑_(n = 0)^∞(− 1)^n s^(n + 1)(φ(X)^n)/((n + 1)!)(Y).
16d. En déduire une formule (sous forme de série) pour dexp_X(Y).

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet X maths 1 MP 2010 ?
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Sur quoi porte le sujet X maths 1 MP 2010 ?

Sur le calcul différentiel : extrema d'une forme quadratique sur la sphère unité, minimum de la norme euclidienne sur SLn(R) atteint aux matrices orthogonales, et différentielle de l'exponentielle de matrices.

Quelle est la moyenne de l'épreuve X maths 1 MP 2010 ?

Selon le rapport, la note moyenne des 1564 candidats français est de 8,3 sur 20, avec un écart-type de 4,03.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en X maths 1 MP 2010 ?

Le jury signale surtout l'affirmation fausse que SLn(R) est compact à la question 8, la récurrence du préliminaire 1b mal menée et l'exemple de la question 3 rarement fourni.

Comment obtenir le minimum sur SLn(R) dans X maths 1 MP 2010 ?

Le jury rappelle que SLn(R) n'est pas compact : il faut un argument de propreté, que seule une minorité de copies contient.

Pas de description pour le moment